内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中等校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含详解）

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中等校2025-2026学年高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．4．已知直线，.若，则（

）A． B． C．4 D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．若直线：与圆：相切，则（

）A．5 B．4 C． D．7．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（

）A．0 B．1 C． D．8．已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（

）A．5 B． C． D．二、多选题9．设复数z满足，则（

）．A．z的虚部为 B．C．z在复平面内对应的点位于第三象限 D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（

）A． B．直线是图象的对称轴C．点是图象的对称中心 D．在上单调递增11．在一个四面体中，若一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”．设某个“完美顶点”为的直角四面体中，，，，则下列选项正确的是（

）A．B．若的垂心为，则平面C．若为的中点，则与所成角的余弦值为D．若为的中点，则与所成角的余弦值为三、填空题12．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________．13．已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______．14．直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______.四、解答题15．如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱的中点，点，在棱上，且.(1)证明：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.16．已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，.(1)求的方程.(2)已知为坐标原点，直线交于，两点.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，证明：过定点.17．广东某校举行了“中华传统文化知多少”的知识竞赛．现从中随机抽取部分学生的成绩，整理后将其分成，，，，这五组，并绘制了如下频率分布直方图．(1)求a的值；(2)在选取的样本中，从不低于70分的学生中用分层抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9人中选2人，求这2名学生的成绩都在内的概率；(3)若成绩在前17％的学生将被评为“中华传统文化知识达人”，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“中华传统文化知识达人”？18．如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.(1)证明：；(2)若正方体的棱长为4，求三棱锥的体积；(3)当时，求二面角的余弦值的绝对值.19．已知是双曲线的右焦点，且经过点．(1)求的标准方程．(2)已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且．（ⅰ）求．（ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案1．D【详解】因为集合，所以.故选：D.2．C【详解】由题设，直线方程化为，其斜率为1，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知，直线的倾斜角为.故选：C3．A【详解】由可得，则椭圆的短半轴长为，短轴长为.故选：A.4．C【详解】由得，可得.故选：C5．A【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由对数函数的性质，可得，，所以，所以.故选：A.6．B【详解】因为圆：，圆的标准方程为：，则圆的圆心坐标为，半径，又因为直线：与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，又因为，所以，对两边完全平方可得：，即，化简得：，所以.故选：B.7．C【详解】因为，，，四点共面，所以，其中，所以，即；因为，所以，而不共面，则，即.故选：C8．D【详解】

如上图所示，连接交于点，则由正六边形的性质知，且.正六边形的棱长均为4，，所以，所以，所以..如下图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题可知质点与质点的运动速度相等.设，则．因为，所以当时，取得最小值，最小值为．故选：D.

9．BD【详解】因为，所以z的虚部为1，故A错误；，故B正确；z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C错误；，故D正确.故选：BD.10．BCD【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，．因为的最小值为，所以，解得，A错误；对于B、C：因为，则，，B、C都正确；对于D：当时，，在上单调递增，D正确．故选：BCD.11．ABC【详解】对于A选项，由题意可知，，，、平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；对于B选项，因为，，，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的垂心，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，、平面，所以平面，故B正确；对于CD选项，因为、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，故直线与所成角的余弦值为，故C正确，D错误.故选：ABC.12．【详解】由正弦定理，解得．所以外接圆的面积为．故答案为：13．【详解】由椭圆方程可知，长轴在轴上，且，即焦点为，直线经过一个焦点，代入焦点坐标：若焦点为，则，解得，即；若焦点为，则，无解；故，此时，长半轴长为，离心率.因此，椭圆的离心率为.故答案为：14．【详解】圆的方程为：，圆心，半径，圆心，到直线：的距离为：，.由切线性质,，要使最小，需要最小，点在轴上，设，，当时，取最小值3，.故答案为：，15．(1)取的中点，连接，因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，所以，，又，故，所以，又，故，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面；(2).【详解】（1）略（2）取的中点，的中点，连接，，则⊥平面，因为为等边三角形，所以⊥，且，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设直线CB与平面所成角的大小为，则.16．(1)；(2)（i）直线，代入，消去，可得，则，由韦达定理，则，得证；（ii），则，即，因，则，此时直线的方程为，故直线必过定点，得证.【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，准线与x轴的交点，则，解得（舍），故抛物线C的标准方程为；（2）略17．(1)(2)(3)78分【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，组距为10，则，解得．（2）由频率分布直方图可知，两组中抽取的学生人数分别为7，2，将组中的学生记为A，B，C，D，E，F，G，组中的学生记为a，b．从这两组学生中随机抽取2名学生，有如下情形：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共有36个基本事件．其中2名学生成绩都在内的情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21个基本事件，即这2名学生的成绩都在内的概率为．（3）设成绩至少要达到m分才可以被评为“中华传统文化知识达人”．因为成绩在内的频率为0.1，在内的频率为0.35，所以m在内．由，得，即成绩至少要达到78分才可以被评为“中华传统文化知识达人”．18．(1)如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为4，则，设，，则，，因为，所以.(2)(3)【详解】（1）略（2）若正方体的棱长为4，则的面积，所以三棱锥的体积.（3）当时，则，可得，，，设平面的法向量，则，令，则，可得；设平面的法向量，则，令，则，可得；因为，所以二面角的余弦值的绝对值为.19．(1)