2026高考数学复习 提能训练 1（附解析）

提能训练

A组基础巩固

一、单选题

1.(2025•辽宁七校协作体联考)已知随机变量X〜M2,片)，且P(X>3)=0.2,

则P(lvXW3)=()

A.0.8B.0.6

C.0.4D.0.3

［答案］B

［解析］因为X〜M2,/)，由正态分布图象的对称性可知，P(X<1)=P(X>3)

=0.2,所以P(l<XW3)=l-P(XWl)—P(X>3)=0.6.故选B.

2.随机变量X服从正态分布M〃，『)，若P(X<2)=0.2,P(2<X<6)=0.6,则

〃一()

A.6B.5

C.4D.3

［答案］C

［解析］由题意可知P(X^6)=1-P(X<2)-P(2<X<6)=0.2,AP(X^6)=

6+23

尸(X<2),，〃=F-=4.选C.

3.(2026•山东青岛部分学校调研)某工厂生产的零件尺寸服从正态分布M50,

0.22),质检员随机抽取100个零件，尺寸在［49.8,50.2］内的零件个数约为()

(参考数据：P(〃一oWXW"+cr)%0.6827)

A.68B.75

C.82D.95

［答案］A

［解析］:X〜N(50,0.22),即〃=50,。=0.2,P(49.8^X^50.2)=P(50-

0.2^X^504-0.2)^0.6827,二•质检员随机抽取100个零件，，尺寸在［49.8,50.2］

内的零件个数约为：100X0.6827弋68个，故选A.

4.(2026•辽宁辽阳模拟)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知

某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布NQ5,^),且

P(24.9<M<25.1)-0.8,若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25kg〜

25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为()

A.14.4B.9.6

C.24D.48

［答案］A

［解析］因为M服从正态分布N(25,o2),且P(24.9<M<25.1)=0.8,所以

nQ

P(25<M<25.1)=-y=0.4,若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25

kg〜25.1kg的盘锦大米的袋数X〜8(60,0.4),所以D(X)=60X0.4X(1—0.4)=14.4.

故选A.

5.(2025•重庆西北狼教育联盟联考)已知随机变量X〜8(2,〃)，随机变量丫〜

M2,片)，若尸(XW1)=036,P(k4)=p,则P(0<y<2)=()

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

I答案］C

［解析］因为X〜B(2,p),Y〜NQ,/)，P(XWl)=0.36,所以P(X近1)=(1

一p)2+2p(l-p)=0.36,解得〃=0.8或〃=一().8(舍)，由尸(标4)=〃=0.8,则P(YN4)

=1-0.8=0.2,所以"0<丫<2)=；(1—0.2*2)=0.3.故选C.

6.(2026.广东部分学校联考)已知随机变量X服从正态分布M2,/),且

尸(2WX<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)()

A-5B-3

1

C1D

J64

［答案］C

［解析］由题可知或正态分布的均值为2,其图象的对称轴为直线人=2,则

P(X<2)=P(X>2)=0.5,又尸(2WX<6)=0.4,由对称性可知P(X<—2)=P(X26)=

p(X<—2)i

0.5—0.4=01，由条件概率公式得P(X<2||X|>2)=p(x12或X<,2)=%.故选C-

二、多选题

7.(2026•陕西西安高级中学期中)已知随机变量4〜N(0,『)，夕(幻=尸仁《幻，

则下列等式正确的是()

A.(p(-x)=\-(p(x)

B.P(©W1)=1—2。⑴

C.P(©Wl)=2w(l)—1

D.尸(©>1)=2-2夕⑴

［答案］ACD

［解析］因为随机变量4〜N(0，/)，则正态分布曲线关于4=0对称，因为(PM

=P(〈Wx),则由正态分布曲线的对称性可得：夕(一人)+0(工)=1,即夕(一x)=1—w(x),

故A正确;又P(©W1)=P(—1W〈W1)=一(五1)一尸^五-1)=9(1)一3(—1),由

于9(-1)=1-9(1),配以P(©W1)=2夕⑴-1,故B不正确，C正确;P(iei>l)=

1—P(©W1)=1—2夕(1)+1=2—2贝1),故D正确,故选ACD.

8.(2026•河南安阳调研)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血

压，治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布7V(20,52),则()

A.P(X<15)>P(X>25)

B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5

C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为1

D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为《

O

［答案］CD

［解析］P(X<15)=P(X>25),A错误；根据正态分布可知一个人血压降低值

大于20的概率为/但不能得到10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定

不小于5,故B错误；根据正态分布可知一个人皿压降低值大于20的概率为*

则2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为点故C正确；3位患者治疗后

血压降低值都不大于20的概率为(1一习3=+则3位患者治疗后至少有1位的血

I7

压降低值大于20的概率为1-0=0,故D正确.故选CD.

9.(2026.黑龙江新时代高中联合体质检)某高中为了让同学们了解有关半导体

芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片

知识竞赛，统计结果显示，学生成绩Y〜N(70,M),其中不低于60分为及格，

不低于8()分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人,

记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为匕则()

A.该知识竞赛的及格率为60%

32

B.尸(y=2)=话

C.E(y)=3

D.D(r)=0.8

［答案］BD

［解析］因为学生成绩X〜N(70,/)，根据正态分布的对称性得P(X280)=

P(XW60)=0.2,所以尸(X260)=1—P(XW60)=0.8,即该知识竞赛的及格率为80%,

故选项A错误；因为P(X260)=0.8=*由题意可得丫〜8(5,号，所以P(Y=2)

=C9X传)咏(1一5=急,E(r)=5x1=4,。⑺=5><9(1—§=0.8.故选项B、

D正确，C错误.故选BD.

1().(2025・山西吕梁考试)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录

了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均

用时20min,样本标准差为6；骑自行车平均用时24min,样本标准差为2.己知

若随机变量^〜1),则号〜M01).假设小明乘公交车用时X和骑自行车

用时丫都服从正态分布，则()

A.X〜N(20,6)

r-24

B.2--M0J)

C.若某天有28min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车

D.若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应诜择乘公交车

I答案1BCD

y—24

［解析］根据题意如X〜M2(),62),-.......M0J),故A错误，B正确；若有

28min可用，分别设随机变量X,丫的平均数和方差为"X,磔，8.则氏卜一

24|^4)=尸(|丫一〃HW28)=P(|X-〃x|W2GX)=P(\X-20|W12)>P(\X~20|W8),故

P(XW28)<P(y<28),小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有

25min可用，则P(XW25)=[2。),p(收25)=七[24),

X—20Y-24

因为一^―〜N(0』)，二一〜N(0,1)，故P(XW25Ap(YW25),故小明要想尽可能

不迟到应选择乘公交车，故D正确.所以选BCD.

三、填空题

II.(2025.福建泉州模拟)已知随机变量』〜M232),若3)=。(令2〃+

1),则实数。的值为.

［答案］2

［解析］由正态分布的对称性得，。-3+2〃+l=2X2,解得〃=2.

12.(2026•黑龙江大庆质检)已知随机变量X〜M3,/),且P(()<XW3)=0.4,

则P(X26)=.

［答案］0.1

［解析］因为随机变量X〜M3,『),且P(()VXW3)=0.4,所以P(3<X<6)=0.4,

则P(XN6)=0.5-P(3<X<6)=0.5-0.4=0.1.

13.(2026•辽宁名校联盟模拟)若随机变量X〜M4，4)，且P(X24)=P(XW1)

=0.4,则«|WX<4)=.

［答案］0.1

4+15

［解析］因为X〜M",/),且尸(X24)=尸(X〈l)=0.4,则〃=亍=2，所

以哈WX<4)=Hx2,)-P(X24)=0.5—().4=0.1.

14.(2026・四川成都石室中学诊断)己知X〜M2,W),若P(X20)=0.8,

尸(2WXW〃z)=0.3,则实数m=.

［答案］4

［解析］因为X〜NQ,『),P(X20)=0.8,所以P(0WXW2)=P(X20)—0.5

=0.8-0.5=03,根据对称性可得：P(0WXW2)=尸(2WXW4)=0.3,所以m=4.

四、解答题

15.(2025・四川泸州二诊)统计学中有如下结论：若X〜M〃，o2),从X的取

值中随机抽取《左£1<">2)个数据，记这k个数据的平均值为K则随机变量丫〜

心,I).据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨.他每天都会到同一家披萨店购买

一份披萨.该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g,上下浮动

不超过25g,这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g,

标准差为25g的正态分布.

(1)假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值

为匕利用上述结论求产(YW490)；

(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在

(475,525)上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为488.72g,希尔伯特通过分

析举报了该老板.试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由.

附：①随机变量〃服从正态分布可似，/),则

二〃+#=0.6827,

Pa—2°W〃W〃+2^=0.9545,

P(〃一3bW〃<"+3o)=().9973：

②通常把发生概率小于().05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发

生.

［解析］(1)依题意X〜7(500,252),又售=25,

所以V〜N(5OO,25),490=500—2X5,

且尸(490WYW510)=0.9545,

1—09545

所以P(YW490)=-----广，=0.02275.

⑵由(1)可得P(yW490)=0.02275,

又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为488.72g,488.72<490,而0.022

75<0.05,

所以25份披萨质量的平均值为488.72g为小概率事件，小概率事件基本不会

发生，

所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.

B组能力提升

1.(多选题)(2025・重庆调研)在实际生产中，通常认为服从正态分布N@,『)

的随机变量X只取|〃-36〃+3R中的值，这在统计学中称为3。原则，若X在

一3。4+3内外，可以认为生产线是不正常的，已知尸(〃一3oWXW〃+3Q-0.997

3.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布ML().()()()1)(单位：厘米)，则()

A.P(X=1)=1

B.P(X<0.99)=P(x^l.01)

C.若抽检的10个样本的长度均在［0.99,1.02］内，可以认为生产线正常

D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95,应对生产线进行检修

［答案］BCD

［解析］由题意可得〃=1,。=0.01,因为正态分布是随机变量X在某一区域

内的概率(在某一处的概率约为0),所以尸(X=l)接近于(),或P(XWl)=g或P(X21)

=1,故A错误；因为X服从正态分布Ml,0.0001),所以关于〃=1对称，所以

P(Xv0.99)=P(XN2-0.99)=P(X2L01),故B正确;因为〃-3。=0.97,"+3。=

1.03,即零件长度在［0.971.03］内的是正常的，否则就为不是正常零件，故C正确；

由C的分析，可知0.95阴0.97,1.03］,所以需要对三产线进行检修，故D正确.故

选BCD.

2.(多选题)(2026•安徽蚌埠调研)已知随机变量X〜N(〃，『)，随机变量丫〜

8(3,〃)，若P(XWl)=0.5,E(X)=E(r),D(X)=D(Y),则下列说法正确的是()

4

A.4=1B.D(2X)=T

C.P=|D.D(3Y)=6

［答案］ACD

I解析］因为随机变量X〜M//,M),且P(XWl)=0.5,所以结合正态分布的

对称性可得〃=1,故A正确；由正态分布的期望性质得凤X)=l,由二项分布性

质得E(r)=3p,而凤x)=E(y),则3p=1,解得〃=；，此时随机变量变为y〜8(3,⑤

故C正确；由二项分布的方差性质得Q(y)=3X；X(l—§*，而Q(X)=。⑺，

则D(X)=?由方差的性质得O(2X)=22X£>(X)=4XQ=Q,故B错误；由方差性

JJJ

2

质得。(3r)=32XO(y)=9X§=6,故D正确.故逸ACD.

3.（多选题）（2026.湖北荆州起点考试）已知连续型随机变量4〜ML/），设函

数1］）=,则下列说法正确的有（）

A.凡0是在定义域R上的增函数

B.JU）的图象关于直线x=l对称

C./"）的图象关于点（1,对称

D.7U）的图象位于两条直线y=0,）=1之间

［答案］ACD

［解析］已知。〜N3/），/U）=P（jWx）,随着x的增大，jWx这个事件发

生的概率是增大的，即/U）是在定义域R上的增函数，所以A选项正确；若函数

兀0的图象关于直线％=1对称，则。i+x）=/u—力;y（i+x）=尸美Wi+x）,

=「ewi—x）,由正态分布的性质可知所以犬幻的图象

不关于直线x=l对称，B选项错误；因为正态分布曲线关于x=l对称，所以尸（。41）

=1,且尸ewi+x）+p（d）=i,即川+幻+川一幻=1,所以./«的图象关

于点（1,y对称，C选项正确；由于概率尸（«幻的取值范围是［0,1］,所以.仆）=

的图象位于两条直线），=0,y=l之间，D选项正确.故选ACD.

4.（2025・河南实验中学开学测试）某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国

有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们

的竞赛成绩（满分100分,每名参赛学生至少得60分）,并将成绩分成4组:［60,70）,

［70,80）,［80,90）,［90,100］（单位:分）,得到如下的频率分布直方图.

（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分

的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列

2X2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”

称号与性别有关.

科技知识达人非科技知识达人合计

男生15

女生

合计

(2)将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中

是“科技知识达人”的人数为蜃求4的分布列与数学期望.

Mad-bc)?

附：/二

(〃+b)(c+④伍+c)(Z?+G

(其中〃=a+〃+c+J).

a0.1000.0500.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

［解析］(1)2X2列联表补充完整如下:

科技知识达人非科技知识达人合计

男生153550

女生54550

合计2080100

零假设M)：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关,

100X(15X45-5X35)^25^

人」20X80X50X504023'叫1'

所以依据小概率值仪=0.()5的独立性检验，我们推断Ho不成立，即有95%的

把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.

(2)从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率〃=£,由题意可知:

。〜M3,号，的可能取值为0,1,2,3，

则%=0)=色义(1一目3乂(£|。=畏

p(『)=dx(T)M,=怎

P(e=2)=c?x(i4)x(1)=^,

%=3)=cMT>X缺=七，

所以4的分布列为

X0123

6448121

P125125125125

稳+IX卷+2X需+3X导需/

所以E(,=OX

c组拓展应用(选作)9

(2026•辽宁鞍山质监)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与

意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列

联表:

性别愿意参与不愿意参与合计

男生3