湖北省孝感市2025-2026学年高二上学期期末（B）数学试卷（含解析）

高二数学B一､单选题1.数列的第项为（）A. B. C. D.答案：B解析：记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，.故选：B.2.已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（）A. B.C. D.或答案：D解析：由方程表示双曲线，可得，解得或，故选：D.3.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：因为直线，即的斜率，又因为，且，所以.故选：A.4.已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：如图所示，有两种情况，若反射光线与圆相切，分别记切点为，关于轴的对称点为，，易知，又又，即故选：C.5.下列对于有关概率的计算或说法错误的是（）A.掷一枚质地均匀的骰子，设事件，，则B.若事件两两互斥，则C.随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.D.若，则事件相互独立与互斥能同时成立.答案：D解析：对于A：事件，因此，A正确；对于B：事件两两互斥时，由互斥事件的加法公式可知，B正确；对于C：概率的统计定义表明，随机事件的概率是其频率在试验次数增多时的稳定值，频率是概率的近似值，C正确；对于D：若，则事件相互独立时，，事件互斥时，，两者不可能同时成立，D错误.故选：D.6.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（）A.准线的方程是B.的最小值为C.为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为D.以线段为直径的圆与轴相切答案：D解析：圆的半径为，圆心，设动圆圆心，半径为，则根据题意可得，化简得，所以准线方程为，A错误；根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离，所以的最小值为点到准线的距离，即，B错误；因为为线段的中点，根据抛物线的对称性可知，直线的斜率存在，设，因为为线段的中点，则，由相减可得，所以.所以直线的方程为，即，C错误；设，则的中点为，中点到轴的距离为，而，故圆的半径为，等于中点到轴的距离，因此该圆与轴相切，D正确.故选：D.7.在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：由图可知，，而，若，所以.因为，所以.代入得，因为为平面内一点，所以，解得.所以.故选：C.8.曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（）①曲线关于坐标轴和直线均对称；②曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；③曲线围成的图形的面积是；④曲线上任意两点间的距离的最大值为；⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是.A. B. C. D.答案：C解析：当时，曲线，整理化简可得，表示圆心为半径为的半圆，同理可得当时，，表示圆心为半径为的半圆，当时，，表示圆心为半径为的半圆，当时，，表示圆心为半径为的半圆，作出曲线图形如图所示，对于①，由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确；对于②，当时，曲线，则过点，同理曲线还过，共个整数点，故②正确；对于③，曲线围成的图形的面积为，故③错误；对于④，曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即为，故④错误；对于⑤，因为点到直线的距离，所以，当最小时，易得点在曲线的第一象限图象上，且最小距离为圆心到直线的距离减去半径，所以，所以，故⑤正确，综上所述总共有个正确.故选：C.二､多选题9.现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为，则，所以，A错误；，B正确；，C正确；，D正确.故选：BCD.10.空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（）A.若直线的方程为，则点在直线上B.已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为C.已知平面的方程为，则点到平面的距离为D.已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为答案：BC解析：对于A，因为直线的方程为，则，所以点不在直线上，故A错误；对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为，又平面的方程为，所以平面的法向量为，所以，则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确，对于C，因为平面的方程为，即为，所以平面的法向量，且点在平面内，所以，设点到平面的距离为，则，所以C正确；对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量；又平面的方程为，所以平面的法向量；设直线的方向向量为，则有，取，则，又因为平面的方程为，所以平面的法向量为，设直线与平面的夹角为，则，所以，故D错误，故选：BC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（）A.B.若点的坐标为，则C.的最小值为D.若直线与直线相交于点，则三点共线答案：ABD解析：根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限.对于A：抛物线的焦点坐标为，根据抛物线的光学性质可知直线经过，直线方程可设为，与抛物线方程联立，得，所以，所以选项A正确；对于B：若点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，则，所以，因此B正确；对于C：点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，所以C错误；对于D：点坐标为，因为，所以，又直线都经过同一点，所以三点共线.故选：ABD.三､填空题12.直线经过点，则点到的距离为__________.答案：解析：因为，所以，所以即为点到的距离，.故答案为：.13.若圆上到直线的距离为的点恰好有个，则的取值范围__________.答案：解析：圆的圆心为，半径，当圆上到直线的距离为的点恰好有个时，直线在圆外，此时圆心到直线的距离为，即，解得；当圆上到直线距离为的点恰好有个时，直线到圆心的距离为，则，解得，当直线位于到圆心距离为和到圆心距离为的两条平行直线之间时，圆上到直线距离为的点恰好有个，此时的取值范围是.故答案为：.14.已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________.答案：解析：若，此时与椭圆有公共点，故存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，此时，即；若，即时，如图，连接，显然，则，因为在上单调递增，要想最大，只需最大，故当最小时，满足要求，故点与上顶点或下顶点重合时，最大，故当时满足要求，所以，即，所以，解得，所以，综上，椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.四､解答题15.（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式.试判断是否有最大值并说明理由.答案：见解析解析：（1）因为数列的前项和，所以当时，，所以，当时，不符合上式，所以（2）因为，当时，，则，结合函数单调性可知此时数列单调递减，当时，，则，结合函数单调性可知，此时数列单调递减，故，故数列最大项为.故的最大值为.16.在平面直角坐标系中，圆为过点的圆.（1）求圆的标准方程；（2）已知斜率为的直线与圆相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且证明：直线恒过定点.答案：见解析解析：（1）设圆的标准方程为∴圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，由，得，因为直线与圆相交，所以，且所以，化简得，故直线的方程为，恒过点.17.某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为.（1）求甲答题两次并获得奖金的概率；（2）求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率.答案：见解析解析：（1）记甲第一题独自答题正确为事件､第二题独自答题正确为事件､第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件，甲场外求助后答题正确为事件，则甲答题两次并获得奖金包含两种情况：①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题；②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场外求助后答题正确.故甲答题两次并获得奖金的概率：；（2）甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况：①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题，同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确.因为，所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率.18.如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角为，底面为直角梯形，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）棱上是否存在点，使二面角的余弦值为.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.答案：见解析解析：（1）因为平面平面，所以，为与底面所成的角，所以，因为，取中点，连接，则，则四边形为长方形，又,故四边形为正方形，则，故，所以又因为，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）过点作于点，由于平面平面，所以因为，所以平面故即为点到平面的距离，因为，所以.（3）令.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，其中平面的法向量为，设平面的法向量为，,则，令得：，所以设二面角的平面角为，则，其中解得：或因为，所以.故是靠近的三等分点.19.我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线是的右准线.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线交E的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点；（3）过点作直线交曲线于异支两点记为.设直线分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在定点使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由.答案：见解析解析：（1）设的半焦距为