2026华东师大版九年级数学上册第21章《一元二次方程》教案

第21章一元二次方程

21.1认识一元二次方程

【教学目标】

1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.

2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.

3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程

是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识.

【教学过程】

一、情境导入

参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述

条件的方程，并判断方程是什么类型？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】一兀二次方程的识别

@1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（)

A.X2H-——1B.3x2—2xy—5y2—0

X乙

C.（X—1）（X—2）=3D.ax2+bx+c=0

解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2

个未知数，所以它不是一元二次方程；当a=0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元

二次方程，排除A、B、D,故选C.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程

的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述

三个条件必须同时满足，缺一不可.

【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数

m关于x的方程出+1川1<-1|+kx+i=o是一元二次方程，则k的值为________.

|k-l|=2,

解析:由题意得

k+IWO,

k=3或k=­1,

kN—1.

.•・k=3.

方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2,构造方程，解出字母

取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值.

探究点二：一元二次方程的一般形式

现3将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常

数项.

(1)3x2—2=5x；

(2)9x2=16；

(3)2x(3x+l)=17；

1

(4)(3x-5)(x+l)=7x~2.

解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称.

解：(1)方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,二次项系数是3,一次项系数是一5,常数项是

-2.

(2)方程化为一般形式为9x2-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是一16.

(3)方程化为一般形式为6x2+2x—17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是一17.

(4)方程化为一般形式为3x2—9x—3=0,二次项系数是3,一次项系数是一9,常数项是一3.

方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意

确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.

探究点三：列一元二次方程

的II在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是

2m,宽是1.4m,求花边的宽度.请根据题意列出方程.

：：1.4m

2m

解析：设花边的宽度为xm,则由图可知剩下部分的长为(2—2x)m,剩下部分的宽为(1.4—2x)m.

丁剩下部分面积为1.6m2,・••可列方程(2—2x)(L4-2x)=L6.

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，往确地找出已

知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程.

探究点四：一兀二次方程的解

【类型一】判断一元二次方程的解

画❺方程x2—2x=0的解为()

A.xl=l,x2=2B.xl=0,x2=l

1

C.xl=0,x2=2D.xl=5，x2=2

解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的xl=0,x2=2都能

使方程x2-2x=0的左右两边相等，所以选C.

方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右

两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.

【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值

的❻已知1是关于x的一元二次方程(m—Dx2+x+l=0的一个根，则m的值是()

A.1B.-1

C.OD.无法确定

解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所

以二次项系数不能等于0.由此得，(用-1)+1+1=0,解得m=-1,此时m—1=—2K0,・・.m=

一1.故选B.

方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们

一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.

［板书设计］

一建一元一次方程模型人/t二系数和帝数项,

I相关概念卜一元一次方程

I一般形式卜—「解的概念］

2

21.2一元二次方程的解法

1.直接开平方法和因式分解法

第1课时直接开平方法

【教学目标】

1.学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

2.运用开平方法解形如(x+m)2=n的方程.

3.体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣.

【教学过程】

一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x,根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎

样的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究点：直接开平方法

【类型一】用直接开平方法解一元二次方程

砸I运用升平方法解卜列方程：

(l)4x2=9；

(2)(x+3)2-2=0.

解析：(1)先把方程化为x2=a(a20)的形式；(2)原方程可变形为(x+3)2=2,则x+3是2

的平方根，从而可以运用开平方法求解.

QQQ

解：(1)由4x2=9,得x2=],两边直接开平方，得*=±5,.•.原方程的解是xl=5,x2=-

3

2,

移项，得(x+3)2=2.两边直接开平方，得x+3=±啦..官+3=，^或x+3=一镜..,•原方

程的解是xl=m—3,x2=

-^2-3.

方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元

一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2=a(a20)的方程，根

据平方根的定义，可解得xl=/,X2=-#L.

【类型二】直接开平方法的应用

硼3若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m—4,则口=.

a

解析：•.•ax2=b,.,.方程的两个根互为相反数，.二111+1+201—4=0,解得m=

3

1,，一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2,・；、户=2,・・・3=4,故答案为4.

aa

【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用

襦1若一元二次方程(a+2)x2—ax+a2—4=0的一个根为0,则a=.

解析：•.,一元二次方程(a+2)x2—ax+a2—4=0的一个根为O.•・a+2#0且a2—4=0,：・a

=2.故答案为2.

【类型四】直接开平方法的实际应用

侬14有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两

个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？

分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算.

解：设新正方形的边长为Kcm,根据题意得x2=112+13X8,即x2=225,解得x=±15.因

为边长为正，所以x=-15不合题意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的边长应为15cm.

方法总结：在解决与平方杈有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，

把平方根中不符合实际情况的负值舍去.

【板书设计】

第2课时因式分解法

【教学目标】

1.认识用因式分解法解方程的依据.

2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

【教学过程】

一、情境导入

我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x—1)=0时，可转化为两个一元

一次方程x+1=0或x-l=0来解，你能求出(x+3)(x-5)=0的解吗？

二、合作探究

探究点一：用因式分解法解一元二次方程

【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程

的II用因式分解法解下列方程：

(1)x2+5x=0；

(2)(x—5)(x—6)=x—5.

解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法.

解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,.•.x=0或x+5=0,・••原方程的解为xl=0,x2=-5；

(2)原方程转化为(X—5)(X—6)—(X—5)=0,/.(X—5)[(x—6)—1]=0,(x—5)(x—7)=0.

；・x—5=0或x—7=0,，原方程的解为xl=5,x2=7.

【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程

4

例a用因式分解法解下列方程：

(1)x2—6x=-9；

(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.

解：⑴原方程可变形为：x2—6x+9=0,则(x—3)2=0,・・・x—3=0,因此原方程的解为:

xl=x2=3.

(2)[2(x—3)]2—[5(x—2)]2=0,[2(x—3)+5(x—2)][2(x—3)—5(x—2)]=0,(7x—16)(一

164

3x+4)=0,・・.7x—16=0或-3x+4=0,二原方程的解为xl=方，x2=-

方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的

左边分解为两个一次因式的乘枳；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这

两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

探究点二：用因式分解法解决问题

醐3.若a、b、c为aABC的三边，且a,b,c满足a2—ac-ab+bc=0,试判断AABC的形状.

解析：先分解因式，确定a,b,c的关系，再判断三角形的形状.

解：Va2—ac—ab+bc=0,/.(a—b)(a—c)=0,.♦.a—b=0或a—c=0,.*.a=ca=b,

•・.△ABC为等腰三角形.

【板书设计】

2.配方法

【教学目标】

1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题.

【教学过程】

一、情境导入

7/

李老师让学生解一元二次方程x2—6x—5=0,同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下,

在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这

个方程的解吗？

二、合作探究

探究点：配方法

【类型一】配方

砸1用配方法解一元二次方程x2—4x=5时，此方程可变形为()

A.(x+2)2=l

B.(x-2)2=l

C.(x+2)2=9

5

D.(x—2)2=9

解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一

半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可.因为x2—4x=5,所以x2-4x

+4=5+4,所以(x—2)2=9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程

的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一

半的平方.

【类型二】利用配方法解一元二次方程

用配方法解方程：x2-4x+l=0.

解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数

一半的平方，把方程配成(x+m)2=n(nN0)的形式再用直接开平方法求解.

解:移项，得x2-4x=-l.配方,得x2—4x+(—2)2=—1+(—2)2.即(x-2)2=3.解这个

方程，得x一2=±V5.・・・xl=2+/,x2=2—4.

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需

的形式.

【类型三】用配方解决求值问题

砸1已知：x2+4x+y2—6y+13=0,求上的值.

A，.IVZJ

解：原方程可化为(x+2)2+(y-3)2=0,・・・(x+2)2=0且(y-3)2=0,・・・x=-2且y=3,

-2—68

，原式=

13

【类型四】用配方解决证明问题

m(1)用配方法证明2x2—4x+7的值恒大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.

证明：(1)2X2-4X+7=2(X2-2X)+7=2(X2-2X+1-1)+7=2(X-1)2-2+7=2(X-1)2

+5.・・・2(x-l)220,・・・2(x—1)2+525,即2x2—4x+7N5,故2x2—4x+7的值恒大于零.

⑵x2—2x+3；2x2—2x+5；3x2+6x+8等.

【类型五】配方法与不等式知识的综合应用

硝证明关于x的方程(m2—8ni+17)x2+2mx+l=0不论m为何值时，都是一元二次方程.

解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2—8m+

17的值不等于0.

证明：:二次项系数m2—8m+17=m2—8m+16+1=(m—4)2+1,又:(m—4)220,/.(m—

4)2+1>0,即m2—8m+17>0.，不论m为何值时，原方程都是一元二次方程.

【板书设计】

3.公式法

【教学目标】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

6

2.会用公式法解一元二次方程.(重点)

【教学过程】

一、情景导入

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0),你能否用配方法的步骤求出它们

的两根？请同学独立完成下面这个问题.

-b+db2-4ac

问题：已知ax2+bx+c=0(aW0),且b2—4ac20,试推导它的两个根xl=

2a

-b-{b2—4ac

2a

二、合作探究

探究点一：用公式法解一元二次方程

Bi方程3x2-8=7x化为一般形式是其中a=,b=，c=

，方程的根为.

解析：将方程移项可化为3x2—7x—8=0.其中a=3,b=—7,c=-8,因为匕2—4ac=(一

7)2-4X3X(-8)=145>0,代入求根公式可得x=,土产.

故答案分别为3x2-7x-8=0,3,-7,一8,正当&

6

方法总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要

确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.

加用公式法解下列方程：

(1)-3x2—5x+2=0;(2)2x24-3x4-3=0；

(3)x2—2x+1=0.

解析：先确定a,b,c及b2-4ac的值，再代入公式求解即可.

解：(D—3x2—5x+2=0,3x2+5x—2=0.

Va=3,b=5,c=­2,

・・・b2—4ac=52—4X3X(-2)=49>0,

._一5士砺_一5±7

,・x=2X3=-6—，

1

/.xl=-,x2=—2；

o

(2)Va=2,b=3,c=3,

Ab2-4ac=32-4X2X3=9-24=

—15VO,

・・・原方程没有实数根；

(3)'.'a=1,b=—2,c=1,

Z.b2-4ac=(-2)2-4XIX1=0,

・_2±V6_2±0

•，x=2X1="2",

，x1=x2=1.

方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,

7

c的值，再求出b2-4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数

根).

【类型二】一元二次方程解法的综合运用

砸1三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x2—10x+21=0的解，则第三边的长为()

A.7B.3

C.7或3D.无法确定

解析：解一元二次方程x2—10x+21=0,得xl=3,x2=7.根据三角形三边的关系，第三边

还应满足4<x<8.所以第三边的长x=7.故选A.

方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍.

【板书设计】

4.一元二次方程根的判别式

【教学目标】

1.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次

方程根的情况；(重点、难点)

2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,

提高观察、分析、归纳的能力.

【教学过程】

一、情境导入

f

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突

然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

的O不解方程，判断下列方程的根的情况.

(l)2x2+3x-4=0；

(2)x2—x+：=0；

(3)x2—x+1=0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2—4ac20时，方程才有实数根，而b2—4ac<0时，

方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况.

解：(l)2x2+3x-4=0.a=2,h=3,c=—4,...b2-4ac=32—4X2X(—4)=41>0.,••方

程有两个不相等的实数根.

8

(2)x2—xl；=O,a=1,b=—1,c=；..,・b2—4ac=(—1)2—4X1X；=0..,•方程有两个相等

的实数根.

(3)x2—x+l=O,a=l,b=-l,c=l..・.b2-4ac=(-1)2—4X1X1=-3<0.・•.方程没有

实数根.

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2-4ac的值的符号来判断方程根的情

况.当b2—4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2—4ac=0时，一元二次方程有

两个相等的实数根；当b2—4acV0时，一元二次方程无实数根.

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

画❷已知关于x的一元二次方程(a—1)x2—2x十1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范

围是()

A.a>2B.a<2

C.a<2且aWlD.a<-2

解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,得到一个不等式，再由二

次项系数不为0知a—1不为0.即4-4(@-1)>0且a—IWO,解得aV2且aWl.选C.

方法总结：若方程有实数根，则b2—4ac20.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，

二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题.

【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合

砸1已知a,b,c分别是AABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2+(b2+c2—a2)x+c2

=0没有实数根.

解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式△<()即可.由a,b,c是三角形

三条边的长可知a,b,c都是正数.由三角形的三边关系可知a+b>c,a+c>b,b+c>a.

证明：Tb为三角形一边的长，・・・b#0,・・・b2W0,・・・b2x2+(b2+c2—a2)x+c2=0是关于x

的一,元二次方程.・，・△—(b2+c2—a2)2—4b2c2=(b2+c2—a2+2bc)(b2+c2—a2—2bc)—[(b+

c)2-a2][(b-c)2—a2]=(b+c+a)(b+c-a)(b—c+a)(b-c-a)=(a+b+c)[(b+c)—a][(a

+b)—c][b—(a+c)].Va,c是三角形三条边的长，.'aX),b>0,c>0,且a+b+c>0,a+b>c,

b+c>a,a+c>b./.(b+c)—a>9,(a+b)—c>0,b—(a+c)<0,/.(a+b+c)[(b+c)—a][(a+b)

-c][b-(a+c)]<0,即△<()....原方程没有实数根.

方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子,

再结合三边关系确定△符号.

【类型四】利用根的判别式解决存在性问题

m是否存在这样的非负整数口，使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-l)x+1=0有两个不

相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.

解:不存在，理由如下：

假设m2x2—(2m—l)x+l=0有两个不相等的实数根，则[一(2小-1)]2—4m2>0,解得水；.丁

m为非负整数，.・.m=0.

而当m=0时，原方程m2x2一⑵n—l)x+l=0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛

盾

・•・不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.

易错提醒：在求出m=0后，常常会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数，而忽略了二

次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面.

【板书设计】

9

利用根的判别式

一元二次方程根的判-/>

解决存:在性问题

别式与三角语区综合厂Y

5.一元二次方程的根与系数的关系

【教学目标】

1.探索一元二次方程的根与系数的关系.

2.会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.

【教学过程】

一、情境导入

一般地，对于关于x的方程x2+px+q=0（p,q为已知常数，p2—4q，0）,试用求根公式求

出它的两个解xl、x2,算一算xl+x2、xl-x2的值，你能得出什么结果？

二、合作探究

探究点：•元二次方程根与系数的关系

【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值

砸I已知m、n是方程2x2—x—2=0的两实数根，则的值为（）

mn

11

A.-1B-C.--D.1

乙乙

解析：根据根与系数的关系，可以求出m+n和n】n的值，再将原代数式变形后，整体代入计

1

।[]n-4-mD

算即可.因为m、n是方程2x2—x—2=0的两实数根，所以m+n=j,mn=-1,一+-=——==;

2mnmn—1

=—故选C.

方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数

根时，判别式大于或等于0.

【类型二】根据方程的根确定一元二次方程

已知一元二次方程的两根分别是4和一5,则这个一元二次方程是（）

A.x2—6x+8=0B.x2+9x—1—0

C.x2-x-6=0D.x2+x—20=0

解析：・・•方程的两根分别是4和一5,设两根为xl,:《2,则xl+x2=-l,xl-x2=-20.如

果令方程ax2+bx+c=0中，a=1,则一b=-1>c=—20.；・方程为x2+x—20=0.故选D.

方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系确定

一元二次方程一次项系数和常数项.

【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解

所已知x=4是一元二次方程x2—3x+c=0的一个根，则另一个根为.

解析：设另一根为xl,则由根与系数的关系得xl+4=3,・・.xl=-1.故答案为x=-L

方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决.

【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数

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硒1关于X的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是()

A.—1或5B.1

C.5D.-1

解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关

系解决•设方程两根为xl,x2,由题意，得x2+x2=5./.(xl+x2)2—2xlx2=5.VxH-x2=a,xlx2

=2a,，a2—2X2a=5.解得al=5,a2=-1.又T△=a2—8a,当a=5时，A<0,此时方程无

实数根，所以舍去a=5.当a=-1时，A>0,此时方程有两实数根.所以取a=-1.故选D.

方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，

从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件A20,导致解

答不全面.

【类型五】一元二次方程杈与系数的关系和根的情况的综合应用

的时已知xl、x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.

(1)是否存在实数a,使一xl+xlx2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说

明理由；

(2)求使(xl+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.

解：(1)根据题意,得A=(2@)2-4*@(a一6)=24@20.解得220.又,・二一6/。，・・・@工6.由

Ooa

根与系数关系得：x-x2=-七，xlx2=3.由一xl+xlx2=4+x2得xl+x2+4=xlx2,

一—7+4=，"，解得a=24.经检验a=24是方程一七+4=—的解.即存在a=24,使一xl

a—6a—6a—6a—6

+xlx2=4+x2成立.

2aa6

(2)原式=xl+x2+xlx2+l-----~+1为负整数，则6—a为一1或一2,—3,

a—6a—66—a

—6.解得a=7或8,9,12.

【板书设计】

21.3实践与探索

第1课时图形变换和面积问题

【教学目标】

1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.

2.继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题.

3.通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.

【教学过程】

一、情境导入

11

如图，在长为10cm,宽为3cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形

(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗？

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决图形面积问题

【类型一】利用面积构造一元二次方程模型

的O用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,

则根据题意可列出关于x的方程为()

A.x(5+x)=6B.x(5—x)=6

C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5—x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方

程得：x(5—x)=6,故选择B.

方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列

出方程.

由现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方

形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.

解析：设小止方形的边长为xcm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再

根据面积，即可建立等量关系，列出方程.

解：设小正方形的边长为xcm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80—2x)cm,宽是(60—

2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80—2x)(60—2x)=

1500,整理得x2—70x+825=0,解得xl=55,x2=15.又60—2x>0,，x=55(舍).，小正方形

的边长为15cm.

方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息、，通过图形求出面积，解题的

关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.

【类型二】整体法构造一元二次方程模型

砸1如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道

路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽

为x米，根据题意可列出的方程为.

解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22

—x)米，宽为(17—x)米,根据草坪的面积为300平方米可列出方程(为一x)(17—x)=300.

解法二：根据面积的和差可列方程：22X17-22x-17x+x2=300.

方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立

方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.

【类型三】利用一元二次方程解决动点问题

硒1如图所示，在△ABC中，NC=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点

C以lem/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2c.ni/s的速度移动.

(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使4PCQ的面积为8平方厘米？

(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得4PCQ的面积等于aABC的面积的一半.

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若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求

解.

解：(1)设xs后,可使APCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6—x)cm,CQ=2xcm.则根

据题意，得:•(6—x)•2x=8.整理，得x2—6x+8=0,解这个方程，得xl=2,x2=4.所以P、

Q同时出发，2s或4s后可使aPCQ的面积为8cm2.

设点P出发x秒后，APCQ的面积等于aABC面积的一半.则根据题意，得；(6—x)・2x=1x|

乙乙乙

X6X8.整理，得x2—6x+12=0.由于此方程没有实数根，所以不存在使4PCQ的面积等于AABC

面积一半的时刻.

【板书设计】

第2课时平均变化率、销售问题

【教学目标】

1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.

2.会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题.

【教学过程】

一、情境导入

月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增

加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决增长率问题

【类型一】增长率问题

的II某丁厂一种产品2027年的产量是100万件，计划2029年产量达到121万件.假设2027

年到2029年这种产品产量的年增长率相同.

(1)求2027年到2029年这种产品产量的年增长率；

13

(2)2028年这种产品的产量应达到多少万件？

解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入

2028年产量的表达式即可解决.

解:(D设这种产品产量的年增长率为x,根据题意列方程得100(l+x)2=121,解得xl=0.1,

x2=-2.1(舍去).

答：这种产品产量的年增长率为10%.

(2)100X(1+10%)=110(万件).

答：2028年这种产品的产量应达到110万件.

方法总结：增长率问题中可以设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n,则增长后的结

果为a(l+x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(l-x)n.

网❷某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万