2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01（人教A版）（全解全析）

高一数学下学期期末模拟卷01（人教A版）

全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.复数一二在复平面内对应的点位于（）

1+2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

iz(i-2)i2-2/-l-2i12.

【详解】设,-----------------------—1

z+2i+2(i+2)(i-2)i2-4-555

复数一）在复平面内对应的点为位于第一限.

1+2155J

2.［社会热点题】Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中

文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9,

246,1117,2875,8509,25033,则这组数据的75%分位数为­）

A.2875B.5692C.8509D.16771

【答案】C

【详解】因为6x75%=4.5,所以这组数据的75%分位数为8509.

3.设48是两个事件，则“。（⑷+P（8）=1”是“力与“互为对立事件”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件

【答案】B

【详解】若48互为对立事•.件，根据对立事件概率公式可直接得到P（4）+P（8）=l,故条件是必要的；

若试验基本事件含3种以I.,其中48表示概率为9的两个不同事件，

如掷一枚均匀的骰子，令事件力为“点数为偶数”，事件4为“点数小于等于3”，

此时P⑷=g,P（B）=g,满足尸（力）+0（8）=1,

但事件A的对立事件为“点数为奇数”，与事件B不同，

故4与8不互为对立事件，故条件是不充分的.

综上，“尸（⑷+尸（8）=1”是“4与8互为对立事件”的必要不充分条件.

I/14

4.如图，•个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面枳为2的等腰梯形049C,则原梯形面积

为()

C.3五D.4拉

【答案】D

【详解】过。‘作C'D'_L40,垂足为O',如卜图：

/OD'AHC'

由题意可得，|力'0|+忸0・|。'。1=2,|0U|=啦仁川,

易知|H0|=|40|,\BfC\=\BC\,\OC\=2\OC\=,

所以原梯形面积为g(|4O|+忸C|"OC|=+|"C'|)•2点|C7)1=4&.

5若复数z满足|z|=2,贝ij|z-4|的最大值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【详解】因为|z|=2,所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆,

|z-4|表示圆上的点z与定点(4,0)的距离,

而圆心到定点的距离为4,

则|z-4］的最大值为4+2=6.

6.已知△力8c的外接圆圆心为。，且2万二在+祝，|方|=|砺|，则向量而在向量炉上的投影向量为

)

B.^-BC

A.-BCc.!前口一轲

442

【答案】A

2/14

【详解】因为2而=标+刀，所以。是8c中点，则8c是圆。直径，ZBAC=90°,

又|刀|二|刀|,所以△。48是等边三角形，/8=60。，ZC=30°

设MM=a,则忸C|=2々，作/“_L8C于〃，则仍=30。，所以忸〃|=今力3=〃，

丽即为向量而在向量就上的投影向量，BH=：BC.

4

故选A.

7.【决策性问题】小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业

典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结

果，一定可以确定()同学不用上台表演.

A.小吴：平均数为3,中位数为2B.小温：中位数为3,众数为2

C.小蔡：平均数为2,方差为2.4D.小龙：中位数为3,方差为2.8

【答案】C

【详解】若小吴的5个点数分别是1,1,2,5,6,满足选项A；

若小温的5个点数分别是2,2,3,4,6,满足选项B：

若小龙的5个点数分别是2,3,3,6,6,平均数为4,其方差为(2-4)-+(3-4):(3-4『+(6-4/+(6一4)：2用,

5

满足选项D；

若小蔡的平均数为2,又有点数6,则5个点数为1,1,1」,6,方差

S2=1[(6-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2]=4,不可能满足C,因此小蔡不会出现点数6,故选：

C.

4+/?

8.己知△/BC的内角力，B,C所对的边分别是。，b,c,若c=l,sin^=Z)cos—角C的角平分线

交于点。，则线段CO的最大值为()

A百R石「石V3

A.——B.——C.——Dn.——

241263

【答案】C

3/14

Ja.«冗-C

【详解】由sin8=bcos、c=1即csinB=hcos

~T

sinCsinB=sinAsin—，又0<B<TC、:.sin8工0,

sinC=sin—C+—=7r,:.C=-TT,

223

,,,2,,

c2=a2+b2-2abcos-7r=a2+b2-¥ab=\.

3

因为CO为角。的角平分线，

所以S.ABC=S“e+S.BCD，，；ab与=gbCD专+；aCDg,

22

rib=(a+h)CD,：.CD="",而(n+6)-ab=1,.*.ab=(aA-b)-[7

a+b

贝lJC£>=S+br_l=a+、———,又伍+6)2_]="«(4+3-,

a+ha+h4

(。+方)2i，一人

则3(。+心所以》一有“二，

a+ba+b4

化简得：皿©w_L,...(a+4飞土

4a+b3

即°冬叵,.•.CO=〃+/)—-」空—斗=立,当且仅当时取等号.

3a+b32V36

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知i为虚数单位，下列说法中正确的是()

A.若a>b,则〃+2i>8+2iB.i+i2+iJ+i4=0

C.(/+4)i(〃£R)是纯虚数D.若zwC,则z，>0

【答案】BC

【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误；

对B：由i?=—1,所以-=T,r=l,所以i+F+F+i,=i—1—i+1=0，B正确;

对C：因为(/+4)®€R)实部为0,虚部片+424=0,所以(/+4)i是纯虚数，C正确：

对D：设z=a+bi,则z2=(1-/)+2"i,当2MH0时,z?为复数，不能与。比较大小,D错误.

4/14

10.【教材改编题】如图，在四面体力4c。中，E,尸分别为棱胡，8c的中点，点〃，G分别在棱D4,

DC上,且4，=3HO,CG=3GQ,则下列说法正确的是()

A.E,F,A,G四点共面

B.4。〃平面EF"

C.”与4G是异面直线

D.直线£77,FG,8。相交于一点

【答案】BCD

【分析】根据点，线，面的关系盯可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B：先证明，，G,

E,尸四点共面，进而即可判断选项C；设EHcFG=P,再证明/)是否在直线8。上，进而即可判断选项

D.

【详解】对于A,依题意得力，E,be平面ABC,且4,E,/三点不共线，而G纪平面43C,

所以E,F,A,G四点不共面，故A错误；

对于B,因为E,尸分别为棱氏4,8c的中点，所以bug/lC,nEF〃AC,

乂E/u平面£7H,而为CO平面"77,所以力C‘〃平面£777,故B止确；

对于C,因为点〃，G分别在棱D4,。。上，月.〃/=3〃Q,CG=3GD,

所以HG=；4C,且右〃/C,所以〃G=RH3〃EF,所以〃，G,E,厂四点共面，

又北平面HGFE，所以/7/与4G是异面直线，故C正确；

对于D,因为“，G,E,厂四点共面，且显然不平行，所以相交，

设EHcFG=P,又EHu平面4BD,尸Gu平面6CQ,所以尸w平面且Pe平面SCO,

又平面/AOc平面5(7。=50,所以尸€以人所以直线£〃，卜G,4。相交于一点，故D正确.

5/14

11.【方案设计题】重庆是•座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘

兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点。与。

（凡C,。不在同一直线上），画一条基线，测得CO=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：乙4CB,

UCD,乙BCD,UDB,UDC,乙BDC,则根据下列各组中的测量数据可计算出48的高度的是（）

A.s,Z-ACB,乙BCD,Z-BDCB.s,"ICB,Z-ACD,Z-ADC

C.s,UCB,乙BCD,ADCD.s,UCB,乙BCD,Z.ACD

【答案】ABC

【详解】对于选项A：已如s.ZBCD,ABDC,在△8C。中.根据正弦定理号=*=$（这里

smAsinBsine

为三角形的三边，风仇c为三角形的三个内角），可以求出5c的长度.

又因为已知/4C8,在直角中，结合己求出的8c和//C8等条件，就可以求出44的高度，所以选

项A正确.

对于选项B：已知s,4CD,NADC,在△力CO中，依据正弦定理可以求出4c的长度.

再结合已知的/力C8,在直角△X5C中就可以求出48的高度，所以选项B正确.

对于选项C：过点8作BE_LC。，连接4E.

CRCFCF

根据三角函数的关系cosN4C4=±^,cosZ5CD=—,cosZJC£=—,

ACBCAC

可以推导出cosNACE=cosNACBcosNBCD.

由于力月CB,NBCD已知,所以可以求得N4C。的大小.

在力CO中，已知4c。，N/OC和以利用正弦定理可求得WC的长度.

在Rt△彳C8中，U,知/4C8和AC,就可以求得*8的长度，所以选项C正确.

对于选项D：在△/CQ和△ACQ中，都只知道一边一角，

根据三角形全等或求解的条件，仅•边•角无法确定三角形的形状和大小，

也就不能求出其他角或边，从而无法求出48的高度，所以选项D错误.

故选：ABC.

6/14

B

C

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.

12.已知i是虚数单位,3+i是关于x的方程/+如+/,=0(其中①bwR)的一个根，则〃+6=.

【答案】4

【详解】由题目可得另一个根为3-i,原式可化为(4-3-i)-(x-3+i)=x2-6x+10,

则”=一6,6=10,故a+〃=4.

13.已知向量方=(-1,2),办=(2,3),若而=府+4与万=万一)的夹角为钝角,则实数4的取值范围是

【答案】4<9且XH-1

【详解】ni=Aa+b=(-2+2,2/1+3),n=a-b=(-3,-1),若而=4万+B与元=5一5的夹角为钝角，则

(2c+^)-(a-^)=-3(-A+2)-(22+3)<0,即：2<9,又应与否不共线，则一(-4+2)+3(24+3)工0,即：

2^-1,则/1<9且xw-l

14.【情境题】如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，i，碗内放了三颗汤圆(视为半径均为-2的

球).三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与豌口等高，则“=.

【答案】1+0

3

【详解】设半球面的球心为。，-：颗汤圆的球心分别为。1,。2，。3,

因为汤圆与碗的内壁相切，所以。«=002=。。3=4-々，

又因为三颗汤圆两两相切，所以。。2=aa=ao3=2厂2，

设等边三角形aQ。3的中心为。，

因为汤圆与碗口等高，所以。0'二弓，

7/14

在A。。,。，中，0,0.=—r^

3°

>2

在RUOO'O,中，OO+O'O；=OO；f

即片+(竽，=«-〃)'，即I'G—rJ,

所以应八二《一八，所以区=1+卑.

3r23

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知ZU8C中,角4,8,C所对的边分别为。,b,c,且(c-6)sinC+6sin(4+C)=asin/

(1)求角4：

(2)若〃=2,且△48C的面积为e，求边6,c的长.

【答案】(1)力=/：(2)6=c=2

【详解】(I)因为(c-b)sinC+bsin(Z+C)=asin4；

所以(c-6)sinC+6sin8=asin4,

由正弦定理可得(c-6)c+〃=/,即从+。2-/=从，

由余弦定理可得cos"="+c"“-=互=工又力40,江)，故力=三

2bc2bc23

(2)SCABC=gbesinA=曰bc=Q,则be=4,

由余弓玄定理可得/一乂+。2-2从.8$4，R|J4=A2+^2-7.x4xl,即〃十/一^，

则(b+c)2=h2+c2+2bc=\6,(b-c)2=b2+c2-2hc=0,

故，)+c=4,/>-c=0,故b=c=2.

16.(15分)

【社会热点题】中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车,

为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力(单位：百公里)分成

[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8],共六组，并制作如下频率分布直方图.

8/14

修率/缈巨

0.40----------------

W

16

180

3

•­］—

寸;!；；；；:续靛能力（单位:百公里）

（1）求续航能力在区间⑹7）内的卷份次数:

（2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在［2,3）和［6,7）的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机

抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在［2,3）中的实验的概率.

2

【答案】(1)120：(2)5.38；(3)-

【详解】（1）由频率分布直方图的性质,可得（0.04+0.10+0.16+0.40+加+0.06）xl=l,

解得加=0.24,即续航能力在区间［6,7）内的频率为p=0.24x1=0.24,

所以续航能力在区间67）内的实验次数为500x0.24=120次.

（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：

^=-x0.04+-x0.10+-x0.16+—x0.40+—x0.24+—x0.06=5.38,

222222

所以估计这类汽车的续航能力的平均数为5.38百公里.

（3）由频率分布直方图，可得续肮能力在23）和［6,7）的频率分别为0.04,0,24,

所以按分层随机抽样的方法从续航能力在［2,3）和［67）的实验中随机抽取7次实验.

则在［2,3）中的有1次实验，在［6,7）中的有6次实验，

设在⑵3）中的有1次实验为力，在［6,7）中的有6次实验分别为。也。,4%中,

可得。=｛（4a）,（4/））,（4c）,（4d）,（4e）,（4/）,（。力）,（〃©,（。,"卜（。,0）,（。,/）

,（b,c）,（b,d），低e）,（bj）,（c,d）,（c,e1（c,e）,（d,f）,（ej）｝,

所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有21种不同的取法，

设事件M="这2次实验中有续航能力在［2,3）中的实验”，

可得用=｛（4a）,（4b）,（4c）,（4d）,（4c）,（4/）｝,共有6个基本事件，

所以事件"的概率为P=

可得这2次实验中有续航能力在23）中的实验的概率为52.

17.（15分）

如图，在四棱锥尸中，底面48CO为矩形，侧面尸4。是正三角形，4。=248=6,平面平

9/14

ABCD,M是夕。的中点.

（1）证明：AM±PC.

（2）求点C到平面PAB的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）3后

【详解】（1）在正△/"力。中，M为尸。的中点，.•.川H_LP。，

立面PAD1平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

且。。_1_月。，CD（ZTiluABCD,CD1'hUuPAD,

又AMu平面PAD./.CD1AM,

又•.•力Ml尸。，且C£）nPO=。，C'DPOu平面PC。，

平面PCD,

PCu平面PCD,

/.AM1PC；

（2）如图，取彳。的中点为。，连接尸O,AC,

在正△"£）中，POLAD,平面尸4O_L平面44c

又平面尸/1。二平面48。。=40,POu平面P4D,

：.PO_L平面ABCD,

若4。=6,则PO=36，

由（1）知CQ1平面P/1Q,ABUCD,

.•J8J.平面尸力。，

•.•"u平面产力。，/.AB1PA,

设点C到平面48的距离为4,

而48=3,

由七-二/Ysc可得，gsA48.d=；x(g"Z8)d=gx(；x6x3)d=3d=9』，

.•.d=36.

10/14

18.(17分)

【恃境题】甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和休能测试，其中文化测试有3道题，

要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通

过，通过得1分，不通过得()分；假设甲答对每道文化测试题的概率为〃乙答对每道文化测试

题的概率为甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是：，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回

答每道题都是独立的.

(1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率(用〃表示)，并计算此概率取最大值时对应的p的值：

2

(2)两项测试得分的和为该人的总分，当〃时，解决下列问题：

①求甲总分为1分的概率：

②求甲的总分高于乙的总分的概率.

【答案】(l)3p2(l-p),当〃=：时，最大值为《

小、厂、167838

(2)(7)-----；(2)-------.

」243-187

【详解】(1)设4=答对文化测试的第，题，

则甲恰好答对两道文化测试题的概率为：

尸=尸(44刃+P(4,4)+P(彳44)

=p(4)尸(4)尸(Z)+P(4)P(Z)尸(4)+尸(彳)尸(4)?(4)

=P2(I-P)+P(1-P)P+(I-P)P2

=3p2(l-p),

由基本不等式可得，孤(2-2p)或"彳卫J=1，

24

当且仅当〃=2-22，即夕二可时取等号，此时最大值为3；

2

(2)当p=§时，

①甲通过文化测试的概率为6,

11/14

则片=p（44%）+尸（4兄4）+尸（彳44）+Q（444）=1y，

甲乙两人通过体育测试的概率均为2，

1

1.

则-

3-9_

当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的•个，

故甲总分为1的概率为：

P=/＞x（l-/＞）+（l-/＞）x2＞=^x1+^xlJ

②乙通过文化测试的概率为6,则同理可得B=g，

设芍二甲总分为i分，，=1,2,设乙=乙总分为/分，7=0,1,

尸（XT，

（2）279243

P（K））=（l-^）x（l-^）=lx1=i,

P（/）=^x（l-^）+（l-/＞）x^=lx|+lxl=l,

故甲总分高于乙总分的概率为

P=P（%）P（%）+尸（乂）。（％）+八乂）尸（乂）

1674204201

___x-+x—Hx—

243__924392432

838

2187

19.（17分）

【新定义题】如图，延长