福建省四校2025-2026学年高一年级上册期中联考数学试卷（解析版）

安溪一中、惠安一中、实验中学、养正中学

2025年秋季高一年期中联考

考试科目：数学满分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如图，全集{123,4,5,6},4={1,2,3},5={2,4,5}则图中阴影部分所表示的集合为

A.{1,2,4}B.{4,5}C.{1,5}D.{3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】图中阴影部分表示(6A)B,再根据交集和补集的定义计算即可得出答案.

【详解】根据已知条件有：图中阴影部分表示(必4)03,

。4={4,5,6},所以@A)c3={4,5},

所以图中阴影部分所表示的集合为：{4,5}.

故选：B

2.若lvav2,则+4々_2)4的化简结果是()

A.IB.-1C.3-2。D.2a-3

【答案】C

U豺斤】

【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可.

【详解】由lvav2,得。一2<0,

所以,(1-〃丫+《("2)4=1-〃+2|=1-〃+2-〃=3-2。.

故选:C.

3.已知/=x+3,则/（6）的值为（）

A.17B.15C.11D.9

【答案】A

【解析】

【分析】利用赋值法求解即可.

<14、

【详解】令x=14,可得/彳-1=14+3=17,即/（6）=17.

故选:A.

4.已知哥函数〃x）=（〃72-2〃L2卜”用的定义域为R,则加的值为（）.

A.-1B.3C.-1或3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据基函数的定义进行求解即可.

【详解】因为函数“X）为幕函数，所以加一2〃7一2二1，

计算可得"7=3或机二一1,

当机=一1时，m+l=0,定义域为卜|工工。｝,所以舍去，所以加=3.

故选:B.

5.已知函数/（戈+1）的定义域为（-5,0）,则的定义域为（）

A.(-4,1)B.<-2,1C.(-9,1)

【答案】B

【解析】

【分析】由已知函数的定义域求得了⑺的定义域，再由2工-1在/⑺的定义域内求得4的取值范围.

【详解】解：由题意得：

・・•函数7*+1）的定义域是（一5,0）

设1=戈+1

Are（-4,1）,则/⑺的定义域为（一4,1）

3

2x—1€(—4,1),解得xw(—,1).

2

故选:B

(2a+3)x-2a+2,x<1

6.已知函数/(x)=12,满足：对任意X,X,ER,当时，都有

x-ax+3,x>1

——成立，则实数〃的取值范围是()

xr

33

A.2]B.(--,2]C.(--,-lJD.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得函数在R上单调递增，列出不等式组求解即可.

/(X.)-_

【详解】因为对任意x./cR，当司工々时，都有->。成立,

所以函数在R上单调递增，

2a+3>0

所以，，解得一

22

2。+3-2。+2«1-。+3

所以实数。的取值范围是(―|,—1].

故选：C.

7.定义：而。｛。,/?｝表示〃、〃中的较小者.若函数)，=1田11｛1一,一2|,0-1)2-1｝在区叫〃7,川上的取值范

围为[TO],则〃一历的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先作出y=min｛l-k-2|,(x-l)2-l｝的图象，然后分析y=T时x的取值，根据值域结合图象

确定出〃一〃?的最大值.

【详解】在平面直角坐标系中作出)』巾而｛1一门一2|,(工-1)2-1｝的图象如图所示，

令1一打一2|二-1,解得x=0或1=4,所以A(0,—l),E(4,—l),

令(工一11一1=一1,解得x=l,所以8(1,—1),

由题可知，当尸1面帅一打一2|.(1-1)2-1｝在区间［机〃］上的取值范围为［—1,0］时,

当且仅当加=(),〃=2时〃-〃z取得最大值，且最大值为2—0=2,

故选:B.

8.已知函数y=.f(x)的图象关于点尸(。,切成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+。)一人为奇函数.

若f(x)=—!-+」一+」一存在对称中心(出。)，贝|」加+〃=()

x+1x+2X+3

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得；

【详解】设g(X)=/(X+。)一从则g(X)=—!—+—!—+—J-人为奇函数，

x+a+1x+a+2x+a+3

可得工工一。一1,工。一。一2,人工一〃一3,由奇函数的定义域关于原点对称可得一。一1一。-3=0

即〃=-2,g(x)=—^—+—+----b、

x-\xA+l

由g(—x)+g(x)=。可得一^+=+—77—人+白

一+------b=0,

—X—1—X—X+IX—1xx+1

即。=0,

所以2々+人一一4,

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论中，所有正确的结论是()

A.若a>〃>0,cvdv0,则acvZ?d

B.若一5<。<2,则一19<3。一〃<5

C.不等式;二士之0成立的一个充分不必要条件是不<-1或x>4

2x+l

D.函数),=一-])的最小值为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A,B：求解不等式土卫之0,判断c；利用基本不等式判断D.

2x+l

【详解】对于A,若cvdvO,则一c>一d>0,因为所以-ac>-bd,所以讹.所以

选项A正确；

对于B,若一5<。<2,则一15<3。<6；若lvb<4,则-4<—bv—l,

所以一19<3。一人<5.所以选项B正确；

x-3[(2x+l)(x-3)>01

对干C,不等式-----20等价于「)\),解得x<——，或x23.

2x+l[2x4-102

1尤一3

因为或x>4｝是“或xN3｝的一个真子集，所以不等式-----20成立的一个充分

22x+\

不必要条件是x<—1或x>4,所以选项C正确；

对于D,因为当区>—1时，),二二+3二+3Jt+2)(x+l)+].x+2+-L=x+]+-L+]43,

x+1X+1x+\x+1

其中当1>一1时，x+l+—>2j(x+l)x—=2,当且仅当x+l=」一=l,即R=o时，等号成

A-t-1VV7A+lA+l

立.

Y~4-3Y4-3

所以函数y=Q>-1]的最小值为3,所以选项D错误.

故选：ABC.

10.已知函数/(x)是定义在(-OC,")上的奇函数，且满足/(3+x)=/(3-x),当0<xW3时，

/(^)=12x-3x2,则下列说法正确的有()

A./(-2)=/(8)B.当一3Wx<0H寸，/(x)=-12x+3x2

C./(2025)=9D.x=8时，/(X)取得最小值

【答案】AD

【解析】

【分析】根据奇函数和函数的周期性逐项判断即可.

【详解】对于A,函数解(力满足〃3+X)=〃3T),取甘=一5,得〃-2)=〃8),A正确;

对于B,当xw[-3,0)或一xw(0,3],而当xc(0,3]时，/(x)=12x-3x2,

又f(x)是R上的奇函数，因此/3=-/(-])=-[12(-工)-3(-力1=12%+3/,8错误；

对干C,由〃3+x)=/(3-x),得/(6-x)=/'(x),又于(x)=-f(-x),

所以/(6—冗)二一/(一元)，所以/(4十6)=—/(X),

/(x+12)=-/(^+6)=/(x),即/(%)的周期为12,

所以，/(2025)=/(169XI2-3)=/(-3)=-/(3)=-9,C错误；

对于D,先作出“X)在(0,3]的图像,再由/(»是R上的奇函数及/(%)

关于1=3对称作出“X)在[T9]的图像，

如下图可知一个周期内x=8时，/(五)取得最小值，D正确.

故选：AD.

-12

11.己知集合人={4，%,…,4}是由〃(〃>3,〃£1<)个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素

q(i=L2,L/)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所

有元素之和相等，就称集合A为“可分集合''.下列说法正确的是()

A.{123,4}不是“可分集合”

B.{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”

C.四个元素的集合8=3MJ可能是“可分集合”

D.五个元素的集合。={4，%，囚，%，%}不可能是“可分集合”

【答案】ABD

【解析】

【分析】去掉3,由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设

4＜。3＜%，讨论当在集合｛。1，%，。3，。4，牝｝中去掉元素4、的后，将剩余元素构成的集

合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D;

【详解】对于A,去掉3后，｛124｝不满足定义，｛123,4｝不是“可•分集合”，A正确；

对干B,集合｛1,3,5,7,9,3,13｝所有元素之和为49,

当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,集合｛35,7,9）与｛11,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素3时・，剩下的元素之和为46,集合｛1,9,13）与｛5,7,11｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,集合｛1,3,7,11｝与（9,13｝的元素和相等，符合题意;

当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,集合｛1,9,11）与［3,5,13｝的元素和相等，符合题意;

当去掉元素9时，剩下的元素之和为40,集合（1,3,5,11｝与｛7,13｝的元素和相等，符合题意;

当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,集合｛3,7,9｝与｛1,5,13｝的元素和相等，符合题意;

当去掉元素13时，剩下的元素之和为36,集合｛1,3,5,9｝与｛7,11｝的元素和相等，符合题意;

因此集合｛1,3,5,7,9,11,13｝是“可分集合”，B正确;

对于C,不妨设4＜生＜生＜4，去掉＜，则4+%=%，去掉〃2，则4+4=4，

于是q=4，与4＜4矛盾，

因此A=｛《，/,生,%｝一定不是“可分集合”，C错误；

对于D,不妨设。＜qV%＜%＜4＜G，

若去掉元素4,将集合｛%，%，由，6｝分成两个交集为空集的子集，

且两个子集元素之和相等，则有%+%=%+%，或者%=叼+%+4②，

若去掉元素生，将集合｛q,%，%，6｝分成两个交集为空集的子集，

且两个子集元素之和相等，则有q+。5=。3+。4③，或者。5=4+%+。4④，

由①③或②④得4=。2，矛盾；

由①④或②③得4+生=0,矛盾•

因此集合从={4,%，%，4，%}不是“可分集合”，D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：

1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程

中；

2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一弊因素.

3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合同题，要熟练基本

的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.命题p:Dx>2,x-l>0»则是.

【答案】*>2,x2-l<0

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定可得.

2

【详解】全称量词命题〃：Dx>2,的否定是存在量词命题：BX>2^X-\<0.

故答案是：3X>2,X2-1<0.

13.函数y=J9+5X_6的单调减区间是.

【答案】（-8,-6]

【解析】

【分析】首先求函数的定义域，再求函数y=d+5x—6的单调递减区间，最后求交集，即可求解.

【详解】由工2+5工一620，得：xNl或xK-6,

所以函数的定义域为（-00,-6Ml,”），

，（5一

函数）,=工2+5工一6的单调递减区间是一8,一3，

再和定义域求交集得（y,-6].

故答案为：（一8,-6]

14.设函数=1）7若"2）是函数/（力最小值，则实数。的取值范围是

x—CLX+2a,x>2

【答案】

【解析】

【分析】分析可知，a>2,然后分了2、1〉2两种情况讨论，根据/⑴而「=/⑵可得出关于实数〃

的不等式，综合可得出实数。的取值范围.

［详解］因为/（力二卜14+2：《2

［x~-ax+2a,x>2

当4<2且J42时,则/（%）=归一。|+222=/（〃）,这与〃x）==/（2）矛盾,

不合乎题意，所以，a>2,

因为二次函数y=x2-cix+2a的对称轴为直线x=y,

当日工2时，即当时，则函数/（力在（2,+8）上为增函数，

根据题意，则有/（2）=|2-4+2=〃-2+2=aW4—2，+2〃=4,此时，2<^<4；

/\2

当@>2时，即a>4时，当x>2时，/（x）.=f二=2。—一，

2'7m,n\2）4

由题意可得/（2）=。《2。一.，整理可得"—4a«0,解得（）工。工4,此时，。不存在.

综上所述，实数。的取值范围是2

故答案为：24。44.

【点睛】方法点睛：”动轴定区间”型二次函数最值的方法：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最道，必要时需要结合区间端点对应的函数

值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合A={乂*+2）（5-犬）《0},3={区2。+1<犬<3。+5}.

（1）若a=-2,求A（JB；

（2）若“xeA”是“xw4”的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】（1）Au8={x|xv-1或125}

7

(2)或。之2

【解析】

【分析】(1)解不等式得出A，代入。=一2得出从进而根据其集的运算求解，即可得出答案；

(2)根据已知可推得3A,分3=0以及8W0,根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出

答案.

【小问1详解】

解(x+2)(5—x)W0可得，工4―2或工25,

所以，A={x|xK-2或xN5}.

当〃=—2时，B—-3<x<—1J,

所以Akj5={%|xv-1或xN5}.

【小问2详解】

由是的必要不充分条件，

所以，BA.

又A={x|xW-2或xN5},3={4[2。+1<x<3a+5}.

当8=0,有2々+123a+5,即显然满足；

当时，有24+1<3。+5,即

要使3A,

a>-4a>-4

则有5+5=2或L+125'

7

解得-4<。工—或

3

7

综上所述，3或。之2.

16.函数〃"二七三是定义在。—10,仍+7)上的偶函数，且"0)=1.

(1)求“力的解析式

(2)求/(x)的值域；

12

【答案】（1）/（A）-9,9)

1+x2

_竺

(2)<-4?

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得〃=1,再代入/（。）=1求解即可;

（2）化简可得/（X）=-1;再根据xe（-9,9）求解即可.

【小问1详解】

因为函数/（x）=是定义在（人一10,»+7）上的偶函数,

a-x2

则方一10+3+7=3b-3=0,解得〃=1,则/(x)=

\+x2

又因为〃0)=。=1，故f(x)=E，(〃—10,2〃+7)=(—9,9),

1IX

l-(-^)2_\-x2

此时f(r)==/（x）,即函数/（x）为偶函数,

1+(-x)2l+x2

1_y2/、

所以，/（X）二修，X«—9,9）,

【小问2详解】

xe（-9,9）,0<X2<81»所以1«/+1<82,

则士<<1,故L--W2,

82x2+i41x2+\

1-x22-(1+巧一2

所以,le

\+.x~1+工~1+厂

所以,函数/（"的值域为，』］・

17.如图1,有一个半径为2半圆，一个等腰梯形A8CQ的下底A8是。E的直径，上底CD的端点在

圆周上，记线段。。的长度为右梯形A8CO的周长为），.

图1图2

（1）写出），与％的函数关系式，并求出周长y的最大值：

（2）当梯形A8CO的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形A8CO位于直线

/:«=/（/>（））左侧的图形的面积为了（，），请写出函数的解析式.

【答案】（1）），=4+x+2j8-2x,XG（O,4）；1（）.

2

八

(2)/(/)=•V3/--,l</<3

2

一3产+4而一5百,3</04

2

【解析】

【分析】（1）根据题意，过点C作于点/，连接EC,由题中条件，表示出8C,进而可得出

周长的函数关系式；令（=加五,由换元法，结合二次函数的性质，即可求出周长），的最大值.

（2）由（I）知，等腰梯形ABC。的各边长，由，的不同取值范围，求出梯形ABCO位于直线/:x=，左侧

的图形的面枳/（/）.

【小问1详解】

由题意可得，过点C作CbJ_A3于点/，连接EC,

因为半圆的半径为2,线段CO的长度为达

则EC=2,EF=-CD=~,BF=2--f所以CF=」4一工

222V4

因此3c=Jc有2+352:卜=j8-2x，

所以这个等腰梯形的周长为y=4+x+2V8-2x,其中0<x<4,

即y=4+x+2j8-2JV,XG(0,4)；

令yji二五，因为x«0,4),所以/=J8-2］£(0,2官卜

2

贝！J丈二4-L,

2

产产］1

所以)，=4+4-万+2/=-万+2/+8=—5(/-4/+4)+10=—2«-2)2+10410,

当且仅当1=2,即x=2时，取得最大值，

因此梯形周长的最大值为10.

【小问2详解】

由(1)知，当梯形ABCO的周长取得最大值时，8=2,

等腰梯形A88的下底A3=4,腰AD=8C=2,

等腰梯形ABC。的高CF=B

则当0<r4l时，/(/)=日/；

当时，f⑺=§+(S6-冬

当3vY4时，y(r)=l(2+4)x/3--(4-r)(4-r)5/3=-^r2+4x/3r-55/3；

22

所以，/(z)=x/3r-^-J<r<3

——/2+4\/37-5>/3,3</V4

2

2

18.己知函数/(x)=/+—的定义域为［1,+8).

X

(1)用单调性的定义证明/(X)在［1,+8)上是增函数；

(2)若函数y=g(x)是R上的减函数，且不等式g(Y+2)<g(R2-2a)x)在x«l,+”)上恒成立,

求实数。的取值范围.

(3)存在X«l,+8),使不等式(法―2/+3/3>//+9〃+9(〃£产)成立，求实数人的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（-1,3）

（3）h>3

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义化简/（%）-/（%）,判断符号进而可证明.

（2）根据g（力的单调性化简不等式为了（另>/一2々，然后根据/（x）的单调性求出最小值，即可求出

不等式的解集.

（3）先对不等式进行变形，设〃（村=/+3〃+3,根据〃2+3〃+3是奇数判断出力（“是单调递增的奇函数，

进而求出〃的范围.

【小问1详解】

设小%£。,+30）,且1W演<玉，

则/（玉）一/（占）=#+2一¥一2二（玉一%）x+w---'

2

•・・万,XjG[1,+OO),且14%(工，所以百一工2<0，X]+x2>2,o<--<2,

内了2

22

所以％+%----->。，则有/(%)-/(刍)=(%-9)x+电-----<（）,

\X\X2

即F（%）</（七），所以/（力在口,+<»）上是增函数;

【小问2详解】

由于函数y=g（五）是R上的减函数，且g（V+2）<g—2〃），，

所以x3+2>（c/一,

2

XXG[1,+<Z>）,所以工2+—>/-24,即/（工）>。2在/£0,+8）上恒成立,

由（1）可知/（“在[1,转）上是增函数，

所以/一2。〈/（司111bl=41）=3,解得一1<〃<3,即实数。的取值范围为（T3）.

【小问3详解】

不等式伽-2产"3>-9"+9即伽-2/32>卜3广3/3,

设力G)=V,+3〃+3,原命题即存在工£0,+纺)，使不等式力(加一2)>/«丁)成立.

因为〃£N*，所以〃2+3〃+3=(〃+1)5+2)+1为正奇数，

所以〃(x)在［0,+动上单调递增，乂力(“为R上的奇函数，所以〃(x)是R上的增函数.

所以原命题即存在+8),使不等式版一2>为3成立，

存在X£1l,+8),使不等式--成立，

X

所以心，/(不"访，也即8>3.

19.设函数/(工)=加+3-1)/+3(々/0),

(1)若不等式〃力〉。的解集为(一1,3),求2〃+力的值：

(2)若b=_a—3,求不等式/(力<-2工+1的解集；

(3)若/(1)=5,b>-\,求1+笠的最小值.

同〃+1

【答案】(1)2a+b=l；(2)详见解析；

(3)一.

4

【解析】

【分析】⑴由不等式〃x)>0解集为(-1,3),得：方程加+(〃-1卜+3=0的两根为一1,3且

。<0.根据韦达定理，可求得〃的值，从而得到2。+人的值；

(2)若b=_a_3,则不等式〃x)v—2x+l可转化为以2—g+2)x+2<0,即(工一1)(侬-2)<0,

讨论相应方程两根的大小关系，并结合一元二次不等式的解法即得;

,、/、141HJ+1।咖

(3)由/(1)=5,得〃+。+1)=4,将冏+言转化成,利用基本不等式求得

4|«4同Z?+l

/?+14闷14同

丽+号的最小值.讨论”0和。>°两种情况‘可得时十号的最小值.

【小问1详解】

由不等式/(力>0的解集为(T,3)