基本不等式及其应用（复习讲义）-2027年高考数学一轮复习原卷版

A知•识•解•构<

A知识点1基本不等式核心公式

1.1核心原型（算术-几何均值不等式）

若a>0,b>0,则,当且仅当a=b时取等号。

•一正：a,b全为正数（负数不能直接套原式）：

•二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值；

•三相等：等号可取（a=b在定义域内有解，取不到则改月函数单调性）。

1.2拓展重要不等式（无条件/放宽条件）

I.好七及N2ab,a,bwR,a=b取等（全体实数可用，无上数限制）；

2.（积W和平方四分之一，常用放缩）：

3.同号：一H—2；ab<0时一H—«—2。

baba

1.3四项均值不等式链

对于正数a,b,有：

其中：

•了一：调和平均数（HM）

ab

•，石：几何平均数（GM）

.包心：算术平均数（AM）

2h

•J，；：平方平均数（QM）

当且仅当a=b时，所有等号同时成立。

自主检测|已知。>匕>0,且Q+6=1,则下列不等式不一定成立的是（）

A-正<e°B-六<；C.荷+乃<&D-sina<cosb

A知识点2两大最值模型

1.积定求和最小：ab=k（定值,a,b>0）=>a+b>2yfk,a=b取最小;

2.和定求积最大：a+b=k(定值，a,b>0)=>«/?<—,a=b取最大。

4

核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关键。

自主检测|(2026.江苏苏锡常镇.二模)已知。>0,则关于％的展开式中各项系数之和的最小值

为()

A.2B.4C.8D.16

A知识点3经典题型：“1的代换”

已知ma+nb=l(a,b>0),求'+幺类最值：整体乘1,展开后配凑均值。

xy

例：a>0,b>0,a+b=1,求—I—=(—I—)(a+Z?)=3H----1------23+2>/2。

ababab

自主检测|已知正实数〃满足2Q+：=1,则b+；的最小值为______.

-------b2a

A知识点4易错拓展：含负数、不能取等的处理

1.x<0：令t=-x>0,变形后用不等式；例x+」(x<0)n-(-x+-L)v-2

x—X

2.定义域限制无法a二b：放弃基本不等式，用。

自圭检测已知Q>b>0,月.Q+6=1,则下列不等式不二定成立的是()

A.——>-B.——<C.y[cL+<V2D.-+>4

a-baa-bbab

A题•型•破•译•

A题型1基本不等式条件正误判断

瓯亘|已知%>o,那么以下关于式子/+3的分析判断正确的选项是()

(1)2

X+X->2y/x；

(2)上式当且仅当％2=2即％=1时，等号成立;

X

(3)所以当％=1时，/+二取得最小值2

X

A.以上全正确B.(I)错C.(2)错D.(3)错

|例1-2]已知正实数4,力满足Q+b=l,则()

A.ab<-B.a2+b2C.2D.Va+Vb>V2

42an

方法技巧不等式性质的快速判断

1.特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项；

2.三条件逐项核验法：按”一正今二定6三相等”顺序逐•验证，缺•不可；

3.性质区分法：明确/+/7222ab（全体实数）与火也2〃石（仅正数）的适用范围,

2

易错分析忽略前提条件

1.忽略“一正”条件，直接对负数使用基本不等式；

2.忽略“二定”条件，无定值时强行求最值；

3.忽略”三相等“条件，等号取不到时仍用不等式结果；

4.混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。

【逐式训练匚1］（多选题）已知正实薮a；瀛京a+1二2?而'T~~）

A.ab<lB.亦+诟工2C.a2+^2<2D,%江1

【变式训练1-2］（多选题）若6。=2,6。=3,则下列判断正确的是（）

A.a+b=1B.ab<-C.a2+b2<z;D.bV：

422

【变式训练1-3】（多选题）若Q>0,b>0,Q+b=1,则（）

a

A.ab<-4B.yja\lb<1C.a+Inb<0D.e+b<2

【变式训练1-4］（多选题）已知。>8>0,。>0,则下列不等式成立的是（）

A1J1Db+c、b

A.-a<-bB.——a+c>-a

C.ca>cbD.（«+；）•（；+c）>4

>题型2配凑定值求最值（拆项、配系数）

忸J2-1]已知％>0,y>0,且3x+y+xy=9,贝i]3x+y的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

例2-21新考法1（2026•河北沧州二中•预测（一））已知实数m,n满足m2+M=&n-12,则粤粤的最

--------------------v'8m-12

大值为.

方法技巧

拆项法（凑和为定值）：

适用：X+—型；

x-m

kkk

操作：x+-----=（x-m）+------+m,此时（x-m）----------=k为定值。

x-mx-inx-m

配系数法（凑积为定值）：

适用：x（k-mx）型：

操作：x（k-iwc）=—•"ir（&-nvc）,此时mx+（k-mx）=k为定值。

m

分离常数法：

适用：—型；

x-1

操作：将分子配成分母的倍数+常数，转化为整式+分式形式。

易错分析

1.拆项时漏加常数项，导致结果偏小；

2.配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小：

3.等号条件不在定义域内，未改用函数单调性;

4.混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。

【变式训练2-1•变载体】（多选题）已知离散型随机变量”勺分布列如表所示.其中a>0,b>0,且E（f）=0.3,

则下列说法正确的是（）

-1012

h

P0.2Ca

2

A.ab<^~B.a2+62>-

164

C.-+7>18D.—

ab4-a1-b9

【变式训练2-2,】己知x：>0,y>0,且％+2y-2xy=0,则无+2y的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【变式训练2-3］（多选题）已知正实数居y满足：x+2y=l,下列说法正确的是（）

A.0<y<-B.xy<-

28

C.-+->4+2V2D.x2+4y2<-

xy,2

【变式训练2-4】已知正实数a,6满足ab+Q+b=8,则ab的最大值是.

A题型3-1的代换”求最值

例且引（陕西省镇安中学2026届高三模拟）已知函数/Xx）=5炉+，正数a,b满足/•（0）+/（力-1）=0,

则二+i的最小值为（）

ab

A.2B.5C.8D.9

|例3-2|已知实数3>-1,y>0,•且满足“4工2+H-2x）（Jy2+2y+2—y—l）=l,则由一机勺最小值

为（）

A.5B.3+2V2C.3+4V2D.9

方法技巧求代数式范围的规范步骤

标准解题模板：

1.变形定值：将ma+nb=k化为=1；

k

2.整体乘1：所求代数式乘以上士也；

K

3.展开配凑；展开得到"整式।可均值分式”；

4.用基本不等式求最值，验证等号条件。

变形技巧：若已知一+—=1,直接将px+qy乘以（一十一）即可。

xyxy

易错分析范围扩大问题

1.乘错“1”的形式，未使用已知的定值条件；

2.展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误；

3.联立方程求解等号条件时计算错误；

4.多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。

【变式训练3-1]（湖南株洲市第三中学2026届高三全真模拟）已知犯nG（0,+oo）,2m+n=l,则乙+工

mn

的取值范围是（）

A.（0,4-00）B.[V24-l,+oo）C.[4,+8）D.[2^2+1,4-oo）

【变式训练3-2】已知力>0,、>0且％+、=1,则[+即勺最小值为（）

A.5B.6C.7D.9

【变式训练3-3】已知x,y均为正数，月.x+2y=4,则：的最小值为

A题型4特殊情况处理（含负数、等号取不到）

9

|例4-1]已知函数/（》）=x+j'VO在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（）

—X+a,x>0

A.[6,+8)B.(—co,-6]C.(-8,3]D.[3,+8)

（列（多选题）下列不等式正确的是（）

A.V6-V3<V5-V2B,sin?%+京的最小值是4

2

C.若OVaVl,则：+D.0<log2（-%4-4x）<2

方法技巧

1.含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变；

2.等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。

易错分析

1.负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向；

2.等号取不到时仍用基本不等式的结果；

3.对勾函数的单调性记反，导致最值求错；

4.换元后未重新确定新变量的定义域。

【变式训练4-1•变载体】：出庆市七校联盟2026届高三考前联合诊断）已知数列｛小｝满足%+1=#7%=1，

数列｛%｝满足瓦=1,bn--=^（n>2）,则数歹ij｛写斗的最小值为.

【变式训练4-2•变考法】已知直线上工一1=0与圆0:/+y2=1相切于点是圆。上一动点，点P满足P。1

04且以P为圆心，P4为半径的圆恰与，相切，则当cos4PTO取最小值时，点P的坐标可以为.

【变式训练4-3•变考法】已知实数》,y满足|3%-2yl+|y-x|=|2%-y|且y*0,则°?:孙，的最大值是

A题型5基本不等式实际应用

例5-1如图,某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形A3CQ和EFGH构

成的面积为200m2的十字形地域.计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为4200元/n?；在四个相同的

矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/n?；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造

价为80元/n?.设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AO的长度为（）

A.25/T0mB.JlUmC.10mD.1072m

例5-21471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最

长？我们把地球表面视为平面*悬杆视为直线/上两点A,8间的连线，则上述问题可以转化为以下的数

学问题：如图1所示，直线/垂直于平面直线/上有两点A,B位于平面a的同侧，求平面二一点。，使

得NACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.若A,8两点的坐标分别为(0,8),(0,4),点C的坐标为

(G。)，则当乙1CB最大时,c的值为()

方法技巧

建模解题四步走：

I.设变量：根据题意设出合适的变量(通常设长、宽、产量为x)；

2.列关系式：建立目标函数和变量的取值范围；

3.求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件；

4.作答：将数学结果转化为实际问题的答案。

易错分析

1.忽略实际意义对变量的限制(如长度为正、墙长限制)；

2.目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误；

3.等号条件不符合实际，未改用函数单调性；

4.单位不统一，导致计算结果错误。

【变式训练5-1】已知正三棱锥的各顶点都在体积为36几的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高

为.

【变式训练5-2】某夏令营在△A8C区域内活动,三个内角满足2sinA+sinB=3sinC.

(1)求cosC的最小值；

(2)夏令营活动组织者要求在4点集合，设小明从B点出发准时到之力点的概率为p,小红从C点四发准时到达

A点的概率为q，两人是否准时到达力点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达4点的概率为0.52,至

少有一人准时到达4点的概率为0.76,求|p-q|的值.

【变式训练5-3】某学校计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地.

因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为工米（4三”46）.现有甲、乙两支工程队

参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋

顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为（1+：）乂6攵*104元（忆>0）.假设甲、乙工程

队均不考虑其他因素.

（1）若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？

（2）若乙工程队要确保竞标成功，求实数〃的取俏范围.

A题型6含参恒成立问题

|例611已知数列｛%｝满足a*1=誓伍=1,2,3,…），给出下面3个结论，

①若｛即｝为常数列，则为=6；

②当%>2时，总有75<册式的；

③当%=-2时，｛&J为递增数列，且存在常数MV0,使得即£“恒成立.

其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

例6-2已知正实数”,y满足％+y=0，且不等式x+y-a>0恒成立，则a的取值范围是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

方法技巧优先使用分离参数法

1.分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边：

2.求最值：求函数f（x）的最大值或最小值；

3.得范围：若恒成立，则。之若。《/（幻恒成立，则。</（公扁…

易错分析

1.分离参数时，除以负数未改变不等号方向；

2.求函数最值时忽略等号条件；

3.恒成立问题遗漏端点值；

4.混淆恒成立与能成立的最值要求。

【变式训练6-1】已知％>0,y>0,且x+y=5,若士+素22m+1恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.（一8，引B.（一8耳C.（一8；]D.（-8,4]

【变式训练6-2】（多选题）已知a>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.若ab=a+b+3,则ab29

B.Q2+大的最小值为i

C.若a+b=9,则军+肘勺最小值为8

D.若G+同wk后市恒成立，则k的最小值为遥

【变式训练6-3］（多选题）已知函数/■（幻=$班一1华广（幻是其导函数.若存在不,必€（0,几）且中<%2,满

足/'（/）=广。2），则（）

A.fM>/（%2）B.%1%2>1

c.fgfg>1D.f（/）+f3）<2

2

【变式训练6-4】已知数列｛即｝的前n项和为Sn,2Sn4-n+2n+3=an.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）若b=|11，对任意MEN"%+菖"恒成立，求t的取值范围.

真题溯源•考向感知--------

------溯源真题逻辑，感知高考考向

一、单选题

1.（2024・北京・高考）已知但甲）,（小,力）是函数y=2"的图象上两个不同的点,则（）

A.】Og2第<弩B.10g2华>安

C.10g2号及〈必+%2D-10g2归及