2026年江苏省南京市高考数学二模试卷（带答案解析）

2026年江苏省南京市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.（5分）已知复数z满足（2・i）z=3+i,则团=（）

A.5V2B.2C.V2D.I

2.（5分）抛物线的焦点为立准线为/,则/到/的距离为（）

11

A.-B.-C.ID.2

42

3.（5分）（x-i）6的展开式中的常数项是（）

A.-20B.-15C.15D.20

4.（5分）已知N均为R的子集，且（CRN）CIM=0,则MUN=（）

A.NB.MC.0D.R

5.（5分）已知圆C：（X・3）2+』=9,直线/过点尸（1,1）,当/被。截得的弦长最短时，直线/的方程

为（）

A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.x-2y+\=0D.x+2y-3=0

6.（5分）已知sina+2cosa=遥，则tana=（）

1

A.2B.1C.0D.-

2

7.：5分）曲线y=2在x=〃（〃6N*）处的切线为/〃，分别记，〃在轴上的截距为x,nyn,则2慧（工/％+i+

修+1•乃）=（）

3n-l3n+2

A.------B.

nn+l

2-2十九一12n24-3n

C.D.

nn+l

x2y2

8.（5分）在平面直角坐标系xQ，中，椭圆C：7+后=1（a>b>0）,若。上存在两点力，B,使。4_1_

OB,且04=6。氏则C的离心率的取值范围是（）

A.（0,停］B.［坐,1）C.（0,再D.皑1）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，金部

选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知a>0,h>0,且。#1,Iogo6<l,则下列不等式可能成立的是（）

A.\<a<bB.\<b<aC.a<\<bD.h<a<\

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XX1

，一，则（）

（-/（x-1）,X>1,

A./（2）=1

B.Vx>0,/（x+2）=/（x）

C.f（x）在（7,8）上单调递减

D./（x）有且仅有1个零点

（多选）11.（6分）在三棱锥尸-48C中，48=2,乙4PB=乙4c8=半产C_L平面力BC,则（）

4V3

A.△力8c外接圆直径为二一

B.。2+c力2+。辟=竽

C.当PC=1时，三棱锥P-48C的体积取得最大值

D.三棱锥P-月6C的外接球半径的取值范围是（竽，弊）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）将函数y=2sE（%+勤的图象向左平移火OVRV?）个单位，得到的图象关于轴时称，则年

13.（5分）已知平行六面体力力山的底面是边长为2的正方形，动点A/满足我=

yAD,X,ye[O,1],且aw〃平面力山。，则M的轨迹长度为.

14.（5分）已知函数/（%）=炉+36%2+也穴瓶£R）有两个极值点xi，X2，且（xi）-xi|=J/'（X2）-阉，

则ni=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知数列｛斯｝的各项均为正数，S”为｛斯｝的前〃项和,且0n2,s”，即成等差数列.

（1）求｛。〃｝的通项公式；

（2）设以二0/6>，求数列｛为｝的前〃项和7“.

16.（15分）已知函数/（%）=w，aER.

（1）讨论/«）的单调性；

1

（2）当。>0时，证明/'（%）〈鼻2

17.（15分）如图I,在平面四边形/8C。中，AB=V5,BC=3,CD=6,DA=A四,N4CO=*.

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(1)求NCD4

T1TT1T

（2）点E,尸满足：DE=^DC,DF=jDA,如图2,将△。勿'沿麻折至使得二面角尸・£/

・C为直二面角，连接必，PB,PC.求直线尸。与平面均8所成角的正弦值.

线互相垂直.

（I）求C的方程;

（2）直线人依次交。的左支、x轴、右支于P,T,0三点，经过点T且垂直于人的直线/2与。有且

仅有一个公共点M,点N与M关于原点。对称，直线NP,N。分别交x轴于4B两点.

证明：

@M,7两点的横坐标之积为定值：

②四边形/WBN是平行四边形.

19.（17分）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中

摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直

至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第•次摸球从甲开始，记尸〃为第〃次摸球后游戏结束的概率.

（1）求P1，02；

（2）求匕；

（3）若摸球2〃次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量、2〃，证明：E（X2n）<|.

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2026年江苏省南京市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.（5分）已知复数z满足（27）z=3+i,则团=（）

A.5V2B.2C.V2D.1

【解答】解：由（2-i）z=3+i,得2=若，

...|3+i|历伍

故选：C.

2.（5分）抛物线/=x的焦点为凡准线为/,则/到/的距离为（）

11

A.-B.-C.ID.2

【解答】解：抛物线产=》的焦点为E，准线为/，则广到/的距离为：p=1.

故选：B.

3.（5分）（x-i）6的展开式中的常数项是（）

A.-20B.-15C.15D.20

【解答】解：展开式的通项为7kl=（-1）（"62

令6-2r=O得r=3

所以展开式的常数项为：（・1）3底=一20.

故选：A.

4.（5分）己知M,N均为R的子集，且（CRN）0历=0,贝ljMUN=（）

A.NB.MC.0D.R

【解答】解：结合韦恩图可知，当MGN时，（CRN）DM=0,

故MUN=M

故选：A.

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5.（5分）已知圆C：a-3）2+）2=9,直线/过点PC,1）,当/被C截得的弦长最短时，直线/的方程

为（）

A.2x-y-\=0B.2r+v-3=0C.x-2y+l=0D.x+2y-3=0

【解答】解：圆C(x・3)2-/=9的圆心(3,0),直线/过点P(l,1),

当/被C截得的弦长最短时，直线/的斜率为：-言=2,

U—1

直线/的方程为：y-1=2(A-1),BP2.i-y-1=0.

故选：A.

6.(5分)已知s»a+2cosa=而，则lana=()

1

A.2B.1C.0D.-

2

【解答】解：,.飞)戊+2cos。=而，

乂Vsin2a+cos2a=(V5—2cosa)2+cos2a=1,

：.sina=^,…竽

sina_1

tana

cosa~2

故选：D.

7.：5分）曲线y=2在x=〃（〃£N*）处的切线为/〃，分别记1〃在轴上的截距为x〃,川，则%（x,.-yf+14-

芍+1•乃）=（）

3n-l3九+2

A.------B.

nn+l

2n2+n-l2〃2+3n

C.------------D.

nn+1

【解答】解：因为y=1的导数为，=一专

所以曲线、=*在（〃WN'）处的切线为/〃：y--^=--^2（x-〃），

即/〃为尸一焉H亲

令y=0,可得x=2〃：令x=0,可得旷=而

■-1

所以x/t=2〃>ylt=而,

所以.丫/+|+即+1凹=2(3)+2(,1)

i,i+lo,11

="17+-T1TH---L--=2+—I—T£+--1T,

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所以EM（孙i+i+xi+i”=2〃+（1—4）+（51-1］）+…+1-1

c,112n2+3n

=2n4-1--n-+r1-r=--n+n1-•

故选：D.

x2v2

8.（5分）在平面直角坐标系xQ/，中，椭圆C：7+金=1（。>6>0），若C上存在两点48,使。彳J.

OB,且。力=百08,则C的离心率的取值范围是（）

A.（0,*］B.［当，1）C.（0,引D.［噂，1）

/y2

【解答】解：椭圆C：-^+7^=1（a>b>0）,若C上存在两点4B,使O/JLO8,且3=6。反

a，b，

不妨。为定值，当OA在x轴,08在y轴时，此时a=V3b,椭圆的离心率取得最小值,e=三=J1-=纵

所以乎，1）.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，金部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知。>0,方>0,且“W1,力#1,log/Vl,则下列不等式可能成立的是（）

A.\<a<bB.lVb<aC.a<\<bD.b<a<\

【解答】解：当a>l时，1。刎为增函数，由log.6V1=log&a得分Va；

当0<a<1时，log«x为减函数，由logrtZ)<l=log4/a得b>a.

选项力：lV〃V/b此时但力>4,与力V。矛盾，不成立.

选项8：1VbV。,此时且bV”，如a=3,6=2时log32Vl,成立.

选项C：a<1<b,此时（）Va<I且/如a=2，匕=2时1ogi2=-1VI,成立.

选项。：b<a<\,此时与方矛盾，不成立.

故选：BC.

（多选）-6分）已知函数.｛渭二）

A./(2)=1

B.V.r>0,f(x+2)=f(x)

C.f(x)在(7,8)上单调递减

D./(x)有且仅有1个零点

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【解答】解：对于儿由定义知/'(I)=1.

则/(2)=-/(2-1)=-/(1)=-1,故力错误；

对于B,当x>0时，x+2>l,则/(x+2)=

由于x+l>l.则/(x+1)=-/(x),

所以/(x+2)=-(-/(x))=/(x),故8正确；

对于C,由8可知函数为周期函数，2为其一个周期，

当xe(7,8)时，/(x)=/(x-6),

由于x・6W(1,2),M/(x-6)=-/(x-7),

因为x・7W(0,I),所以/(1・7)=x-7,

则/CO=-(x-7)=…,在(7,8)上函数单调递减.故C正确;

对于。，当xWl时./(X)=x,零点仅为x=0,

当(I,2］时./(x)=1-1.在此区间内/(x)G［-1,0),无零点；

由周期性.当尤(2鼠2什1］时./(x)€(0,I］：

当xW(2H1,2什2］时.f(x)e［-1,0)；

综上./G)在(0,+8)上没有零点.

故/(x)有且仅有1个零点x=0.故。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）在三棱锥尸-/16C中，AB=2,^APB=£ACB=尸C_L平面力3C,贝ij（）

4V3

A.△/AC外接圆直径为7-

B.CP2+CA2+CB2=^-

C.当PC=1时，三棱锥产一48c的体积取得最大值

D.三棱锥P-43c的外接球半径的取值范围是(季，孚)

【解答】解：设△48C外接圆半径为广，由正弦定理得2r==等=竽，4对;

在△"C中，由余弦定理得：4=CA2+CB2-2CA*CBcosZACB,

4=CA2+CB2-CA*CB,

在△E48中，由余弦定理得：4=/M2+P52-2PA*PBcos^APB,

4=PA2+PB2-PA^PB,

所以CA2+CB2-CA・CB=P〃2+PB2-PA*PB,

第7页(共16页)

又PUL平面48C,CA,C8u平面48C,

所以PC_LC4,PCLCB,所以%2=尸。2+。2,PB2=PC2+CB2,

所以CA2+CB2-CA・CB=PC2+CA2+PC2+CB2-PA・PB,

BP2PC2+CA・CB=PA・PB，

故2PC2+CA-CB=VPC2+CA2•y/PC2+CB2,

平方可得：(2PC?+CA・CB)2=(PC2+C/12)•(PC2+CB2\

即301+4/^2・CA・CB=PC2(CA2+CB2),又PC凄0,

化简可得：3202+40・C8=C42+C〃2,4=CA2+CB2-CA*CB,

可得-Pf2,得0vpcv孥，

所以4=C炉+Cfi2-(1-PC2),

所以“2+CA2+CB2=竽，4对；

VP.ABC=gS/〃BC・PC=|x|xCJ-C8・sing・PC=PC3+^PC),

令/(%)=-炉+红，0<xV^^，

c4

/(%)=-3x24-

当xe(0,f(x)>0,f(x)单调递增，

当为€(|,竽)时，/(x)<0,f(x)单调递减，

故当x=断寸，f(X)取得最大值，

即当尸C=机寸，三棱锥尸-/13C的体积取得最大值，C错；

设外接球半径为R,因为PC1平面48。，

由外接球性质可得：*二丁2+(竿)2=3+竽，因为ouc2v*

所以gvR2<|,即RW(竽，孚)，Q对.

故选：ABD.

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p

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）将函数y=2sinQ+q）的图象向左平移8（OV0<5）个单位，得到的图象关于），轴对称，则隼

71

——%一■

【解答】解：将函数y=2si%（x+%的图象向左平移9（0%.）个单位，得到尸2sin（x+^+（p）的

图象关于y轴对称，

TT7T

所以鼻+»=加+于kWZ,

因为（）q〈冬，

则<p=5.

故答案为：7-

6

13.（5分）已知平行六面体力8C力-小Bi。。】的底面是边长为2的正方形，动点M满足薪=〃i+x应+

y/fkx,祚[0,1],且CM〃平面48Q,则朋的轨迹长度为_2夜—.

【解答】解：因为动点〃满足京"AA^xAB+yAD,x,），E[0,1],

所以薪一AA1=xAB+yAD,

即4,=xAB+yAD,

即痴=%4%1+”1》1

所以点M在平面小81clz内，

因为平行六面体力8。。-小81。。1中，BC=A\D\,BC〃A\D\,DD\=BB\,DD\〃BB\,

所以四边形小。C8,山।均为平行四边形，

所以4477QC，BD//D\B\

第9页（共16页）

因为力山平面C81。，QiCu平面CB1O1，。方|U平面CBiOi，

BDC平面CTiDi,

所以/山〃平面CBiOi，6。〃平面C81Q1，

因为由8G8。=8,AiB,8Z)u平面由80,

所以平面C8iDi〃平面4BD,

又CM〃平面力/。，

所以点例的轨迹为线段当。1，其长度为2VL

故答案为：2V2.

14.(5分)已知函数/(%)=炉+38>2+64瓶6R)有两个极值点xi,X2,且|/'(修)-xi|=|/'(x2)-%2|，

则m—7.

【解答】解：由题意函数/(%)=x3+3V5如+mx(meR)有两个极值点xi，X2,且1/(x1)-刈=|f(x2)

-X2|»

对函数求导可得fQ)=3x2+6V3x+m,

'：f(X)有两个极值点，3%2+66%+771=0有两个不等的实根Xl，X2，

必+x2=—2V3

...A=36X3-12w>0=>/H<9.m,

%1%2=j

若f(%i)-Xi=f(x2)一孙=比+3V3xf+mxx-xx=君+3V3x1+mx2—x2

xm

=(M—x2)(xj4-XjX2+X2)+3>/5(工］+22)(0一z)+(.—1)(^1—x2)=0,

2

Qi+x2)-%i%2+3百(％i+必)+m-1=0，

12-y-18+7H-l=0=>m=^,舍去，

若/(XI)-X|=X2-f(X2)(xi)+f(X2)=X\+X2

xxxx

=(xi+x2)(i-i2+2)+3V3(x|+%2)+m(%i+x2)=x\+x2

=>-2A/3(2-zn)+373(12-碗)+(m-1)•(-2百)=0

=>w=7.

故答案为：7.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知数列｛斯｝的各项均为正数，S〃为｛%｝的前〃项和，且时2,s“，册成等差数列.

(1)求｛"〃｝的通项公式；

(2)设bn=On.(分时，求数列｛氏｝的前〃项和T〃.

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【解答】解：（1）由册2,S”即成等差数列，且斯＞0,

2

可得2S〃=o〃+an,

当〃=1时，2“i=2Si=ai+a/,解得〃[二],

当“22时，由2s〃=。〃+即2,可得2S〃」=。"j+0n

2

上面两式相减可得2an=an-«,j.]+an-期一产，

化为an^an-1=（an-an-1）Cdn+an-1）»

由。〃＞0,可得Clnfln.I=1»

则数列｛〃〃｝是首项和公差均为1的等差数列，可得许=1+〃-1=〃；

（2）0=%•61产=〃・（51）〃，

数列出〃｝的前〃项和。尸1・（；）1+2•弓）2+3•弓）3+...+〃•4）〃，

乙乙乙乙

11111

:北=1・（-）2+2・（-）3+3・：）4+...+〃・（-）"+I,

22222

上面两式相减可得y1〃=4+・（31）2+1（-）13+（-）4+...+（弓1）"・〃・（31）”+1

乙乙乙乙乙乙

则Tn=2-(〃+2)・(1)〃.

16.(15分)已知函数/"(%)="2■,aER.

C*

（1）讨论/（x）的单调性;

（2）当。＞0时，证明

【解答】解：（1）由题意，可得/（乃=生竺二粗鬻二"二詈，

①当4=0时，因为/'我）=白＞0,所以/（X）在（-8,-OO）上为增函数;

②当。＞0时，由/（x）＞0,得XV，由/（X）＜0,得工＞"，

所以/（X）在（一8,；）上为增函数，在《，+8）上为减函数；

③当aVO时，由/（x）＞0,得%由/（X）＜0,得XV）

所以/⑺在（一8,5）上为减函数，在弓，+8）上为增函数；

综上，当4=0时、f（X）在（-8,4-00）上为增函数；

第11页（共16页）

当a>0时，/（x）在（-8,：）上为增函数,在4,+8）二为减函数;

当aVO时，/（X）在（一8,J）上为减函数，在弓,+8）二为增函数.

（2）证明：由（1）知，当4>0时，f（X）在（一8,!）上为增函数，在弓，+8）上为减函数,

所以/(X)max=/(!)=-T»

ea

a12r.-

要证：fW<|a2,只要证:—<-a2,即证：a-ea>2,

e—aL

1

记g(a)=a•画a>0,

贝!jg(Q)=+a•ea•(一壶)=ea•(1—i)=­~~

由g'(a)=0,得a=l,dig'(〃)>0,得a>l,[t]g'(Q)<0,得OVaVl,

所以g（a）在（0,1）上为减函数，在（1,+8）上为增函数,

则g(a)min=g(1)=e,因为e>2,所以g(a)>2,

11

即ae万>2,故/(X)V5a2成立.

17.(15分)如图1,在平面四边形48CQ中，AB=V5,BC=3,CD=6,DA=4a,ZBCD=

(I)求NCD4；

T1TT1T

(2)点、E,尸满足：DE=gDC,DF=^DA,如图2,将ADEF沿EF折至APEF,使得二面角

・C为直二面角，连接刃，PB,PC求直线PC与平面R18所成角的正弦值.

所以8。=y/BC2+CD2=<9+36=3遍,

在中，AB=V5,DA=4V2,

r+i4叶-im4H,AnnDA^-^BD^—AB^32+45—53」10

由余弦定理得C0SZ4D8=f48。—=2x4/2x375=F

第12页（共16页）

A-cos^Z.ADB_1

则tan乙4D8=

-cosZADB—-3f

因为ta?iZ_BOC=粽=等

则tan乙4DC=tcm(乙ADB+乙BDC)=

因为N/OCE(0,n),所以乙4DC=$

(2)因为。=6,DA=4V2,DE=^DC,DF=^DA,

所以。E=2,DF=2\/2,

在ADEF中,由余弦定理得EF?=DE2+DF2-IDE-DFcos乙EDF=44-8-2x2X272x孝二4,

则DE2+EF2=DF2,则DELEF,

所以总_L£RCE±EF,则NPEC是二面角夕・£r-C的平面角，

又因为二面角P-止-C是直二面角，

所以NPEC=90°,即尸E_LEC,

以｛外，EC,R｝为正交基底建立空间直角坐标系E-xyz,

则力(4,2,0),B(3,4,0),C(0,4,0),P(0,0,2),

所以n=(一1,2,0),AP=(-4,-2,2),PC=(0,4,-2),

设平面R18的法向量£=（%,y,z）,

则仁二为：+°22=0,令尸八则「（2-，5）,

设直线PC与平面PAB所成角为。，

则s山。=|皿忌的=繇=闻1等

|PC]|n|r

第13页（共16页）

所以PC与平面PAB所成角正弦值为五.

/y2

18.（17分）在平面直角坐标系双，中，双曲线C：/一会=1（。>0,b>0）的右顶点为（1,0）,渐近

线互相垂直.

（1）求C的方程；

（2）直线人依次交C的左支、x轴、右支于P,T,。三点，经过点7且垂直于4的直线/2与。有且

仅有一个公共点〃，点N与"关于原点。对称，直线NP,NQ分别交工轴于4,8两点.

证明：

①7两点的横坐标之积为定值；

②四边形4W8N是平行四边形.

【解答】解：（1）因为双曲线。的右顶点为（1,0）,所以。=1,

又因为C的渐近线互相垂直，所以2=1，则6=1，

a

所以C的方程为，-产=1；

（2）证明：①由题意可知匕不与x轴垂直，且不与C的渐近线平行，设8y=kx+m,

%2_y2=]

一'得（K・1）P+25LX+〃J+I=O,

（y=kx+m,

因为/2与C有且只有一个公共点〃，所以△=44（A,2-1）（??r+l）=0,

所以F--i=o,

则M点横坐标x,w满足：2%M=所以=卜如；=；丁=—

由，2：y=kx+m,令y=（）,得7点横坐标孙=一

所以％”•打=（一5）•（一£）=1：

②由①知「点坐标为（一?，0）,

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把=一［代入y=kx+m,得M点纵坐标y”=一捻+7M=4瓶2__

所以〃点坐标为（一5,一［），

由于点N与“关于原点0对称，所以N点坐标为（5,［），

因为/I-L/2，所以人：x=—ky—

K

2

X-丫卜m得(k2•-1)/+2my+=0,即7712y2+2my—表=0,

由

X=

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V1+及=-ZT9

设P（XI，y\）,Q（X2，/），则，1

（7必=_再，

由N（「［）,尸a］，尸），得沏直线方程为：（与一3）0'一5）二（月—5）（无一5）'

令y=0,得A点横坐标孙=:*;卜

同理可得B点横坐标修=签畿.

所以丫-kr_勺_幻］I犯一妙2__3］_「一助।一吹—

"T以芍1+xB--my］+i-my2~1fZ西—+—匚丽—

二—T।一2式2一5

1-my11—771,2

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二把+3+一）m（7i十二2）-2

mImkJm2yly2-皿力+为）+1

4k2k2+m27n（一金一2

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".（一百）F（T）+1

4/c2k2+源4k2

=m+mk