立体几何中大题综合【8大题型】解析版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

立体几何中大题综合【8大题型】

内容导航

明♦期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01求异面直线夹角

题型02求线面角

题型03求二面角

题型04求点到平面距离

题型05求体积问题

题型06立体几何中最值问题

题型07立体几何中折叠问题

题型08立体几何中存在性问题

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

求异面直线夹角掌握平移法瘠异面直线转化为相交直线；能基础题型，常在选择题或解答题第一问出

利用中位线、平行四边形找平行线；熟练运现，注意夹角范围为锐角或直角，平移时

用坐标法求向量夹角需找准对应点

求线面角理解线面角是斜线与射影的夹角；掌握几何高频考点，常在解答题第二问出现，几何

法（作垂线找射影）和坐标法（法向量与方法需准确作垂线，坐标法需建系正确，江

向向量夹角）两种解法意角度的正弦与余弦转化

求二面角掌握几何法（棱上找点作垂线、三垂线法）核心难点，常在解答题笫二问或第三问出

和坐标法（两法向量夹角）求二面角；能根现，几何法需作角并证明，坐标法计算量

据图形判断二面角是锐角还是钝角较大但过程规范

求点到平面距离掌握等体积法（三棱锥等体积反求高）和坐中等难度，常与线面角、体积结合考查，

标法（法向量投影）；能利用几何性质直接等体积法最常用，需选择合适底面使计算

1/78

找垂线段简便

求体积问题熟练运川柱、锥、台、球体积公式；掌握割基础必考，常以三视图或直观图形式出

补法求组合体体积；能利用等体积法转化底现，注意锥体体积易漏三分之一，台体体

面和高积公式需熟记

立体几何中最值掌握将空间量转化为函数或几何轨迹求最难度较高，常在压轴题出现：需综合运用

问题值；能利用展开图求表面路径最值；理解运几何直观与代数方法,动点轨迹分析是关

动变化中的1缶界位置键

立体几何中折叠理解折叠前后“变"与"不变〃的关系（长度不综合题型，常在解答题中出现，需分清折

问题变、角度不变、位置关系可能改变）；能根叠前后对应点，利用不变量列方程求解

据折叠后图形建立新的空间关系

立体几何中存在掌握先假设存在再列方程求解的方法;能利综合题型，常在解答题最后一问出现，需

性问题用平行、垂直、角度、距离条件建立方程；结合几何特征与代数运算，分类讨论是常

会验证解是否满足几何约束见考查方式

■记•必备知识.

及知识点01异面直线所成角

1、定义：异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通遂“空间问题平面化”转化为两条相交直线的

夹角，其取值范围为（0勺（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。

2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随

后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。

园《知识点02线面角

1、定义：平面上的一条斜线P4与它在平面a的射影力B所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为[0,90°].

找线面角的方法有两种定义法与体积法。

2、找线面角的方法

（1）定义法：能直接找到P点在。平面的射影比点，能计算出|PB|或者|AB|,则线面角的正弦或余弦可求。

2/78

（2）体积法：如果没法直接找到P点在a平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息,

通过体积求出P点到a平面的高度上则线面角的正弦可求。

1、三垂线定理

（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线

垂直。

（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面H勺一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该

平面内的射影垂直。

三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。

2、二面角的定义：从•条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两

个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱，垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的平面角,

范围为[0：180°]

3、二面角的求法

（1）定义法：如果能直接过棱1上一点，找到与棱1垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱1垂

（2）三垂线法：当无法直接找到与棱!垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面a找

・点P点，过P点作平面的垂线P，4（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面0垂直的平面，在平面上作

垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形P4B,即可求二面角的平面角。

（3）垂面法：若题目条件中能找到棱，垂直的平面，则找出该平面与防〃的交线即可。若题目中有与棱I垂

3/78

直的直线，如图如果4P与棱!垂直，则可以构造出与棱1垂直的平面，即可求出二面角的平面角。

（4）射影面积法：已知平面/?内的AABP在平面a的投影为则平面a和平面£所成的二面角的平面

角大小为氏则cos85也

射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时•，可

以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。

（5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交

线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。

E《知识点04求空间距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解.

.破•重难题型.

3题型一求异面直线夹角

他TMT£「I5

：I、做出平移构造异面角的平面角

：2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。

【典例1】（2026•黑龙江•一模）三棱锥中，也4_L平面/8C,ZU5C是边长为4的正三角形,

M4=3,E是MC的中点，则直线M4与•所成角的余弦值是（）

4/78

A.—B.近C.—D.

2531313

【答案】A

【分析】取8C中点凡连接力"，）•后可得//£/或其补角即为直线A/B与ZE所成角，求出力〃、EF、

的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负.

【详解】

B.

取BC中点凡连接力/，EF,因为ME=EC,故EFHMB,

故或其补角即为直线必8与4E所成角，

因为M4_L平面48C,ACu平面48C,故M4_L/C,

而ME=EC,故力£=3"0=；屈不=g,同理M?=5,

而EF为中位线,WEF=三,

而△力8c是边长为4的等边三角形，BF=CF,所以＜〃=4x@=26,

2525c

------------12।

在△4EE中，由余弦定理可得C0S/4E7、/~~^―=—

2x-x-23

22

所以直线MB与AE所成角的余弦值为上.

【典例2］（25-26高一下•全国•课后作业）如图所示，在正方体力8。。-44GA中，瓦尸分别是48,力。

的中点，则异面直线4。；与£尸所成的角的大小为（）

5/78

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【详解】在正方体48co-4AGR中，连接BD,BQi，则EF/，BD"BR,

异面直线4G与EF所成的角等J--4G，4A所成的角，而4G,孙

所以所求角的大小为90。.

【变式1］（2027高三•全国•专颍练习）在正四棱锥，-48c。中,A/为棱卜的点.口夕力=力夕=24历.

设平面尸/0与平面PMC的交线为/,则异面直线/与8c所成角的正切值为（）

A-IB-Tc.：D-T

【答案】B

【分析】先通过作辅助线找到两个平面的交线，再利用平行关系将异面直线所成角转化为平面内两条相交

直线所成的角，最后在直角三角形中计算正切值.

【详解】如图，

-fc连接CM并延长交0/1的延长线于点N,则点N为平面P/仞与平面PA/C的公

N

共点，

所以/即为直线产N,因为8C〃4D,所以NPNQ（或其补角）为异面直线/与8c所成的角.

取D4的中点。，连接。尸，则。尸_L4O,

设户4=44=24必=2,则。4=1,OP=BON=3,

所以lanN尸小。=黑=9，所以异面直线/与BC所成角的正切值为g.

【变式2】（25-26高一上•河北唐山月考〉在直三棱杜，4片。-44a中，

6/78

AB=AC=2,44=3,ZBAC=60\则异面直线力避与/Q所成角的余弦值为（）

37

A.B.

513

4V2

C.D.

52

【答案】B

[分析]延长。到点。，使/D=4C=2,连接4。、80,可得/B/Q（或其补角）就是异面直饯4酒与屿

所成的角.

【详解】延长。到点。，使/0=力。=2,连接4。、BD.

因为AD//A£且AD=AtC,,所以四边形力。。必是平行四边形，因此A.D//AC.

所以，/BAQ（或其补角）就是异面直线48与4G所成的角，

在“8C中，AB=AC=2,ZBAC=6Q,所以18C是等边三角形，BC=2,

222

直三棱柱中，4力=3,则：A[B=y]AB+AA[=V2+3=V13

Afi=AC,=-JAC2+AA[-V22+3:=VTs,

在“4。中，AD=2,48=2,Z5/1Z）=180°-60s=120\

由余弦定理：

2Ja22

BD=AB+AD"-2ABADcosl20=2+2-2x2x2x（-^）=\2f

所以BD=2百

在A48O中，48=4。=布，BD=2&

由余弦定理：

4B2+M_BD?=13+13-12=14=7

cos/A4。=

2ABAQ_=2XVBXVB_26-13

7/78

包题型二求线面角

1、过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，所得线段即为射影；若图形中已有线面垂直关系，可直

接利用垂足确定射影。

2、若能利用体积法求出高，这时候不需要做垂线也能求线面角。

【典例1］（25-26高一卜•全国•谈后作业）在平行四边形中，力。=3,AC=4,cosZJL）C=^,现

将△D4C沿力。折叠至ARIC,使得夕8=南，则/出与平面P8C所成的角的正弦值为（）

2123

A.-B.—D.

5255

【答案】B

【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出AC1•平面尸/1。，最后应用线面角的定义结

合边长关系得出正弦值即可.

【详解】在。中，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC,

即16=9+CZ)2_6CO・|,解得CD=5(舍负)，故4c2+4)2=CQ2,可得/。上力。,

在RLU。。中，OD=\lAD1+A(Jr=Vl3，可得尸O=8O=JI5,

—PB/TT

等腰ZiPOB中,8，"。=扁=票'

所以△P8O中,PD=y/PB2+BD1-2PB-BDcosZPBD=J34+52-2后・2715•=3五,

V2屈

8/78

19

在△4£）中，PA=AD=3,所以/m。=90。，可得5少初=3P4力。=5,

因为/CJ_4,ACLAD,04力。是平面尸力。内的相交直线,

119

所以AC_L平面PAD,口J得%-P/D=~S^PAD-^C=-x-x4=6,

JJ/>

在△PBC中，PB?=PC?+BC,=34,所以NPC8=90。，可得S△咏=；P08C=孩,

]1<I?

设点力到平面P8C的距离为“，则七.力=%T8c=6,即.X；d=6,解得d=7,

3XJ

12

若48与平面P8C所成的角为0,则d_T_12.

sin®=

25

故选：B.

【典例2】（25-26高二上•辽宁•开学考试）如图，在直三棱柱MC-44G中，AC上BC,

（IMG〃平面80；

（2）若平面4CG与平面的交线/,求/与平面c84G所成的角.

【答案】⑴证明见解析

⑵45°

【分析】（1）连接8G,交4。干。点，即证。Q///G，利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）延长用。交//「河，连接CM,则Mw/Qu面qOC,Me力/u面/。。必，又Cw面片。。，Ce

9/78

面4CG4,即证CM〃4G,得乙ICC为/与平面。4G所成的角，即可求/力6。

【详解】(1)连接8G，交8c于。点，

可知四边形8GAe是平行四边形，可得。为8G中点，

又。是48的中点，则OQ///G，又。Ou平面8。。，4G仁平面8c。，

所以月G〃平面48.

(2)

GB\

延长BQ交于历，连接GW,则Mcqou平面4QC,Me/l/u平面4CG4,

又Cw平面片QC,平面力CG4，

则直线CM即为直线/.由力。〃4饵，旦川9=；4与，则4M=，M，

又AAJ/CC]且AA]=CC}t所以AMHCC,且AM=CC.,

则四边形4MCG为平行四边形，故CMIg,

所以,与平面C54G所成的角与4G与平面CBqG所成的角相等，

因为力C_L8C,又CG，平面/BC,/ICu平面/8C,

故NC1CG，乂8C'CCG=C,BC3u平面BCC国,

所以/C_L平面8CG4，

故ZJC.C为4G与平面CBB£所成的角.

因为4C=CG，所以乙4CC=45'.

即/与平面C88c所成的角为45°.

10/78

【变式1】（25-26高三上•河北衡水・月考）如图，在三棱台川5C—44G中，力4，平面46C，AABC是

等腰直角三角形，且48=4。=14=2,G,E,F,。分别是44，AB，AC,的中点.

（1）证明：4。〃平面GE产；

（2）求直线4。与平面ABC所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵及

【分析】（1）连接力。交E厂于点H,连接G”,说明〃为E尸的中点，从而可得G〃〃4。，再杈据线面平行

的判定定理即可得证；

（2）由44tL平面48C,可得4。力为直线4。与平面48C所成的角，再解Rt"4。即可.

【详解】（1）如图，连接［。交加•于点〃，连接GH,

因为瓦尸分别是48,4。的中点,所以EF4BC,

因为。是8c的中点，所以〃为/D的中点，

又因为G是的中点，所以GH//AQ,

MGaupiEGEE4Oa平面GEF,

11/78

所以4。〃平面GE/L

(2)因为44,平面48C,8Cu平面/8C,

则,44_L8C,又AD工BC,AA,^AD=A,力外力0匚平面彳/。,

则8cl平面4/0，又NQu平面4彳)，

所以4。，8。,

所以NAQA为直线4。与平面ABC所成的角，

在等腰直角△力4c中，4B=AC=2,

AA厂

所以力。=&，乂/4=2,所以tan/4D4=T；=&,

AD

即直线4。与平面ABC所成角的上切值为V2.

【变式2】(25-26高二上•上海•月考)图①是由矩形4OE8,Rl△力和菱形3FGC组成的一个平面图形,

其中力4=1,BE=BF=2,NCB尸=60°.将其沿488C折起使得8E与重合，连接/X；,如图②.

(1)证明：OG〃平面48C：

(2)求直线4G与平面48c所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵噜

【分析】(1)法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明；

(2)过G作G〃_LBC交8C的延长线于点〃，连接/〃，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用

边角关系即可求解.

【详解】(1)法-:由题意可知4O//5E,AD=EB,CGUBE、CG=BE,

所以/O//CGAD=CG,

所以四边形力CGO为平行四边形，所以/C//OG,

又4Cu平面NBC,DGv平面XBC,所以。G//平面/8C.

12/78

法二：因为瓦48u平面4BC,平面力BC,所以£0//平面48C,

EGUBC,BCu平面力BC,EG<z平面力8C,所以EG〃平面43C,

EDcEG=E,£Q,£Gu平面EOG,所以平面。EG//平面4BC,

又DGu平面。EG,所以OG//平面4?C：

（2）过G作GH_L8c交BC的延长线广点〃，连接

因为平面48C_L平面8CGE,且交线为8C,GHu平•面BCGE,

所以G〃_L平面/BC,

所以4G在平面7BC内的射影为AH,

所以4G与平面ABC所成的角为/GAH,

因为NC8尸=60。，所以NGC”=60。，

在RtAC〃G中，CH=2cos60o=l,GH=2sin60。=G,

在Rt/X/IB“中，AB=\,8”=1+2=3,所以力〃=屈［=可，

所以tanZGAH=卫=叵,

3题型三求二面角

善i金T茂T届

1、如果能直接过棱［上一点，找到与棱/垂直的两条线，则直接找到了二面角。

2、作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱，垂直的平面，则找出该平面

与a,£的交线即可。若题Fl中有与棱/垂直的直线，如图如果力P与棱/垂直，则可以构造出与棱/垂直的平面,

即可求出二面角的平面角。

3、射影面积法跟补形法都适用「两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，

可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时.，也可以考虑补全图形。

【典例I】（25-26高一下•浙江•开学考试）如图所示，在四棱锥尸中，底面48a>是正方形，PAL

13/78

底面力4CQ,P4=4B=2.过点A作力ELPB于E,作力F_LPC于b,连EF.

（1）证明：EFLPCx

（2）求平面4"与底面川?。。所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证PC1平面力£尸，即

可得证：

（2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解S△阳甲S’”“，即可根据面积之比求解.

【详解】（1）已知0月1底面44c。，8Cu底面44。力，所以4_L8C,

又4B18C,/4c4=4尸4/4u平面尸18,

故BC_L平面

又WEu'F面P48,所以8C14E,

乂AEA.PB,PBCBC=B,PB、BC匚平・面P8C,

所以/E_L平面尸8C,

又PCu平面P3C,则/E_LPC,

又AF上PC,4七口力产二4力旦力少匚平面力"”，

.•.尸CJL平面4E厂,

又EEu平面AEF,「.E尸J.PC,

（2）如图，设点河、尸在底面的投影分别是£、F「

由题意知片、1分别在力以力C上，

由（1）知力E_L平面P8C,EFu平面P8C,则

由于P4=4BMEA.PB,故E是P8的中点，则耳是48的中点，

在△力£/7中，AE上EF,PB=41AB=272,AE=-PB=42,

14/78

PC-^22+（2>/2）2-2>/3,

则所=:PC,故g=1c=迪,

333

在“片片中，g=；4B=l,力用=半，

S"；出=—•AF}•sinNBAC=—xlx冬立x,

22323

记平面AEF与底面月ACO所成角为0,cos。=苓哒=S

SgEF3

【典例2](25-26高二上•四川自贡・期中)如图，正四棱锥P-48C。中，AC(yBD=O,PO=AD=6.点、

E在尸。上，PE:ED=2

(1)证明：。。1平面以。；

(2)求二面角力-0。-。的余弦值;

【答案】(1)证明见解析；

15/78

【分析】⑴应用正四棱锥的几何特征计算边长,应用余弦定理得出力炉+£。=4。2,进而得出

AEA.PD,同理得MICEJ.PD,最后应用线面垂直判定定理证明即可；

（2）应用二面角定义结合（1）得出二面角的平面角为/月上。，最后应用余弦定理计算求解.

【详解】（1）因为四棱锥尸-48C。是正四棱锥，且4（706。=。，

则P01底面ABCD,则P0上BD,

XPO=AD=6t所以8。=&/。=6&・

所以。。=3拉，PD7Po2+0»=3在'

又因为点E在。。上.，PE:ED=2:T,所以EO=逐，

,..—AD,/7

在△月〃？中，cosZP^=2_=4==—>

PD3娓6

&.LADE'|>,AE1=AD2+DE1-2ADxDEcosZPDA=36+6-2x6x76x^=30.

6

所以力后2+£。2=4。2,所以/EJ.尸。，

同理CE_L尸。，AEC\EC=E,AE,ECu平面EAC,

所以「平面以。；

(2)因为CELPD,

所以二面角A-PD-C的平面角为NAEC,

又由(1)知，AE=CE=V30,AC=6>/2,

।,AMAE+EC-AC30+30-2x36-121

所以在A/EC中，cosZAEC=----------------=----,=~==——=一一,

1AEY.EC2x730x730605

所以二面角力-PO-C的余弦值-1•

【变式1】（2026高一下•全国•专题练习）矩形"C。中，44=2/。=2,0为线段0。的中点，将^力。尸

沿力P折起，使得平面力。P_L平面488.在新构造的四棱锥。-48c中，求解以F问题:

D

（1）在。。上是否存在点E使得40〃平面出£?若存在，求出点£的位置.；若不存在，请说明理由;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

【答案】（1）存在，月是线段。上靠近点。的三等分点.

16/78

⑵q3.

CFPF1CFI

【分析】（1）设4c交BP于点、凡可证77T===；；,因此只要三=彳，就有EF//4D,进而可得力。〃

CAPB3CD3

平面PBE；

（2）先证力。180，8Pl平面力。〃，得BPLDP,计算80,从而证明力。1。8,得出NPQ8为二面角

尸-力。-8的平面角，然后由余弦定理计算.

【详解】（1）存在.如图所示：

连接AC,BP,设4c交BP于点汽

\-CP//AB,^.CP=-AB,

2

CFPF1

----=-----=—.

CAPB3

CF1

取DC的三等分点E,使方=4，连接以丁PE,BE,则EF//4D.

又EFu平面PBE,ADN平面PRE,

/力//平面尸8E.

故存在满足条件的点E，且E是线段CO上靠近点C的三等分点.

(2)在矩形48CZ)中，AP=BP=g，48=2,

/.AP2+BP2=AB1，J.APLBP.

又平面力。。1平面48cP,BPu平面4BCP,平面/QPc平面48CP=/P

二6P_L平面0，

•.•00(=平面/。。，/.BPLDP,

；.BD'=DP'+BP'=1+2=3.

在“08中，AB2=AD2+BD2^r.ADIDB,

乂PO_L/。，POu平面4OP,BDu平面4DB,平面/OPc平面力。8=力。，

:./PDB为二面角P-AD-B的平面角,

在Rt△尸。8中，cosZPD^=—=-5==—»

8。百3

17/78

•••工面角P-/O-8的余弦值为YL

3

【变式2】（25-26高二上・贵州毕节・期末）如图，在三棱锥8C0中，平面4平面

上CD,点、E是BC边的中点,连接力=1,8。=6,3。=3.

（1）求证：48_1,平面力。。：

（2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）y

【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知CO1平间/18O,从rfMBIC'。，结合题干//1力。可得证明;

（2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解.

【详解】（1）由题知，平面48OL平面8CO,

乂平面ABDc平面BCD=BD,CDu平面BCD，又CDtBD,

根据面面垂直的性质定理，CO1平面480,

又48u平面48。，则43J.CO,

又44140,4O,COu平面/。力，ADC\CD=D,

根据线面垂直的判定定理，平面ACO

(2)

分别取BD,AD«p点尸,G,连接EF,FG,EG,

由中位线性质可知,FG//AB,又ABtAD,则尸GJ.4。；

由『48_L平面力CO,力Cu平面4CZ）,则力

乂CD工BD,且点6是8。边的中点，

则DE,花分别为直角三角形△BDC,“BC斜边上的中线，

18/78

则=

2

又AG=DG,则£G_L/10,

则/EGF是平面ABD与平面ZOE夹角.

又AD=1,BD=6,BC=3,

可求得CD二遍,AB=Ji,DE=AE=g,EG=^J=&,

由中位线可知G"=旦,EF=星,则G尸尸2=GE,则NGFE=90°,

22

故二面角/EGF的正弦值为竺=立

EG2

再题型四求点到平面距离

善i氯「松福

1、等体积法一将点与平面内三个点构成三棱锥，利用不同底面计算体积相等，反推出点到平面的高。

2、直接作垂线法——在几何体中寻找或构造过该点且垂直于平面的线段，利用几何性质（如线面垂直、面

面垂直）确定垂足位置后计算长度。

【典例I】（25-26高一下•全国•课堂例题）如图所示，已知48是圆。的直径，C为圆上一点，AB=2,

AC=\,。为所在平面外一点，且P/1垂直于圆。所在平面，与平面所成的角为45。.

（1）求证：6。_1平面。力。；

（2）求点A到平面PBC的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵管.

【分析】（1）由•平面/8C,得到尸4J_8C,再结合8C_L4C,即可求证；

（2）过点力作/O_LPC于点。，通过证明4Q1平面P8C,得到力。即为点力到平面P4C的距离，进而

可求解.

【详解】（1）证明：•平面.48。，8Cu平面48C,

19/78

PAA.BC.

•••NB是圆。的直径,C为圆上一点，.•.8C_L/C.

又•.•尸xri4c="，且尸44cu平面尸力c

・•.8C1平面尸力。.

（2）如图所示,过点力作4。_LPC于点。，

•••8C_L平面尸4C,4Qu平面P4C,

BC1AD,

又PCCBC=C,PC,8Cu平面PBC

.•）。_1平面户8。.

：.AD即为点/到平面PBC的距离.

・•・依题意知NPBA为PB与平面ABC所成角,

BPZraj=45°,:.PA=AB=2,AC=\t

可得改=石.

2x12A/5

vAD-PC=PA-AC.:.AD=

即点力到平面P8C的距离为迈.

5

【典例2】（2025•上海虹口•一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点£为PC中点

20/78

（1）若点尸是线段8。上的动点，求证：直线以与直线产力不相交；

（2）若PCJL平面力8CO,AC=BD,EC=\,求点4到平面E8D的距离.

【答案】（1）证明见详解

衅

【分析】（1）先证明"〃平面8DE,然后分析直线E厂与直线交点情况即可证明;

（2）利用等体枳法求解即可.

【详解】（1）连接4c交8。于点O,连接0E,

如图所示：

因为四边形力8co为菱形，所以。为4C的中点，

所以在AP/C中有，由。/分别是力CPC的中点,

所以PA//0E,

又OEu平面BDE,以（Z平面30E,

所以尸4//平面8OE,

又因为E/u平面8QE,

所以直线EF与直线EF没有公共点，

即直线即与直线"'不相交.

（2）因为PCJL平面488,点E为尸。中点，

所以EC1平面力5c0即EC1平面力8。，

所以EC为三棱锥E—48。的高，且EC=1,

因为四边形力BCD为菱形，且力C=8。，

所以菱形4BCO为边长是2正方形，

所以S*BL；X2X2=2,

且,4C=N4=2&,即=

21/78

又BEMDENEC'BC?=J『+22=逐,

在RtAOCE中,OE=y]EC2+OC2==JJ,

即为AOBE的高，

所以S,DBE=gx2母X^=瓜,

设点A到平面EBD的距离为方，

由等体积法得：VE_ABD=VA_EBD,

BP^x2xl=lxV6x/z,

解得：h=^~>

3

所以点力到平面EBD的距离为也.

3

【变式1]（25-26高二上•江西景德镇•期中）如图，在四棱锥中，S4J•平面

ABCD,AB±AD,AD/IBC,AB=BC=\,AD=AS=2,M为SD的中点.

D

（1）求证：平面S/4：

（2）求证：CO_L平面S/C；

（3）求点M到平面SAC的距离.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析；

【分析】（I）取S4中点E,连接证明四边形8CME是平行四边形即可证明结论:

（2）证明4C_LC。，$4_LCQ即可证明结论；

（3）利用等体积法求解即可；

【详解】（1）证明：取S力中点£,连接

22/78

为SO的中点,

:.MEf/AD,ME=-AD,

2

•:ADUBC,AD=2,BC=\,

：.MEHBC,ME=BC,

・••匹边形8cM£•是平行四边形，即CM"BE,

vCM<Z平面SAB,ME(Z平面SAB,

.-.MC/Z平面S48

D

(2)证明：1平面力,CDu平面48cO,

.•.S4_LCQ

-ABLAD,AD/IBC,AB=BC=\,AD=2,

:AC=CD=E，

-AC2+CD2=AD2,BPAC1CD

-ACnAS=A,ACu平面ACS,4Su平面4cs\

.•.。。_1_平面力。5,

(3)解：设点M到平面4c的距离为人,

'.AD//BC,/Ou平面力CS,8Cu平面4CS,

.•.8C〃平面4CS,

.v-V-v

•'rM-ACS-vC-AMS~'B-AMS

•・••・•SR_L平面ABCD,48u平面ABCD,

SA±AB

-ABLAD,ASr\AD=A,4Su平面4)S,4)u平面力OS,

AB_L平面ADS,

23/78

11cr,

,：S.CS=；ASAC二五'S.心w=gs“/二—x—x2x2=1,

22

—M-ACS=5xghVc-AMS=%,牍=§x1X1,

：』=旦,即点M到平面WC的距离为*

22

【变式2】（25-26高二上•江苏南京•期中）如图，在四棱锥P-48c。中，底面48C。为平行四边形,

1。=2/8=4,G为PD中点,点£,歹在线段8c上，BE=CF=1.

（2）若H4_L平面川且21=2,AEA.BC,求点力到平面EFG的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵小

2

【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证;

（2）作于H,证明加/即为点面距离，再由直角三角形求解即可.

【详解】（1）取P/的中点A/,连结

因为G是尸。中点,所以A/G//4D,且MG=g/l。.

因为四边形48。为平行四边形，所以£/7加。，

又因为XO=4,8E=C产=1,所以稗=2=,/。，

2

所以EFHMG,EF=MG,因此四边形EFGM为平行四边形,

所以尸G〃EM.

乂因为人7<Z平面PAE,EMu平面PAE,所以产G〃平面PAE.

24/78

（2）作47_L£M于〃，由（1）知平面EFG即为平面EFGM,

因为尸4_L平面/BCO,8Cu平面48CO,所以产力_18c.

又因为4E_LBC,PAr\AE=A,所以8cl平面P/E.

因为加/u平面口£,所以

又因为力〃_LEN,BCC\EM=E,BC,EMu平面EFGM,所以4H_L平面EFGM,

所以4”即为点A到平面EFG的距离。

因为产力JL平面48CQ,4Eu平面43。。，所以4_L4£

/Rt△/EM中，AE-AB~—BE2—也,AM=—PA=1,

2

所以EM={AE?+AM?=2，

再题型五求体积问题

话jMi藉］编

:1、直接公式法——根据几何体类型（柱、锥、台、球）选择相应公式，关键是找准底面积和高。

"、等体积法：当直接求高困难时，通过三棱锥顶点轮换，利用体积相等反推高或底面积，常用于点到平面

;距离问题。

:3、割补法：将不规则几何体分割成几个规则体求和，或补形成规则体后作差，适用于组合体或空心几何体。

：4、比例法：利用相似比（体积比等于相似比的立方）或等高（底）关系，由已知体积快速求未知体积，无

;需具体计算。

【典例1】（2026高一下•全国,专题练习）如图，三棱柱川5C-44G的底面是边长为3的正三角形，侧棱

阳垂直于底面48C,AA、=空,。是C8延长线上一点，且BD=BC.

2

25/78

A4

⑴求证：直线8CJ/平面力用，

(2)求二面角片--8的大小；

⑶求三棱锥G-4的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)60°

27

⑶了

【分析】(1)先证明四边形是平行四边形，得"CJ/Q4,再由线面平行的判定定理即可证明；

(2)过3作3E_LN。于E,连接后4,利用三垂线定理证明8gJ_4。，即得/片£3是二面角片一力。一4

的平面角，借助于RtzxsqE即可求得二面角的大小；

(3)过/作于/，利用8q_L平面48C证明平面88CC_L平面力8C,再由面面垂直的性质可得

力尸，平面即得彳尸为点4到平面的距离，利用棱锥体积公式II算即得.

【详解】(I)因为C8//C4,且BO=8C=4G，

所以四边形BO4G是平行四边形，可得BCJ/DB-

乂用。u平面ABfl.BC,u平面ABQ,所以直线BCJ1平面ABQ.

(2)过8作8£_L4O于E,连接E4，

因为平面，所以BE是在平面ABD内的射影，

结合BELAD,可得4EL4D,

所以/B\EB是二面角B,-AD-B的平面角.

因为所以上是功的中点,

26/78

得到回是三角形，。的中位线，所以8八品。弓

DD

在RtZ\84E中，tanZ^,£1^=-^=-2—=V3,

BE上

2

所以=60°,即二面角B「AD—B的大小为60°.

(3)过力作力尸_Z3C于/，因为平面ABC,

BB、u平面BBgC,所以平面BB£C_L平面ABC,

因为力//8C,平面48℃「|平面48C=8C,

所以4F_L平面BB©C,即AF为点A到平面BB£C的距离.

因为正三角形4