2026年高考数学一轮培优练习（新高考）二项分布、超几何分布与正态分布（学生版+解析）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布

【考情分析•探规律】

考点考情分析(202L2024)命题趋势

2024•天津、2024•新课标H卷

2023•二匕京、2023・全国甲卷理解二项分布、超几何

考点1二项分布及其应用2023•天津、2023•新课标I卷分布的概念，能解决一些简

2022,天津、2022•新高考全国II卷单的实际问题；借助正态曲

2021•天津、2021•新高考全国I卷线了解正态分布的概念，并

2024•全国新I卷、2022.新高考全国II卷进行简单应用。

考点2正态分布

2021•新高考全国n卷

【知识梳理】

1.二项分/

⑴伯努利试验

只包含—可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验

称为.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为P(X=Z)=%,k=0,1,2,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若隆机变量X服从两点分布，则E(X)=_,D(X)=.

②若X~8(〃，〃)，则E(X)=_,D{X)=.

2.超儿何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有〃件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽

取的，z件产品中的次品数，则X的分布列为&X=〃)=生喈&k=m,/〃+1,〃z+2,…，r,其中〃，N,

M£N‘，MWM〃?=max{0,〃一N+M},r=min{/nM}.如果随机变量X的分布列具有上式的形

式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3.正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为«t)=看e-编，XWR,其中"WR,»0为参数，则称随机变

量X服从正态分布，记为.

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线对称；

②曲线在处达到峰值岛；

③当3无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3。原则

①尸户0.6827；

②尸(/i-2oWXW〃+2GY).9545；

③产(A-3OWXW〃+3。户0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X~N3,/)，则石(X)=_,D(X)=_.

点拨】

1.两点分布是二项分布当〃=1时的特殊情形.

2.超几何分布有时也记为X~”(〃，M,N)，其均值E(X)=臂，

。加骸-飘1-昌)

3.若X服从正态分布，即乂~加@,『)，要充分利用正态曲线关于直线x=〃对称和曲线与x珀之间的面积为

力”解题.

4.利用〃重伯努利试睑概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=〃)

=C"(1的三个条件：(I)在一次试验中某事件4发生的概率是一个常数p;(2)〃次试验不仅是在完全

相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示〃次试验中事件A恰好

发生了4次的概率.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“或"X”)

(1冰表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.()

(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.()

(3)〃宜伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()

(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()

2.已知随机变量占8(4,〃)，若石©=2,则尸e=3)等于()

AiB・Z

3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X=1)=.

4.已知随机变量乂~他/,/),若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,则P(X<4)的值为.

点拨】

1.若X~M〃，片)，则X的均值与方差分别为E(X)=〃，D(X)=(r.

2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=C^(l-p)w,有指定的k次

发生的概率尸=p£(l—p)〃”=0,1,2,…，〃).

3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布,

当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

4.超匚何分布有时也记为X〜”(小M,N),其均值即0=等，方差0(出=e(1一★)(1一会)-

【随堂训练】

题型一二项分布

【典例】1.2024年7月12H,国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中

小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少

喝或不喝含糖饮料，足帚饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯

等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有:的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，

这些学生的肥胖率为；；而每天饮用含糖饮料低于500亳升的学生的肥胖率为今

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学

期望.

【变式训练】某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，

通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进

行体育活动.

(1)请补全2X2列联表，试根据小概率值a=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是

否有关联；

-Wl~~体育活动~~iiT

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男

女

合计

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，汜其中课间经常进行体育活动的人数为X,

求X的分布列、数学期望和方差.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

_______n(ad-bc)2_______

附：3=其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

题型二超几何分布

【典例】I.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样

调查，统计数据如表：

经常应用偶尔应用或者不应用合计

农村40

城市60

合计10060160

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率蛙.

(1)补全2义2列联表，根据小概率值。=0.005的独立性检验，能否认为智慧课堂的应用与区域有关？

⑵在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比【典例】抽取5个学校进行分析;然后再从这5

个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.

______n(ad-bc)2______

附：r=其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.005

Xa2.7063.8417.879

【变式训练】随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零

售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高

客户满意度，在其48两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，

评分结果如下：

分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

⑴求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改

进建议，设被抽到的3人中分公司8的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.

题型三正态分布

【典例】1.(多选)已知三个密度函数/")=总2一舞UWR,=1,2,3)的图象如图所示，则()

A."|="2>"3

B.<7)=6<内

C.若X〜Ml，孑)，P(Xv2)=0.7,贝I」尸(0<X<2)=0.4

D.若X〜N(〃2,总)，Y~Ng，返)，则存在实数回，使得P(X<xo)=P(y<3

【典例】2.(多选)(2024.新课标全国I)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动

茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入

的样本均值±二2.1,样本方差.d=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(l.g,0.12),假设

推动出口后的亩收入丫服从正态分布MM，.*)，贝iJ()

(若随机变量Z服从正态分布M〃，/)，P(Z<〃+亦0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(y>2)>0.5D.P(y>2)<0.8

【变式训练】某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其

数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均

数为工=110.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差S；

(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(〃，fT2),其中参数

〃和〃可以分别用(1)中的5和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为匕若r=5X-10,试估计这2()000

名优秀考生中总成绩丫£[600,660]的人数.

另：«戏.4：

若4),贝I]〃("一bWXW〃十。户U.6827,尸(〃一2bWXW〃+2。)印.9545.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

L已知随机变量38（6,|）,则P《=2）等于（）

A.—B.—

243243

C.—D,—

243243

2.若随机变量X服从正态分布N（3,/）,P（XW5）=0.55,则尸（Xvl）等于（）

A.0.45B.0.55

C.0.1D.0.9

3.数学老师从6道题中随机抽3道检测学生，规定至少要解答正确2道题才能及格.某学生只能正确求解其

中的4道题，则该学生能及格的概率为（）

4.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移

动的概率为g向左移动的概率为：共移动8次，则质点位于一2的位置的概率是（）

■■■■■一

-2-1012%

A®(IfB.(|)6(|)2

C&针(TD.C哂)5

5.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的数学期望为()

A.-B.-

25

C：D.2

6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，

泊松分布的概率分布列为P(X=&)=券"(攵=0,1,2,…)，其中e为自然对数的底数，%是泊松分布的均

值.若随机变量X服从二项分布，当〃很大且〃很小时，二项分布近似于泊松分布，其中％=〃P，即X~8(〃,

p),P(X=i)=e-"5P现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100个该种元件，则正品率大于97%

I•

的概率约为()

(参考数据：1=0.367879…)

A.99%B.97%

C.92%D.74%

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.下列判断正确的是()

A.若随机变量C服从0—1分布，且尸e=0)=0.35,则P《=l)=0.7

B.若随机变量小8(3,1),则DO3

C.若随机变量。”(3,3,10),则E©=0.9

D.若随机变量KM1，，)，PeW3)=0.8,则P(3—l)=0.2

8.若随机变量X服从正态分布N(6,4),且P(2<X<10)=〃z,P(4<X<8)=〃，则()

A.P(7<X<9)>P(1<X<3)

B.£(2X+1)=13

C.P(4<XvlO)=等

D.O(2X+1)=8

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知随机变量X~N（4,42）.若RX<3）=0.3,贝ljP（3<X<5）=,若y=2X+l,则Y的方差

为.

10.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时.，该同学获胜，比赛结束）.根据以

往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p（0v/Xl）,且各局比赛结果相互独立.若甲以3：0获胜的概率不

低于甲以3：1获胜的概率，则"的取值范围为.

四、解答题（共27分）

11.（13分）某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题

则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束.已知李明答对每道题

的概率均为:，且每道题是否答对相互独立.

（1）求李明没通过面试的概率；（5分）

（2）记李明所答题目的数量为X,求X的分布列和数学期望.（8分）

12.（14分）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提

前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的

调查，所得数据如表：

疏散时间/（最接近的时间，

12131415161718

取整数）单位：小时

频率0.040.050.250.350.180.100.03

（1）根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间，的均值和方差；（6分）

（2）根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短

疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量.求X的分布列.（8分）

【尖子拔高训练】13题5分，14题6分，共11分

13.设随机变量X~8(〃，p),记曲=C'/(l—p)〃T,k=0,1,2,…，小下列说法正确的是()

A.当上由0增大到〃时.先增后减.当日仅当々取某一个正整数时达到最大

B.如昊(〃+1)〃为正整数，当且仅当女=(〃+1)〃时，〃上取最大值

C.如戾(〃+1)〃为非整数，当且仅当々取(〃+1)〃的整数部分时，入取最大值

D.E(X)=/ip(l~p)

14.(多选)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，

经数据分析得到：乘公交车平均用时20min,样本标准差为6；骑自行车平均用时24min,样本标准差为

2.已知若随机变量CM//,『)，则&〜M0,1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布，

O

则()

A.X~N(20,6)

B.等〜M0，1)

C.若其天有28min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车

D.若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•天津、2024•新课标II卷

2023•北京、2023•全国甲卷理解二项分布、超几何

考点1二项分布及其应用2023•天津、2023•新课标I卷分布的概念，能解决一些简

2022•天津、2022・新高考全国II卷单的实际问题；借助正态曲

2021.天津、2021•新高考全国I卷线了解正态分布的概念，并

2024•全国新I卷、2022•新高考全国II卷进行简单应用。

考点2正态分布

2021•新高考全国n卷

【知识梳理】

1.二项分布

⑴伯努利试验

只包含两仝可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验

称为，，重任努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为aX=Z)=CM&l—3k=0,1,2,…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(〃，

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若隆机变量X服从两点分布，则E(X)=〃，D(X)=p(l-p).

②若X~BQI,p),则氏%)=也，D(X)=np(\~p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有“件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽

pkpn-k

取的，z件产品中的次品数，则X的分布列为夕(X=6=%，5，k=m,川+2,…，r,其中〃，N,

M£N*,MWM〃WN,〃?=max{0,〃-N+M},r=min{/nM}.如果随机变量X的分布列具有上式的形

式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3.正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为«t)=看e-编，XWR,其中"WR,»0为参数，则称随机变

量X服从正态分布，记为X~M〃，/).

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线以_对称；

②曲线在处达到峰值岛;

③当3无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3。原则

①尸户0.6827；

②尸(/i-2oWXW〃+2GY).9545；

③产(A-3OWXW〃+3。户0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X~N(〃，/)，贝ijE(X)=&D(X)=c«

点拨】

1.两点分布是二项分布当〃=1时的特殊情形.

2.超几何分布有时也记为X~”(〃，M,N)，其均值E(X)=臂，

。加骸-飘1-昌)

3.若X服从正态分布，即乂~加@,『)，要充分利用正态曲线关于直线x=〃对称和曲线与x珀之间的面积为

力”解题.

4.利用〃重伯努利试睑概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=〃)

=C"(1的三个条件：(I)在一次试验中某事件4发生的概率是一个常数p;(2)〃次试验不仅是在完全

相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示〃次试验中事件A恰好

发生了4次的概率.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“或"X”)

(1)X表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.()

(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.()

(3)〃宜伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()

(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()

【答案】(1)J(2)7⑶J(4)7

2.已知随机变量38(4,p),若E&)=2,则尸片=3)等于()

【答案】B

【解析】因为随机变量38(4,p),

由E(Q=2,得4p=2,解得〃=：,

所以p《=3)=第XQ)3X(I-1)=1

3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，贝IJP(X=1)=.

【答案】|

【解析】由题意得P(X=1)=空=：.

C102

4.已知随机变『)，若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,则尸(X<4)的值为.

【答案】0.8

【解析】因为X~M"，『)，P(X<3)=0.5,

所以〃=3,

所以P(X>4)=P(X<2)=0.2,

所以P(X<4)=l-0.2=0.8.

点拨】

1.若X~N"/),则X的均值与方差分别为E(X)=",D(X)=cr.

2.“恰好发生“次”与“有指定的攵次发生”不同：恰好发生A次的概率。=以〃储一p)〃」有指定的攵次

发生的概率尸=〃人(1一〃)“一”=0,1,2,…，〃).

3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布,

当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

4.超兀何分布有时也记为X~H(n,M,M，其均值M%)=器方差0(%)=等(1-弥)(1一会)

【随堂训练】

题型一二项分布

【典例】1.2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中

小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少

喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯

等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有;的学生每天饮用含糖饮料不低于5()()亳升，

这些学生的肥胖率为/而每天饮用含糖饮料低于5()()亳升的学生的肥胖率为宗

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率;

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学

期望.

【解析】

(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A,则P(4)=；,P(不=：，

44

设“学生肥胖”为事件8,则

P(5|4)=gP(B\A)=l，

由全概率公式可得P(8)=P(8|4)P(A)+P(8|mP(3)=：X；+：X：=；,

34944

所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为:.

4

(2)由题意可知，X~8(3,%且X的可能取值为0,1,2,3,则有

p(x=o)=cgxg)°xg)3=^

P(X=l)=Cjxlxg)Z=2Z,

P(X=2)=Cixg)Zx|=^

p(x=3)=cix(l)3xQ)°=±,

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

X的数学期望E(X)=3X；=j.

44

点拨】二项分布问题的解题关键

(1)定型：

①在每一次试验中，事件发生的概率相同.

②各次试验中的事件是相互独立的.

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

(2)定参：确定二项分布中的两个参数〃和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.

【变式训练】某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，

通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进

行体育活动.

(1)请补全2X2列联表，试根据小概率值a=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是

否有关联；

体育活动

性别合计

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男

女

合计

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，汜其中课间经常进行体育活动的人数为X,

求X的分布列、数学期望和方差.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

______n(ad-bc)2______

附:其中〃=a+/,+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】

(I)依题意，列出2X2列联表如下:

体育活动

性别合计

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男302050

女401050

合计7030100

零假设为，o：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关.

因为上警送设篙。产=*62>3.84i.

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断从不成立，

即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)由题意得，50名男生中课间经常进行体育活动的频率为芸=；,

所以在本校男生中随机抽取1人为课间经常进行体育活动者的概率为:

由题意得X~8(4,1),

则%=0,1,2,3,4,

可得p(x=o)=c：x(|)°x(|)4="

pg)=c*x(a()=舞

P(X=2)=Wx(|)f

P(X=3)=C泳包x(|)'=急

旗=4)=以X(，X(T=急

X的分布列为

X01234

812162169616

P

625625625625625

X的数学期望为E(X)=，w=4X”:

X的方差为。(X)=〃p(l—p)

X-X(l-^=-.

=45\5725

题型二超几何分布

【典例】1.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，4市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样

调杳，统计数据如表:

经常应用偶尔应用或者不应用合计

农村40

城市60

合计10060160

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是"

(1)补全2X2列联表，根据小概率值。=0.005的独立性检验，能否认为智慧课堂的应用与区域有关？

⑵在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比【典例】抽取5个学校进行分析，然后再从这5

个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附：r=其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.005

Xa2.7063.8417.879

【解析】

(I)设城市学校共有X所，

因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是:,

4

所以上竺=:,

X4

解得<=80,即城市学校有80所,

补全列联表如卜.：

经常应用偶尔应用或者不应用合计

农村404080

城市602080

合计10060160

零假设为Ho：智慧课堂的应用与区域无关，

5______n(ad-bc)2_____

汇―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

160x(40x20-60x40)2_32

80X80X100X603

^10.667>7.879,

所以根据小概率值。=0.005的独立性检验，可以认为智慧课堂的应用与区域有关.

(2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比【典例】是2：3,所以抽取的样本中有2个是农村学校,

3个是城市学校，再从样本中抽取2个，则X的可能取值为0,1,2.

p(x=o)=管得，

p(y—1\—_3

「2i

尸—2)飞=而

所以X的分布列为

X012

331

P

10510

X的数学期望E(X)=0X2+1xj+2X^=

JLUOAvO

点拨】

⑴超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察

对象分两类；②己知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

【变式训练】随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零

售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高

客户满意度，在其4,8两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，

评分结果如下：

分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的这2()位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改

进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.

【解析】

(1)将油取的这20位客户的评分从小到大排列为62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,

86,87,89,91,91,92,94.

因为20X25%=5,

所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为笞二=75.

⑵由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司8中75分以下的有62分，70分，73分，

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.

所以X的所有可能取值为1,2,3.

P(x=l)=警彳，

CC1

Pn(/yX—-3Q)—--23—

所以X的分布列为

X123

331

P

W510

X的数学期望

E(X)=1X^+2X1+3X^=1.

题型三正态分布

【典例】1.(多选)已知三个密度函数方。)=品。-篝(i£R,=1,2,3)的图象如图所示，则(

)

A."I=〃2>〃3

B.fTI=6<(73

C.若X〜Ml，必),P(X<2)=0.7,则P(0<X<2)=0.4

。.若X~NQw餐)，Y~Ng，馥)，则存在实数xo，使得尸(X<4))=P(yao)

【答案】BCD

【解析】根据正态曲线关于x=〃对称，且〃越大曲线越靠近右边，则川<"2=43,故A错误；

又。越小数据越集中，曲线越瘦高，则内=内〈内，故B正确；

X~N(Ltrf),P(X<2)=0.7,则P(1<X<2)=O.7-O.5=O.2,所以尸(0<X<2)=2X0.2=04故C正确；

若X〜Ng忌)，Y~N5,送)，偿=〃3，则存在实数沏=偿=〃3，使P(X<^)=P(y<ro)，D正确.

【典例】2.(多选)(2024.新课标全国I)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动

茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入

的样本均值元=2.1,样本方差y=0。1,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设

推动出口后的亩收入V服从正态分布M±，52),贝ij()

(若随机变量Z服从正态分布M〃，4)，P(Z<"+g0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(y>2)>0.5D.P(K>2)<0.8

【答案】BC

【解析】依题可知,元=2.1"=0.01,

所以丫〜M2.i,o.i2),

故P(K>2)=P(E>2.1—0.1)=P(y<21+0.1户0.8413,所以C正确,D错误；

因为X~N(L8,0.12),

所以P(X<1.8+0.1)-0.8413,

所以P(X>1.8+0.1)-1-0.8413=0.1587,

而P(X>2)=P(X>1.8+2X0.1)<P(X>1.8+0.1)^0.1587,

所以B正确，A错误.

点拨】解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为4=〃.

(2)标准差为G

(3)分布区间.

利用对称性可求指定范围内的概率值；由4，o,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间,

从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【变式训练】某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其

数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：

频率

组距

().033

0.024

0.022

0758595105115125135145数学成绩/分

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均

数为5=110.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差s；

(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布M〃，砂)，其中参数

"和。可以分别用⑴中的元和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为匕若Q5X—10,试估计这20000

名优秀考生中总成绩丫£[600,660]的人数.

另：、每24；

若X~N3，/)，则P(〃一cWXW〃+o)M.6827,P(4—2eWXW"+2㈤切.9545.

【解析】

⑴抽取的200名考生数学成绩的方差估i十值为？=(80—110)2X0.02+(90—110)2X0.09+(100—110)2X0.22

+(110-110)2X0.334-(120-110)2X0.244-(130-110)2X0.084-(140-110)2X0.02=150.

故估计这20000名考生数学成绩的方差为150,标准差s=Jl无=5通=5X2.4=12.

(2)由⑴知〃可用亍=110来估计，/可用』=|50来估计.故X~N(110,150).

(7=7150=576^12.

又P("+oWXW“+2cr)

P(〃-2(7$X$〃+2<7)—P(〃一(TSX$〃+<7)

故户(122WXW134)W.1359.

又r=5X-10,

所以P(600<YW660)=尸(600W5X—10<660)=P(122WXW134户0.1359.

故这20000名优秀考生中总成绩在［600,660］的人数约为20003X0.1359=2718.

【限时训练】(限时：60分钟)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.已知随机变量。〜8(6,|),则P(J=2)等于(

【答案】C

【解析】由题意可知尸仁=2)=C»<仔)2X(1-f)4=必.

\*5✓\«5z4—

2.若随机变量X服从正态分布M3,f)，P(X<5)=0.55,则P(X<1)等于()

A.0.45B.0.55

C.0.1D.0.9

【答案】A

【解析】因为随机变量X服从正态分布N(3,f)，所以P(XW5)=P(X21)=0.55,所以P(X<I)=1—P(X21)

=1—0.55=0.45.

3.数学老师从6道题中随机抽3道检测学生，规定至少要解答正确2道题才能及格.某学生只能正确求解其

中的4道题，则该学生能及格的概率为()

C.-D.-

52

【答案】A

【解析】由题意知抽取3道题该学生不及格的情况只有只对一道题一种情况，则只答对一道题的概率为P

=罟=(，所以该学生及格的概率为去

4.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移

动的概率为占向左移动的概率为；共移动8次，则质点位于一2的位置的概率是()

■■I■■一

-2-1012%

啕濯反针©

C&针(|)3D小包(|)5

【答案】D

【解析】依题意此实验满足8重伯努利实验，设向左移动次数为X,则X~B(8,|),从原点O出发，共移

动8次，最后质点位于-2,则需向右移动3次，向左移动5次，所以质点位于一2的位置的概率为P(X=

5)7针联

5.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的数学期望为()

C.gD.2

【答案】A

【解析】抽到的女生人数X可能为0,1,2,3,

“)喏=专，

P(x=l)=浮5

C1012,

c|c|

P(X=2)==5

Cfo12

P(X=3)=

C：o12’

所以E(X)=0X专+1X卷+2X^+3X春..

6.泊松分布是•种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用,

泊松分布的概率分布列为P(X=A)=5er(k=0,1,2,•••),其中e为自然对数的底数，4是泊松分布的均