2025-2026学年湘教版高中数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 单元测试（含答案）

第1章平面向量及其应用

一、选择题:本题共8小题海小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知向量a=(2,l),b=(x,-2),若a〃b,则a+b=()

A.(-2,-l)B.(2,l)

C.(3,-l)D.(-3,l)

2.在中，若N4=60°,8C=4V5,/C=4A仅则N8的大小为()

A.30°B.450

C.135°D.45°或135°

3.已知人46。的内角//,/氏/。所对的边分别为4/6且(4+6)2-。2=4,/。=120°,

则△/8C的面积为()

A—B.WC.V3D.2V3

4.己知|a|=l,|b|=2,且a与b的夹角为:，则|a-/5b|=()

A.V7B.2V2

C.V10D.V19

5.在△"C中必=e力=2,N4=g则此三角形()

A.无解B.有两解

C.有一解D.解的个数不确定

6.在中〃。为8c边上的中线,E为4。的中点，则前=()

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C.^-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

7.如图所示，半圆的直经48=4。为圆心，。是半圆上不同于48的任意一点若。为

半径OC上的动点，则(方+厢)•玩的最小值是()

A.2B.0

C.-1D.-2

8.如图，在平行四边形45CO中,。七=色。/为4c的中点,G为Eb上的一点，且布=

:荏+〃?而,则实数m的值为()

二、选择题:本题共3小题,每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a=(l,・2),|b|=4|a|,a〃b,则b可能是()

A.(4,・8)B.(8,4)

C.(-4,-8)D.(-4,8)

10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()

A.若2〃1)且1)〃(:,则a〃c

B.(a4-b)c=ac+bc

C.若ab=ac,且aWO,则b=c

D.(ab)c=a(bc)

11.在中,/力,//?,/。所对的边分别为〃则下面说法IF确的是()

A.若bsin4=QCOS伉则3三

B.若则COS2B>COS2C

C.若/8无力=2”但则满足条件的三角形共有两个

D.若而而<0,则满足条件的三角形为钝角三角形

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知a,b为单位向量，且ab=O,若c=2a-J5b,则cos<a,c>=.

13.(2025天津,14)在。中，。为"中点，而=：而•记万=aQ?=b，则用a,b表示

•5

荏为;若|荏1=5,且力E_LC8,则荏•而=.

14.(2025上海』1)在坡角为夕的斜坡上，小申用两根长1米的细杆铅直的放在斜坡的

两个端点A,B处，两根细杆在太阳照射下,8处细杆的影子完全在斜坡上时4处细杆的影

子在水平地面上，影长分别为0.45和0.4,则。=.(精确到0.01°)

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知a=(l,2),b=(-3,l).

⑴求a-2b;

(2)设a,b的夹角为“求cos夕的值；

(3)若向量a+Ab与a-4b互相垂直，求k的值.

16.(15分)△48C的三个内角所对的边分别为凡Acwsin/sin

8+bcOs2/=V5〃.

⑴琮

(2)若c'b1,求/B.

17.(15分)在四边形48。。中,N4)C=90°,ZJ=45°<B=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

⑵若DC=2®求BC.

18.（17分）（2025北京』6）在△力BC中,cosA=^asinC=HI

⑴求c;

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在,

求5C边上的高.

条件①:a=6;

条件②：6sinC=当与

条件③:S△/出c=1OA/2.

19.(17分)已知向量万?，而是平面内两个不共线的单位向量，。为平面内一动点，且

CA1CB.CP=CA+CB.

(1)若「为OC的中点，求向量万5与丽夹角的余弦值;

⑵若|而|总求国|的取值范围.

参考答案

l.ATa〃b,；・2x(-2)・x=0,/.x=-4.

Aa+b=(2,l)+(-4,-2)=(-2,-l).

2.B由正弦定理，得怎=得，

ACsinA4V2sin600在

则sin"

BC4V32

因为8O/C,所以N4>N8,而N4=60°,

所以NB=45°.

3.C将c2=a2+b2-2abcosC-^(a+Z))2-c2=4联立，

解得。6=4,故S^ABc=^ibs\nC=V3.

4.A・・・|a|=l,|b|=2,且a与b的夹角为；，

Aab=lx2*y=V3.

.,.|a-V3b|2=a2-2V3-ab+3b2=l-2>/3x百+3'22=7,故|a-百b|=V7.故选A.

5.B在4ABC中,。=&/=2,/4丹，

6

由正弦定理可得sin8=^吧=隼==.

ay/22

所以或3=乎，则此三角形有两解.

故选B.

6.A如图，丽=-布(BA+前)三四-^BC=^AB-\(AC-碣四-^AC.

7.D由平行四边形法则得刀+丽=2而，

故（同+万）•定=2而•定定|=2・|而且而,正反向，设|而|=«0W/W2）,

^]（PA+而）•玩=2万•无=2（2-。=2（产2）=2[Q-1）2-1].・・・04W2,・・・当t=\时，（即+

丽）•丽取得最小值2故选D.

8.A*.•DE《EC,F为8c的中点，

：.DE=^-AB,^F=-AD.

32

ilAG=AAE+(14)AF=2(AD4-函+(1-2)(而+BF)=X(AD+再)+(1-

7

L

2A---

39，2

选

解得

-故A

m『

7)(而+g而)=(l-g)通+g+g)而，又怒=:荏+〃?而，:A13

=-+-

22

9.AD当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8)

10.ACD对于A,b=O,说法错误；

对于B,显然正确；

对于C,若a和b,c都垂直，显然b,c至少在模的方面没有特定关系，所以说法错误；

对于D,如图，若a=AB,b=4C,c=i4D,则(a・b)・c与a(b©分别是与c,a共线的向量，显

然(ab),c=a(bc)不成立.

11.AB对于A,利用扩充的正弦定理得2火sin8sinA=2/?sinAcos8,由于0<力〈阳整

理得sinB=cosB,故故A正确；

对于B,由于Xc,所以0〈sin5<sinC,故sin23Vsi/C,即1-COS2B〈1-COS2C,整理得

cos?B>cos2C,故B正确；

对于C,由于/B三为锐角力=2,〃=百乃则三角形的解只有一个，故C错误；

对于D,由于万•三<0,说明N3的外角为钝角,N8为锐角，所以4ABC的形状不能

确定，故D错误.故选AB.

12.|Va,b为单位向量,・・.|a|=|b|=l.

又ab=0,c=2a-V5b,

A|c|2=4|a|2+5|b|2-4V5a-b=9,

A|c|=3.

2

又a-c=2|a|-V5a-b=2,

...ac22

・・cos<a,c>=--=—=

ac1x33

13.%母-15

A

DB

一,',',1—

•・•CD=CA^AD=CA+-/15=-b+-a,

22'

：.CE=;而==b+；a,贝4族=AC+CF=b+ia4b=7a+|b.

3366363

•・・力E_1。8,则彳^^=0,得(1+、)(24))=0,整理得/+32力-皿2=0.①

63

又|福=5,

•♦狗2*2+触+产25,

整理得a?+8ab+l6b2=900.②

由①②得声b=-4b2+180,a2=16b2-540,

.・.B./=(%+|b)(夕七尸注；2ab=处540一堂沂+3竺二爷=jf

14.12.58°将/处柠移至8处两者重合得如图所示的图形.

B]^^B

D^=^H

在RtACBBq,CB，=7CB2+BB'2=学.

桂二BB'D中,RD=RR，,

'sin488'Dsin£BDB

即上J=_2-L_0.

sinz.BB'Dsinz.BDB'^

s\nZBB,D=s\nZCB,B=^@.

联立①②，解得N3ZMb55.62°,

由tan/C夕B=|,得NC8'8=68.2°,

即NBZ>"=68.2°.

故。=N8'£>〃-N8Z)8=12.58°.

15.解(l)a・2b=(1,2)・2(-3J)=(1+6,2-2)=(7,0).

⑵CCS=lx(-3)+2xl-立

V；|a||b|一"Wx历iIO,

(3)因为向量a+〃b与a-处互相垂直，

所以(a+Ab)，(a-Ab)=O抑a2-^b2=O,

因为a2=5,b2=10,

所以5-10公=0,解得心呼.

16.解(1)由正弦定理得,sinMsin4+sin5cos2^=V2sin4,即sin^(sin2^+cos2^)=V2sin

故sinj5=V2sin4所靡=

a

⑵由余弦定理和《2=〃2+0〃2,得cos5=(1；3)。

4c

由⑴知〃2=2。2,故c2=(2+V3)a2.

可得cos咕总又cosB>0,

故cosg#，所以N与=45°.

17.ft?(1)VZJDC=905,ZJ=45°，/B=2,BD=5,；•由正弦定理得一空二="二,

7s\nZ.ADBsin乙4

即一--=」一，

s\nz.ADBsin450'

：.sinZADB=^^-=^.

•:AB<BD、：・/ADBv/A,

cosZJDB=J1•偿)=詈.

(2)VZADC=90°,

cosZBDC=s\nZADB=^-.VPC=2>/2,

Z.BC=y/BD2+DC2-2xBDxDCxcos^BDC=J25+8-2x5x272xy=5.

18.解⑴由cos/=f,

得sinA=Jl-(-1)2=苧.

VasinC=4A/2,SA/i5c=1aZ)sinC=1^\[2b=1/>csinA,4V2=苧c,解得c=6.

乙乙4J

A

BDC

⑵若选①,a=6,则a=c.

又cos4<0,N4为钝角，

故△48C不存在.

若选②,bsin^如图，作AD垂直BC于点、。，则8c边上的高力。=华，此时sin

J