常用逻辑用语（原卷版）

第02讲常用逻辑用语

题型一充分、必要条件的判定...................................................................2

题型二巳知充分、必要条件求参.................................................................3

题型三含量词的命题的否楚......................................................................4

题型四含量词的命题的真假判断..................................................................6

题型五含量词的命题的应用.......................................................................8

课时精练...................................................................................9

【基础回顾】

知识点1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若〃=q,则〃是q的充分条件，q是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件且g挣

〃是q的必要不充分条件p囹且q=p

p是q的充要条件

〃是q的既不充分也不必要条件〃利且q却

知识点2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号””表示。

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“于，表

ZjXo

知识点3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,〃成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记Vp(x)3x£Mp(x)

否定3xWM-ip(x〕

【必备知识】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A=｛x|p（x）｝,B=［戈|式工）｝o

（1）若〃是^的充分条件，则AGB；

（2）若〃是的充分不必要条件，则A曙8；

（3）若〃是“的必耍不充分条件，则6崔A；

（4）若〃是夕的充要条件，则4=及

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论:

3.命题〃与〃的否定的真假性相反。

题型一充分、必要条件的判定

充分、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：根据〃=q,9n〃是否成立进行判断。

（2）集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合=大集合。

（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必

要条件是否成立为止。

【例题精讲】

1.（2026•山东泰安•模拟预测）若XER,下列选项中，使/一2%-3V0成立的充分不必要条件为（）

A.-1<x<3B.-1<x<3C.-1<x<2D.-2<x<3

c

2.（2026•江苏•二模）已知Q>0,b>0,0<c<1,则"<b<1"是"d<c«<1〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2。26・重庆•一模）3+%_2<0〃是喘〈1〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2。26•辽宁沈阳•三模）命题〃E<。〃的一个充分不必要条件是（）

A.-1<x<2B.—V%V2C.—VxVlD・-1VxV一

222

5.（202&重庆渝中•模拟预测）对于实数a、b,则“㈤>6〃是“a2>半2„的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2026•天津河东•二模）已知；CW6,"|1一2%|之3"是"/一2。一320〃的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2026•河北衡水•二模）"log2a<log2"'是"a7>产>0〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（多选）8.（2026•河北雄安•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.3%€/?»x2+3%4-2<0

B.若％BR,则》>|〃是“：<3〃的充要条件

C./+岛的最小值为3

D・若含,言2b

（多选）9.（2026•江西宜春•模抵预测）用团表示不超过"的最大整数，则（）

A.[x]+[-x]=0

B.[x]=[y]是以-y\<1的充分不必要条件

C.函数八%）=[篙]+[^^的值域为{1，2}

D.方程4♦一[2划一2=0的解集为{一可学,1}

（多选）10.（2026•黑龙江哈尔滨•二模）若a,bWR,则a>力成立的充分不必要条件可以是（）

22ab

A.a>\b\B.a>bC.log2a>log2ZjD.2>2

题型二已知充分、必要条件求参

求参数问题的解题策略

（I）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式（或不等式组）求解。

（2）要注意区间端点值的检验。

【例题精讲】

1.（2026・重庆•模拟预测）已知p：/-1VO,q：x>m,若p是q的既不充分又不必要条件，则实数m的

取值范围是（）

A.（—1,1）B.[—1,1]C.（-1,4-oo）D.[―1,4-co）

2.（25-26高三上•福建•月考）已知集合6={刈％2-2'<0},B={x\x>m],若"WB〃是"WCRA’的充

分不必要条件，则实数/〃的值可以是（）

A.-2B.0C.1D.3

3.（25-26高一上•天津•月考）已知条件p:|x|<2,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件，则。的取值范

围为（）

A.{a\a>2}B.{a|a>2]

C.{a\a<-2}D.{a\a<—2}

4.（2S-26高三天津•一轮复习）已知集合/={x\x2-4x+3<0],5={x\x>m）.若“xGGW是"xGB"

的必要不充分条件•，则实数〃?的取值范围是（）.

A.（-oo,l）B.[1,3]C.[3,+oo）D.[2,3]

5.（24-25高三上•河北邯郸•月考）已知q：X<m,若p是的必要不充分条件，贝！实数机的取

值范围是（）

A.（―co,1）B.（—00,1]C.（l,4-oo）D.[1,4-oo）

G.（22・23高一上•安徽滁州力考）若〃—1<%<1〃是“（x—a）Q—3—a）<0〃的充分不必要条件，则实数a

的我值范围是（）

A.[a\a<1或a>2}B.（a\-2<a<1}

C.{a|-2<a<-l}D.{a|aW-2或aN-1}

7.（22-23高三上•河南安阳•月考）若"|%+1|=2〃是"k）g2%+2x=Q〃的必要不充分条件，则实数0二（）

A.3B.2C.1D.0

（多选）8.（2U26•云南昆明•模拟预测）若“sina+cosa=m"是"V1+sin2a=m"的充分不必要条件，则m

的值可以是（）

A.0B.1C.V2D.2

题型三含量词的命题的否定

全称命题的否定（V-，并否定结论）

原命题：VxtM,PGJ（所有x属于M,都满足产（不少

否定命题；（存在x属于不满足

存在命题的否定G-V,并否定结论）

原命题：3xeM,P（存在x属于M,满足尸（X））

否定命题：「PGJ（所有x属于M,都不满足P（x））

【例题精讲】

2

1.（2026•浙江温州•二模）已知命题pTxER,x-x+l<0,那么-1P为（）

A.Vx6R,x2—x+l>0B.3x€R,x2—x+1>0

C.VxeR,x2-x+1<0D.WR,%2-%+i之o

2.（2026•贵州贵阳•模拟预测）已知命题p:Vx>0,log2%>0；命题qFxV0,优+1|>1.则（）

A.〃和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.〃和->q都是真命题D.->p和~iq都是真命题

3.（2026•陕西咸阳•三模）命题，”>1,/+2|%|NO〃的否定是（）

A.Vx<1,x2+2|%|<0B.Vx>1,x2+2|x|<0

C.3%>1,X24-2\x\<0D.3x<1,x2+2|x|>0

4.（2026•天津和平•二模）命题"VxEZ,3ne/V\使得nN/，，的否定是（）

A.3xEZ,3nGN\使得n<炉B.VxEZ,3nEN\使得71<二

C.Bxez,VnGN\使得71</D.Vx€Z,VnEN*,使得ri</

5.（2026•广西南宁•三模）下列命题为真命题的是（）

A.命题p:V%£R,x2>0,则命题〃的否定是：VxWR,x2<0

B."a>1〃是q<1”的充分不必要条件

C.方程/一4x+Q=0的两根都大于1的充要条件是1<aW4

D.0<k<4是关于x的不笨式A/-k%+1>0对一切实数x恒成立的充要条件

G.（25-2G高二下•陕西西安・期中）命题p:Vx£[0,1],/十x>0的否定是（）

2

A.3x0€[0,1],XQ+x0>0B.Vx6[0,1],x+x>0

2

C.3x0G[0,1],XQ+x0<0D.VxG[0,1],x+x<0

7.（25-26高三上•浙江金华•期末）命题TxWR,7+%一1>0，，的否定是（）

A.Vx6/?,x2+x-1>0B.VxeR,x2+x-1<0

C.BxeR,x2+x-l<0D.3xeR,x2+x-l<0

（多选）8.（25・26高一上•湖南常德•期末）下列说法正确的有（）

A.对任意实数4都有|%211>o

B.若2<aV5,3Vb<10,则一18<a-2b<-l

C.当％>1时，x+二一的最小值是2

X-1

D.若pTnWN,/>2\则」p:mn£N.n2工2n

（多选）9.（2026•河南南阳•模抵预测）（多选题）下列结论正确的有（）

A.VxGR,%24-4>2%

B.勺-WR,|%—1|+1<0〃是假命题

C.“有理数的平方是有理数〃是存在量词命题

D.”VxeR,x+4x4>0"的否定是"Vx住R,x+4x4<0"

（多选）10.（2025•四川泸州•一模）下列命题正确的有（）

A./（%）=¥与g（x）={Jj:表示同一函数

B."X<1”是"工2一6工+6>0”的充分不必要条件

C.命题“VxeR,x2-x+2^0”的否定为，％eR,x2-x+2V0〃

D.若/（无）=|工_1|_田，则/（/（以）=1

题型四含量词的命题的真假判断

一、全称命题（VxGM,P（x））的真假判断

定义：命题“对所有x属于M,P（x）成立”<>

判断方法：

为真：需证明论域M中的每一个元素x都满足P（AA

为假：只需找到至少一个反例（即存在.隹M,使得P（x）不成立）。

二、存在命题（王主加，P（x））的真假判断

定义：命题“存在x属于M,使得尸。）成立”。

判断方法：

为真：只需找到至少一个实例（即存在xGM,使得P（x）成立）。

为假：需证明论域M中没有任何元素x满足P即VxWM,「尸（x）为真）。

【例题精讲】

1.（2026・陕西铜川•一模）卜.列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（）

A.VxCR,e-x+2>0

B.3xeR,x+|x|<0

C.任何实数都有算术平方根

D.任意两个无理数之和仍为无理数

2.（2026•西藏日喀则•模拟预测）已知命题p:VxeR,x2+2x+2>0,则命题p的真假以及否定分别为（）

A.真，-）p:V%€/?,/+2%+2W0B.真，-ip:ER,%2+2%+2工0

C.假，-ip:VXER/2十2x十2三0D.假，ip:ER,%2十2%十2*0

3.12026•陕西西安•模拟预测）已知命题p:VxER,0,则氏|十由〉2,命题q:meR,-x0-2<0,

则（）

A.p和q都是假命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p和q都是真命题

4.（2026•四川绵阳•模拟预测）已知命题p:V〃WR,|x+1|>1；命题q:3x>0,2*=log^x,则（）

A.p和q都是真命题

B.「p和q都是真命题

C.p和「q都是真命题

D.-ip和「q都是真命题

5.（2026・四川巴中•一模）下列命题中为真命题的是（）.

A.3%e/?,x2+1<0B.Vxe/?,x+|x|>0

C.Vx6Z,\x\€ND.3xER,x2—3x+10=0

6.（2026•河北•一模）已知命题p:V%eR,5、-2e*+1>0,命题q:m%。WR,4cos2%-3>0,则（）

A.〃和q都是假命题B."是真命题，。是假命题

C.〃是假命题，q是真命题D.〃和乡都是真命题

7.（2026・甘肃张掖•模拟预测）命题p：SxER,使得不等式Q/+2QX+2<0成立”为假命题，则实数。的

取值范围为（）

A.（0,4]B.[2,4）C.（1,2）D.[0,2]

（多选）8.（25-26高三•全国•一轮复习）下面四个命题错误的是（）

A.VxGR,x2-3x+2>Ofi成立

B.3xGQ,x2=2

C.3xeR,x2+1=0

D.VxeR,4/22%—1+3%2

（多选）9.（25-26高三上陕西商洛・月考）已知命题p；平行四边形的对角线相等，g:3xC（1,2）,2、xI

4=0,贝lj（）

A.p是存在量词命题

B.q是存在量词命题

C.」p：有些平行四边形的对角线不相等

D.q是真命题

（多选）10.（25-26高三上•广东梅州•期中）设集合M={xfeN1</<nJeN*,n>3）,若八,y,zeM,

使得y2=%z（%,y,z两两不等），则称M为。集，下列结论正确的是（）

A.若{1,9,后是。集，则％=3或81

B.若集合力是。集，集合B是非空数集，则力U8是。集

C.若集合A是。集，集合B={y;6N|1<y<m,j6>2},则C={ab\aeA,beB}为。集

D.VpGN\30€2且9之3,使得g+1,2口+1,32+1,3/2+1}是。集

题型五含量词的命题的应用

含量词命题的解题策略

（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到

一个成立即可。当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假。

（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题

求参数的范围。

【例题精讲】

1.（25-26高三上•北京•月考）已知命题"Vx£R/2+ax+；>o〃是假命题，则实数Q的取值范围是（）

4

A.（―co,—1）U（1,+co）B.（—co,—l]u[l,4-oo）

C.（-1,1）D.[-1,1]

2.（25-26高一上•云南大理•月考）命题："Vx€R,都有一元二次不等式Q/-23-3V0〃为真命题，则

实数a的取值范围是（）

A.{a|-3<a<0}B.{a|-3<a<0}C.{a\a<-3}D.{a\a>0}

3.（25-26高一上•天津河东•月考）已知命题p:“Vx£[1,4],x2-mx+4<0\若命题p是真命题，则实数

m取值范围是（）

A.m>5B.77i>5C.m>4D.m>4

4.（2025・广东江门•模拟预测）若令题“VxGR,x2+x+a#0〃的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.住,+8）B.&+8）C.（一8用D,（一8,

5.（25-26高一下•云南•开学考试）若命题€R，以+/+mV0”为假命题，则m的取值范围是（）

A.（-8,一B.（-8,；]C,（0,i]D.日,+8）

6.（25-26高一上•江西赣州•期末）使命题p:“〃G（1,2）,m<x2+1”为假命题的一个必要不充分条件是（）

A.m>4B.m>5C.m<2D,m<5

7.（2025高一上•吉林长春•专题练习）命题p：。/+2。%一420〃为假命题，则a的取值范围是

（）

A.-4<a<0B.-4<a<0C.-3<a<0D.-4<a<0

8.（25・26高一上•贵州贵阳•月考）已知命题“存在一£{川一1V#V2},使得等式3#-m=0成立”是假命

题，则实数m的取值范围是

9.（25-26高=I-江苏扬州•开学考试）若QxE[1,2],ax2一x《旷为直命题.则实数Q.的取值范围是.

10.（2026•青海西宁•二模）已知命题p:Vx£R,a/-3xN-5,若p为真命题，则a的取值范围为.

课时精练

一、单选题

1.（25-26高一上•江苏淮安•月考）命题/一xv0，，的否定是（）

A.Vx<1,x2-%<0B.Vx>1,x2-x>0

C.3%>1,x2-x>0D.3%<1,x2-%>0

2.（25-26高二下•贵州遵义•月考）命题“V》>1,x2-l>0”的否定形式是（）

A.Vx>1,x2-1<0B.Vx<1,x2-1<0C.3x>1,x2-1<0

D.3x<1,x2-1<0

3.（2026•天津河东•一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（）

A.菱形是矩形B.存在一个菱形，它是矩形

C.存在菱形不是矩形D.存在是菱形的矩形

4.（25-26高三•全国•一轮复习）下列命题为假命题的是（〕

A.有些实数是无限不循环小数

B.每一个末位是。的整数都是5的倍数

C.至少有一个整数九，使彦+1是4的倍数

D.对任意负数”,严的平方是正数

5.（25-26高三上•新疆・月考）已知〃；VxC（0,I8）,x2Ix1>0；</；3xC[-3,0]»xI5=\3x-1|,

则（）

A.〃是真命题，q是真命题B.〃是真命题，「q是真命题

C.是真命题，q是真命题D.「p是真命题，「q是真命题

6.（2025•湖北黄冈•模拟预测）若，“£4/一6"+2>0"是真命题，则实数m的取值范围为（）

A.（-272,2x/2）B.[-2A/2,2V2]C.（-2,2）D.[-2,2]

7.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知命题p:VX£R,|1-3区1,命题q：m%>0,X2=X,贝U（）

A.p和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.p和-iq都是真命题D.-ip和-）q都是真命题

8.（25-26高一上・陕西咸阳・期中）已知命题「与工€凡无2一%一1<0,命题q：Va"€R,^>ab,则（）

A.p和q都是真命题B.」p和q都是真命题

C.p和都是真命题D.「p和都是真命题

二、多选题

（多选）9.（25-26高一下•湖南长沙•开学考试）下列命题中，正确的是（）

A.命题々XER,%>1”的否定是，工£&x<l"

B.“至少有一个x,使/+2Y+1=0成立”是全称量词命题

C./zVx>0,2>4〃是假命题

D."a+1>I-2"是"a>的必要不充分条件

（多选）10.（25-26高二上•江西宜春•期末）下列命题中正确的是（）

A.若命题“VxER,/+4。X+3。>0〃为