人教版高中数学选择性必修第二册第2周检测（第四章以前50%+等差数列50%）原卷+答案

第2周检测（第四章以前50%+等差数列50%）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设（l+i）z=3+i,则|z|二（）

A.V5B.V7C.3D.710

2.如图，空间四边形OAEC中方"a,丽=b,U?=c，且OM=2M/l,BN=NC,则而等于（）

A争+|b+%Bn.1-a+.-1.b1

c--la4bv畛争+1

3.已知等差数列｛〃〃｝满足0+〃2=2。3+出=14,则数列｛6｝的公差为（）

A.2C.4D.5

4.已知｛知｝和｛瓦｝均为等差数列,0=1力尸2,aio+力o=39,则数列｛m+儿｝的前50项的和为（）

A.5000B.5050C.5100D.5150

5.设等差数列｛小｝,｛d｝的前〃项和分别为S“,T”,若某=第#则产二（）

/n5n+l£Oio

Bc

A4-H5CD

6.设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，若$3=7a=16,贝4仍+制+⑪等于（）

A.9B.llC.13D.25

7（2024青海西宁高三统考期末）在等差数列｛m｝中,2俏+勿8=15,则｛斯｝的前15项和Si5=（）

A.15B.45

C.75D.105

8“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时

令、气候、物候等变化规律所形成的知以体系.我国古代用E卷测量日影的长度，唇长即为所测量影

子的长度,二十四个节气及唇长变化如图所示，相邻两个节气展长的变化量相同，冬至日展长最长，夏

至日展长最短，周而复始，已知冬至日唇长为13.5尺,芒种日唇长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日唇

长的和为（）

楼长逐渐变小

清、

雨水明谷雨

乙,33

冬至270

\大雪'

150邠

处暑/

品长逐渐变大

A.58.5尺B.59.5尺

C.60尺D.60.5尺

二、选择题:本题共3小题.每小题6分,共18分在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选

对的得6分,部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.已知数列｛斯｝的前〃项和为S”,若4i=-10,a”+i=a“+3,则下列说法正确的是（）

A.｛斯｝是递增数列B.10是数列｛斯｝中的项

C.数列｛£｝中的最小项为S4D.数列｛手｝是等差数列

10.设S”是公差为d（表0）的等差数列｛〃“｝的前〃项和，则下列畲题正确的是（）

A.若80,则Si是数列｛SJ的最大项

B.若数列｛SJ有最小项，则d>0

C.若数列｛£｝是递减数列，则对任意的，eN：均有S〃<0

D.若对任意的均有SQ。,则数列⑸｝是递增数列

11.已知函数7U）=3tan（2x+勺,下列结论正确的是（）

A.函数形）恒满足4”+力小）

B.直线工注为函数）=«r）图象的一条对称轴

C•点（吟，°）是函数产加）图象的•个对称中心

D.函数），Xx）在（-1，粉内单调递增

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.在等差数列｛%｝中,0+3*+田5=120则G+04的值为.

13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”

问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解

法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有

这样一个整除问题:将I到2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序

排成一列，构成数列｛斯｝，则此数列的项数为.

14.已知等差数列｛小｝的首项为2,公差为8,在｛〃“｝中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的

项一起构成一个新的等差数列的J,则数列岳023=.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)(2024青海西宁高三统考期末)在△ABC中，角A,8,C的对边分别是a力,c,且(4&c)cosB=bcos

C.

(1)求cos4的值；

⑵若“=275、求a+c的取值范围.

16.(15分)(2024上海高二期末〕设S”为等差数列｛%｝的前n项和，己知s=l15o=4O.

(1)求数列｛“〃｝的通项公式；

(2)当〃为何值时S最大,并求出S”的最大值.

17.(15分)已知等差数列｛为｝的前n项和为S”,且S5=2〃4+l1,的=。1+。3+3.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)若数列｛E｝由｛*｝与｛小｝的公共项按从小到大的顺序排列而成,求数列｛九｝落在区间(0,2022)内的

项的个数.

18.（17分）如图，在三棱锥中,PA_L底面A8C,NABC=90°.P4=24C=2V1

(1)求证:平面PBC_L平面PAB:

(2)若二面角？4cA的大小为45°,过点A作AN_LPC于N,求直线AN与平面08c所成角的大小.

19.(17分)已知点4-1,0),点。是OB:Q-1)2+)”16上的动点，线段4P的垂直平分线与B尸交于点。，设

点Q的凯迹为曲线C.

(1)求。的方程.

(2)过x轴上一动点R作两条关于x轴时称的直线/)与所设MN分别是儿/2与曲线。的交点且M、N

不关于x轴对称,MN与x轴交于点SQSHOKI是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明

理由.

第2周检测(第四章以前50%+等差数列50%)

1.A由题意可得彳含=号A=竽=2",

则|z|=V5.故选A.

2.C由题意知，丽=近？+而+丽=^OA+(OC-OA)-^CB=-jOA+OC+^(OB-0C)=-

|成+；而+；左=-|a+gb*.

故选C.

3.C设数列｛%｝的公差为d.

因为(。3+。4)-(0+。2)=44=16,解得f/=4.

故选C.

4.B由题知｛知+为｝也为等差数列，且公差d为｛斯｝,｛儿｝公差的和，

文+〃i=3mo+〃io=39,故仁芳2二4,

所以｛%+〃“｝的前50项和为50X3+四|竺'4=5050.

故选B.

5.D因为$9二叫汕=皿0'=侬产=19加,所以鹊=泮=W

LLOjo/193X19+1Z23

故选D.

6.B设公差为=a।+t?2+t?3=7,56-5?=«4+«5+^6=9.

因为(%+。5+a6)-(%+%+。3)=94=2,

(a7+aQ+a9)—(即+a2+03)=1&/=4,

所以〃7+痣+。9=7+4=11.

故选B.

7.C设｛”“｝的公差为7则2a3+内8=30+21d=15,

则a\+7d=as=5,

古攵$5=15(Q；Q】S)=]548=75.

故选C.

8.C设冬至日等长为0,小家日薜长为S,以此类推,芒种日暮长为6/12.

因此0=13.5,02=2.5,设从冬至到夏至过程中，相邻两个节气鼻长的变化量为d,

所以有2.5=13.5+(12-1)仁”/二-1,立春日暮长为674=13.5+3x(-1)=10.5,

夏至日船长为S3=13.5+12X(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日母长的和为!"S+：5XIO=6().

故选C.

9.ACD由已知勿=-10,a”+i“=3,所以数列｛小｝是首项为-10,公差为3的等差数列,

所以10+3(〃/)=3上13.

对于A选项，因为所以｛〃“｝是递增数列,A正确；

对于B选项，令。”=3小13=10.可得n=^N\B错误;

对于C选项，令斯=3〃・13<0可得，W学所以数列｛SJ中的最小项为S4,C正确;

对于D选项,S尸当磬M-10+371-13)=3心23?1则与=3n-23

22'n2

所以近1一员二3。1+1)-23_3n-23_3

n+1n22~-V

故数列怜｝为等差数列,D正确.

故选ACD.

10.BD对于A,设数列｛小｝是首项为4,公差为-2的等差数列5=4<S2=6,故A错误；

对于B,等差数列｛〃”｝中，公差存0$=〃勿+与％=疗+是关于〃的二次函数.当数列

｛SJ有最小项，即S”有最小值,S〃对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上等>0,即

d>0,B正确；

对于C,设数列伍“｝是首项为1,公差为-2的等差数列，则S尸-7+2〃$+|5=-(〃+1)2+2(〃+1)-(-

〃2+2〃)=-2〃+1<0,即S“+i<S”恒成立，此时数列｛$｝是递减数列，而$=1>0,故C错误;

对于D,若数列｛£｝是递减数列，则《尸5”5/<0(〃22),一定存在实数上当心k时，之后所有项都为

负数,所以不能保证对任意均有Sn>0.

故若对任意均有S〃>0,则数列｛SJ是递增数列，故D正确.

故选BD.

11.AC对于A选项+^)=3tan(2x+TT+^=3tan(2x+Jjx),A正确；

对于B选项，函数/(x)=3laii(2x+匀图象无对称轴,B错误；

对于C选项，由2x+y=兴々三Z),可得工岑-白也gZ),

62、J412

当％=0时，可得产哈，所以点(*,0)是函数y可⑴图象的一个对称中心,C正确;

对于D选项，当吃〈V?时夫兀，

14146

所以函数产")在区间(率，:)内不单调,D错误.

故选AC.

12.48因为。|+3。8+05=5。8=120,所以。8=24,

所以s+ai4=2〃8=48.

13.135因为能被3除余1且被5除余1的数即为能被15除余1的数，

故4尸1WN"),又023,解得n=135.

14.4046设数列｛/%｝的公差为Ji,

由题意可得4J1=6Z„+|-6Z„=8,

即0=2,且b\=a\=2y

故历023=2+2x(2023-1)=4046.

15.解(1)因为(4〃-c)cosB=Z?cosC,由正弦定理得,4sinAcosB-cosBsinC=sin8cosC,

所以4sinAcosB=sinBcosC-cosBsinC=sin(B+Q=sinA.

因为0<A<TT,所以sinA#),所〃cos8M

4

⑵由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2争c=12,则*c=(a+c)2.12.

因为acW(等)2,当且仅当a-c时，等号成立，

所以浓=(a+c)2-12W京〃+c)2,

/O

呜(a+c)Y12,解得a+cW4夜.

因为b=2V5,所以a+c>2V3.

综上,a+c的取值范围为(2g.4企］.

16.解(1)设等差数列｛m｝的公差为d,

则02=%+d=11,解得=13，

J

(S10=10%+45d=40,=-2,

所以数列｛为｝的通项公式为④=13-2(〃-1),即a„=-2n+\5.

2

(2)由(1)得S〃=(132；+IS)”=〃2+j4/Z=-(/7-7)+49.

所以当n=7时$最大，且最大值为49.

17.解⑴设等差数列｛%｝的公差为］(存0).

由件=2a4+11,

(a5=%+Q3+3,

可得15al+=2(%+3d)+11,得13%+4d=11,

L+4d=%+4+2d+3,卜/2d=-3,

解得｛建』

所以4〃=。|+(〃-1)d=2〃-1.

⑵因为S产出磬=〃2,所以｛S〃｝表示所有正整数的平方从小到大组成的数列，

而SJ表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以怜”｝表示全体正奇数的平方从小到大组成的数

列.

因为432V2022V45)所以(瓦｝落在区间(0,2022)内的项的个数为22.

18.⑴证明因为P4_L底面AEC/Cu平面ABC,

所以PALBC.

因为NA4C=9()°，所以A，_LZ?C

因为「4048=4,且ACU平面PAB,

所以8cl,平面PAB.

因为BCu平面P8C,所以平面P8CJ_平面PAB.

(2)解由(1)可知4C_L平面PABFBu平面PAR、

所以BCLPB.

因为A8_LBC,

所以N48P为二面角P-BC-A的平面角，

所以/A8P=45°.

因为P4=2,AC=2&,NA8C=90°,

所以A8=BC=2.

过点4作AMLPB于M,则力M_L平面P8C,且M为P8的中点，连接MN,则/ANM为直发AN与

平面P8C所成的角.

在Rt^PAB中,AM=*B=Jx2或=V2,

在RtAPAC中/C=VPC2+/丁2=V4T8=2V3,8']AN=^-==孚.

PC2v33

在RlAANM中,sin/ANM=^=/

AN2v62

丁

因为00<NANM<90°,所以NANM=60°,

所以直线AN与平面P8C所成角的大小为60°.

19.解(1).・