2026年高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式（知识+6类考点+1类典型易错）

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：公式的基本应用.................................................................2

高频考点二：公式的逆用及变形...............................................................3

高频考点三：辅助角公式的运用...............................................................4

高频考点四：二倍角.........................................................................5

高频考点五：拼凑角.........................................................................5

高频考点六：降塞公式........................................................................6

第四部分：典型易错题型.........................................................................7

第一部分：基础知识

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

sin(a+(3)=sinacos0+cosasin/3

sin(a-^)=sin«cos/?-cosczsin°

②两角和与差的余弦公式

cos(a+cos«cos/7-sincrsin/?

cos(tz-/7)=cosacos/7+sin«sin0

③两角和与差的正切公式

tana-tanp

tan(tz-/?)=

1+tanatanp

tana+tan/?

tan(a+fi)=

1-lanalanp

2、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos%-sin*a;cos2«=2cos2«-l;cos2«=1-2sin2a

2tana

③tan2a=

1-tan2a

3、降第公式

21+cos2a.1-cosla

cos"a=---------sin2cr=---------

22

4、辅助角公式：

______b

«sinx±Z?cosx=\Ja2+b2sin(A±(p)(其中tan^>=—)

5、常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：tan«±tan/?=tan(a±〃)(1孑tanatan°)

②1+sin2。=(sina+cosa)2

③I-sin2。=(sina-cosa)2

@sina±cosa=V2sin(a±—)

第二部分：高考真题回顾

1.(2025•全国二卷高考真题)已知Ocascosq=且，则sinfa-g]=()

25I4；

A拒a立「3&7>/2

A.——B.——C.----nD.----

105101()

2.(2024・新课标II卷•高考真题圮知。为第一象限角,0为第三象限角，tana+tan分=4,tana(an/=&+1,

则sin(a+/7)=.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：公式的基本应用

典型例题

3

例题1.(24-25高一下•四川绵阳•期末)已知tana=j,tan(a+〃)=-2,贝!Jian〃=()

例题2.(2025•四川巴中•二模)三知Ova==则8s(a-尸)等于()

5x/3-1212-55/3-5V3-1212+573

26262626

精练高频考点

1.（24-25高一下•北京海淀•期中）在VA3C中，A=%cos4=*，则sin（A+8）等于（）

Ax/5Rx/5「26D26

5555

2.（24-25高一下•云南昭通•期末）已知ae（0,兀）,且tana=—，,cosQ=-噜，则

tan(a+〃)=

3

3.（24-25高一下•江西宜春•期末）已知aw*兀，且sin（2O257r+a）

5-

(1)求cos(a+：J的值;

⑵若ian(a+/7)=4,求W鳍的值.

高频考点二：公式的逆用及变形

典型例题

例题1.(24-25高一下•四川•期中)计算cos43°sin730+sin223'cos287°=()

AIR&「1nG

A.-B.------C.D.---------

2222

fte.、一4tan175°-tan55°,,.,...

例题2.(z24-25高一下•福建t泉州•期中)-----―—―的值为_____.

1+tan175°tan550-----

精练高频考点

1.(24-25高一下•甘肃张掖•期中)sin1651aos75?cos15任in1052的值为()

।F)

A.0B.-C.—D.1

22

2.(24-25高一下•四川凉山•期中)sinlIcos19+coslIsin19的值为()

A,且B.一3C.1D.-1

2222

3.(24-25高一下•福建泉州•期中)计算sin40cosl6()-cosl40sin(-20)的值为()

A石RGr1n1

A.--B.-------C.-D,-----

2222

高频考点三：辅助角公式的运用

典型例题

例题1.(24-25高二下•浙江宁波•期末)已知3sinx+4cosx=Asin(x+6)对于VxwR恒成立，则sin26=()

12241224

A.——B.—C.------D.------

25252525

例题2.(2025•四川绵阳•模拟预测)若函数，幻=12411@+0)-58$"+0)为奇函数，则tan£=.

例题3.(2025高三•全国•专题练习)求函数)，=|2Gsinxco*+cos2q(xeR)的最小正周期.

精练高频考点

1.(24-25高二下•湖南长沙•期末)设函数/(x)=cos(3x+。)-gsin(3x+w),xeR,若/⑴是奇函数,

贝！Itan^=.

2.(2025•上海•模拟预测)/(x)=V3sinx+cosx,/(x)</((9)恒成立，则tan2(=.

3.(24-25高一下•浙江杭州•期末)已知函数/(1)=\/5852八+811123，XGR.

(1)求/(儿)的值；

⑵求/(x)的最小正周期；

(3)求使/(X)取得最小值的A-的集合.

高频考点四：二倍角

典型例题

例题1.（24-25高一下•广东肇庆•期末）已知sina=-gcosa,则如加=（）

4422

A.——B.-C.-D.-

5555

例题2.（24-25高二下•陕西汉中•期末）已知5出。-8$。=:，。€（0,兀），贝!|cos2of=（）

c.-±D.±

A.—B.--

25252525

例题3.（2025•福建泉州•模拟预测）已知3sinx-4cosx=0,则cos2x=()

724724

A.------B.------C.—D.—

25252525

精练高频考点

1.（24-25高一下•福建宁德•期末）已知2cos加+3411。=0,则cos29=（）

C.与D.4

A.—2B--2

2.⑵-25高一下•河南南阳•期末）已知°是第四象限角'若皿"；）=-7，则如3=（）

24121224

A.—B.—C.——D.——

25252525

3.（24-25高一下•河南•期末）已知lana=],则cos2a=（）

44行33

A.一B.-C.--D.-

5555

高频考点五：拼凑角

典型例题

例题1.（24-25高一下•江苏镇江•期末）已知%夕为锐角，tana=1,cos（a+/?）=-①，则2a+尸的

4v710

值为（）

例题2.（2025•安徽合肥•模拟预测）已知原力为锐角，sina=*,sin（a-0=噜，则tan（%-⑶的值

为（）

A.与B.42C.ID.-y

例题3.（24-25高三上•江苏镇江•阶段练习）已知。，夕为锐角，tana=|,且cos（a+〃）=-正.

4、尸"10

（T）求sin户的值；

（2）求角2。+/的值.

精练高频考点

1.(24-25高三上•浙江•阶段练习)已知tan(e+0=4,tan(a-/?)=5,则tan2/7=()

919D.1

A.-----B.-----C.——

19211921

tancr=\sin/?=^^,则tan(a+277)=()

2.（24-25高一下•湖北•期中）已知a,』都是锐角，

710

343

A.1B.-C.-D.-

534

3.（24-25高一下•甘肃兰州•期中）已知85卜-鼾二1|,其中停智，求sina的值（）

I5）13

5+12612+5605-1275八12-5>/3

DD.C.D.

26-------------26------------------26-------------------26

高频考点六：降需公式

典型例题

例题1.（23-24高三上•辽宁鞍山•阶段练习）已知a=小叫，〃=28-33°-1,c=Jios56，则（）

l-tan18V2

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c

例题2.（23-24高三上•四川成都•阶段练习）若sina=g,则cos?e+：卜.

精练高频考点

（高一下•云南保山•期末）已知sin2a=；,贝ljcos[「-；）=

1.23-24()

531

A--c-_5

・*

8B.88~8

（高三•全国•专题练习）己知sin2a=g,贝ljcos[a+：卜（

2.2024)

（23-24高三下•北京顺义•阶段练习）己知函数/（*=COS2LXV+^的周期为兀，则。=.

第四部分：典型易错题型

易错点一:忽略了辅助角asinx±Z?cosx=了〃*sin（x±°）（其中tan（^>=^）公式中的

先化为正数再化简

1.（23・24高一,上海•课堂例题）把下列各式化为Asin（a+°）（A>0）的形式：

（l）sina+cosa；

（2）-sina+x/5cosa•

2.（2024高三•全国•专题练习）化简：coscr-sina

3.(23-24高一上•黑龙江鸡西•期末)化简

i八G1.

(1)—cosx—sinx

22

(2)sinx+cosx

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：公式的基本应用.................................................................2

高频考点二：公式的逆用及变形...............................................................3

高频考点三：辅助角公式的运用...............................................................4

高频考点四：二倍角.........................................................................5

高频考点五：拼凑角.........................................................................5

高频考点六：降一公式.......................................................................6

第四部分：典型易错题型.........................................................................7

第一部分：基础知识

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

sin(a+0=sinacos0+cosasinp

sin(a-P)-sinacosp-cosasinp

②两角和与差的余弦公式

cos(a+2)=cosacosp-sinasinft

cos(«-/7)=cosacos/?+sincrsinB

③两角和与差的正切公式

tana-tan0

tan(a-/?)=

1+tanatanp

tana+tanp

tan(cr4-/7)=

1-tanatanp

2、二倍角公式

①sin2cr=2sin。cosa

@cos2«=cos2af-sin2a;cos2cr=2cos2a-1;cos2a=1-2sin2a

-_2tana

③tan2a=-------；-

1-tan,-a

3、降幕公式

21+cos2a.1-cosla

cos"a=--------------sin2cr=--------------

22

4、辅助角公式：

______b

«sinx±Z?cosx=\Ja2+b2sin(A±(p)(其中tan^>=—)

5、常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：tan«±tan/?=tan(a±〃)(1孑tanatan°)

②1+sin2。=(sina+cosa)2

③I-sin2。=(sina-cosa)2

@sina±cosa=V2sin(a±—)

第二部分：高考真题回顾

1.(2025•全国二卷•高考真题)已知Ocascosq=且，则sinfa-g]=()

25I4；

A拒a立「3&7>/2

A.——B.——C.Dn.

105101()

【答案】D

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-2,贝i」sina二二，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.

JJ

【详解】cosa=2cos2y-l=2x（亨J-1=~r

因为0<a</r,则兀，则sina=Jl-cos?a=Jl-.一=,,

0,1.（始.冗.万4&r3）&7a

贝卜ina=sinacoscosasin—=—x------------x——=-------.

44525j210

故选：D.

2.（2024・新课标II卷•高考真题）已知。为第一象限角邛为第三象限角，tana+tan/?=4,tanatan/?=>/2+1,

则$in（a+0=.

【答案】一延

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan（a+/7）=-20,再缩小。+尸的范围，最后结合同角的平

方和关系即可得到答案：法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

/q、tana+tan尸4_rr

【详解】法一：由题意得3n3+0=匚高薪=甲可=-2/2,

(冗n、'37t'

因为ae2E,2E+—,/7e2mn-n.2nm+—,k,mwZ,

<22)I2J

则a+/?e((2/〃+2Z)兀+兀,(2〃?+2k)花+2兀)，k,mwZ,

又因为tan(«+/?)=-2\/2<0,

则a+/7e((2/〃+2k)7r+与，(2m+2k)兀+2兀)，k,tnGZ,则sin(a+/?)<0,

22

则叫a+?=_2&,联立sin(a+/7)+cos(a+/?)=l,解得sin(a+')=-矩.

法二：因为。为第一象限角，夕为第三象限角，贝!Jcosa>0,cos/<0,

cosa1Qcos£-1

cosa-/,,=.=,cosp=/,-----—=/i,

Vsin2a+cos2a，l+taMa^siir/?+cos2p>/l+tan2p

贝(jsin(a+/?)—sinacos/?+cosasin/?—cosacos/?(tana+tan/?)

-4-4-4

=4cosacosp=/—/==/,=/、故答案为:

Jl+ta/aJl+tai?夕^/(tana+tanp)~+(tanaIan/7-1)2v42+2

2五

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：公式的基本应用

典型例题

3

例题1.(24-25高一下•四川绵阳•期末)已知tana=w，tan(a+/?)=-2,贝!Jtan/7=()

1「5-10〜11

A.—B.—C.——D.——

2232

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得.

【详解】由tana=：,lan(a+/?)=-2,

_2_3

kg“rzc、1tan(a+fl)-tana411

所以tan尸=tan[(a+夕)-a]=---------------=-----.

1+tan(a+p)tana]_2x。]

~4

故选：D

例题2.（2025•四川巴中•二模）已知0<av*pd*7i）,sina=；,sin/7=^1,则8s（。一4）等于（）

A573-12D12-56「-5x/3-12n12+573

A--------D.-------C.--------U.-------

26262626

【答案】B

【分析】由条件结合同角关系可求cosa,8s/7,再由两角差余弦公式求结论.

【详解】因为sina=<，所以cosa=立，

222

12

因为3叨=可,

由H/3…./?旧（51,112-5旧+1212-56

所以cos（a-〃）=cosacos〃+sinasin〃=--------+------=---------=--------,

2\13J2132626

故选：B.

精练高频考点

1.（24-25高一下•北京海淀•期中）在VABC中，4=：,cosB=噜，则疝（A+8）等于（）

A,更B.C.侦D,一正

5555

【答案】C

【分析】由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解可得结果.

【详解】在VA8C中，A=tcosZ?=—,8e（0㈤，

410

所以sinA=cosA=,sin8=Vl-cos:B-,

所以sin(A+0=sinAcos-sinB=巨巫+在xML

''2102105

故选：C.

2.（24-25高一下•云南昭通・期末）已知ae（O㈤,匹生｝且tana=-g,cos一半，则

lan(a+尸)=

【答案】-1

【分析】根据同角三角函数关系得出ian〃=-；,再应用两角和正切公式计算求解.

【详解】因为tana=-g,cos/?=^,。£（0,兀）,即（］兀），

所以awa+夕e(7t,27t),sin/?=Jl-cos/_Vio

乙一元'

所以tan/?=_g,

11

tana+tan/?

所以tan(a+〃)=

l-tanatan^

故答案为：—i.

3

3.（24-25高一下•江西宜春•期末）已知。e（小兀且sin(20257r+a)=--.

(1)求cos(a+"的值;

⑵若tan（a+〃）=4,求tanQ的值.

【答案】⑴-哈

⑵十

34

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到Jsina=j.cosa=-利用余弦和角公式得到答案:

3

（2）先求出sna=-W'利用正切和角公式得到方程'求出.乩

33

【详解】(1)因为sin(2025n+a)=sin(7t+a)=-sina=-工，所以sina=-,

55

又aw吴兀｝所以cosa=-V1-sin2a=MH—

f«+—1=coscrcos--sinasin—=八03叵772

所以cos—x-----------x—=---------

I4)44525210

,、,Sinar3

(2)由(1)可知tana=------=一一,

cosa4

因为tan(a+#=4,所以tan(a+小署鬻分4,

3Q

即一^——=4,解得tan/?=—9.

l+-tan/78

4

高频考点二：公式的逆用及变形

典型例题

例题1.（24・25高一下•四川•期中）计算cos43°sin73°+sin2230cos287°=（）

A.—B.—C.--D.--

2222

【答案】A

【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解.

【详解】由题意可得：cos43sin73"+sin223cos287°=cos43°sin73°+sin（180°+43。cos（360°-73°）

=sin73cos43-cos73°sin43=sin（73-43"）=sin30'=—.

故选：A.

例题2.（24-25高一下•福建泉州•期中）黑隼粤空的值为.

【答案】-x/3

【分析】根据两角差的正切公式化简，然后利用特殊角的正切值得解.

【详解1由题意得一啊”弋=（an（l75。-55。）=tan120。=-石.

1+tan175°tan55°

故答案为：-石

精练高频考点

1.（24-25高一下•甘肃张掖•期中）sin165白30s75?cos15白iin105?的值为（）

A.0B,-C.—D.1

22

【答案】D

【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.

【详解】sin165&os75?cos15在in105?sin（180?15归s75+cos15鞫n（180-75?）

=sin15鞍os75+8s15鞫n75=sin（I5?75?）1,

故选：D.

2.（24-25高一下•四川凉山•期中）sinlIcosl9+coslIsin19的值为（）

A.—B.-正C.yD.--

2222

【答案】C

【分析】由两角和的正弦公式即可求解.

【详解】sinl1cos19°+cosl1sinl9=sin(l1+19)=

故选：C

3.(24-25高一下•福建泉州•期中)计算sin40cosl60-cosl40sin(-20)的值为()

A,@B.-巫C.iD.-1

2222

【答案】B

【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可.

【详解】sin40cos160-cosl40sin(-20)

=-sin40°cos200-cos40°sin20°

=-sin(400+20°)=-sin600=-与.

故选：B.

高频考点三：辅助角公式的运用

典型例题

例题1.（24-25高二下•浙江宁波•期末）已知3sinx+4cosAsin（x+，）对于WxeR恒成立，贝！Jsin20=（

2424

B.—C.D.

252525

【答案】B

【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.

3

【详解】1.3siav+4COSJT=5-sin.t+—cosx=5sin(x+6)其中cos9=g,sin^=—,

/.sin2^=2sin^cos6^=2x—x-=—.

5525

故选：B.

例题2.（2025•四川绵阳•模拟预测）若函数/"）=12sin（.r+。）-5cos*+。）为奇函数，贝han*

【答案】~

【分析】利用辅助角公式化简函数/（x）,再利用正弦函数的性质列式求解.

【详解】依题意，f(x)=13sin(x+6+0),其中锐角。由ian°q确定，

由f(x)为奇函数，得6+*=E，家eZ,即O=-e+E,ZeZ,

所以tan9=tan(-(p+kn)=-tan<^="^.

故答案为：一五

例题3.(2025高三•全国•专题练习)求函数、二|2八inACO5it+cos2$(xcR)的最小正周期.

【答案】］

【分析】化简得到/(x)=Gsin2.x+cos2x=2sin(2.r+看｝得到其最小正周期，进而得到答案.

【详解】化简函数/(%)=瓜in2x+cos2x=2sin(2x+J

由公式得；/(-r)=2sin(2工+看)的最小正周期7一与一五，

|/(刈的图象为的图象位于K轴下方部分向上进行翻折，故周期减半，

y=|2\/3siavcosx+cos2x|的最小正周期为

精练高频考点

1.(24-25高二下•湖南长沙•期末)设函数/(x)=cos(3x+。)-6sin(3x+O),xeR,若/⑴是奇函数,

贝tan。_.

【答案】乌!I

33

【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解.

［详解］函数/(x)=cos(3x+(p)_&sin(3x+。)=-2sin(3x+(p--),

6

由是奇函数，得T=k%kwZ,则*=/+E,ZeZ,

66

所以lan°=lan巴=—.

63

故答案为：走.

3

2.(2025•上海•模拟预测)/(x)=V3sinx+cosx,/(x)</(<9)恒成立，则tan2^2=.

【答案】-73

【分析】首先利用辅助角公式，化简函数/(x),再根据函数的性质求巴最后代入求lan26的值.

【详解】/(x)=2sinA+,令X+B=E+2E,得X=W+2E,keZ,

\(V623

由f(x)«/⑹恒成立，可知，。=92而，k.Z,

则lan29=lan交+2E)=-6.

13/

故答案为：_&

3.(24-25高一下•浙江杭州•期末)已知函数/(x)=V5cos2x+sin2x,xeR.

⑴求/(兀)的值；

⑵求/("的最小正周期；

⑶求使/W取得最小值的X的集合.

【答案】(i)G

⑵汗

(3)^xx=kn+——77r,kwZ-

[12

【分析】(1)代值计算可得/(兀)的值；

(2)利用辅助角公式化简函数/("的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数/(”的最小正周期;

(3)令2x+^=2履+*&wZ),求出x的表达式，即可得出使“X)取得最小值的工的集合.

【详解】(1)因为/(x)=sin2x+gcos2x,/(n)=sin2H+\/3cos2K=V5.

(2)因为/(x)=sin2x+\Z5cos2/=2sin(2x+1),

故函数/(x)的最小正周期为丁=^=兀.

(3)当2x+?=2E+呼(丘Z)时，即当x=E+*ZeZ)时，函数八力取最小值-2,

341乙

故使/(另取得最小值的X的集合为卜X=E+普,kCz,.

高频考点四：二倍角

典型例题

例题1.(24-25高一下•广东肇庆•期末)已知sina=-gcosa,则sin2zx=()

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的商数关系可得tan。的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解.

.、士由、古所*田.sina1-]、J.「2sinacosa2tana4

【详解】由题意得tana=-------=所以sin2a=1------------=—；——-=

cosa2sin-a+cos'atan'a+15

故选：A.

例题2.（24-25高二下•陕西汉中•期末）已知5血1a-85。=（，。6（0,九），贝！jcos〃z=（）

A1

一表D.——

-iB.-c.25

【答案】B

43

【分析】根据平方关系结合题设可得sina=1,cosa=1,再根据二倍角公式求解即可.

JJ

1

sina-cosa=-,,一一43

【详解】由5,结合Asina>0,解得sina=^,cosa二4，

sin?a+cos2a=1

则cos2a=cos2cr-sin2a=------.

25

故选：B.

例题3.（2025•福建泉州•模拟预测）已知3sinx-4cosx=0,则8s2x=（）

724-7〜24

A.------B.------C»—D.—

25252525

【答案】A

【分析】应用同角三角函数关系结合己知条件计算得出cos4,再结合两角和余弦公式计算求解.

【详解】因为3sinx-4cosx=0,且sinA+cos、：1,

[6,、,9

所以一cos2x+cos2x=1,cos2x=—,

925

197

贝!|cos2.r=2cos2x-l=2x--1=--.

故选：A.

精练高频考点

1.（24-25高一下•福建宁德•期末）已知2cos2〃+3siii0=O,则cos2<9=（）

1

B.——D..叵

A"22

【答案】A

【分析】又条件根据同角关系求sin。，再结合二倍角公式求结论.

【详解】因为2cos%+3sin9=0,sin?6+co因。=1,

所以2-2sin2e+3sin8=0,即2sin2j—3sin8—2=(),

所以(2sin，+D(sine-2)=0,又-l<sinO<l,

所以sin8=_g,

所以cos2e=l-Zsin?6^=l-2x—=—,

故选：A.

2.35高一下•河南南阳・期末）已知。是第四象限角，若…十一，则s-）

24