立方根-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第二讲立方根

【学习目标】

了解立方根的概念，会用根号表示••个数的立方根:会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算,

了解立方根的性质:区分立方根与平方根的不同：

【基础知识】

1.如果r=4,则X叫做。的立方根；记作机

2.每个数4都只有一个立方根。

3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

4.1的立方根是小即行=%

5.立方根等于本身的数是0,±1。

【考点剖析】

考点一：立方根的辨析

例1.（1）下列说法中，错误的有（）

①任何数都有算术平方根；②正数的平方根一定是正数；③后的算术平方根是。；④立方根不可能是正数;

⑤任何实数都有立方根

A.①②③④B.②③@©C.①②④⑤D.①③④⑤

【答案】A

【详解】

解：①负数没有算术平方根，故错误；

②正数的平方根为一正一负两个数，故错误；

③力的算术平方根是卜卜故错误；

④立方根可能是正数，故错误；

⑤任何实数都有立方根，故正确；

故选A.

（2）按要求填写下列各数：

①倒数是它本身的数是.

②相反数是它本身的数是.

③绝对值是它本身的数是.

④平方是它本身的数是.

⑤平方根是它本身的数是.

⑥算术平方根是它本身的数是_________.

⑦立方是它本身的数是_________.

⑧立方根是它本身的数是_________.

【答案】±1;();非负数；0，I;0；0,1：1,(),/：/，0,1

【详解】

解：①倒数是它本身的数是±1,

②相反数是它本身的数是0,

③绝对值是它本身的数是非负数，

④平方是它本身的数是0,1,

⑤平方根是它本身的数是0,

⑥算术平方根是它本身的数是0,I,

⑦立方是它本身的数是I，0,-1,

⑧立方根是它本身的数是0,1,

故答案为：±1，0,非负数，0,1；0；0,1；1,0,-1：-1,0,1.

考点二：求一个数的立方根

例2.(1)计算：A-亚布=.

7

【答案】-

2

【详解】

解：J------27=—I-3=-♦

V422

7

故答案为：

2

(2)计算亚可一卜3|=.

【答案】-5

【详解】解：亚石一|一3|=-2—3=-5,

故答案为：一5.

考点三：利用立方根解方程

例3.解卜列方程：

(1)2x3=-16；

(2)25(x2-1)=24.

【答案】(I)3二一2；(2)x=±-

5

【详解】

解：(1)0/2A-3=-16,

父=-8，

x=-2♦

(2)V25(x2-1)=24,

..X2-1।=-2-4-9

25

._49

..X2=—，

25

♦一7

5

考点四：立方根的应用

例4.小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发

现小水桶中的水面下降了1cm,小燕量得小水桶的直径为12cm,于是她就算出了铅球的半径.你知道她是

4

如何计算的吗？请求出铅球的半径.(球的体积公式丫=二万，，「为球的半径.)

3

【答案】3cm.

【详解】

解：设球的半径为r,

•・•小水桶的直径为12cm,水面下降了1cm,

...小水桶的半径为6cm,

，下降的水的体积是"62x1=3水(cnP),

即—冗尸=36兀,

3

解得：,=27，­=3,

答：铅球的半径是3cm.

例5.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为

162平方厘米.（提示：182=324）

（1）求正方形纸板的边长：

（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面

【答案】（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米

【详解】

解：（1）依题意得：7162x2=18（cm）,

答：正方形纸板的边长为18厘米；

（2）依题意得：^/343=7（cm）,

则剪切纸板的面枳=7x7x6=294（cm2）,

剩余纸板的面积=324-294=30（cm2）

答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米.

考点五：平方根、立方根的综合应用

例6.已知4x-3的算术平方根是1,2x+y-6的立方根是2.

（1）求工、V的值；

（2）求3”的平方根.

【答案】（1）x=l,），=12；（2）±6

【详解】解：（1）・・,4X-3的算术平方根是1,

则4x-3=[2,

解得尸1，

•・・2r+y・6的立方根是2

:.2x+y-6=23=8,

:.2+y-6=8,

解得尸12,

/.^=1,3=12

(2)当x=l,产12时，3xy=3x1x12=36,

V36的平方根是±6,

3xy的平方根土6.

【真题演练】

1.下列各式运算中，正确的是()

A.>/16=±4B.|—5|=-5C.—2?=4D.-^27=-3

【答案】D

【详解】

解：A、-\/16=4，故选项错误；

B.|-5|-5,故选项错误；

C、-22=-4,故选项错误；

D、一炳二一3,故选项正确：

故选D.

2.下列计算正确的是()

A.也=±3B.^9=-3C.（回=9D.J（一9『二-9

【答案】C

【详解】

解：A、=3，故错误；

B、9H-3，故错误；

C、(V9)2=9,故正确：

D、J(-9)2=9,故错误；

故选C.

3.下列说法错误的是()

A.0的平方根是0B.(-2)2的平方根是±2

C.算术平方根等于它本身的数是1D.立方根等于它本身的数是0,±1

【答案】C

【详解】

解：A、0的平方根是0,故正确，本选项不符合题意；

B、（-2门的平方根是±2,故正确，本选项不符合题意；

C、算术平方根等于它本身的数是。和1,故错误，本选项符合题意；

D、立方根等于它本身的数是0,±1，故正确，本选项不符合题意；

故选C.

4.兆的相反数（）

A.2B.-2C.±2D.—

—2

【答案】B

【详解】

解：•・•我:2,2的相反数是・2,

・•・我的相反数是-2,

故选：B.

5.若/=16,扬=一2,则。+力的值是（）

A.-4B._12或TC.12D.12或4

【答案】B

【详解】

解：・・々=16丽=-2,

/.d=±4,b=-8.

・••当。=4,/k-8时，a+b=-4；

当4=4b=-8时，a+b=-\2.

故选：B.

6.已知4m+15的算术平方根是3,2-6〃的立方根是-2,则（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【详解】

解：由题意可得：4/n+15=9,2-6/:=-8,解得：zw=-|,〃=《

/.、/6〃-4"i=Jx：-4x-gj=yi6=4

故选:C

27

7.2021的倒数为产方根为一

【答案】二773

20214

【详解】

解：V2021X----=1,

2021

A2O21的倒数为」一，

2021

3、327

V——)=——，

464

273

・•・——的立方根为-二.

644

13

故答案为：而T-7

8.已知3既是工一4的算术平方根，又是工+2y-10的立方根，求/），2的平方根是

【答案】±5

【详解】

解：因为3既是（『4）的算术平方根，又是（x+2y-10）的立方根,

所以x-4=32=9,x+2y-10=3\

所以x=13,y=12,

=132-122

=25.

・・・卜货的平方根为±5；

故答案为：±5.

9.计算：J(-0.5)~+y/s—

【详解】

解：原式=0.5+2-』二2.

44

10.求出下列等式中x的值：

（1）7/=63；

/

⑵—+5=1.

2

【答案】（1）x=±3；（2）x=-2.

【详解】

解：（1）7/=63；

f=9，

x=±3；

（2）—+5=1,

2

x3

——=-4，

2

丁=-8，

x=-2.

II.某正数的两个不同的平方根分别是〃-12和3〃?-4,求这个数的立方根.

【答案】这个数的立方根为4.

【详解】

解：•・•某正数的两个不同的平方根分别是〃2-12和3〃?一4

...（/〃-12）+（3///-4）=0

m=4

:.3〃［一4=8

，这个数为64，

，这个数的立方根为病=4.

12.写出下列式子所表示的意义，并计算出结果.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】

解：（1）—J2表示总的负的平方根,

3

结果是一三；

8

表示2—的立方根,

27

4

结果是；.

3

13.回答下列问题：

（1）若一个数的平方根是3〃?一1和4一2〃，求/〃的值，并求出该数；

（2）已知2工一6的一个平方根是2,2工+丁+5的立方根是3,求f+尸的平方根.

【答案】（1）100：（2）±13

（2）根据21-6的一个平方根是2,可以得到x的值，根据23+），+5的立方根是3,可以得到y的值，从

而可以求得f+）3的平方根.

【详解】

解：（1）依题意得：

3m-l+4-2m=0,

解得：〃?=-3,

・••这个数为［3乂（一3）-17=100；

（2）•・，2x-6的一个平方根是2,

.*.A=5,

•・•2x+y+5的立方根是3,

:.2x+y+5=27,

・••尸12,

AX2+/=524-122=169,

则?+))的平方根为±13.

14.(I)已知返=2,痴丽=20・V0.008=0.2・则痴00000=

(2)已知%不=5,2500()=50,沟25=0.5，则/).000125=

(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向移动

位.

(4)如果加=〃，则WlOOOx

【答案】(1)200(2)0.05(3)

(2)当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，▼()」)()()125可以

理解为被开方数小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根的小数点向左移动1位后又向左移动I

位，直接写出得数即可.

(3)通过前两个小题的观察、验证，总结规律，被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则

向左或右移动1位.

(4)把发现、总结的规律进行应用，直接写出得数即可.

【详解】

解：(1)根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左

或右移动1位.

^8000()0()可以看作为被开方数8的小数点向右移动3位后乂向右移动3位，

则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位，

・•・^80000()0=2(X).

(2)根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右

移动1位，

10.000125可以理解为被开方数125的小数点向左移动3位后又向左移动3位，

则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位,

・,・[().()()()125=0.()5.

(3)通过前两个小题的观察、验证，

总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动I位.

(4)根据以上小题发现的规律，

Vioool可看作被开方数X向右移动3位，

W=a，x的立方根。向右移动1位，

・•・执0()(比=10〃;

•・•J—=^/O.OOlx,

V1000

。().0()1]可看作被开方数%向左移动3位,

ifx=a^x的立方根。向左移动1位，

【过关检测】

1.1石的算术平方根等于()

A.9B.±9C.3D.±3

【答案】C

【详解】

解：因为93=729»

所以痂5=9,

因此1而的算术平方根就是9的算术平方根，

又因为9的算术平方根为3,即百=3，

所以北国的算术平方根是3,

答案：C.

2.下列说法正确的个数是()

(1)平方根等于本身的数是0，1(2)正数和负数统称为有理数

(3)(-I)?”=1(n为正整数)(4)无理数加上无理数一定是无理数

(5)立方根等于本身的数是1,-1，0(6)J话的平方根是±4

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】

解：(1)平方根等于本身的数是0,故说法错误；

(2)整数和分数统称为有理数，故说法错误；

(3)(-l)2n=l(〃为正整数)，故说法正确；

(4)无理数加上无理数不一定是无理数，如不+(一")=0,故说法错误；

(5)立力根等于本身的数是1,-1.0,故说法正确：

(6)Ji%的平方根是±2,故说法错误；

故选:B.

3.下列四种说法中：(I)负数没有立方根：(2)I的立方根与平方根都是1；(3)取的平方根是±J5；

(4)3/8+1=24-1=2-.其中错误的个数为()

V822

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

解：(I)任何数都有立方根，故选项错误：

(2)1的平方根是±1,1的立方根是1,故选项错误；

(3)般的平方根是±&,止确；

所以(1)(2)(4)错误.

故选：C.

4.若(Z—1)2=289,则2=；(31_1)3+64=()则1=

【答案】18或-16-1

【详解】

解：・・・(z-1)2=289,

z-1=±17»

/.z=18或-16,

•・,(3x—厅+64=0,

A(3X-1)3=-64,

A3X-1=-4.

x=—\,

故答案为：18或-16,-1.

5.-舛的平方根是,、历的算术平方根是

【答案】±V2G

【详解】

解：-—2，

2的平方根是土及，

M=3,

3的算术平方根是G，

故答案为：士近，、万.

6.如果V2.020=1.264,620.20=2.723,那么W.0202=.

【答案】0.2723

【详解】

解：V^/2.020=1.264,^20.20=2.723,

・•・执).0202=^20.204-1000=#20.20+朗000=2.723+10=0.2723，

故答案为:0.2723.

7.有一个体积为200cm3的正方体，在它的八个角上分别截去1个大小相同的小正方体，余下部分的体积

是75cm3,则截去的每个小正方体的棱长是.cm.

【答案】2.5

【详解】

解：截去的8个小正方体的总体积为200-75=125(cm3),则每个小正方体的体积为125+8=15.625(cm3).

设截去的每个小正方体的棱长为X。"，则2=15.625,

解得x=2.5,

故答案为：2.5.

8.若正实数x的两个平方根分别为2。+1和3。一4,实数)'的立方根为一。，则工+了的值为—.

【答案】翟

【详解】

解：:正实数x的两个平方根分别为2。+1和3〃一4,

/.2。+1+3。­4=0,

/.5a=3,

3

/.+1=-y,

fllf121

:.x=\——=——,

⑺25

•・•实数)'的立方根为一

"(5)125

121(27、578

x+y=——+-----=------.

251\25)125

故答案为：沿.

125

9.(1)已知Jci-\+\lb-5=0,则(a・b)?的平方根是

(2)若W=64,则正=；

(3)如果右的平方根是±3,则〃=

【答案】(1)±4；(2)±2；(3)81

【详解】

解：（1）•・•二T+二^=0，

Aa-1=0,8・5=0,

♦b=5,

工。-b=\-5=-4,

•••（口-〃）2的平方根是_L4；

（2）Vx2=64,

/.A=±8,

***l[x=±2：

（3）•・•赤'的平方根是±3,

・•・八一9，

/•d=81.

故答案为：（1）±4；（2）±2；（3）81.

10.己知%?=4，且（♦-2c+if+Jc-3=0,求14+//