投影-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

专题5.1投影

1.通过生活实例，了解投影、中心投影、平行投影及正投影的概念，能识别不同类型

的投影现象。

教学目标2.探究并掌握中心投影中影子随光源位置变化的规律，以及平行投影下物高与影长的

比例关系。

3.发展几何直观与空间观念，能运用投影知识解释生活现象，解决简单的实际问题。

1重.点

（1）明确中心投影与平行投影的本质区别，能根据影子特征准确判断投影类型。

（2）理解并掌握正投影的成像规律，能结合物体与投影面的位置关系判断正受影形状。

2难.点

教学重难点

（1）结合具体情境，分析光源、物体位置对影子大小、方向的影响，建立空间思维模

型。

（2）依据正投影规律，将三维立体图形（如正方体）转化为二维投影图形，实现立体

与平面的转化。

知识清单

知识点01投影的相关概念：

1.投影现象：物体在光线照射卜，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。

2.中心投影：由一点发出的光线照射物体所形成的投影，如手电筒、路灯和台灯的光线形成的投影。

3.平行投影：平行光线所形成的投影，太阳光线可看成平行光线，其形成的投影是平行投影。

4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。

5.中心投影与平行投影的区别与联系：

（1）区别：平行投影的投影线互相平行，同一时刻不同物体的物高与影长成正比例，影子方向总是相同；

中心投影的投影线发自一点，影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。

（2）联系：都是物体在光线照射下在某个平面上形成的图形，改变物体的位置和方向，投影都会发生变化。

【即学即练1】

1.（24-25九年级上4T肃张掖.期天）下列哪种影子是平行投影（）

A.皮影戏中的影子B.太阳光下房屋的影子

C.路灯下行人的影子D.在手电筒照射下纸片的影子

【答案】B

【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳

光.根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可.

【详解】解：A.皮影戏中的影子是中心投影；

从太阳光下房屋的影子是是平行投影；

C.路灯下行人的影子是中心投影；

D.在手电筒照射下纸片的影子是中心投影；

故选B.

2.（24・25九年级上•山西晋中•期末）如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子（）

A.太阳光、太阳光B.路灯、太阳光C.太阳光、路灯D.路

灯、路灯

【答案】C

【分析】本题考查平行投影和中心投影的知识，物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯

光的照射下形成的影子是中心投影.然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断.

【详解】解：如图，

・•・第一幅图是太阳光形成的，第二幅图是路灯灯光形成的;

故选：C.

知识点02平行投影的性质：

1.等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一

样长且等于物体本身长度。

2.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。

【即学即练2】

3.（24-25九年级上•宁夏银川・期天）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度.如图

所示，已知建筑物OB的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得OA的影长O。为24米，小军的影

长FG为2.4米，其中O、。、尸、G四点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且O4_LOQ,EE_LFG.

J

G

r>

（I）线段AO与线段EG之间的位置关系为:

（2）已知小军的身高EF为1.8米，求旗杆的高A8.

【答案】（1）平行

（2）A5=3米

【分析】本题考查两直线的位置关系，相似三角形判定及性质等.

（1）根据题意可知两线段位置关系为平行；

（2）先证明继而求出OA=18,再证明△£尸6“28。。，继而得到本题答案.

【详解】（1）解：••・太阳光线是平行光线，

AAD//EG,

故答案为：平行；

（2）解：\*OA1OD,EFLFG,

・•・ZAOD=ZEFG=90°,

VAD//EG,

••・ZADO=ZEGF,

，△AOXAEFG,

.OAOD

・•—=--，

EFFG

r）A74

彳解得：*瓜

过点8作8C〃A£）交OO于C,

A

GFDCO

同理得：AEFGS^BOC,

：.OB=15,

/.AB=OA-OB=iS-l5=3（米）,

・••旗杆的高A5为3米.

知识点（）3中心投影的性质：

1.等高的物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长。

2.警长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。

3.点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。

【即学即练3】

4.（24-25九年级上•四川成都・期中）如图，A8是公园里一张圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下

的影子，C。则表示一个圆形的凳子.

A---------------B

MN

（1）请在图中标出路灯。的位置，并画出CO的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示;；

（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m,测得影子的最大跨度MN为1.8m,求路灯。与地面的距离.

【答案】（1）见解析

⑵路灯。与地面的距离为3.6m

【分析】本题考查中心投影，相似三角形的应用，解决本题的关键是作出相应的辅助线.

（I）分别连接M4和N8并延长，则延长线交点即为路灯。的位置；分别连接OC和O。并延长，与地面的

交点即为点P和。的位置;

，，尸AR

（2）过点。作Ob_LMN于点E交A8F点E,易证OE_LA8,^OAB^OMN,得出77二==，结合

OFMN

OE=OF—E〃，代入数据求解即可.

【详解】（1）解：如图，点。即为路灯的位置；线段尸。即为CD的影子；

：.OE1AB,AOABSAOMN,

.OEAB

••而一加’

由题意可得：AB=\.2m,MV=l.8m,EF=\.2m,

：.OE=OF-EF=OF-[.2m,

.8—1.21.2

••-------=---,

OF1.8

解得：O尸=3.6m,

答：路灯。与地面的距离为3.6m.

题型精讲

题型01平行投影

【典例1］（24-25九年级上•河南南阳•阶段练习）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光

下的影子的图形可能是（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行投影的定义，掌握平行投影的定义是解题的关键.根据太阳光线是平行的，

同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的，影子的方向也应相同即可求解.

【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意；

8、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；

C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；

。、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意；

故选：A.

【变式1］（24-25九年级上•四川成都・期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱

与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米.小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在

地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上.假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不

计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题：

（1）小明的身高为1.65米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？

（2）此刻测得高“•柱落在墙上的影长为1.3米，求高立柱的高度.

【答案】（1）小明的影长为2.2米

（2）高圆柱的高度为3.1米

【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题.

(2)如图，连接AE，作尸8〃£4•分别求出4B,8c的长即可解决问题.

【详解】(1)解：设小明的影长为x米.

由题意得成=兽，解得x=2.2,

x1.6

经检验：x=2.2是分式方程的解.

「•小明的影长为2.2米；

(2)解：如图，连接AE,作尸用

r^rrjC

/O7

二•四边形ABFE是平行四边形，

43=斯=1.3米，

设6C=y米，

由题意8c落在地面上的影长为2.4米.

，上

2.41.6

/.)1=1.8,

.•.AC=A8+80=1.3+1.8=3.1米，

答：高圆柱的高度为3.1米.

【变式2](24-25九年级上.贵州贵阳•期末)某校一块草坪中有两棵小树，某一时刻小树44在太阳光下的

影子如图所示，已知小树OE高度为2.5m.

⑴清画出此时小树。石在太阳光下的影子(用线段表示)：

(2)测得AB,OE两树的影子长分别为2.4m和1.2m,请求出小树48的高度.

【答案】(1)见解析

(2)A8的高度为5m

【分析】本题考查了相似三角形的应用.

（1）根据题意画出图形即可；

（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成

的两个直角三角形相似.据此列式求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，作。/〃4C,EF工DE交DF于F,线段石尸就是小树。石的影子.

（2）解：设A8的高度为儿

因为太阳光可以看作是互相平行的，

由相似三角形知：普12=不24，

2.5h

解得〃=5.

经校验，〃=5是方程的解且符合题意.

即AB的高度为5m.

【变式3］（24-25九年级上•四川达州•期末）星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对

哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据

他们的对话，完成下列问题.

（1）画出此时妹妹在阳光下的影子；

（2）若哥哥身高为1.8m,哥哥和妹妹之间的距离为3.6m,而妹妹的影子长为3.2m,求妹妹的身高.

【答案】（1）见解析

（2）1.6m

【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用；

（1）利用阳光是平行投影进而得出妹妹在阳光下的影子进而得出答案；

（2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可

【详解】（1）解：如图，线段A8为此时妹妹在阳光下的影子；

哥哥妹妹

TDE工BE,CALEB,

:./OE4=NC44=90。.

DA//CB,

・•・ZDAE=/CBA,

4DAEs^CBA,

.DE_EA

**C4-

•・•哥哥身高为L8m,哥哥和妹妹之间的距离为3.6m,而妹妹的影子长为3.2m,

即OE=1.8m,AE=3.6m,AB=3.2m,

.1.83.6

..—=—.

CA3.2

C4=1.6m,

・•・妹妹的身高是L6m.

题型（）2中心投影

【典例2］（24-25九年级下•贵州贵阳•阶段练习）下列投影中，不是中心投影的是（）

A.路灯下行人的影子B.舞台上演员的影子

C.台灯下书本的影子D,太阳光下旗杆的影子

【答案】。

【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决木题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳

光.根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可.

【详解】解：4.路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；

B.舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意；

C台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；

D.太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意：

故选：

【变式I】（24-25九年级上•甘肃兰州•期末）如图，木杆。。和EF与地面垂直，木杆8在路灯。下的影子

为DG,木杆EF在路灯。下的影子为产“，已知点。，G,F,"在一条直线上，CD1DH,EF±DH,

请在图中画出路灯O.

7

DGFH

【答案】作图见详解

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用.通过连接物体顶端与影子顶端的

光线，找到路灯位置.

【详解】解：如图，路灯。为所求，

DGFH

作法：连接CG,EH,延长CG,EH交与点、0,此时点。即路灯为所求.

【变式2］（24-25九年级下•江西赣州•阶段练习）如图，小树A6在路灯。的照射下形成投影4c.

⑴比光源（路灯。）形成的投影属于.（填“平行投影”或“中心投影”）

（2）已知树高为2m,树影8c为3m,树与路灯的水平距离AP为4.8m,求路灯的高度OP.

【答案】（D中心投影

⑵路灯的高度为5.2米

【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

（1）由中心投影的定义确定答案即可；

（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解.

【详解】（1）解：，,此光源属于点光源，

此光源下形成的投影属于中心投影；

（2）解：vABLCP,PO工PC,

:.OP//AB,

:.gBCsqpc,

.AB_BC

"OP='PCf

•・•树高A8为2m,树影BC为3m,树与路灯的水平距离为4.8m,

.2_3

…OP-3+4.8'

解得:OP=5.2（m）,

，路灯的高度为5.2米.

【变式31（23-24九年级上•辽宁沈阳•期末）如图，OM为一盛路灯的灯杆，该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，

小红（A8）和小颖（CO）都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡。的照射下的影子末端位于点E处.已知0,

B、a£在同一条直线上，且M0上OE,AB上OE,DC工OE.

M

P

AD

Iff一

OBCE

（1）请在图中画出路灯灯泡/，的位置，并画出小红（4?）在灯泡/却勺照射卜.的影子加•（不必写出画法）；

（2）经测量04=2米，8尸=1米，小红（A8）的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度8的长.

【答案】（1）图见解析

（2）。。的长为4.8米

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.

（1）连接EO并延长，交OW于点P,连接P4并延长交OE与点尸，点。，点尸即为所求；

（2）证明△P0「sAA3F,列出比例式进行求解即可.

解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质.

【详解】（1）解：连接。并延长，交OM于点、P,连接总并延长交OE与点尸，点尸，点尸即为所求，如

图：

M

OBFCE

(2)VMO1OE.AB1OE,

jAB//OP,

:./OFsgBF,

.ABBFBF1

••而=而=8尸+08一针

，OP=3AB=4.8米；

答：0p的长为4.8米.

题型03正投影

【典例3］（24-25九年级上•山东东营・期末）如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正

【答案】B

【分析】本题考查了几何体正投影，根据从左边看得到的图形，从正面看得到的图形，从上面看得到的图

形，可得答案.

【详解】解：4、从左边看上边一个小正方形，下边一个小正方形，故A正确，不符合题意；

8、从哪个方向看都不是并排的三个小正方形，故8错误，符合题意：

C、从上面看是两个并排的小正方形，故C正确，不符合题意；

。、从正面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故。正确，不符合题意；

故选：B.

【变式1］（24-25九年级上•江西九江•阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六

棱柱时的正投影是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练

学握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线

情况而定是解决此题的关键.

【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

故选：B.

1变式2］（25-26九年级上•全国•课后作业）下列投影中，是正投影的是（填序号）.

【答案】

③④

【分析】本题考查了投影的概念和分类，即“一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、埼壁等）上得

到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面；包括正投影和斜投影两类。

熟练掌握其概念和分类是解题的美键.

【详解】解：根据正投影的定义“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影''可知

③④是正投影

故答案为：③④.

【变式3］（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面48co

平行于投影面圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于A8,底面圆的直径为gA8,

若AB=4cm.

（1）画出该立体图形在投影面。上的正投影;

（2）计算正投影的面积.

【答案】（1）见解析

⑵了cn?

【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键.

（1）根据题中说明，画出立体图形在投影面P上的正投影即可；

（2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可.

【详解】（1）如图所示：

（2）正投影的面积=正方形面积+长方形面积=4x4+gx4x4=£（cm2）.

题型04视点、视角和盲区

【典例4】“白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼.”这里主要是（）

A.增大盲区B.减少盲区C.改变光点D.增加亮度

【答案】B

【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可.

【详解】解：选项4,站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；

选项减少盲区，正确；

选项G不可能改变光点，错误；

选项。，不是增加亮度，选项错误.

故选:B.

【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野

盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区.

【变式1】如图，从点力观测建筑物AC的视角是（）

D

B

水平地面

A.ZADCB.NDABC.ZDCAD.NDCE

【答案】A

【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断.

【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物AC两端发出的光线在眼球内交叉的角为/ADC,

故选:A.

【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义.

【变式2】如图，在房子屋檐石处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（）

A.A4CEB.AADFC.4ABDD.四边形8CEO

【答案】C

【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，

找到在E点处看不到的区域即可.

【详解】解：由图知：在视点E的位置，看不到48段，因此监视器的盲区在AA皿所在的区域，

故选:C.

【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判

断.

【变式3】如图，OM为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，地面上竖立着一个矩形单

杠A8C。，已知单杠右侧C。杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知。、B、CE在一条直

线上，且MO工OE,AB±OE,DCLOE.

⑴请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧A8杆在灯泡。的照射下的影子

（2）经测量OB=4米，3"=2米，单杠的高度4?三2米，请你计算路灯灯泡距地面的高度。夕.

【答案】（1）见解析

⑵6米

【分析】（1）连接并延长交QM于点尸，连接24并延长交0E于凡点P和所即为所求;

（2）先求出O尸=6米，证明△ABPs/Xpo/r,得到竺二竺1,即2=2,则尸。=6米.

POOFPO6

【详解】（1）解：如图所示，点P和圻•即为所求;

M

(2)解：•••08=4米，BF=2米,

工。产=08+8产=6米，

•:M010E,ABLOE,B|JP0//AB.

/.产s△尸。尸,

.ABBFan22

POOFP06

.•・P0=6米，

・•・路灯灯泡距地面的高度OP为6米.

强化训练

一、单选题

1.（25-26九年级上•全国•课后作业）下列现象属于投影的是（）

A.掉在地上的一片花瓣从午后公园长椅的影子

C.小颖画了一幅日出图。.踩在雪上留下的鞋印

【答案】B

【分析】根据中心投影的定义判断即可.

【详解】解：A、掉在地上的一片花瓣不是投影，不符合题意；

B、午后公园长椅的影子是投影，符合题意；

。、小颖画了一幅日出图，不符合题意；

D、踩在雪上留下的鞋印，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考

常考题型.

2.（20-21九年级上•陕西渭南•期天）在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，

看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（）

A.无法确定B.甲竿比乙竿长

C.甲竿比乙竿短D.甲、乙两竿一年长

【答案】。

【分析】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻、同一地点，不同物体的物高和影长

成比例.再判断甲、乙两竿平行，再根据平行投影的特点可得答案.

【详解】解：因为在同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，所以任何物体的高度与其影长之比都相等，

设甲、乙两竿的长度分别为加、坛，影长分别为"、$乙，

S甲5乙

又因为它们的影长相等，即S甲=%，

所以“=屹，故甲、乙两竿一样长.

故选:D.

3.（24-25九年级上•福建•期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到8处的过程中他在该路

灯下的影子（）

举

BA

A.始终不变B.由长逐渐变短

C.由短逐渐变长D.先变短后变长

【答案】。

【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.熟练掌握中心

投影的特征是解题关键.根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长.

【详解】解：因为小亮由A处走到5处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，

所以他在地上的影子先变短后变长.

故选：D.

4.（24-25九年级下•贵州毕节.阶段练习）在平面直角坐标系中,点光源位于P（4,6）处，木杆AB两端的坐

标分别为（。，2）,（4,2）,则木杆若8在无轴上的影长CO是（）

A.4.5B.6C.8D.9.6

【答案】B

【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的

投影是放大（即位似变换）的关系是解决问题的关键.证明然后利用相似比即可求出CO的

长.

【详解】解：，•木杆AB两端的坐标分别为（0,2）,（4,2）,

/.AB//CD,

:.£PAB=NPCD,

•.•NP=N?，

:SABSAPCD,

ABPB

：.——=——,

CDPD

・.・P（4,6）,>4（0,2）,8（4,2）,

:.PB=4,PD=6,46=4,

•__4_—4

CD6

:.CD=6,

故选:B.

5.（2025・河北唐山・三模）如图，在大树AB的右侧有三个台阶工~看，每个台阶的高、宽分别是0.2m和

0.4m.某一时刻，测得台阶在地面上的影子。E=（）.45m,此时树梢顶点A的影子落在台阶心上（包含两个

端点）.已知大树的底部到台阶的距离8C=L9m,则大树A8的高度可能是（）

BCDE

A.3mB.3.4mC.3.8mD.4.2m

【答案】C

【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子。£=0.45m及树梢的影子落在台阶上包含端点取

极值分别计算找出范围即可.

【详解】解：

0/

如图，令延长光线可与的交于点M,过台阶交点与跖垂直于点N,由平行光可知等

0.45而

\MN=03,

当A的影子落在4左边端点时，

8M=1.9+0.4+0.3=2.6m,

AB_0.6

26~045

当A的影子落在T2右边端点时,

BM=\.9+0.4+0.4+0.3=3m,

、AB0.6

\——=---,

30.45

：.AB=4

\—UAB4

15

满足条件的为3.8m.

故选：C.

二、填空题

6.（25-26九年级上•全国•课后作业）下列现象属于中心投影的是（填序号）

■於间0

0少漠中一小树的影子②皮影戏③手影④日昙

【答案】②③

【分析】本题需要理解中心投影的概念，并根据定义判断哪些现象属于中心投影；中心投影是指所有光线

从一个点发出，投射到平面上形成影子的现象.

逐一分析每个现象，由此得到答案.

【详解】①沙漠中一棵小树的影子，太阳光近似平行光，不符合中心投影定义；

②皮影戏，光线从一个点发出，投射到屏幕上形成影子，符合中心投影定义；

③手影，光线从一个点发出，投射到墙上形成影子，符合中心投影定义；

④日售，利用太阳光的平行光束，不符合中心投影定义.

故答案为：②③.

7.（24-25九年级上•安徽宿州•阶段练习）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况,

【分析】本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可■能不同，不同时

刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西•西

北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.

根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长

由长变短再变长.

【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-

东北-东，影长由长变短，再由短变长.可知先后顺序是④③①②.

故答案为：④③①②.

8.（25-26九年级上•全国•课后作业）如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿4B=2m,

它的影长BC=\.6m,竹竿尸。的影子有一部分落在墙上，PM=L2m,=0.8m.竹竿PQ的长为m.

【答案】2.3

【分析】过点%作'。_1尸（2.垂足为根据题意可得：DN=PM=1.2m,DP=MN=0.8然后根据

同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答.

【详解】解：如图，过点N作于点O.

由魏意，得△ABCS^QDN,

,ABBC

~QD~~DN'

乂•.•A6=2m,6c=1.6m,PM=1.2m,MN=0.8m,DN=PM=\.2m,

八八ABDN2x1.2、

，0D=------------=---------=1.5(m).

BC1.6

PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m).

故竹竿尸。的长为2.3m.

BCPM

故答案为：2.3.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

9.（2025•陕西西安•模拟预测）如图，一块面积为40cM的三角形硬纸板（记为VA8C）平行于投影面时，

在点光源。的照射下形成的投影是若OB：BB'=2：3,则，'9仁的面积是cm2.

【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，VAAC与是位似图形，求出位似比，河根据面积比

等十位似比的平方即PJ求解.

【详解】解：由平行投影可知VA8C与AAbC是位似图形，

013.1313'=2.3,

/.OB:OB'=2:5,

・•・VA8C与△A'8'C'的位似比为2:5,

S2

-0'&ABC=LBC+1=40+石=250（cm）,

故答案为：250.

10.（25-26九年级上•全国•课后作业）土圭之法是在平台中央竖“一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影

长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了

四季.如图，在平台中央竖立一根6尺长的杆子利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一

时刻的太阳光线与杆子的夹角NC48和第二时刻的太阳光线与地面的夹角408相等，测得第一时刻的影

长BC为1.5尺，则第二时刻的影长04为尺.

第一时刻的

共太阳光线

朱、*gf

第二时刻点、k土圭

太阳光线Kx第二时刻

长

的影长

【答案】

24

【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长.

【详解】解：vZ4BC=ZDBA=90°,NCAB=ZADB、

:.Z^ABC^/\DBA,

.ABBC

根据题意，得AB=6尺，8c=1.5尺，

.61.5

解得。8=24，

二第二时刻的影长。5为24尺；

故答案为：24.

三、解答题

11.（24-25九年级上•广东佛山・期末）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的

影子如图所示（图中的粗线段）.

AB

（1）根据竹竿和灯光下的影子，确定光源G的位置；

（2）画出影子为48的竹竿4c（用线段表示）；

（3）若将光源G竖直向上移动，则影子AB的长度___________（单选题）

A.变长B.不变C.变短D.无法确定

【答案】（1）详见解析

（2）详见解析

⑶C

【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经

过点光源.

（1）作射线NE与射线MO,交点G即为所求；

（2）作射线3G,作AC_L/U?交8G于点C,AC即为所求；

（3）画出升而后的光源G',再作出4c的影子即可得出答案.

【详解】（1）解：如图所示，点G为光源的位置：

G：

（3）解：由图可知，影子A8的长度变短.

故选:C.

12.（24-25九年级下•全国•随堂练习）如图，公路旁有两个高度相等的路灯ARCO.小明上午上学时发现

路灯A8在太阳光下的影子恰好落到里程碑七处，他自己的影子恰好落在路灯CO的底部。处.晚自习放学

时，站在上午同一个地方，发现在路灯C。的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处.

B

D

_____________________I__________

AEC

（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标明太阳光、灯光.

（2）若上午上学时候高1m的木棒的影子为2m,小明身高为1.6m,他离里程碑£恰好5m,求路灯高.

【答案】（1）见解析

⑵2.624m

【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键.

（1）根据题意画出图形，即可求解；

(2)证明△EGbs/\℃,即M求解.

【详解】（1）解：如图.

B、、、

、、、、、太阳光、、、、

灯知

AEFC

（2）解：•・•上午上学时候高1m的木棒的影子为2m,小明身高为1.6m,

・•・小明的影长C尸为3.2m.

,：GFLAC,DCLAC,

:.GF〃CD、

：・NDCE=NGFE,4D=NEGF,

・••XEGFs/\EDC.

.GFEF

■■---=---，

CDEC

RUL65

即——=------,

CD5+3.2

解得：CD=2.624.

即路灯高2.624m.

13.（24-25九年级上•安徽宿州•阶段练习）如图，电线杆上有盏路灯0,小明身高L6m,他从点尸出发,沿

直线FM运动，当他运动2m到达点D处时（即DF=2m）,测得影长DN=0.6m，再前进2m到达点B处时

（即3O=2m）,测得影长BM=L6m.（图中线段A4,CD,即表示小明的身高，AB,CO,均与尸M垂

直，且在同一平面上）

ACE

II]“，

MBNDF

（1）请画出路灯。的位置和小明位于尸处时的影子2；

（2）求路灯。到地面的距离.

【答案】（1）见解析

（2）4.8m

【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用

相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可.

（1）连接M4、NC并延长，交点即为点。，再连接OE并延长于底面的交点为G,AG即为所求；

（2）过。作O〃_LMG广点H,设。"=w〃，根据A6〃C£>〃。//得黑=萼，据此求得再根据

MHNH

FGND

赤="可求得

n（jNH

【详解】（I）解：如图所示：点。即为路灯的位置，线段尸G即为小明位于尸处时的影子

（2）解：如图，过点。作尸于点

zz/z///??"///z,z////z/

MBNDHFG

■:AB工BF,CD1BF,OH±BF,

：.AB//CD//OH.

:…ABMsQHM,ACDNSAQHN.

,AB_=BMCDDN

设OH=jm,OH=vm.

又AB=CD=1.6m,BM=1.6m,DN=0.6m,BD=DF—2m，

—1.6=----1-.6----1.6=--0-.-6-

y1.6+2+.r'y0.6+x'

解存x=1.2,y=4.8.

经检验，x=L2,y=4.8是原方程的解•.

・••路灯。到地面的距离为4.8m.

14.(24-25九年级上•陕西咸阳・期末)一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出

于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量.如图，她在地面上的

点/)处竖立一根长为4.5米的标杆C7),此时发现标杆C。与塔AB在太阳光下的影子末端恰好重合于地