分层随机抽样与获取数据的途径

9.1.2分层随机抽样

9.1.3获取数据的途径

【学习目标】1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围2了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样

本量比例分配的方法3结合具体实例，掌握分层随机抽样的样不平均数.4.知道并能设计获取数据的基本途

径.

一、分层随机抽样的定义

问题1某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，

进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.

(1)上述问题中样本总体有什么特征？

(2)若采用抽签法会出现什么结果？

(3)为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？

知识梳理

1.分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一

个子总体，在每个子总体中进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本

作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为.

2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成,那么称这种样本量

的分配方式为比例分配.

3.分层随机抽样的特点：

⑴从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.

(2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为〃的样本时，在

整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于:

(3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取

的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.

例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上

级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()

A.抽签法B.随机数法

C.简单随机抽样D.分层随机抽样

(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，

所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行()

A.每层等可能抽样

B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样

D.所有层抽取的个体数量相同

反思感悟使用分层随机抽样的前提

分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，

而层内个体间差异较小.

跟踪训练1某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种

野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有

的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为「让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物

数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.普查B.分层随机抽样

C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法

二、分层随机抽样的应用

比例分配的分层随机抽样的实施步骤：

第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）；

第二步，计算各层所占比例.所占比例二;

第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数=;

第四步，按简单随机抽样从各层抽取样木；

第五步，综合每层抽样，组成样本.

例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以

_L的芍95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职

工年龄与这项指标有关，用比例分配的分层随机抽样应该怎样抽取？

反思感悟在比例分配的分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求

各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本量与总体容量之比.

跟踪训练2交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、

丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为M其中甲社区有驾驶

员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶

员的总人数7为（）

A.101B.808

C.1212D.2012

三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数

问题2在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和M抽取的样

本量分别为阳和小我们用X”X4…,X”表示第1层各个个体的变量值，用X|,X2，…，均表示笫1层

样本的各个个体的变量值；用匕，丫2,…，七表示第2层各个个体的变量值，用6,为表示第2

层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数灭和样本平均数5与第2层的总体平均数亍和样本平均

数歹，该如何计算？

知识梳理

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和M抽取的样本量

分别为〃?和〃，第1层和第2层的样本平均数分别为土，歹，第1层和第2层的总体平均数分别为取

巴总体平均数为丽样本平均数为何则谛=总府搐;已记=.因此，在比例分

M+NM+N

配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数记估计总体平均数W.

例3高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法,

得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.

⑴如果张华按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样木，总样本量为100,那么在男牛.、女生中分别

抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高；

(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,那么在这种情况下，如何估计高二年级全

体学生的平均身高更合理？

反思感悟进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系如下：

1)样本量二该层抽取的个体数.

(,总体容量一该层的个体载;

(2)总沐中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比；

⑶样本的平均数和各层的样本平均数的关系为记=焉元+高歹瑞二忌负

跟踪训练3某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均数,

用比例分配的分层随机抽样方法，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成

绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体学生数学成绩的平均分为()

A.110分B.125分

C.95分D.105分

四、获取数据的基本途径

问题3我们日常中有哪些获取数据的方法和途径呢？

知识梳理获取数据的基本途径

获取数据的基本途径适用类型注意问题

要充分有效地利用背景信息选择或

对于________总体问题，一般通过

通过调查获取数据创建更好的抽样方法，并有效避免

抽样调查或普查的方法获取数据

抽样过程中的人为错误

严格控制试验环境，通过精心的设

通过试验获取数据没有________数据可以查询

计安排试验，以提高数据质量

借助专业测量设备通过长久的持续

通过观察获取数据自然现象

观察获取数据

众多专家研尢过，其收集的数据有必须根据问题背景知识“清洗数

通过查询获得数据

所存储据，去伪存真

例4(1)粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非

常巨大的.某次降雨之后该地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取

这些数据的途径是()

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据

(2)为了研究近年来我国高等教育发展的状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，

他获取这些数据的途径最好是()

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据

反思感悟选择获取数据的途径的依据

选择获取数据的途径主要是根据所要麻究问题的类型，以及获取数据的难易程度4的数据可以为多种获取

途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性.

跟踪训练4(1)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five-hundred-melerAperlureSpherical

radioTelescope,简称“FAST'),是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.

建造“中国天眼”的目的是()

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据

(2)要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是()

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据

五、获取途径的方法的设计

例5为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车出行的政策，为此要进行民意调查.某

个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调直结果能很好地反映该市市民的意愿吗？

说明理由.

反思感悟在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对

象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统

计推断.

跟踪训练5某公司想调查一下本公司员工对某项规章制度的意见，由于本公司车间工人工作任务繁

重，负责该项事务的公司办公室人员向本公司的50名中层及以上领导干部派发了问卷，统计后便得到

了调查意见，公司办公室人员获得数据的途径是什么？你认为该调查结果具有代表性吗？为什么？

■课堂小结国

1.知识清单：

⑴分层随机抽样的定义.

(2)分层随机抽样的应用.

(3)用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数.

(4)获取数据的基本途径.

(5)获取数据途径的方法的设计.

2.方法归纳：(1)数据分析法.

(2)获取数据有四种基本途径：①调查；②试脸；③观察；④查询.

3.常见误区：(1)在分层随机抽样中，要想每个个体被抽到的可能性相等，需进行比例分配.

(2)对获取数据的背景缺乏了解，采用不合适的方法获取数据.

—随堂演练

I.影响获取数据可靠程度的因素不包括()

A.获取数据方法的设计

B.所用专业测量设备的精度

C.调查人员的认真程度

D.数据的大小

2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品

质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为〃的样本进行调查，其中

从丙车间的产品中抽取了3件，则〃等于()

A.9B.10

C.12D.13

3.(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲就读高一，乙就

读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有()

A.应该采用分层随机抽样

B.若用比例分配的分层随机抽样，则高一、高二年级应分别抽取10。人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力

4.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学

生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和

106分，则该组合学生的平均成绩约为分.

答案精析

问题I(1)此总体包含小学生、初中生、高中生三个群体，在年龄、体质等方面存在着明显的差异.

(2)抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.

⑶有，可分不同群体抽取.

知识梳理

1.独立地合在一起层

2.比例

例1(1)D(2)C

跟踪训练1B[因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层随机

抽样.]

知识梳理

各层总的个体数

总样本量X各层所占比例

总体中的个体数

例2解用比例分配的分层随机抽样法来抽取样本，步骤如下:

(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.

抽样比为黑3，则在不到35岁的职工中抽取125X3=25(人)；

OvUD*5

在35岁至49岁的职工中抽取

280xi=56(A);

在50岁及50岁以上的职工中抽取

95X：=19(人).

(3)在各层中分别按简单随机抽样的方法抽取样本.

(4)汇总每层抽取的样本，组