2026届高三数学二轮复习讲义：专项突破（六）第4节 恒成立与能成立问题（含解析）

第4讲恒成立与能成立问题

—探究真题明确方向二

1.(2021•天津，T20)已知。>0,函数人¥尸办

⑴求曲线.月行)在点(0,./(0))处的切线方程；

(2)证明«x)存在唯一的极值点；

(3)若存在小使得凡丫)<〃+〃对任意成立，求实数〃的取值范围.

2.(2023•全国甲卷，文T20)已知函数段)=or・襄，x£(0,

⑴当。=1时，讨论/U)的单调性；

(2)若/U)+sinx<0,求。的取值范围.

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为

5〜10分.

考查方向：

考查重点一是不等式恒成立求参数的取值范围：二是不等式能成立求参数的取值范围，包含双变量的恒成

立、能成立求参数的取值范围.

1.(1)解/(x)=«-(x+I)eA,则八0尸

又7(0)=0,则切线方程为y=(a-\)x,a>0.

A

(2)证明令f(x)=a-(x+l)e=0,则a=(x+l)e\

令g(A)=(x+l)er,则gQ)=Q+2)」,

当x£(—8,・2)时，g'a)<0,g(x)单调递减；

当x£(-2,+8)时，g3X),g(x)单调递增，

当X-—8时，g(x)<0,^(-1)=0；当4f+8时，g(x)>o,画出g(x)大致图象如图所示，

所以当a>0时,y=a与•尸g(x)仅有一个交点，

令g(M=〃,则〃7>-1,且f(m)=a・g(m)=0,

当％W(-8,⑼时，〃>ga),则/3>0,«幻单调递增;

当x£(/〃，+8)时，a<g(x),则/(x)<0,危)单调递减,

x=m为/(X)的极大值点，故/U)存在唯一的极值点.

⑶解由⑵知府)皿守(〃?)，此时G=(\+〃2时”，

m>-1,

w

所以{^x)-a}n^J[in)-a={nr-rn-l)e,m>-\,

令力。)=(/・41)以x>-l,

若存在a,使得yU)Wa+Z?对任意x£R成立，等价于存在x£(-l,+°°),使得%(x)Wb,即。2/?(x)min,

hV)=(A-2+x-2)e'=(x-1)(x+2)e'；x>-l,

当工£(“,1)时,»(x)<0,Mx)单调递减;

当x£(l,+8)时，/f(x)>o,〃(x)单调递增,

所以/?U)min=//(l)=-e,故〃2-e,

所以实数力的取值范围为[-e,4-00).

2.解⑴因为el,

所以©=嘿”£(0,»

milp(\-\cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinx

用尸*---------

cos2x+2sin2x

cos3x

COS3A-COS2X-2(1-COS2X)

COS3X

_gos3;y+cos2%-2

COS3X

令厂COSX,

由于《£(0,1),

所以；=cosx£(0,1),

所以COS3,I+COS2X-2=A+9-2

=/3-/2+2r2-2=?(M)+2(r+1)(M)

=(/2+2Z+2)(M),

因为产+2/+2=(/+1)?+1>0,/-l<0,cos3x=?>0,

所以/“尸吟等二<0在(0,9上恒成立，

所以jU)在(0,5上单调递减.

(2)因为sin

C0S2X

_sinxcos2x—sinx

cos2x

_sinx(cos2x-l)

cos2x

_sin3x

C0S2X'

因为工£(0,

所以0<sinx<1,0<cosx<\,

故sinx-薪6在(0,3上恒成立，

所以当a=0时，J(x)+s\n户sin，满足题意；

当时，由于工£(0,小，显然亦<0,

所以JW+sinA-av-^^+sinx<sin心意会<。，满足题意;

当〃>0时，因为/(x)+sin户01•噌::+sinx=ru-^2\

令g(K)=4鬻，x£(3D

224

则g\x)=a3sinxcosx+2sinx

COS3X

3sinz0cosz0+2sin40

注意到g'(0)=。=〃>(),

COS30

则当工-*o+时，8。尸心0,

所以在(0,上必存在点x(),

使得g。)在(0,xo)上有g'(x)>0,

所以其x)在(0,M)上单调递增,

则在(0,Xo)上有g(x)>g(O)=O,

即y(x)+sinx>0,不满足题意.

综上所述，若/(x)+sin.r<0,

则。的取值范围为(-8,0］.

考点一利用导数研究恒成立问题

例1(2025・石家庄模拟)已知函数/U)=eA-ar-3(aeR).

⑴当〃=-1时，求曲线产段)在(0,<0))处的切线方程;

(2)当xNO时，若不等式恒成立，求。的取值范围.

解(1)由题设危尸腔”3,则/V)=e、+1,且，火0)=2八0)=2,

曲线广式彳)在(0,_/(0))处的切线方程为y+2=2x,即2x-y-2=0.

(2)方法一(直接法)

由题设当彳、0时，己办-3292恒成立，

即恒成立，

rr

令j?(A)=e--rn:-1且x20,则g\x)=e-x-at

令/心•尸g'(x),x20,则"(x)=cU20,

尸g。)在［0,+8)上单调递增，

「•g。)2g<0)=1-4,

当1/2(),即时，g'(x)N(),

则g(x)在［0,+8)上单调递增,g(x)2g(0)=0,符合题意；

当l-d<0,即4>1时，8<0)<0,而当X-*+8时，g(t)-*+8,

A3x()e(0,+oo),使g，(M)=0,即在［0,xo)±,g«)<0,在(xo,+8)上,#。)>0,

，g(x)在［0,Xo)上单调递减，在(沏,+8)上单调递增,从而g(x)min=g(Xo)<g(0尸0,与g(X)20，亘成立矛盾,

不符合题意，

综上，aWl.

方法二(端点效应)

2

由题设当工20时，。匚依-32最Y-2恒成立，

即口?恒成立，

令^(j)=e'~«x-1(x^0),

则当上20时，g(x)20恒成立，Xg(O)=e°-l=O,

故此时必须保证函数飘x)在人=0右侧附近区间上单调递增,

即保证屋刈20在尸0右侧附近区间上恒成立，

又g'(x尸P-x-a,

故g'(0)=l-a2。，即

下证，当aWl时，g(x)20恒成立.

VgXv)=ev-l^e°-l=O,

・・・g。)在［0,+8)上单调递增,

gr(A)2g<0)=e。-。=1-a20,

・・・ga)在io,+8)上单调递增，

，ga)2g(O)=。恒成立，故

方法三(参变全分离，利用洛必达法则求最值)

依题意.当420时,e%x-3292恒成立，

即ar^ev--l恒成立，

当尸0时，0W0恒成立，A«eR；

当x£(0,+8)时，〃4—2-2,

A/、2ex-x2-2

令gQ)=---,A>0,

2(x-l)ex-x2+2

・“■尸2^

令(p(x)=2(x-1)ev-x2+2,x>0,

/.^f(j)=2xcr-2x=2x(cr-1).

VA>0,Ae<l>0,2A>0,2(X)〉。，

•••8(2在(0,+8)上单调递增，

^(x)>(p(0)=-2+2=0,5Pg/(A)>0,

・・・g(»在(0,+8)上单调递增，

由洛必达法则知，limg(x)=lim一'=lim"："=],

300so2XX-O2

即当。0时，g(x)>l恒成立，故aWl,

综上aWL

方法四(参变半分离)

依题意，当时，小水-3292恒成立，

即ax^e~\恒成立，

丫2

令g。尸.GO,

JgV)=ev-.r,g,,(x)=eA-l^e°-l=O,

・・・gQ)在［0,+8)上单调递增，

・—'(。)=1>0，

・・・g(x)在［0,+8)上单调递增，

又g'(O)=l，g(0)=0,，曲线g(x)在40处的切线方程为y-O=lG-O),即尸x,

故当上20时，)，=ax的图象在尸x图象的下方，

［规律方法］由不等式恒成立求参数的取值范围的策略

(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

(2)分离参数法.一是参数全分离，将参数分离出来，进而转化为。刁㈤皿或”/@)min的形式，通过导数的应

用求出於)的最值，即得参数的取值范围；二是参数半分离，把不等式分解成外)<g(x)或yw>g(x)的形式，

要调节参数。与X的位置，使凡I)与g(X)的作图更方便，一般分为一条动直线与一条曲线.

(3)利用端点效应(必要性探路)，先利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围

即为所求，再去做充分性论证即可.

跟踪演练1(2025•苏州模拟)己知函数以尸“InX-』，a^R.

⑴当。<0时，求函数人幻零点的个数；

(2)若/U)+f-xW-1恒成立，求a的取值范围.

解(1)函数危)=alnx-f的定义域为(0,+8),〃<0,则/")《2必)，

，函数/U)在(0,+8)上单调递减，而五1)=-1<0,/(e2)=alne£-(e6)=1-森>0,

由函数零点存在定理知，/U)在区间(e；,1)内存在唯一零点，，当。<0时，函数./U)零点的个数为1.

(2)方法一不等式-1<=><?!nx-x+1W0,令矶x)=alnx-x+1,A>0,

依题意，p(x)WO恒成立,

贝ij8。)成-1=詈，

当aWO时，0。)=?<0,

，0(幻在(0,+8)上单调递减，而研1)=0,

则当04<1时,9(x)>8(1)=0,不符合题意；

当a>0时，由夕'(%)>0,得0<x<〃，由，(x)<0,得x>a,

・“(%)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，则0(%)W*),

当且仅当p(a)WO,即alna-a+1WO时，p(x)WO恒成立，

令〃(〃)=alna-a+\,G>0,求导得u(a)=\na,

当0<。<1时,u\a)<0；当。>1时，u\a)>Ot

・•.函数〃(。)在(0,1)上单调递臧，在(1,+8)上单调递增，则〃(a)2〃(|)=0,

而a\r\4-a+lW0,则«(«)=«1na-a+\=Ot

/.a=\.

方法二不等式J(x)+f-xW-l恒成立QalnxWx-1在x£(O,+8)上恒成立.

当户1时，oOWO成立，：.a^R；

当x£(0,1)时，inx<0,■恒成立，

lux

当x£(l,+8)时，lnx>0,■恒成立，

令贝力二手工，xWl，

rInx

-lnx+--l

则Mx)F尸

令g(/)=lnxAl,则台，

当x£(0,1)时，gQ)<0；

当x£(l,+8)时，g%)>0,

・・・g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则gQ)2g(1)=0，：.(p。)20,

・・・0(»在(0,1),(1,+8)上单调递增，

则当上e(o,1)时，G(p(x),

lim«(.r)=lim4■=limx=\,

x-*r%Ti--x->i-

当x£(l,+8)时，

Vlini^(p(x)=\,•'aWl.

综上，67=1.

方法三不等式於)+f-xW-l恒成立oalnxWx-1恒成立.

当〃W0,%e(0,1)时，6/lnx^O,x-l<0,

/.i/1nx>x-1,不符合题意；

当eO时，HnxWx-1恒成立=lnx4(x-l)恒成立，令g(x)=ln《则<(幻=%

・・・g'(1)=l,,1)=0,

**.曲线g(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1,

又g(x)=lnx与尸为力)都过点(1,0),

故产*1)与尸-I重合，

.,.-=1,a=1.

a

考点二利用导数研究能成立问题

例2已知函数./U）=?g（x）=lnx-or+e,其中e是自然对数的底数.

e

⑴求函数心）的极值；

（2）对VM£[・L0],总存在4引2,e2],使人加）WgS）成立，求实数。的取值范围.

解（1）因为/U）=《，该函数的定义域为R,则八幻二二了.

令人.x）=0,得由0或尸2,列表如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

f(x)-0+0-

单调递减极小值单调递增极大值单调递减

启）校小值守（0）=0,-）极大值=^2）弓.

（2）由题意可得人汨）maxWg（M）,

由⑴可知危|）在[-1,0]上单调递减，

所以7Ul）max=iA-l）=e,

所以Inx2-ar2+e2e在冷£[2,e）上有解，aW电强,

x2

令力3）=3,及£[2,e2],

“2

令力'3）二上用=0,

X2

则X2=C.

29

及2(2,e)c(e,e)C-

h'g+0-

ln22

单调递增极大值单调递减

Km)T葭

所以人（12）1皿=力（©）=：，即故实数a的取值范围是（一8,3

[规律方法]不等式能成立问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.

含参数的不等式能成立（存在性）问邈的转化方法：

若a>f（x）在x£O上能成立，则a>J（x）min；

若agKx）在X££）上能成立，则”/（x）max.

跟踪演练2（2025・武汉模拟）已知函数人力=F呼+}1.

（1）若曲线产/（幻在（1,犬1））处的切线斜率为-1,求a；

⑵若存在心>0,使/U）W0成立，求a的取值范围.

解（1）因为/口）=小乎91,

所以f(幻二e'」巫©，依题意八1)=3-等+=-1,解得“e.

(2)因为危)*-等+41的定义域为(0,+8),又存在Q0,使外尸e'_等4-1=空手巴三W0成立,

所以3x>0,使xev-lnx+a-x^0成立，

令^(j)=xev-lnx+a-x,x£(0,+8),

贝ijgXv)=xe'+e'-^-l=(x+

令/心尸e—x£(0,+8),

贝ij/r(x)=ev+^>0,

所以人(幻在(0,+8)上单调递增，

又6G)=e*-2<0,/:(l)=e-l>0,

x

所以女0£,1),使得/z(xo)=O,即e°--=0,则x()e*。=1,Inxo=-xo,

/XQ

所以当JW(0,的)时，g'(x)vo；

当。£(沏,+8)时，g3>o,

所以式人)在(0,.10)上单调递减，在。0,+8)上单调递增，

所以g(x)min二g(xo)=xoe*o-inXo-xo+a=1+xo-xo+aWO,所以。W1,

即实数。的取值范围为(-8,_1].

专题强化练

［分值：45分］

1.(13分)(2025•张家口模拟)已知/U)=lnx-«(x+l),a£R.

⑴若a=2,求曲线y(x)在大=1处的切线方程；(5分)

(2)若三沏£(0,2］,使孙⑹>0,求。的取值范围.(8分)

解(1)当〃=2时，_/(x)=lnx-2(x+l),

所以41)=4,八］)=：2,

所以切线斜率5'(1)=-1,

所以由线人力在x=l处的切线方程为y-(-4)=-lX(x-l),即x+y+3=0.

(2)因为病£(0,2］,使得./Uo)>0,即lnm/(xo+l)>0,

Ex。

所以<7<

x0+l*

令g。尸整，xe(0,2］,

-1+--Inx

则gQ片存声，

令/心Al+fnx,x£(0,2］,

所以力。尸二」<0在(0,2］上恒成立，所以函数〃⑴在(0,2］上单调递减,

XX

所以％(用涉(2)=1n2=ln浮>0,所以")>0在(0,2］上恒成立，

所以函数g(X)在(0,2］上单调递增，所以g(X)max=g(2尸号，

所以殍，故4的取值范围是(一00,野).

2.(15分)(2025•杭州模拟)已知函数代r)=e'-cosx-(2a+2)x.

(1)当a=0时,求函数/)的极值点的个数;(7分)

(2)若对7U)20恒成立，求实数。的取值范围.(8分)

解(1)显然人工)的定义域为R,

v

当a=\)时，/(A)=e-cosx-2xt

ffl/(A)=e'+sinx-2,

当xWO时，e'Wl,-iWsinxWl,又八0)=-1,

所以F(x)=c'+sinx-2<0,故/U)在(-8,0)上单调递减，无极值；

当.r>0时，令g(x)=e，+sinx-2,

则g'(x)=e'+cosx,因为e'>1,-1WcosxW1,

所以73>(),故g。)(即八人))在(0,十8)上单调递增，

又八0)=-1<0,〃l)=e+sin1-2>0,所以存在唯一的沏£(0,1),使八沏)=0,

即当。£(0,沏)时，Fa)v0,40在(0,沏)上单调递减,

当X£(M+8)时，八戏>0,/W在(如+8)上单调递增，

所以在x=xo处取得极小值.

综上，当斫0时，人幻有1个极小低点，无极大值点.

(2)方法一/(x)=er+sinx-(2tz+2),

令/心)=c斗sinx-(2a+2),x，0,

则力'(x)=e'+cosx》l+cosx20,

所以力⑶(即八x))在［0,+8)上单调递增，

故八月2八0)=-2〃-1,

当〃在一时，八#三八0)=2%120,此时/(I)在［(),+8)上单调递增，故/U)为(())=(),符合题意;

当公>2时，/(0)=-2«-1<0,

又f(2a+2)=e^2+sin(2a+2)-(2a+2)>(2a+2)+1+sin(2a+2)-(2a+2)=1+sin(2〃+2)20,

因为/(©在［0,+8)上单调递增，所以存在即>0,使得「3尸0,

即当上可0,即)时,/(x)<0,儿0在［0,X。上单调递减,此时用c)W«O)=O,不符合题意.

综上，实数。的取值范围为(一8,—3

方法二对Vx20,7(x)=e，-cosx-(24+2)x20恒成立，又/(0户0,

所以JU)在尸o右侧附近区间上单调递增，

所以/(x)N0在尸0右侧附近区间上恒成立，

又八人)=8+&11»(2。+2),

所以f(0)=l-(2a+2)20,得aW-：,

下证当忘假时,对Vx2O,危)20恒成立.

/(x)=e*+sinx-(2a+2),

令waAe^+sinx・(2a+2),x2O,

则^*(x)=e'+cosx,

因为当时，ex^1,-IWcosxWl,

所以“a)20,所以f(x)在[0,+8)上单调递增，则八x)2/(0)=l+0-(2a+2)=-(2a+l),

因为aW],所以2〃+lWU,

所以当入20时，八户20恒成立，

所以JU)在[0,+8)上单调递增,

所以汽幻2火0尸0恒成立.

所以实数。的取值范围是(一8,-1].

ID思维创新

(共17分)

3.(17分)(2024•新课标I卷)已知函数於)=111±+'"+仇『1)3.

2-X

⑴若力=0,且八x)20,