对数【八大题型】-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题4.3对数【八大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型1对数的概念判断与求值】...............................................................2

【题型2指数式与对数式的互化】...............................................................3

【题型3对数的运算性质的应用】...............................................................5

【题型4运用换底公式化简计算】...............................................................6

【题型5指、对数方程的求解】..................................................................7

【题型6带附加条件的指、对数问题1..............................................................................................................9

【题型7运用换底公式证明恒等式〕............................................................10

【题型8对数的实际应用】.....................................................................12

A举一反三

【知识点1对数的概念】

i.对数的定义、性质与对数恒等式

(1)对数的定义：一般地，如果4、=%(〃>0,且在1)，那么数x叫做以〃为底N的对数，记作x=log“N,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)对数的性质：

①log“l=0,Iog"4=l(〃>0,且存1),负数和。没有对数.

②对数恒等式：N=N(N>0.>0,且启1).

(3)对数与指数的关系：

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当〃>0,且在1时，4、=NCx=log.N.

用图表示为：

骞值真数

II

a1=No=x

[底数1

指数对数

2.常用对数与自然对数

名称定义符号

常用对数以1。为底的对数叫做常用对数logioN简记作IgN

以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

自然对数log。N简记作MN

戏.71828

【题型1对数的概念判断与求值】

【例1】（23-24高一上•全国•课后作业）有下列说法：

①以10为底的对数叫作常用对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以e为底的对数叫作自然对数：

④零和负数没有对数.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.

【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，

只有当Q>0且QH1时，指数式QX=N才可以化成对数式，②错误，

故选：C.

【变式1-1]（24-25高一上•全国,随堂练习）对数10g（a+3）（5-Q）中实数〃的取值范围是（）

A.（-8,5）B.（-3,5）C.（-3,-2）U（-2,5）D.（-3,+oo）

【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.

【解答过程】因为对数式的底数为人于零不等于1的实数，真数为正实数，

-Q>o

所有

以+3>O

+31QG(—3,—2)U(—2,5)>

#:

故选C

：

【变式1・2】（23-24高一上•江苏宿迁•期中）在下列四个命题中，正确的是（）

A.若M=N则logaM=log/；B.若logaM=logaN，则用=':

22

C.logaM=\ogaN,则时=/7：D.若M=N,则logaM?=logaN?.

【解题思路】结合对数性质可逐•判断各选项.

【解答过程】对A,若M=N£0,则logaMlogaN均无意义，故A错；

对B,若10gaM=k）gaN,说明M=N>0,则B项正确；

对C,若logaW=]0gaN2,则M=N2,不一定能推出M=N,故C错；

对D,若M=N=0,则10gaM2』0gaN2无意义，故D错.

故选：B.

【变式1-3]（23-24高一上•贵州贵阳•阶段练习）使式子log（3Ai）（2-%）有意义的》的取值范围是（）

A.x>2B.-<x<2C.1VxV2且％W2D.xV2,

333

【解题思路】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解.

（3x-1>0

【解答过程】由式子1%3%一1）（2-%）有意义，则满足3%-1工1,解得;VXV2且”。；.

（2-x>0

故选：C.

【题型2指数式与对数式的互化】

【例2】（24-25高三上•江苏南京•开学考试）已知a*=4,loga3=y,则=（）

A.5B.6C.7D.12

【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即瓦求得答案.

【解答过程】由loga3=y,得”=3,

故a*+y=ax-ay=4x3=12,

故选：D.

【变式2-1]（23-24高一上•新会乌鲁木齐•期末）将log30.81=》化成指数式可表示为（）

A.3X=0.81B.”81=3C.3081=xD.0.813=x

【解题思路】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式.

【解答过程】把对数式log30.81="化成指数式，为3、=0.81.

故选：A.

【变式2-2]（23-24高二下•北京东城•期末）已知2a=3,log45=b,则2。一2b的值为（）

A.15B.\C.7D.-2

3S

【解题思路】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.

【解答过程】由Iog45=b,得4>=5,即22》=5,而2a=3,

所以2。-2b=瑞=：.

故选:C.

【变式2-3]（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知Q>0」>0,log9Q=logi2b=10gi6（Q+b），则”

AA.-6---1Bn.-V5--1八C.-1D八.-叵--一-1

2222

【解题思路】设loggQ=10gl2。=10gi6(Q+匕)=匕把Q,匕和。+匕用上表示出来，根据等量关系求出0的

值，而£=G)"，可得结果.

【解答过程】设log9a=logi2b=log16(a+b)=k,

则有a=9k=32k,b=12"=3"x4",a+b=16"=42/c,

可得32火+3Ax4k=423即ey"+G)k_i=o,解得

所以9=上=偿丫=土匹

'八人3kx4k\4；2,

故选：D.

【知识点2对数的运算】

1.对数的运算性质

如果a>0,且g1,M>0,N>0,〃GR,那么我们有：

运算数学表达式自然语言描述

正因数积的对数等于同•底数的各因数的

积的对数log“（MN）=log“M+log“N

对数的和

两个正数的商的对数等于同一底数的被除

商的对数loga果=loga"-logN

u数的对数减去除数的对数

正数幕的对数等于幕指数乘同一底数的暴

基的对数log“M"=nlog,M

的底数的对数

2.对数的换底公式及其推论

(1)换底公式:设〃>0,且-1,c>0,且存1,Z»0,则logab=器”.

(2)换底公式的推论：

①log“b•log/,a=l(a>0,且存1力>0,且屏1)；

②logab-logAc•log/=logad(a>0,且中1力>0,且厚l,c>0,且c#l,tZ>0)；

③log"，"='log“b(a>0,且在1£R).

3.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用箱的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数基的形式，使箱的底数最简,

然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、哥再运算.

(3)指对互化：d=N—%=108“％(〃>0,且际1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【题型3对数的运算性质的应用】

【例3】(23-24高二下•湖南邵阳•期中){t®(log43+log83)(log32+log272)=()

A」B.：C.3D.V

【解题思路】利用对数运算法则得到答案.

【解答过程】(log43+log83)(log32+log272)=Qlog23+^log23)(log32+|log32)

=於畛3x^log32=*ogz3xlog32=

故选：D.

【变式3・1】(24-25高一上•上海•期中)下列结论中，不正确的是()

A.lgM《=>0)B.IgVM>0)

C.lgM-n=9gM(M>0)D.IgVM^=>0)

【解题思路】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.

【解答过程】对于选项A,由对数的运算性质知lgM：=3gM(M>0),所以选项A正确；

对于选项B,因为IgSW=InMG=JgM(M>0),所以选项B正确；

对于选项C,因为年“一八二一汨8河>0),所以选项C错误；

771

对于选项D,因为IgS丽=lgMG=TlgM(M>0),所以选项D正确；

故选：C.

【变式3-2](23-24高二下.山西长治.期末)已知函数0(%)二恒今，则8(§+8(：)+…+9(看)=()

A.1B.-1C.IgllD.-Igll

【解题思路】分别计算出每个函数值，再求和即可.

【解答过程】易知W(0=吗,"3=吗W(|)=崂,“3=W36)=崂,W(2嵯,W©=*

%)=吗w仔)=ig*

故？G)+0(3+…+”9=喝X：X：X…X3=1g3=T，故B正确.

故选:B.

,02

【变式3-3］（23-24高二下•天津滨海新•期末）计算lg5+7^+log23-log94+也2的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】根据对数的运算即可求解.

,02

［解答过程JIg5+7^+log23-log94+Ig2

10g?2

=(lg5+lg2)+74-log23-log94

2

=IglO+2+log23-log322

=IglO+24-log23-log32

=1+2+lo6g223•

log23

=4.

故选：C.

【题型4运用换底公式化简计算】

【例4】（24-25高一上•全国•课后作业）设log83=p,log35=q,则lg5等于（）

A.p2+q2B.43p+2q)

「3Pq

D.pq

•l+3pq

【解题思路】利用换底公式可得k）g32=；,再结合换底公式运算求解.

3P

【解答过程】因为log83=p,则1喉8=31og32=：,即log??=*

嗝3Pq

所以lg5=15_Iog35

log310log32+log35号+ql+3pq，

故选：C.

【变式4-1］（23-24高二下•天津河东.期末）若2%=6,y=log4p则％+2y的值是（）

A.3B.Iog23C.8D.-3

【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.

【解答过程】由2》=6,得x=log26,而y=log4,

所以％+2y=log26+21og4g=logz6+=!ogz6+log2g=log28=3.

故选:A.

【变式4-2］（23-24高一下・云南曲靖・阶段练习）若怛2=。,10匕=3,则1082415=（）

.b-a

A.----B.小C.咤D.三

za+bza+bsa+bsa+b

【解题思路】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可.

【解答过程】因为10匕=3,所以5=lg3,

所以log2415二誉=

6"Ig24Ig8+lg33lg2+lg33a+b

故选：C.

【变式4-3](24-25高一上•全国•课后作业)计算1。889*地910,抽1011，..><后83132的结果为()

A.4B.-C.-D.-

345

【解题思路】根据换底公式结合对数的定义运算求解.

【解答过程】由题意可得：log89XlogglOxlogiollx...xIog3i32

log29log10logllbg32

--------x------2----x------2----X,・•X-----2-----

log28log29log21013g231

_log232_5

log28-34

故选：B.

【题型5指、对数方程的求解】

【例5】(24-25高三上•浙江•开学考试)方程1"3%=1。86"1。89%的实数解有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】由换底公式变形解对■数方程即可.

【解答过程】log3%=罟=*•当=log6%•logq%，所以In%=0或Inx==21n6=ln36,

所以％=1或%=36,

所以方程log3'=log6X•]og9%的实数解有2个.

故选：C.

【变式5-1](24-25高一上•上海•随堂练习)设方程(lgx)2-1g/-3=0的两实根是。和b,则logR+logba

等于()

A.IB.-2

C.--D.-4

3

【解题思路】解方程得出lga=3,lgb=-l,再由换底公式计算即可;

【解答过程】方程(lgx)2-lg%2-3=0可化为(lgx)2-21gx-3=0,即(Igx-3)(lgx+1)=0,

解得Igx=3或Igx=-1,不妨设Iga=3,Igb=-1

log/+logbQ=■+耨=?+5=一3

故选：c.

【变式5・2】(23-24高一・全国•随堂练习)已知a,〃是方程2(lnx)2-31nx+1=0的两个实数根，求下列

各式的值:

(喘+占

(2)logab+logda.

【解题思路】⑴根据韦达定理写出皿时满足的关系式，再对白+高化简后求值即可;

(2)将log/+log＞。化简为用Ina+Inb,Ina•Inb表示的形式,再求值即可.

【解答过程】(1)因为小〃是方程2(也%)2-3巾"+1=0的两个实数根,

由韦达定理得Ina-\nb=1,lna+In/?=

3

-

23

所以・+自=翟罂1-

-

2

故J-+—=3

"in。十Inb'

/八i,■Inb,Ina(lnb)2+(lna)2(lnb+lna)2-2lnalnZ>(Inb+lna)2-(1)_9_5

(2)log„b+loga=^+^=.=-—=-^^-2=1-2=2-2=P

dlnulnb2

所以logab+logfca=1.

【变式5-3](23-24高一上•上海•假期作业)设关于％的方程lg2<-Igx2+3p=0的两个实根分别是a,/?.

(1)求实数p的取值范围：

(2)求logaS+log6a的取值范围.

【解题思路】(1)设t=lgx,则关于t的方程/一2t+3P=0的两根为Iga和lg/L根据ANO计算可得;

(2)列出韦达定理，再利用换底公式将1。8戊0+1。86戊化为?-2,再结合p的范围计算可得.

3P

【解答过程】(1)因为Ig2%—lg/+3p=0,即Ig?%—21gx+3P=0,

设£=Igx,则关于t的方程产-2£+3p=。的两根为Iga和1g?,

所以A=(一2产一12P>0,解得p<I；

⑵由韦达定理,得端濯蓝,

所以喻…喻”修器=带

_(!g6+lga)2-21galg/?_4-6p__4__?

Igalg/?-3p-3Pj

因为3P<1且3PH0,所以；>4或白<0,

所以2>2或2一2<-2,

3p3p

所以loga。+log.a的取值范围为（一8,-2）U［2,+8）.

【题型6带附加条件的指、对数问题】

【例6】（24-25高一上•全国•课后作业）已知logi（）2=a,logi（）3=b.

⑴求logio72,log104.5；

（2）若logio%=Q+b—2,求x的值.

【解题思路】根据对数的加法、减法运算求解。）（2）即可；

32

【解答过程】（1）log1072=log10（2X3）,

=31og102+21og103=3a+2匕；

9

logl04.5=log10-=21og103-log102=2b-a.

（2）log10x=a+b-2=loglo2+loglo3-2=loglo2+logI03+log10^=l°gi。言，

所以％=+=0.06.

【变式6-1］（24-25高一上•上海,课堂例题）（1）设3a=4》=36,求的值；

ab

（2）已知3a=5b=C,且2+：=2,求C的值.

ab

【解题思路】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得与白代入运算求解即可.

ab

【解答过程】（1）因为3a=4。=36,则Q=log336,/?=log436,

则E=氤=l0g363t=氤=10g364

所以3+3=210g363+log364=log3694-log364=log3636=1；

（2）因为3a=5"=c,则a=log?。，b=log5c,

可得；logc3,g=logc5,则［+：=logcl5.

由题意可得logcl5=2,则c?=15,且c>0,所以c="5.

【变式6-2］（24-25高一上•上海，课后作业）已知21og2（x-3y）=log2%+log2y+2,求log??］的值.

2

【解题思路】利用对数的运算性质化简己知等式可得log2（%-3y7=log2（4xy）,所以（%-3y）=4xy,注

意到真数大于零，即可求出土的值，从而求出结果.

y

【解答过程】解：•.•21og2（%-3y）=log2x+log2y+2,

尸=

・・・log2(%-3ylog2(xy)+log24=logz(4xy),

/.(x-3y)2=4xy,BPx2-10xy+9y2=0,

(x-y)(x—9y)=0,又%—3y>0,x>0,y>0,

.・.x-9y=0即j=9,

•,-log27；=log9=^.

yQ27

2_1

【变式6-3](23-24高一上.湖北荆州.期末)⑴化简求值：(沙+仁]一提+1；

已知％=手且求

(2)logak,y=\ogbk,z=logcZt,k1,xy+yz+%z=0,abc.

【解题思路】(1)由实数指数第的运算性质，即可求解：

(2)利用换底公式可得X=10ga仁骼丫=唳m=鳖,2=蜒次=臀由对数的运算性质，即可求解.

Iga\guigc

2―工

【解答过程】解：⑴倨),+危尸-儡+1='+500、10(1+2)+)

=g+10V5-10V5-20+1=一季

⑵•••x=logak=既,y=log曲=备z=log*=翳

且xy+xz+yz=0,k丰l,xyzH0,

即2+3=0

xyz

...Iga+lgb+lgc_Ig(abc)_0

IgfcIgfc

•••abc=1.

【题型7运用换底公式证明恒等式】

【例7】(23-24高一•全国•随堂练习)已知2*=3'=122工1,求证：-+-=

xyz

【解题思路】根据对数的定义和运算性质分析证明.

z

【解答过程】设2、=3、=12=Q,可知Q>0且QH1,

则

x=log2a,y=log3a,z=log12G,

可得工=

=logrt2,~==loga3,i=—=loga12,

xlog2a°ylog3a°zlog12a

所以：+：=21oga2+log3=log4+log3=log12,

xyartaa

BPx-+y-=-z.

【变式7-1]（23-24高一•全国•课后作业）证明;

(1)\o^ab-logdc-logca=1：

n

(2)logamb=^logab.

【解题思路】利用换底公式及对数的性质即可证明

【解答过程】证明:⑴胃,地八一小二整痣.粤=1.

telogab-loghc-logca=l.

nlQgubn

(2)v\OQamb=m=汨：g'b=—logab,logamb=~\ogab.

balog„amloga«m8am6a

【变式7-2](23-24高一下.上海.课后作业)已知在△/18C中，LC=90°,角4,B,C所对应的三条边长

分别为。，b,c.求证：log(b+c)a+log(cf)a=21og(“c)Q•log(c-b)a・

【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.

【解答过程】证明：在△/1%?中，因为4C=90°,所以。2-产二。2,

因为:g("c)"+icgab)a=._1—+._1-=loga(c-b)+loga(.c+b)

log(b+c)alog(c-b)alog(c-b)«log(c+b)a

222

=】oga[(c-b)(c+b)]=10ga(c-b)=logfla=2,

所以logg+c)a+】og(c-b)a=210g(j)+c)Q-log(c-b)«-

【变式7-3](23-24高一・江苏•课后作业)设出均为不等于I的正数，利用对数的换底公式，证明：

(1)log"=

iogba

m

(2)\oganb—^logaZ?(zzie/?,ne/?,zi-Z-0).

【解题思路】直接利用换底公式化简证明即可

【解答过程】证明：(1)因为。，〃均为不等于1的正数，

所以左边=臀=；=右边，

logfettlogfea

所以=瞥=#,

logbalogfta

(2)因为a,。均为不等于I的正数，m£R,nER,n0

所以左边=产;=『=%logab=右边，

noa

logaanlogaan

所以loga"""=；】ogab(meR,neR,n0).

【知识点3对数的实际应用】

1.对数的实际应用

在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数

学模型，寻找量与量之间的关系：二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

（1）建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

（2）建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.

【题型8对数的实际应用】

【例8】（24-25高三上•黑龙江哈尔滨,阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗

星的星等与亮度满足？ni-徵2=2.5（lgE2-IgEj.其中星等为成的星的亮度为=1,2）.已知“河鼓二”

的星等约为0.75,“天津四”的星等约为1.25,“河鼓二”的亮度是“天津四”的「倍，则与，最接近的是（）

（注：结果精确到0.01,当|%|较小时，10、=l+2.3x+2.7/）

A.1.56B.1.57C.1.58D.1.59

【解题思路】根据题意可得0.75-1.25=2.5（lgF2-1g%）,求:哈即可得解.

匕2

【解答过程】根据题意可得0.75—1.25=2.5（也%—骸1）,所以］g詈=；,解得r=善=加，

根据参考公式可得r=1