2026年高考数学一轮复习专练：第三章 导数及其应用（学生版+解析）

第三章导数及其应用（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：15（）分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、挂考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・甘肃白银•三模）如果质点按规律s（t）=2产-£（距离单位:m,时间单位：s）运动，

则质点在2s末的瞬时速度为（）

A.8m/sB.7m/sC.6m/sD.5m/s

2.（5分）（2025•江苏盐城•三模）若f（x）=In/,则lim⑴=（）

‘''ex—Ax

A.0B.2C.-2D.-4

3.（5分）（2025•陕西•模拟预测）已知函数/（无）=（无一a-l）e"-a）bx是R上的增函数，则（）

b

A.a=bB.a=7bC.a=\nbD.a=e

4.（5分）（2025・河北・模拟预测）已知函数fCO=炉一%+1,则/'（5的图象在点（1,1）处的切线方程是（）

A.4x+y-5=0B.4x—y-3=0

C.2x+y-3=0D.2%-y-1=0

5.（5分）（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知x=1是函数/（妁=（ax2+3%-3）铲的极值点,则函数/（%）

的极小值为（）

A.-3B.-eC.0D.e

6.（5分）（2025・山东聊城•三模）已知/•（%）是定义域为R的可导函数，设其导函数为g（x）.若/（%+1）-2%

为偶函数，且9。）=g（4-则E氏g（i）=（）

A.60B.40C.20D.8

7.(5分M2025.浙江杭州•模拟预测)定义在(0,+8)上的可导函数/(%),满足广(%)+§=詈，且/(e)=

若a=/(3),b=/(2),c=/(e).贝必、从c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

8.(5分)(2025•甘肃金昌•三模)若关于x的不等式eE(ax)ln(ar)W2坛2》在(0,+8)上恒成立，则实数a的

取但范围为()

A.(0,e]B.(0,2e]C.(0,Ve]D.(0,e2]

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2025•甘肃庆阳•三模)己知函数/"(%)=・，则下列结论正确的是()

A.当a=1时，曲线y=/(%)在点(0,f(0))处的切线方程为y="

B.当a=l时，曲线y=/(外在点(OJ(O))处的切线方程为y=1

C.当Q=0时，曲线y=f(x)上不存在斜率为0的切线

D.当a=0时，曲线y=/(%)在点(l,f(l))处的切线斜率为0

10.(6分)(2025・甘肃白银•二模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其导函数分别是((幻，g'(x),

且满足f(x)=1+g'(x)=1■-g'(2-%).若g(x)是奇函数，当[0,1]时，g[x}=x2+x,则()

A./•(%)是偶函数B.f(x)的图象关于点(1,1)对称

C.g(x)的周期为4D.Zf=oS9。)=0

11.(6分)(2025•江苏苏州•三模)已知/(x)=a/+2]n，则下列说法正确的是()

A.QN0时，/(%)有唯一的零点B.Q<0时，/'(%)存在极小值

C.a<0时，/(%)存在极大值D.若则a的范围为一V0

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025,江苏苏州・三模)若/00=%。1^+。)在口©上不单调，则实数a的取值范围是.

13.(5分)(2025•上海•模拟预测)已知函数/•Q)=lnx-ax-2在区间(1,2)上存在最大值，则实数a的取

值范围为.

14.(5分)(2025•河北秦皇岛•模拟预测)设QHO,若曲线/'(T)=aln(x-1)在点(2,/(2))处的切线也是

曲线g(*)=e。”-z的切线，则a=.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025•河北•模拟预测)已知函数/(幻=言e*.

(1)求曲线/(%)在点(2,f(2))处的切线方程；

⑵求/'(%)的单调区间.

16.(15分)(2025♦广东惠州•模拟预测)已知函数f(%)=ax+In%-1,aeR.

(1)当a=2时，求函数f(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)若f(x)有极大值，且极大值小于0,求a的取值范围.

17.(15分)(2025•海南•模拟预测)已知函数/Q)=(ear+1)%,Q€R.

(1)当Q=2时，求/(x)的单调区间与极值点；

(2)已知f(%)有两个极值点%1<2<x2,证明:xr+x2>3.

18.(17分)(2025•云南玉溪•模拟预测)已知函数“幻=ae2、+(a—2)ex—x.

(1)讨论/G)的单调性;

(2)当Q>0,/(x)N3lna-Q+e-：一1恒成立，求a的取值范国.

19.(17分)(2025•海南•模拟预测)已知函数/(%)=e*-m%2(mWR).

(1)若机=1,判断并证明fQ)的单调性;

(2)当%£(0,+8)时，若函数/•(%)有两个不同的零点与，x2.

(i)求，〃的取值范围；

(ii)证明：石+0>4.

第三章导数及其应用（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟;满分：15（）分）

注意事项：

1.本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、往考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对•应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・甘肃白银•三模）如果质点按规律sQ）=2d—亡（距离单位：m,时间单位：s）运动，

则质点在2s末的瞬时速度为（）

A.8m/sB.7m/sC.6m/sD.5m/s

【答案】B

【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度.

【解答过程】lim-=lim2（2+AC）-2+.）-（2X"2）=Iim（7+2仅）=7,

AJOAtAt-0AtAJO

则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.

故选：B.

2.（5分）（2025・江苏盐城・三模）若/•（x）=]n《，则lim八计号-/⑴二（）

x

eAr-»OAx

A.0B.2C.-2D.-4

【答案】C

【解题思路】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解.

【解答过程】因为/Q）=ln等，所以f口）=（等）'x£=-中胃一x）-三=昔,

所以八1）=分=-2，

则lim⑴=/Xi)=-2.

AXTOAX

故选：C.

3.(5分)(2025・陕西•模拟预测)已知函数/(%)=(x-Q-l)e"-(彳-Q)族是R上的增函数，则()

A.a=bB.a=7C.a=IndD.a=eb

b

【答案】c

【解题思路】由题意可得r(x)工0恒成立，进而分bwo,b>0两种情况讨论求解即可.

【解答过程】由/(%)=(%-a-l)e”-仔一a)bx,

得/'(%)=(x—a)ex-bx+ab=(x-a)(ex—/?),

因为/'(幻是R上的增函数，则(⑴>0恒成立，

即(M—a)(ex—b)>0恒成立,

当上W0时，ex-b>0,此时x—aNO不恒成立，不满足题意；

当力〉0时，等价于(％-a)(x-Inb)>0对％eR恒成立，

则a=\nb.

故选:C.

4.(5分)(2025・河北•模拟预测)已知函数/"(%)=/一%+1,则/(5的图象在点(1,1)处的切线方程是()

A.4x+y-5=0B.4x—y-3=0

C.2x4-y—3=0D.2x—y-1=0

【答案】D

【解题思路】根据求导公式求出函数/Xx)的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后利

用点斜式方程求出切线方程.

【解答过程】对f(x)=%3-%+1求导：f'(x)=(x3-%+iy=(x3y-ay+(iy=3/一i.

将x=i代入rco中，可得切线的斜率上=rm=3x12-1=2.

已知切线过点(1,1),斜率为2,根据点斜式方程，可得切线方程为y-l=2(%-1).

将其化简为一般式：2x-y-1=0,

/(%)的图象在点(1,1)处的切线方程是2x-y-1=0.

故选：D.

5.(5分)(2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知％=1是函数/(幻=(ax2+3x-3)M的极值点,则函数/(%)

的极小值为()

A.-3B.-eC.0D.e

【答案】A

【解题思路】求出函数/(x)的导数，利用给定极值点求出如进而求出极小值.

【解答过程】函数f(%)=(ax?+3》一3)e*的定义域为R,求导得/'(%)=(。炉+2a%+3%)e%,

由x=1是函数f(x)的极值点，得/(1)=(3a+3)e=0,解得a=-l,

函数f(%)=(—x2+3x-3)ex»f'(x)=(—x2+z)ex=-x(x—l)ex,

当x<0或x>l时，fr(x)<0；当Ovxvl时，fr(x)>0,

所以函数/(%)的极小值/XO)=-3.

故选:A.

6.(5分)(2025.山东聊城•三模)已知/(x)是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(x).若/(X+1)-2%

为偶函数，且g(x)=g(4-则£凿g(i)=()

A.60B.40C.20D.8

【答案】B

【解题思路】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可.

【解答过程】因为/a+1)-2x为偶函数，所以/a+1)-2x=/(r+1)+2%,

所以/(%+1)-2=-f\-x+1)+2,所以/(%+1)4-f\-x+1)=4,

所以g(x+1)+g(-％+1)=4,且g(x)=g(4-

所以g(x)+g(-x4-2)=4,g(-x+4)+g(x-2)=4,所以-2)=g(2-x),

所以9(%)=g(T)=g(4-幻，所以g(x)的周期为4,

因为g(x+1)+g(-x+1)=4,令％=0,g(l)+g(l)=4,可得g(l)=2,

令《=l,g(2)+g(0)=4,

所以g(l)+g(2)+g(3)4-g(4)=g(l)+g⑵+g(-1)+g(0)=8

所以£陷g(i)=g(l)+g(2)+g(3)+•••+g(20)=5x8=40.

故选：B.

7.(5分)(2025•浙江杭州•模拟预测)定义在(0,+8)上的可导函数/(%),满足/(%)+皿=号，且/(e)=j

xxZe

若a=f(3),b=/(2),c=/(e).贝ija、b、c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】C

【解题思路】根据题意，结合条件求导可得/'(%)在(0,48)上为减函数，由其单调性即可判断a、b、c的大小

关系.

【解答过程】由已知可得:x2f\x)+2x/(x)=Inx,令g(x)=x2/(x),

则g'(x)=x2f'(x)+2x/(x)=Inx,

Il“)_g(x)fi(x\—xg'(x)-2g(x)_xlnx-2g(x)

「八)N"'"x3x3

再令/i(x)=x\nx—2g(x),则九'(%)=1+Inx-2g'(x)=1—Inx,

当x€(U,e)时，lifM>U,即函数/i(x)在(U,e)上为增函数，

当《6(e,+8)时，h'M<0,即函数九(幻在(e,+8)上为减函数，

:.h(x)<h(e)=e—2g(e)=e-2e2/(e)=0,

•••f'M<o在(o,+8)上恒成立，：./(x)在(o,+8)上为减函数；

v2<e<3,/(2)>/(e)>/(3),即b>c>a.

故选：C.

8.(5分)(2025•甘肃金昌・三模)若关于工的不等式eM(ax)ln3)工2%e2x在(0,+8)上恒成立，则实数a的

取值范围为()

A.(0,e]B.(0,2e]C.(0,Ve]D.(0,e2]

【答案】B

【解题思路】利用同构可得ln(ax)<2%即InaI2x—In4在(0,+s)上恒成立,设〃(无)=2x—Inx,x>0,利

用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围.

【解答过程】由题设有a>0,

当ln(ax)<0即0<x<，时，不等式em(ax)E(ax)<2泥2"恒成立；

当ln(ax)>0即％>3时，设s(t)=>0,则s，(t)=(t+l)e。>0,

故s(t)=te，在(0,+8)上为增函数，而e】n(ax)ln(ax)<2xe2xBPs[ln(ax)]<s(2x)

因为Inax>0,2x>0,故ln(ax)<2x即InaW2%-Inx在+8)上恒成立，

而0<x<1时,ln(ax)<2%恒成立即InaW2%-Inx恒成立，

a

故Ina42%-Inx在(0,+8)上恒成立，

设或(%)=2%—In%,%>0,则

当时，〃'(x)V0；当%时，〃'(%)>0,

故〃(外在(0，)上为减函数，在(；,+8)上为增函数，

故〃(％)min=1+ln2,故Ina<14-ln2=ln(2e),故a<2e,

故0VaW2e,

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，后选错的得。分。

9.(6分)(2025•甘肃庆阳•三模)已知函数/(%)=三，则下列结论正确的是()

A.当Q=1时，曲线y=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程为歹=x

B.当Q=1时，曲线y=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程为y=1

C.当a=0时，曲线y=/(%)」:不存在斜率为0的切线

D.当a=0时，曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线斜率为0

【答案】BD

【解题思路】对于选项A,B,当Q=1时，/(幻二^,求出导函数，利用导数的几何意义求出点(0,f(0))处

切线斜率，即可求出切线方程，因可判断；对于选项C,D,当a=0时，fM=$求出导函数，利用导

数儿何意义求出在点(L/(D)处的切线斜率，即可判断.

【解答过程】对于选项A,B,当a=l时，/(x)=有•/(0)=0,

又/(0)=1,故曲线y=/(%)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1,故选项B正确，A错误；

对于选项C,D,当a=0时，f(x)=:,则/(%)

显然/(1)=0,即曲线y=f(x)在点处的切线斜率为0，故选项C错误，选项D正确.

故选：BD.

10.(6分)(2025・甘肃白银•二模)已知函数/(幻，g(x)的定义域均为R,其导函数分别是((外，g'Q),

且满足/(%)=1+g'(%)=1-g'(2-x).若g(x)是奇函数，当KW[0,1]时，g(x)=/+x,则()

A./(%)是偶函数B./(幻的图象关于点(1,1)对称

C.g(x)的周期为4D.Sf=o59(。=0

【答案】ABC

【解题思路】根据函数1+"(%)=1-4(2-乃得出对称中心判断A,求导数得出函数/•(%)是偶函数判断B,

应用对称性与周期性判断C,应用周期性求函数值计算求解D.

【解答过程】因为函数/1(%),gO)的定义域均为R,1+g'(无)=1一g'(2-所以g'Q)=-g'(2-

所以g'Q)关于(1,0)对称，f(x)的国象关于点(L1)对称，

又因为9。)是奇函数，g(F=-g(x)，所以-g'(-x)=一g'(x)，g'(-x)=g'O)，

所以g'。)是偶函数，所以/'(x)=i+g'a)是偶函数，A选项正确；B选项正确；

是奇函数，g'W关于(1,0)对称,所以g(x)=g(2-

所以。(4+x)=g(-无一2)=-。(％+2)=-g(-%)=g(x),所以g(x)的周期为4,C选项正确；

202S

W。⑴=506[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(l)

i=o

=506[g(l)+g(0)+g(-1)+g(0)]+g⑴=0+g⑴=2,D选项错误；

故选:ABC.

11.(6分)(2025・江苏苏州・三模)已知/(幻=。/+211)，则下列说法正确的是()

A.a20时，fQr)有唯一的零点B.a<0时，八%)存在极小值

C.a<0时，/(%)存在极大值D.若/a)v0,则a的范围为一

【答案】AC

【解题思路】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC：有单调性举反例当％二p可判断D.

【解答过程】对于A,f'(x)=2ax+|,x>0»

当a=0时，/(x)=21nx,有唯一零点；

当a>0时,/(%)>0恒成立，函数>%)单调递增,

当nt0+时，/(X)->-oo,当XT+8时，/(X)->+00,由零点存在定理可得/(幻有唯一的零点，

综上aNO时，/'(%)有唯一的零点，故A正确；

对于B、C,令尸(幻=0,可得x=R,

易得函数f(x)在(0,R)上单调逢增，在(J",+8)上单调递戒，

所以函数/(%)存在极大值，故B错误，C正确；

对于D,因为/(x)<0，所以aV0,

由B选项可得当％=R,函数取得极大值，此时/(E)=-1—ln(—a),

所以一1—(In—a)<0=>a<-故D错误.

e

故选:AC.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025•江苏苏州•三模)若fa)=”(lnx+Q)在口间上不单调，则实数a的取值范围是.

【答案】(一2,-1)

【解题思路】由题意可得存在x6(1,c),使得Q=—lnx—l,求解即可.

【解答过程】由/(x)=x(ln%+Q),可得/'(X)=In%+Q+1,

所以/(%)=x(\nx+a)在［l,e］上不单调，所以广(%)=。在(l,e)上有解,

即Inx+a+1=0在(l,e)有解，即存在无€(l,e),使得Q=-】nx-l,

又因为y=-Inx-1在(l,e)上单调递减，所以一2<a<-l,

所以实数Q的取值范围是(一2,-1).

故答案为：(―2,-1).

13.(5分)(2025•上海•模拟预测)已知函数/•(%)=Inx-ax-2在区间(1,2)上存在最大值，则实数a的取

值范围为.

【答案】@,1)

【解题思路】由于函数/(%)在区间(1,2)上不单调，等价于函数八义)在区间(1,2)上存在极值点，对函数/(外求

导,对a分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间(1,2)内，可得关于Q的不等式，即可求出结果.

(解答过程】/(x)=lux-ax-2=/'(*)=］一以=-，

当a40时，/(%)在(0,+8)上严格单调递增，不符合题意；

当a>0时，令/'(%)>0=>0<x<^；f'(x)<0=%>：.

所以/(%)在(03)上严格单调递增，在G，+8)上严格单调递减，

所以外切在x=十处取得极大值.

因为函数/(%)在区间(1,2)上存在最大值，

所以1V2=QWG，l).

故答案为：G，i).

14.(5分)(2025•河北秦皇岛•模拟预测)设。看0,若曲线/•(第)=出11(%-1)在点(2,/(2))处的切线也是

曲线g(x)=eg-2的切线，则。=.

【答案】1/0.5

【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出a的值.

【解答过程】因为/(%)=合，所以/*'(2)=a,f(2)=alnl=0.

所以曲线/•(%)在点(2,f(2))的切线方程为：y=a(x-2).

因为g'(x)=aeax~2,设曲线g(x)与该切线的切点为(xo，a(xo-2)).

所以g，(%0)=aeax0-2=Q,所以ax。-2=0,即ax。=2.

ax2

又0(&)=e°~=a(x0—2)=2—2a=e°,

所以

故答案为：:

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025•河北•模拟预测)已知函数/•(%)=岩眇.

(1)求曲线/•(%)在点(2J(2))处的切线方程；

⑵求/(幻的单调区间.

［答案】(I把2工-y4-e2=0

⑵递增区间为(一8,—6)和(百,+8),递减区间为(一通,1)和(1,遍)

【解题思路】(1)求出导函数尸(工),计算出尸(2),/(2).根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求

解；

(2)令f<x)>0即可求出函数f(x)的单调递增区间，令f'a)V0即可求出函数f(x)的单调递减区间.

【解答过程】(1)由题意知尸(%)=e*+当眇=尸三人+鼻眇=鼻eL

，'"(x-l)zx-1(x-l)z(x-1)2(x-1)2

则广(2)=靛e2=42,/(2)=|iie2=3e2,

所以曲线“幻在点(2J(2))处的切线方程为y—3c2=。2(%-2),即e2%-y+e2=o.

(2)/(幻的定义域为{xlx*1},

由(1)知广(无)二十二^,

令广(%)>0得“<一V5或%>V3：令，(x)<。得，-V5<x<、"且XH1,

所以/(切的单调递增区间为(—8,-百)和(8,+8),单调递减区间为(—6,1)和(1,旧).

16.(15分)(2025•广东惠州•模拟预测)已知函数/(%)=4+hur-LaER.

(I)当Q=2时，求函数/(外在点(1,1(I))处的切线方程；

(2)若/G)有极大值，且极大值小于0,求a的取值范围.

【答案】(l)3x-y-2=0

⑵(-8,4

【解题思路】(1)利用导数求得广(1),/(I)可求切线方程；

(2)求导，分类讨论求得/(%)的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于U,求得a的取值范围.

【解答过程】(1)当Q=2时f(x)=2无+12一1,则=广(幻=2+?

所以((1)=3,

所以函数/(x)在点(1/(1))处的切线方程为y-1=3(%-1),

即3%—y—2=0；

(2)函数/(%)=ax+Inx-1的定义域为(0,+8),

又/，⑺…

当a>0时((幻>0恒成立,

f(«)在(0,+8)上单调递增，无极值.

当a<0时，由/'(%)>0,解得0<%<一，

由广(无)<0,解得%>-5,

所以/(幻在(0,-以上单调递增，在(-1+8)上单调递减，

故/(外在％=处取得极大值，极大值为/(一;)=ln(-^)-2.

令ln(-J-2V0,

解得aV—2，所以a的取值范围为(一8,一己).

17.(15分)(2025・海南•模拟预测)已知函数/(x)=(ear+l)%,Q6R.

(1)当Q=2时，求/(无)的单调区间与极值点；

(2)已知/(x)有两个极值点勺<2<x2»证明：/+%2>3.

【答案】(1)单调递增区间为R，无减区间，无极值点

(2)过程见解析•.

【解题思路】(1)求导，研究导函数的正负性即可判断其单调性；

(2)%i，%2为尸(%)=—xea~x+ea~x+1=0的两根，化简得Hie*2Tl=这三，令£=小一>。，则+x=

必一12

——gf_i->构造函数k(£)=£e'一e*+£+1">。即可求证.

【解答过程】(1)当a=2时，f(x)=(e2-x+l)x,则/''(、)=-xe2-x+e2-x+i,

令。(x)=/z(x)=-xe2~x+e2~x+1,则g'(x)=-e2~x+xe2~x-e2~x=e2-x(x-2),

则g'(x)>0得工>2；g'{x)<0得x<2,

则0(x)=/(外在(一8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

则广(幻之尸(2)=0,故/■(%)的单调递增区间为R,无减区间,无极值点.

axax

<2)因/(x)有两个极值点.<2<x2,则％1，不为:(%)=-xe~+e~+1=0的两根,

a-xa-xa-x,a-X2

即(%]—i)e*=1,(x2—i)ez=1,即3t—l)e=(x2-l)e,

即e^r】=生1,

必一i

令£=%2->。，则巧=筌2，

则々+%2=苦+生咛=匕岑产，

1”屋一1ec-lec-l

欲证+x2>3,只需证td-/+£+1>0,

令AQ)=^-6?+t+l,t>0,则HQ)=tef+1>0,

故A(t)在(0,+8)上单调递增,则A(t)>々(0)=0,则te，-/+1+1>0成立，

故戈1+xz>3得证.

18.(17分)(2025•云南玉溪•模拟预测)已知函数f(%)=ae2*+(a—2)e%-

(1)讨论/(%)的单调性：

(2)当a>0,f(x)之31na-a+e-—1,恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)当a<0时，/(%)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(一8,In》是减函数，在(in；,+co)是增函数.

(2)a>e.

【解题思路】(1)求得函数的导数((x)=2ae2x+(a-2)ex-l,分类讨论，即可求得函数的单调性，得

到答案：

(2)由(1)得出f(x)的最小值，得出一~—In—4-1>31na—a+e一展-1»设g(a)=21na-cz+e———24-

*。>0),求导，即可求得实数a的取值范围.

【解答过程】(1)f\x)=2ae2x+(a-2)ex-1.

ve2x>0,ex>0,J当aWO时，f'(x)<0,在Rtl单调递减；

当a>0时，尸(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+(ex-J.

令/-\x)=0,解得：x=\nk

由(Q)>0,解得：x>ln^;由〃Q)vO,解得：x<ln^.

•••xe(-co,InJ时，/(x)单调递减，xe,+8)单调递增；

综上可知：当Q40时，/(x)在R上单调递减；

当Q>0时，/(%)在(一8,1n：)是减函数，在(in%+8)是增函数.

(2)由(I)知，当Q>0时，/(%)在(一8,In：)是减函数，在+8)是增函数，

/Wmin=f(In：)=ae2I,,a+(a-2)el,,«

111

:.--a--In-a4-1>3lna—a+e---e-1,

Z.2lna-a+e--e-2+-a<0(*).

令g(a)=2Ina-a+e-^-2+^(a>0),则“(Q)=^-1-^=-"：［一1=-"'，<0,

，g(a)在a>0上单调递减，

又•・・g(e)=21ne-e+e-A2+3=O,・••不等式(*)的解集为QZe,即a的取值范围是a2e.

19.(17分)(2025•海南•模拟预测)已知函数/(%)=眇一血/(机£阳.

(1)若771=1,判断并证明/(%)的单调性；

(2)当X6(0,+8)时，若函数"外有两个不同的零点X1，x2.

(i)求〃?的取值范围；

(H)证明：Zi+x2>4.

【答案】(1)/(%)在R上单调递增；

(2)(i)仔