第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含答案） 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用

一、选择题:本题共8小题、每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度/?（单位:m）与

起跳后的时间/（单位:s）存在函数关系力⑺=-49/2+6.5什10,则该运动员在s时的瞬时

速度为（）

A.-3.3m/sB.-8.2m/s

C.3.3m/sD.1.6m/s

2.曲线兀r）=cos2x在点P（9g））处的切线的斜率是（）

A.-2B.2C.-lD.l

3.（2025河南洛阳高二检测）小李准备向银行贷款x（0<xW10）万元全部用于某产品的

加工与销售，据测算每年利润y（单位:万元）与贷款x满足关系式y=lnx-x-3+9,要使年利

润最大，小李应向银行贷款（）

A.3万元B.4万元

C.5万元D.6万元

4.（2025辽宁沈阳高二检测）已知函数,/（x）=-xln2-理则不等式大3-/）次2x-5）的解集

为（）

A.（-4,2）B.（-2,2）

C.（-8,-2）U（2,+oo）D.（-oo,-4）U（2,+8）

5.如图为函数次的图象/（X）为函数,/（x）的导函数，则不等式

x：/V）<0的解集为（）

A.(-oo,V3)B.(0,V3)

C.(V5,+8)D.GOOZBU(0,V3)

6.已知函数./U)=lnx-，x2-2Y存在单调递减区间,则实数a的取值范围是()

A.(-8,・l)B.(-1,+OC)

C.[-l,+oo)D.(l,+co)

7.若动点P在直线片"1匕动点0在曲线/=_29匕则|尸。|的最小值为()

A.-B.—C俘D.J

4428

fx3+3x2-2,x<0,

8.已知y(x)=hnxn若函数g(x)=/a)-阳有两个零点，则实数m的取值范围

U,X>U,

为()

A.(0$B.(-2,0)

C.(-8,-2)U62)D.(;,2)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分洪18分在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2025广东江门高三检测)若定义在区间。上的函数/(工)的导函数单调递增，则/(x)

为。上的凹函数.下列四个函数中为区间(0,+8)上的凹函数的是()

B:/(x)=x-lnx

C.f(x)=x-exD/(x)=W

10.如图是函数歹=/(x)的导函数歹=/9)的图象则以下说法正确的为()

A.-2是函数y=/(x)的极值点

B.函数)，=/&)在x=l处取得最小值

C.函数y=/(x)的图象在(0«0))处切线的斜率小于零

D.函数片心)在区间(-2,2)上单调递增

11.已知函数人工)=胃匕,则下列结论正确的是()

A.函数./(X)有极小值

B.曲线y=/G)在(1/⑴)处的切线的斜率为4

C.当A£(-2e2卷)时,/(工尸人恰有三个实数根

D.若［0/］时＜X)maxg则t的最小值为2

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.(2025湖北黄冈模拟)已知函数/(工)考,写出一个满足“/(x)在区间口⑸上单调递增,

且人。=1”的区间也用为

13.已知曲线g(x)=Hnx和曲线,段)=/有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有

相同的切线/,则I的方程为.

14.已知定义在R上的函数人x)的导函数为八x),若函数八x)2上＞0对任意大仁

［0,+8)恒成立，且｛0)=1,则/(2023)的取值范围为.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(i)=atsinx+cosx在x哼处取得极值.

(1)求实数。的值；

(2)求人x)在［0㈤上的值域.

16.(15分)(2023全国乙，文20)已知函数｛x)=g+a)ln(l+x).

⑴当〃=-1时,求曲线了=危)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)若函数,/(X)在(0,+oc)单调递增，求a的取值范围.

17.（15分）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成

本利润大x）（单位:万元）与投资成本x（单位:万元）满足巩丫）=等+：仇4乃£R）;乙产品的平

均成本利润g（x）（单位:万元）与投资成本M单位:万元）满足:g（x尸平.已知投资甲产品为1

万元、10万元时，获得的利润分别为5万元、16.515万元.（平均成本利润=屋鲁）

投负成本

（1）求。力的值；

（2）若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于

10万元,问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?（参考

数据:In10^2.303Jn5^1.609）

18.（17分）设函数«Y）=X3-6X+5/£R.

（1）求.危）的极值点；

（2）若关于x的方程儿丫）=。有3个不相等的实数根,求实数a的取值范围;

（3）已知当xe（l,+8）时«x）2%（x-l）恒成立，求实数k的取值范围.

19.(17分)(2025上海嘉定高三检测)已知定义域为R的函数)，=4丫),其导数为了=/口),

若对任意的x£R都有则称函数产/2为“导可控函数”.

(1)请说明/(X)=7-sinx是否为“导可控函数”；

(2)若函数尸於)为“导可控函数”，且存在正数W使|/(x)|WM在xWR上恒成立，试求

函数y=/U)-x的零点个数；

(3)若函数y=/(x)为“导可控函数”，且存在〃乃伍＜成使得/(〃)=/(〃),证明:对任意的实数

用72可。用，都有|人M”(%2)1V竽

参考答案

l.A2.A3.B4.D

5.D由题可得函数儿，的单调递增区间为(-oo,-V3),(V3,+8),单调递减区间为(-

百，百)，所以当工£(-8,-8)0(遮,+8)时/(》)>0,当］£(-但8)时〃》)〈0,由x：/V)vO,可

得｛/)?0或脍)20,所以X£(・8，・K)U(0,V3).故选D.

6.B/(x)=lnx-^ax2-2x的定义域为(0,+8),由题意得/(x)=Lzx-2Vo在(0,+co)上有解，

即提一在(0,+8)上有解，其中)?=^~~=(~~1/-12-1,故,故实数a的取值范围是

(-1,+8).故选B.

7.B设与直线y=x+1平行的直线/的方程为y=x+m(mt1),・••当直线/与曲线f=_

2y相切，且点。为切点时,P,。两点间的距离最小,设切点2a(”0),"=_2弘・・・尸吴,・・・

y,=-x,-xo=l=>xo=-l,Ayo=-1,.,•点Q(-1,-7),.,.直线/的方程为y=x+^,*.*P,Q两点间距离

乙乙乙

的最小值为平行线尸旧和1+1间的距离,・・・P,0两点间距离的最小值为粤二,故

选B.

8.C当xWO时/(刈=9+3/2,贝”/(x)=3x2+6x=3Mr+2),当^^(-巴以川寸/3)〉。4^)

单调递增;当工£(20)时，a)v(V(x)单调递减.所以当xWO时«c)max=A-2)=(-2)3+3x(-2)2・

2=2.当x>0时人工)#,贝

当x£(0⑹时〃x)>0麻)单调递增;当工£(露+8)时/(初〈0/(外单调递减.所以当工>0

时/(办皿=漉)=¥=9.画出函数/(x)的图象如图所示：

因为函数有两个零点，所以直线y=m与函数y=/(x)的图象有两个不同的

交点，由图可知m<-2或［v〃］V2.所以m的取值范围为(s,-2)U(*2).故选C.

9.BD10.AD

11.AD由题意可得/(x)啧-，令八x)>0,解得-2<x<2;令/(x)v0,解得x<-2或x>2.则

4丫)在(-8,-2),(2,+8)上单调递减，在(-2,2)上单调递增，可知/(X)的极大值为H2)q,极小值

为负-2)=-2C2,且当X—>-8时/X)—>+8,当X—'+8时4X)—>0,可得/(X)的图象如图.对于A,可

知火X)的极小值为火-2)=-2',故A正确;对于B,因为八1)=*所以曲线y=/(x)在(1,7(1))处

切线的斜率为|,故B错误对于C,方程.信)=k的实数根的个数，等价于函数y=/(x)的图象

与直线产〃的交点个数，由图象可知，当代(。盘时双丫尸女恰有三个实数根，当％£(-2c2,0]

时危)=〃恰有两个实数根，故C错误;对于D,若x£[(V]时/(0皿=4则后2,所以r的最

e

小值为2,故D正确.故选AD.

1243,4](答案不唯一，满足｛:J，+1即可)由题意可知函数小)的定义域为(-8,0)

U(0,+8),

x3ex-3x2ex6e«x-3)

且/(x)=6・

令人x)>0,解得x>3,可知/U)的单调增区间为(3,+8),

若满足7U)在区间口用上单调递增，且6-4=1”，则1：:'+]例如。=3,则符合条件的

区间句可以为[3,4].

13.2y/ex-y-e=0设曲线g(x)=alnx和曲线/(x)=f在公共点(xojo)处的切线相同,则

2x0=—,

/a)=2x,g'a)=*由题意知./tro)=gao)，(xo)=g'(xo),即x°解得a=2e^ro=Ve,故切点

XQ=Qinx0，

为(便,e),切线斜率为Zr=/r(jo)=2Ve,所以切线方程为y-e=2低(工-巡),即2便£m=0.

______11

14.[V4047,+«))由./V)2点>0,得/⑴/㈤2l>0,则八.加办120,令F(x)=j[f(x)]2-

中20,则k(x)=/(x)〃x)-l20,又20)4伏0)]2_0J/)=j2F(x)+2%故人2

023)=72F(2023)+2x2023>J2F(O)+2x2023=V4047.

15.解(1)函数/(x)=ar3inx+cosx,求导得八x)=osinx+oxcosx-sinx,由儿丫)在x=半处

取得极值，得/浮)=-〃+1=0,解得4=1,此时八x)=xcosJ,当六时/(x)<0,当期<x<畤

时/(幻>0,即函数/(X)在X弯处取得极值，所以4=1.

(2)由(1)知/(x)=xsinx+cosx〃x)=xcosx,

当0令苫时〃x)>0,函数/)单调递增,

当/<xv兀时/(x)<0,函数风丫)单调递减，

所以当x£[0,兀]时/(x)的最大值为/弓)弓,而、/(0)=14兀)=-1,即/(x)的最小值为・1,

乙乙

所以函数./（X）在［0,利上的值域为［-烤］

16.解⑴当尸-1时加）=（4）皿什1）（41且#0）/（工）=-呻3+肃•

人人人I人1JLI

・・・川）=G1）Xln（1+1）=0八1）=_当3+志普=ln2,・・・y=/（x）在点（1川））处的切线

方程为此/（1）=/铝）（工-1）,即（卜2）x+y-ln2=0.

（2）易知寅刈不恒为0.V函数｛x）在（0,+8）单调递鸠，

1

.*./(x)20在(0,+8)恒成立J[x)—ln(x+1)+6rln(x+1),

X

丽"\.、_舟1"3"+1)a_x+ax'G+l)ln(x+D

2

L/⑴x2十x+i-x(x+l)'

ax2+x-(x+l)ln(x+l)20在(0,+8)恒成立.

方法一:分离参数空当片应在(0,+oo)恒成立.

令g(x)」”+多产!>0,

-xln(x+l)-21n(A+l)+2x

则g'(x)=

X,

令〃7(x)=-xln(x+1)-21n(x+1)+2丫/>0,

1

则Wa)=l-ln(x+l)*^

令n(x)=mV)=I-ln(x+1

人IA

〃。尸♦+1-x

(%+1)2-(x+l)2：<0,

mf(x)在(0,+oo)单调递减,

则/w,(x)<l-ln1-1=0,则〃7(x)在(0,+8)单调递减,

Am(x)<0-21n1+0=0,即g(x)在(0,+8)单调递减,

./、j.(x+l)ln(x+l)-x..In(x4-1)..111

••g(v)<lim----i-4———==hm———右即〃的取值范围为

Lhm----

80Xx_02XX-O2(%+1)

原+8).

方法二:令g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+1)^>0,

则g,(x)=2ax+l-ln(x4-1)-1=2ax-ln(x+1).

Vx+l>l,/.ln(x+l)>0.

当QWO时,g'(x)<O,g(x)在(0,+S)单调递减，

・・・/(x)<O,/(x)单调递减，不符合题意；

当a>0时，令/7(x)=2ax-lna+l)”>0,则%。)=2〃-占=

(了)当时”(x)>0恒成立,・・・g'(x)在(0,+8)单调递增,

・・・gQ)>O-ln1=0,即gQ)>O£(x)在(0,+oo)单调递增,

・・・g(x)>0+0-0=0恒成立,

即八x)>O,/(x)在(0,+8)单调递增，符合题意.

(ii)当0<。弓时，令〃。)>°，得x>点-1；

令如)<0,得0aq-1,

••・g'(x)在(0，；1)单调递减，在(；1，+8)单调递增.

乙(X乙CZ

又当x£(0,；-l/4\g'(x)v0-ln1=0,

4a

即g(x)在(0,，)单调递减，

・•・当―(。+1)时。力<0+0・0=0,

即八x)〈0在(0,/-1)恒成立於)在(0,1)单调递减，不符合题意.综上所述,a的取值

1

范围为弓,+8).

(/⑴=51=5,

"•解⑴由题意知[10/(10)=10(爷2+得力)=16,515,

整理峨2％10b=16.515,解得。型=0.

(2)设甲产品投资x万元，乙产品投资(50-x)万元，且x可10,40]，则该工厂获得的利润

^(x)=x(—+9)+(50-x)•当叵=51n共5+2同五¥£[10,40],则

XX5U-X

(p'(x)=---7=U=且泮NrW口0,40],令93=0,解得JV=25(负值舍去),当10<x<25

xv50-xxV50-x

时,9'(x)>0,9a)单调递增，当25Vx<40时,，(x)v0,9(x)单调递减，

所以9(x)max=°(25)=101n5+15=10x1.609+15=31.09,所以当甲、乙两种产品各投资

25万元时，该工厂获得最大利润，最大利润为31.09万元.

18.解(1)/口)=3(/-2),令八x)=0,得x尸或j2=&.

当xe(-a),-V2)U(V2,+oo)Qt/(x)>0,

当xe(-V2,V2)H+/(x)<0,

因此总=-//2=\反分别为.危)的极大值点、