空间向量与立体几何 全章九大基础题型归纳（基础篇）-人教A版高中数学选择性必修第一册（解析版）

专题1.8空间向量与立体几何全章九大基础题型归纳(基础篇)

【人教A版(2019)]

题型1人空间向量的线性运算Q|

1.(23-24高二下.江苏南通・期末)在三棱锥。-力8C中，已知而=|近，G是线段/1E的中点，则而二()

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

236623

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

362263

【分析】连接。E,利用空间向量的基本定理求解即可.

【详解】连接。E，因为G是线段4E的中点，所以而=：耐+]赤

因为锯=马而，所以丽=OB+BE=OB+-BC=OB+-（OC-OB）=TOB+-OC

33333

=-OA+-OE=-OA+-（-OB+-OC^-OA+^-OB-^-OC

2222\33/263

故选：D.

2.（24-25高一上•全国•假期作业）已知平行六面体48。。-则下列四式中错误的是（）

A.AB-CB=AC

B.AC=AB+8^+CC7

C.AA!=CCf

【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】对于A：AB-CB=AB+BC=AC,故A正确；

对于B：因为标=近，所以加+就+赤=而+师+/=而，故B正确;

对于C：ZT=CC7,故C正确；

对于D：因为丽=而，所以而+两+近+■=（同+近）+（两一前9=觉,

故D错误.

故选：D.

3.（23-24高二上•新疆喀什•阶段练习）如图所示，在正方体46C。-4当加。1中，化简向量表达式:

（\）AB+CD+BC+DA；

（2）八41+B]C]+D]D；

【分析】结合图形，根据空间向鼠的线性运算直接化简可得.

【详解】（1）AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD-AD=0.

（2）AA[++~D^D=DD^+D^D+AD=AD.

4.（24-25高一上•全国•假期作业）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式，并在图中标

⑵的一越+前;

(3)AB+AD(DDf-BC).

【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.

【详解】（1）万+而'+彳¥=诟+近+赤=箱,

向量位7如图所示，

（2）加一话+近=亦一（AB-AD）=DD^-DB=丽;

向量的如图所示,

（3）而+而+［（亦一硝=4C+1（CC7+C5）=^C+1C37,

设M是线段。夕的中点，

则南+AD（DD7-BC）=AC+~CM=AM.

题型2空间向量数量积的计算O|

1.（23-24高二上.天津静海•阶段冻习）已知向量/环的夹角为120。，且0=2,向=5,则（2,-族）-6=

（）

A.12B.8+713C.4D.13

【分析】根据空间数量积的运算性质求解.

【详解】（2d—5）•&=2彦一九日=21dl2-|a||b|cosl20°=2x4-2x5x=13.

故选：D.

2.（23-24高二下•福建龙岩•期中）如图，在斜三棱柱4BC-4&G中，/C=BC=CC1=4,乙BCC、=

44CQ=p^-ACB=p则两*-\CB+CA)=()

C.32+8V2D.32-8V2

【分析】把耐变成西+不，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可.

【详解】CAr-（CB4-CA

cos"4x4xcosg+4x4xc吟+42=8+8+8a+16=32+8技

故选:C.

3.（23-24高二上.广东广州•期中）如图，给定长方体4BCD=34=2,48=6,点E在棱CQ的

延长线上，且吗臼=|CCJ设44；=aAB=5,A5=c.

（1）试用日瓦不表示向量荏;

（2）求而•近于

【分析】（I）根据题意得方=酝=2何,再由空间向量的线性运算即可求解;

（2）先由空间向晟的线性运算求得两，再根据空间向晟的数显积公式求解即可.

【详解】⑴因为点E在棱eq的延长线上，且|。述|=ICC/,

所以盘=2CCI=2丽＞,

则版=AB^BC+CE=AB+BC+2AA[=2a+b+c.

（2）由题意得丽•同=O,AB-AD=O,\AD\=|A4^|=2,^=6,

则西=BA+AA^+=AA^+AD-AB,

所以而.西=而•（而+AD-AB）=AD-AAi+AD2-AD-AB=4.

4.（23-24高二上•贵州•期中）如图,在三棱柱ABC-48£中，分别为&G和48的中点，设适=a,AC=

b9^4^4—c•

(1)用1表示向量方人

(2)若|力8|=|力C|=MAJ=1,Z-AXAB=LBAC=60°,4力遇C=90。，求屁•近.

【分析】(1)根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解；

(2)根据向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.

【详解】(1)解：由向量的线性运算法则，可得：

~DE='DAi+A^A+AE=-g（硒＞+砧T）-矶+海=~1b-c.

(2)解：由向量的数量积的运算法则，可得:

DEBC=^b-•（b—a）=—^b2—b-c+'d+d'c

/乙乙

=--1-0八+.-1xlYxlYx-1+l-xlYx-1=-.1

22224

题型3、卜用空间基底表示向量

1.(23-24高二上.西藏山南•期末)在四棱锥C—04DB中，底面04CB为平行四边形，E为4C的中点，F为

U。的中点，OA=d,OB=b,OC=c,则EF=()

AD

'工1fr>-*L1-*

A.b——2cB.a-b——2c

C.a--2b-cD.-2a+-2b-c

【分析】连。E,OF,根据空间向量的线性运算分析求解・.

【详解】连。E,OF,

可得前=而一赤=而+前一式雨+方）=OB+^OA-^^pA+OC）

=0B--0C=b-^c.

故选：A.

2.（23-24高二上•浙江绍兴•期末）如图，在平行六面体/WCD-48iC]Di中，AB=a,AD=b,AA^=c,

点P在&C上,且不二3而，则而=（）

【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.

【详解】而=河+不=砧+；碇，

=AA^+^（AC-AA^）=理+久而+而一国），

力而十三而+三通=为+泞+与.

4441444

故选:A.

3.（2024高三・全国・专题练习）如图，在平行六面体4BCD-4BiGDi中，设471=工AB=b,AD=c,

M,N,P分别是棱44],BC,Ci〃的中点，试用G,b,不表示以下各向量:

DipG

⑴而

⑵不

⑶而+~NC1.

【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减运算求解即可.

【详解】（1）•••P是G5的中点，

•••AP=AA1+A1D1+D]P=G+AD4-=a+c4-=a4-c4-

（2）•.•可是8c的中点，

•••初=羽+方+丽=一&+族+^BC=-a4-5+^AD=-a+b+^c；

（3）vM是44i的中点，

.­.MP=M2+4P=^+4P=-1a+（d+c+|S）=|a+15+c.

又西=配+苗=1前+标=3而+标=：才+2

二而+何=（；五+3+初+[+汨=）+/+招

1\22/\2/222

4.（23-24高二上.福建厦门.阶段练习）如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面4BCD是边长为2的正方形,

侧棱AM的长为3,且4=4用力。=60。，N是CM的中点，设立=荏，b=AD,c=AM.

（2）求证：BD1平面MAC.

【分析】（1）在三角形8cM三角形/IMC,正方形力BC。等闭合路径中进行向量转化，将向量而用2、丸5表

示，再平方将向量实数化求出向量丽的模即8N的长.

(2)先用基向量法求丽・丽，可证得BD1AM,结合正方形/BCD中8014C,可证得80_L平面M4C.

【详解】(1)因为N是CM的中点，底面力8co是正方形，

所以前=BC+CN=AD+=AD+^(AM-AC)

=AD+^[AM-(AD+AB)]=-^AB+^AD+^AM=-^a+^b+^c,

又团=\AB\=2,|5|=\AD\=2,|c|=\AM\=3,

且/AL48=/.MAD=60°,乙DAB=90°,

所以|丽广=(_1&+»+*)=；(向*+|?|2+|c|2-2db-2d-c+2b-

二((4+4+9-0-2x2x3cos600+2x2x3cos600)=g

所以|丽|=当，即3N的长为字.

(2)因为前.德二-AByAM=AD-AM-AB-AM=b-c-a-c

=2x3xcos60°—2x3xcos60°=0,

所以而LAM,即BD1AM.

又在正方体力BCD中,BDLAC,

且RCn4M=4AC,4Mu平面AMC

所以80_L平面MAC.

题型4由空间向量基本定理求参数

1.(23-24高二下•四川成都•期末)已知在四面体。一力8。中，2=就而=痂,1=林,痂而4N为BC

3

的中点，若MN=工学+yl+z,,则x+y+z=()

【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.

【详解】WN=0N-0M=^0C-^^OB-^0A=-^a+^b+^c,

所以％+y+z=*

故选:B.

2.（23-24高二上•贵州毕节・期末）如图1,在四面体。ABC中，点M,N分别为线段04BC的中点，若标=

xOA+yOB+zOC,则％+y—z的值为（）

A.--B.-C.-D.1

242

【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示而，再借助空间向量基本定理求解即律

【详解】在四面体048c中，由MJV分别为线段048c的中点，

得标=而一前=：（而+近）一；耐=--0A+^0B+^0C,

而说？=+y而+zO2,由空间向量基本定理得：X=-\,y-\,2=P

所以X+y_z=_

故选：A.

3.（23-24高二・江苏•课后作业）如图，设。是平行四边形ABCD所在平面外一点，。是平行四边形对角线

AC和3。的交点，。是。。的中点，求下列各式中x,y的值.

（1）OQ=PQ4-xPC+yP/f；

（2）PA=xPO+yPQ4-~PD.

【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出.

（2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出.

（详解】（1）解：；OQ=PQ-P0

一1一一

="-5（PA+PC）

乙

=PQ-^PA-^PC.

•••X=y=--

J2

(2)解：v~PA+~PC=2P0,APA=2P0-~PC.

又•••PC+~PD=2PQ,:.PC=2PQ-~PD.

从而有而=2P0-(2PQ-PD)=2P0-2PQ+丽.

•••x=2,y=-2

4.（23-24高二上.海南海口.阶段练习）如图所示，平行六面体ABCZ）-AiBiGDi中，E,尸分别在和，。

（1）求证：A,E,G，尸四点共面;

(2)若阮=xAB+yAD+zAAr,求％+y+z的值.

【分析】(1)根据空间向量基本定理即可证明；

(2)把｛方，而，标｝作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.

【详解】(1)证明：•••褊=而+而+彳再=而+而+：通+三诟

•5«5

=AB+［诉+AD+^AAl=(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF,

・・・4E,G，尸四点共面.

>

(2)-EF=A?-AE=AD+DF-(AS+BE)

----♦9..•，♦1一,♦，，•一♦1---♦

=AD+-DD.-AB=-AB+AD+-AAr,

313131

..j+y+z=-.

J3

______题__型__5_____7空间向量运算的坐标表示2

1.(23-24高一下•天津.阶段练习)已知向量：a=(-3,2,5),b=(l,5,-l),则五-24=()

A.(-4,-3,4)B.(-5,-8,7)

C.(-5,-8,3)D.(-1,-3,6)

【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可.

【详解】因为G=(-3,2,5),5=(1,5,-1),

所以d-2b=(-3,2,5)-2(1,5,-1)

=(-3,2,5)-(2,10,-2)

=(-5,-87),

故选：B.

2.(23-24高二下•甘肃白银•期中)已知向量2=(-3,0,-1)是=(2,-),1),则I-2五=()

A.(-5,1,-2)B.(5,-1,2)C.(-8,1,-3)D.(8,-1,3)

【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为G=(一3,0,—1),所以2d=(一6,0,-2),所以B-2a=(8,-1,3).

故选：D.

3.(22-23高二•全国•课堂例题)己知@=(一235),族=(3,-3,2),求下列向量的坐标：

(l)d-5：

(2)2a+b；

(3)-5b.

【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.

【详解】(1)a-b=(-2,3,5)-(3,-3,2)

=(-2-3,3+3,5-2)=(-5,6,3).

(2)2d+b=2(-235)+(3,-3,2)

=(-4,6,10)+(3,-3,2)=(-1,3,12).

(3)-5b=-5(3,-3,2)=(-15,15,-10).

4.(24-25高一上•全国•假期作业)如图,在空间直角坐标系中有长方体4BC。一4夕C7T,AB=1,BC=2,

AA1=3.求：

(1)向量和，丽，和的坐标；

(2)Q+2的，Z+的-2而的坐标.

【分析】(1)先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；

(2)利用向量的坐标运算加法和减法即可.

【详解】(1)由已知A(0,0,0),C'(l,2,3),8(l,0C),D'(0,2,3),

则加=(1,2,3),丽=(-1,2,3),而=(0,2,3)；

(2)律+2BD7=(1,2,3)+2(—1,2,3)=(-1,6,9),

AV+BD7-2而=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).

题型6；空间向量数量积运算的坐标表示。|

I.(23-24高二上•河北石家庄•期中)已知向量值二(1,-1,一2)方二(1,一3,-3),则鼠族二()

A.(1,3,6)B.-3C.4D.10

【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算即可.

【详解】因为向量G—(1,—1,~2),b—(1,—3,—3)»

所以Q,/?=1x1+(―1)x(-3)+(—2)X(—3)=10♦

故选：D.

2.(23-24高二上.北京顺义.期末)在棱长为2的正方体中，P是棱CC1上一动点，点。是

瓯4c的中心，则而•彳3的值为()

A.4B.2V2C.2D.不确定

【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可

【详解】如图，以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

因为正方体48。。一4避16。1棱长为2,点。是面力。的中心，P是棱CG上一动点，

所以4(200),0(1,1,0),P(0,2,z)

AP=(-2,2,z),AO=(-1,1,0)

~AP-AO=2+2+0=4

3.(23-24高二上.新疆.阶段练习)已知五=(2,3,-1),b=(-1,0,3),c=(0,1,2).

(1)求心(23-31)的值：

(2)(a+b)•(c+b).

【分析】(1)(2)根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解.

【洋解】(1)由3=(-1,0,3),二(0,1,2)可得2加=(一2。6),3c=(0,3,6).

2b-3c=(-2,-3,0),故d.(23-31)=-4-9+0=-13；

(2)a=(2,3,—1),b=(—1,0,3).c=(0,1,2)可得G+b=(1,3,2),b+c=(-1,1,5),故(五4-b)•(c4-b)=

-1+3+10=12.

4.(23-24高一下.北京顺义.阶段练习)已知向量,=(1,2,2),/；=(-2,1,-1).

⑴求d-b；

(2)求|2/一可；

(3)求cos(d,b).

【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解.

【详解】(1)a-b=-2+2-2=-2

(2)2a-b=(2,4,4)-(-2,1,-1)=(4,3,5),

M|2a-b\="6+9+25=5夜;

⑶|d|="+4+4=3,|"=J4+1+1=瓜,则cos(五，司==—当

题型7k的坐标运算求参数

1.(23-24高二上•湖北武汉•期中)己知向量&=5=(2,1,X),若&不=2,则实数x等于()

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案.

【详解】由题意知向量五=(招1,一1),b=(2,1,x),db=2,

故2x+l-x=2,二x=1,

故选：D.

2.(23-24高二上•广东梅州•期末〕在空间直角坐标系中，已知点4(0,1,2),8(1,—2,—1),而=2而,则点P的

坐标是()

A.(2,-6,一6)B.(2,—5,—4)

C.(2,-7,-8)D.(3,-8,-7)

【分析】设P®y,z),然后由4P=2AB即可求解.

【详解】设P(x,y,z),因为AP=24B,

(x=2

所以(x,y-l,z-2)=2(1,-3,-3),得y=-5,

\z=-4

所以P(2,—5,—4),故B正确.

故选:B.

3.(23-24高二.全国•课后作业)分别求满足下列条件的向量迅

(1)2(-1,5,1)+4%=(2,14,-2)：

(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x.

【分析】(1)利用向量的坐标运算即可求解.

(2)利用向量的坐标运算即可求解.

【详解】(1)因为2(-1,5,1)+4£=(2,14,-2),所以解=(4,4,-4),所以£=(1,1,一1).

(2)因为(3,7,1)+2£=(6,10,4)-所以3£=(3,3,3),所以£=(1,1,1).

4.(2023高二上•全国•专题练习)已知。为坐标原点,A,8,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,.1)(223),求适

合下列条件的点P的坐标：

(1)OP=^AB-AC)；

(2)AP=|(4§-4C).

【分析】先根据空间向量定义用坐标表示出荏，而，再根据运算法则依次求解即可

【详解】由题可知，O为坐标原点A9C三点的坐标分别是(2,・1,2),(4,5,4),(-2,2,3)

所以荏=(2,6,-3),AC=(-4,3,1),

(1)而二乂而一冠)得而=*6,3,-4)=(3,|,-2),即P点坐标为(3,|,-2)

(2)而=：(而一冠)=(31，一2),设点P坐标为(x,y,z),则有而=(%-2,y+l,z-2),根据对应关系

(x-2=3(x=5

有《y+l=?，解得y=3,即P点坐标为(54,0).

G—2=-2(z=0

题型8121^1间向量证明绩面间的奉行关系

1.(23-24高二上.河南洛阳・期末)若平面a的法向量为五，直线2的方向向量为沅,Ita,则下列四组向量

中能使1//。的是()

A.m=(-1,0,1),n=(1,0,1)B.m=(0,-1,2),n=(0,1,-2)

C.m=(l,—2,1),n=(—2,1,-2)D.m=(2,—1,1).n=(-4,2,—2)

【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足沆•元=0,综合可得答案.

【详解】根据题意，平面。的法向量为乱直线2的方向向量为沆，l^a,

若布•日二0,即沆1元，又由，Ca,则有!〃a,

依次分析选项：

对于A,m=(—1,0,1),n=(1,0,1),rnn=-14-0+1=0,即沅J.元成立，符合题意；

对于B,m=(0,—1,2),n=(0,1,—2),m-n=0+(―1)4-(-4)=一5W0,即沅1元不成立，不符合题意；

对于C,m=(1,—2,1),n=(-2,1,-2),沅•云=(-2)+(―2)+(―2)=-6H0,即沅1五不成立，不符合

题意；

对于D,m=(2,n=(-4,2,-2),mn=(-8)+(-2)+(-2)=-12*0,即沆1元不成立，不符

合题意.

故选：A.

2.(23-24高二上♦全国•课后作业)如图所示，在正方体中，E是棱。。/的口点，点尸在

棱C/Q/上，且印=4酝*,若〃平面&BE,则;1=()

11-12

A.-B.-C.-D.-

4323

【分析】

先求平面的法向量，根据线面平行可得元•瓦下=0,运算求解即可.

【详解】如图所示，以A为原点，4B,4D,/Ui所在直线分别为［轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设

正方体的棱长为1,

则8(100),E(0,1,。1(0,1,1),G(LL1)，&(O,O，1)，

可得西=(-1,0,1),丽=

五B4xz

设转=(%y,z)是平面48E的法向量，则一,钎1

n-BE=-x+y+

令z=2,则％=2,y=1,即亢=(2,1,2),

由丽=(1,0,0),且用=入和，可得「(41,1)(0工431)，

又因为当(1,0,1),则瓦予=(A-1,1,0),

由〃平面可得元•用=2(2-1)+1x1+0x2=0,解得/1=±

2

故选:C.

3.(2024高二上•全国・专题练习)如图，在长方体48CD—48£Z)i中，E,P分别是8cMiD1的中点，M,N分

别是力E,CDi的中点，AD=AAY=a,AB=2a.求证：MN〃平面力。。1①；

【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量元，从而证得而_L亢，进而得证.

【详解】以。为原点，D4D&D5所在直线分别为%轴,y轴，z轴,建立直角坐标系，

则H(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),4(Q,0,a),。式0,0,a)

VE,P,M,N分别是8C,ArDltAE,CD1的中点

・•.E&2a,0),P&0,a),M(手,a,0),N(0,a,0,

则标=

显然平面的一个法向量为尼=(0,1,0),

所以而下=0,则说？J.元，

又面，所以MN〃平面为DD14.

4.(23-24高一上•湖南株洲•期中)如图，已知在正方体ARCO-4道1(；1。1中，M,/V,P分别是人口，BD,

&C的中点.证明:

(1)M/V〃平面

⑵平面MNP〃平面CG50.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知方为平面CG50的一个法向最，然后证明而1DA

即可得证；

(2)证明方X也是平面MNP的一个法向量即可.

【详解】(1)证明：以。为坐标原点，DA，DC,西的方向分别为-y,z轴的正方向，建立空间直角坐

标系.

设正方体的棱长为2,则4(2,0,0),C(0,2,0),0(0,0,0),N(l,l,0),P(l,2,l).

由正方体的性质，知AD1平面CGD”,

所以丽=(2,0,0)为平面。加。1。的一个法向量.

由于而=(0,1,—1),

则市?-04=0x2+1X0+(-1)X0=0,

所以丽J.万彳.

又MNU平面CG。"，

所以MN〃平面

(2)证明：因为万？=(2,0,0)为平面CG。】。的一个法向量,

由于标=(0,2,0),MN=(0,1,-1),

则”.叵=0,

(MNDA=0

即万？=(2,0,0)也是平面MNP的•个法向量,

所以平面MNP〃平面CCWW.

题型9利用空间向量证明线、面间的垂直关系

1.(23-24高二下•湖南长沙•开学考试)如图，在下列各正方体中，/为正方体的一条体对角线，M、N分别

为所在棱的中点，则满足MNJ./的是()

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得.

【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2,体对角线，的端点为8,内,

对于A,8(2,2,。),01(0,0,2),M(l,2,2),N(2,1,0),直线I的方向向量日=(2,2,-2),

MN=(1,—1,—2),显然MN・G=4wO,直线MN与［不垂直，A不是;

对于B,由选项A知，直线I的方向向量G=(2,2,—2),M(0,l,2),N(2,0,l),

则MN=(2,-显然而V=4X0,直线MN与，不垂直，B不是;

对于C,由选项A知，直线Z的方向向量d=(2,2,-2),M(0,2,l),N(l,0,0),

则标=（1,一2,—1）,显然而•,=0,MN1I,C是;

对干D,由选项A知，直线/的方向向量d=(2,2，-2),M(2,0,l),N(l,2,0),

则标=(一1,2,-1),显然而・日二4工0,直线MN与!不垂直，D不是.

故选：C.

2.(23-24高二下.河南新乡.期末)在长方体48CD-481GD1中，底面41%的。1为正方形，力G，平面

E为的中点，则下列结论错误的是()

A.AQ1BDB.AC11/liC

C.&C〃平面BDED.平面人1。修，立面BDE

【分析】由条件，结合线面垂直的定义判断A,连接力。，设力cnBO=。，证明E。〃&C,由线面垂直定

义证明为G1E。，由此判断B,由线面平行判定定理证明A】C〃平面BDE,判断C,建立空间直角坐标系,

求平面41C,平面ZDE的法向量，判断两向量是否存在，判断D.

【详解】因为4G1平面BOE,8。u平面BOE,所以4C1J.8D,A正确:

连接AC,设力CCi80=。，则。为24c的中点，

因为AG1平面BDE,EOu平面8DE,所以AG1E0,

又E为44i的中点，。为AC的中点，所以EO〃4C,

又EOu平面BDE,4。仁平面8。£,所以41c〃平面BCE,C正确；

由已知DI&,DIG，DID两两垂直，以Di为原点，瓦否，丽，取为％y，z的正方向，建立空间直角坐标系，设

A1B1=2a,

因为底面为正方形，所以45=2aMic1=2\[2a,

由长方体性质可得四边形4CG&为矩形，又4G_L&C,

所以四边形ACGA]为正方形，故AAi=2&a,

所以Di(0,0,0),&(2Q,0,0),C(0,2a,2V2a)M(2a,0,2或a),G(0,2a,0),

所以宿=(-2a,2a,-2V2a),DM^=(2a,0,0),雨=(0,2a,2V2a),

因为4cli平面BDE,所以西=(-2a,2a,—2&a)为平面BDE的一个法向量,

设平面的法向量为元=(x,y,z),

・D】A；=0诉/2ax=0

.D^C=0bay+2\!7.a7.=0'

取丁二企，则x=0,z=-l,

所以元=(0,鱼,一1)为平面力道道的一个法向量，

因为五•温=2\/2a+2y[2a=4\/2aW0,

所以向量元何不垂直，所以平面公幺。，平面80E不垂直，D错误;

故选:D.

3.（23