2026年高考数学一轮复习：平面向量的数量积及其应用（专项训练）学生版+解析

第03讲平面向量的数量积及其应用

目录

01常考题型过关练

题型01平面向量数量积的定义

题型02平面向量数量积的运算目

题型03数量积的坐标表示

题型04投影向量

题型05向量在几何中的应用

题型06向量在物理中的应用

题型07向量新定义|难

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

.

常考题型过关练

敢型

1.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

@Oa=0;②db=6d;③加=，；④,而上=川方.4.

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量同=2,•在々上的投影向量为-2及，则人否=（）

A.-8B.8C.4D.-4

3.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰却建筑中，如

首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个

正六边形内部（包括边界）的动点，则ACAB的最大值为（）

C

A.12B.16C.18D.20

4.（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.设〃，〃为非零向量，若律6>0,则〃，5的夹角为锐角

B.设〃，5,1为非零向量，则仅孙3=。•伍

C.设/；为非零向量,若卜+9_1（。一》），则同=网

D.若点G为V/WC的重心，则G4+GA+GC=0

散型I>02平面向量数量积的运算

5.在矩形A8C。中，4B=3,点P满足4户1府+245（&R）,则而.通=（）

A.-B.1C.3D.9

3

6.如果向量a,/；满足同=1,W=&,且日则。和G的夹角。大小为()

A.300B.45?C.75D.135?

7.在V48C中，NC=?且AC=8C=2,M为边AC的中点.若〃在边A3上运动(点?可与A,区重合)

8.已知向量,石满足昨明=2,若p+同=6,则一与石的夹角为()

A.上B.巴C.£D.8

126312

9.若〃，6,刁-5为单位向量，则卜+6卜.

10.设向量3二(%,4),^=(7,-1),已知产+4=忖.

(1)求实数1的值；

⑵求3与方的夹角的大小.

散型IJ3数量积的坐标表示

11.已知五二(2,力，B=(1,3),若@上B，贝Ux=()

12.已知。=(1,2),万=亿,-3),其中攵为实数，若向量5与5的夹角为钝角，则％的取值范围()

(42_42]

13.(多选)已知向量1=(cosl5,sinl5)〃=，则（

22

A.ab=—B.&历=60'C.a1(a-2b)D.\ci-2b\=y/3

14.（多选）已知向量入行满足|二|=1,五=（石』），c=（-l,x）,则下列说法错误的是（）

A.若al.b>则a=4一半）

B.若应+人"则2=2

C.而+引的取值范围为[L3]

D.若5与2夹角为钝角，则实数x的取值范围为（Y,G）

敢型

15.已知向量不满足同=J5且单位向量@在不方向上的投影向量为;n,则向量不与e的夹角为（）

若向量雨在向量或上的投影向量为《的‘cose二苓'则实数，，

16.在V/WC中，已知福.*=（）,

的值为（

17.己知忖二W，Z与5的夹角为则在£上的投影向量为（

18.已知2=（2,4）,•=（-1,3）,则5在〃方向上的投影向量的坐标为

19.已知VABC的外接圆圆心为。，且2而=而+/，|西卜|阳=2,点D是线段BC上一动点，则次.前

的最小值是（）

4

20.如图，己知。是VABC的垂心，且。（+20月+40。=。，则cos8=（)

,1

A.—B.1C.-D.正

3333

21.如图，。是以AB为直径的半国和V/WC围成的区域内一动点（含边界），若A8=4,AC=3,且A8/AC,

则序•定的最大值为（）

22.图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCOE广的边长为1,点尸在其边上运动，点户是其内部一点（包

UU1UUU

含边界），则4P.AC的取值范围是.

23.如图，在梯形A3C。中，AB\\CD,AB1AD,AA=2CO=4,E,尸分别为。C,C8的中点，且ACE尸=2，

P是线段A8上的一个动点.

B

(1)求NE4F；

⑵求（PE+PF）-PA的取值范围.

散型IL06向量在物理中的应用

24.已知三个力月=（3,4）,^=（2,-5）,£=（3,1）同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力耳，该

质点恰好达到平衡状态（合力为零），则耳=（）

A.（8,0）B.（8,-8）C.（-8,0）D.（-8,8）

25.已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度斗二（九3,〃）（〃?>0）,

水流速度%=（-3,0）,且船实际航行的速度的大小为9,则〃?=（）

A.3B.—C.—D.12

35

26.（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，

作用在行李包上的两个拉力分别为不后，且园=|同，耳与耳的夹角为8,则下列结论中正确的是（）

M同

A.|同=----eB.0越小越费力,。越大越省力

2cos—

2

C.当0=,时，园=恂D.8的范围为［0,可

27.如图，无弹性细绳04,08一端分别固定在A,8处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状

态，对细绳的耐力性要求最高的是（三条绳本身质量忽略不计，横线上填Q4或03或OC）.

★

C

散型（07向量新定义

28.（多选）设向量“X的夹角为。，定义Zo》二B|Wsin/已知平面内互不相等的两个非零向量加G满足

同=&,且而-G）与;5的夹角为135。，则〃;的最大值为（）

A.—+2B.立+1C.72+2D.V2+1

22

29.令用表示全体平面向量构成的集合，若对于任意工6历，都存在唯一的正整数（记为了（可）与之对应,

且对任意向量m和任意实数都有2/"+网[,）+/1）+|/。一/何，则对于集合

N={y|y=/（〃）}中所含元素的个数说法正确的是（）

A.N中至少有两个元素B.N中至少有无数个元素

C.N中至多有三个元素D.N中至多有无数个元素

30.（多选）已知两个非零向量-G的夹角为6,定义运算必不加二同忡疝。，若不=（不X）»=（心力），

则下列说法正确的是（）.

A.30e0,—,a®b-ab

B.G在5上投影向量的模为喀月

C.若』=（2,0）,b=（-1,1）,则不（§）5=2

D.a®b=\x.y2-x2y]

31.已知向量Z=（X，X），五=（4,%），定义向量的新运算：2。6=（%+,）2-（々+）’2『•设向量a=（2,-1）,

〃=（-6㈤.若则2。/；=；若ZG）B=I,则卜+石=.

32.已知向量〃=（Ky）与向量U=（y,2），一”的对应关系用y=（〃）表示.

⑴设1=（2,5）,5=（2,0）,求向量/㈤及f但）的坐标;

⑵求满足/传）=（4,2）的向量T的坐标；

（3）证明：对任意向量0、6,均满足/（2"5q=2/伍）+5/何.

02

核心突破提升练!

1.印正函明已知向量同=1，B=(cos8,sin。),且满足归+可=归-闸,则(+叫=()

A.1B.72C.73D.V5

2.》新考法J人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相

似度的常用方法.假设平面内有两个点A(*,乂)，B(x2,y2),0为坐标原点，定义余弦相似度为

d(A,B)=cos<OA,OB>,余弦距离为l-d(A8).已知点&乎,；)，则48两点的余弦距离为

()

A.1B."在C.上立D.2

2222

3.V新考法眄数/(x)=2sin(s+*),>0,两苦的部分图象如图中实线所示，坏汽,/0为函数/*)

与二轴的交点.圆M与/*)的图象从左至右依次交于A，B,C,D,E,F六点,且8在V轴上，则下列结论

错误的是()

B.AFBE=0

C.co=2D.°=3

4.已知。，A,8三点不共线，丽=4函+4砺，其中4，，、为实数且不同时为0,则下列结论不正确

的是()

A.若4+4=1,则A,B,尸三点共线

B.若4=4=；,则点P为V4OB的重心

C.若41况卜勾西,则OP平分-496

D.若丽『，则而,而

5.在矩形ABC。中，AB=4,BC=1,点尸是边CO上的一点，且DP=3PC,则丽・丽的值为.

6-'旷新角度［如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边aC4上有10个不同的点,

4,鸟…，儿,记町=福•亚（i=l,2,3,…,10）,若町+秩+…+人=540,则等边三角形的边长为.

03

1.（2024.新课标II卷.高考真题）己知向量满足同=申+2收2,且伍-2刁_1兀则J*（）

A.|B.—C.且D.1

222

2.（2023・全国甲卷・高考真题）已知向量£=（3,1）,〃=（2,2）,则COS@+B"LB）=（）

A.—B.晅C.此D.侦

171755

3.（2023.全国甲卷.高考真题）已知向量G,/；,才满足同=，|=1,同=&,Ra+b+c=（）>则cos《"23-2〉=

（）

A.--B.--C.-D.-

5555

4.（2023•新课标I卷•高考真题）已知向量2=（1』）,〃=。,—1）,若（G+码J_（£+闻,则（）

A.4+〃=1B.A+//=-l

C.初=1D.办=-1

5.（新高考全国II卷•高考真题）（多选）己知0为坐标原点，过抛物线。：），2=2/»（〃>0）隹点b的直线

与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点M（p,0）,若|A/|=|AM|,则（）

A.直线A8的斜率为26B.\OB\^OF\

C.\AB\>4\OF\D.Z<MA7+ZOW<180°

6.（上海•高考真题）若|不|=|B|=R|=：,且满足"B=03.^=2石1=1,则/=

7.（浙江・高考真题）设点。在单位圆的内接正八边形A4…A的边AA?上，则区:+%2+…+忒的取

值范围是.

8.（天津•高考真题）在VA8C中，点。为AC的中点，点£满足丽=2丽.记乱=正而=却用25表示

DE=，若AB1OE,则NAC"的最大值为

第03讲平面向量的数量积及其应用

目录

01常考题型过关练

题型01平面向量数量积的定义

题型02平面向量数量积的运算口

题型03数量积的坐标表示

题型（）4投影向量

题型05向量在几何中的应用

题型06向量在物理中的应用

题型07向量新定义难

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

.

常考题型过关练

敢型

1.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

@Oa=0;②db=6d;③加=，；④,而上=川方.4.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②®.

【详解】oa=O»万石=53=|同68s@6）,"=同2,

伍石V表示与2共线的向量，，仅1）表示与2共线的向量，故两者不一定相等，

故①@③正确，④错误，

故选：D

2.已知向量同=2,方在。上的投影向量为-24,则45=（）

A.-8B.8C.4D.-4

【答案】A

【分析】由数量枳的几何意义可判断选项正误.

【详解】由向=2得卜切=4,根据〃在心上的投影向量为-2心可知方在乙上的投影的数量为Y,

故根据数量积的几何意义，16等于同与5在口上的投影的数量的乘积，

故2石=2x（-4）=-8.

故选：A.

3.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰削建筑中，如

首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，。是这6个

正六边形内部（包括边界）的动点，则ACAB的最大值为（）

c

A.12B.16C.18D.20

【答案】C

【分析】过C作CE/AB交AB延长线于E点，则AT•丽=通•丽=|恁卜|布|,当C位于D点时，ACAB

取得最大值，求此时的数最积即可.

【详解】

过C作CE1A8交AB延长线于E点，则尼・通=荏・丽=|京|・|而|,

因为6个正六边形边长均为2,如图，当C位于D点时，亚•丽取得最大值，

此时NZ14E=2,AO=3AF=6区AE=9,

6

AD-AB=AE-AB=9x2=\S>

故选：C.

4.（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.设力，/；为非零向量，若不5>0,则1,/；的夹角为锐角

B.设〃，6,3为非零向量，则仅与”=无（5句

C.设〃，5为非零向量,若仅+可_1_伍-B）,则同=W

D.若点G为VA3C的重心，则3+0+而=。

【答案】CD

【分析】由小B>0,可得a/w可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于

0计算，判断C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.

【详解】对于A选项，若必另＞0，则8§〃・/；＞（），，。5£［0，］｝

与B平行或乙与B夹角为锐角，所以A错误；

对rB选项，a,6,d为非零向量，则（4/”是与。共线的向量，/伍句是与。共线的向展,

而后与不一定共线，故=〃（5-4不一定成立，所以B错误；

对于c选项，因为,+孙所以（,+孙仅一行）=同2T5『=（）,

.•.同2=忸『，所以C正确；

对于D选项，,.・G为VABC的重心，

则点。，E,尸分别为A8,AC,BC的中点，

且AG=2G/，BG=2GE,CG=2GD,

则赤+65+交=说+觉-2砺=而+觉—2（g而+3可=0,所以D正确.

故选：CD.

观型平面向量数量积的运算

5.在矩形A8C。中，48=3,点户满足A户分+2AZ5（/leR）,则衣.而=（）

A.|B.1C.3D.9

【答案】C

【分析】直接利用数量积的运算徂代入计算即可.

［详解］APAB=f-AB+/l4D通=4（存.而）+尤（而•而卜

由于在矩形ABCD中，AB=3,且相邻边互相垂直，

因此而，而，所以而•而=0，

所以X户.A9=；（4反A®=-|AB|\

又因为AB=3,所以

代入得：A户AA=；X9=3.

故选:C

6.如果向量。，5满足同=1,恸=&,且d_L（d-6）,则乙和6的夹角0大小为（）

A.30°B.45C.75D.135°

【答案】B

【分析】先根据平面向量垂直得出12=不於再利用平面向量夹角的计算公式即可求解.

【详解】因为日

所以无,—6）=0,即求=万/.

乂因为同=1,收卜及

□dB1=>/2

所以两向审:夹角的余弦值为cos®=丽=lxx/2-T

又因为。4（）,18。］,

所以6=45。,

故两向量夹角的大小是45、

故选：B

7.在V/WC中，ZC=-KM为边AC的中点.若尸在边A4上运动（点尸可与AI重合）

【答案】A

【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将齐，初户用其他己知方向和模长的

向量表示，计算数量积，求最小值.

【详解】由题，VA8C为等腰直角三角形，AC=BC=2,AM=1,AB=2五,

UUUUUUn

设AP=4AB，r

则。户=^+/148，"户=历4+/148,

所以丽及=（京+/l丽）（臣+2通）=万而，+%砺.南+/i或•通+两言，

37

WMP.CP=8A2-62+2,因为万[0,1],所以当「=一时,丽于最小等于白

88

故选：A.

8.已知向量痴满足同=1同=2,若卜+可=近,则一与石的夹角为（）

7Te兀-兀-5兀

A.—B.-C.-D.—

126312

【答案】C

【分析】根据向量数量积的运算得，建立方程并化简，可得答案.

【详解】设之与3的夹角为6,

由1+司=业+盯=府+2鼠1+麻=J，+2同Wcose+怵=j5+4cos"=S，

则cos0=g,解得0=方.

故选：C.

9.若a,b,为单位向量，则卜+司=.

【答案】G

【分析】根据向量的模长计算公式，及数量积运算求解即可.

【详解】•.•\尻4-5都为单位向量，

|a—/?|=1,

即-2ab+\bf=\,

：.-abr=—1,

2

.加+可=\l（ci+b）2=^|t7|2Vld'b^b|2=Jl+l+l=G,

故答案为：G.

10.设向量2=（尤4）,/?=（7,-l）,已知口+4二忖.

（1）求实数x的值;

(2)求Z与/的夹角的大小.

【答案】(1)工=一3.

⑵竽

【分析】(1)根据向量的模长及数量积的坐标运算即可求解.

(2)根据向量夹角公式即可求解.

【详解】(1)w=49+1=50,

所以同一，

即2ab+\l^=0,

所以2(7x—4)+50=0,解得x=—3.

(2)设2与&的夹角为0,£=(-3,4),」=(7,-1)

所以7万=-21-4=-25，

忖=的+16=5,由(1)得忖=同=5夜，

_ab-25&

所以8也丽=荻7TF，

•.•同0,可,.•.*¥，即〃与5的夹角为亨.

散型IL03数量积的坐标表示

II.已知已二(2㈤,4=(1,3),若不工5,则工=()

3322

A.—B.—C.—D.—

2233

【答案】C

【分析】利用向量垂直的坐标表达式计算即得.

2

【详解】由可得4石=2+3x=0,解得工二一^.

故选：C.

12.己知1=(1,2),石=(&,-3),其中女为实数，若向量万与5的夹角为钝角，则&的取值范围()

3、I，6

A.(HO,6)B.(6,+oo)C.6D.-co,-lJU

【答案】D

【分析】由不出<0,结合,万不共线可得答案.

3

【详解】①B<0n2<6，a,5不共线时，2k

所以公6

2）-i)-

故选：D.

fV2交]

13.(多选)已知向量a=(cosl5,sinl5)/i=，则（)

2'2

A.ab=—B.<«,/；>=60C.«±(a-2丐)D.|3-2向=百

2

【答案】BCD

【分析】根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式,即可判断选项.

【详解】对于A,因为B=(cos45,-sin45),

所以〃•五=cosl5cos45-sin15sin45=cos(15+45)=cos60=—,故A错误:

乙

对于B,因为同=Jcos?15。+sin:6=岑+]-

=1,

2

所以cos〈ZE〉=fi>=L即。。石♦=60°,故B正确;

1。11b12

对干C,因为7（£-涕）=不一2£.B=l-2x；=0,所以£_1_（£一2抗，故C正确:

对于D,|a-2Z；|=Jr"-4、•1+4公=Jl-4x；+4=G,故D正确.

故选:BCD.

14.（多选）已知向量九否满足|。|=1，下=（区1），c=（-l,x）,则下列说法错误的是（

A.若北人则Z=g二

B.若疾+石=0,则以=2

C.|3+引的取值范围为［1,3］

D.若方与［夹角为钝角，则实数x的取值范围为（f,百）

【答案】ABD

【分析】对于选项A,利用向量垂直的坐标表示以及模为1可以列出方程组求出心对于选项B,利用向量

的共线可以求出4的值；对于选项C,将模平方，展开后根据向量夹角的范围求出模的范围即可；对于选项

D,根据向量夹角的余弦公式即可求出x的范围.

【详解】对于选项A：

因为〃_1_〃,所以〃石=0.

设”(x,y),则唐■*?：°，解得］I・

+y-=1V3

V=------

所以"二（；,-等）或所以A错误.

对于选项B：

因为痛+5=0,所以%-反，所以网=1川同=2,

所以％=土2,所以B错误.

对于选项C：

|«+Z?|=+，+2同“cos（d,Z>>=J1+4+2x1x2cosR/）=15+4cos（a；〃）.

0^-l<cos（a,b）<l,所以l«5+4cos（哂49,所以卜+同叩,3］.所以C正确.

对于选项D：

因为向量/；,［的夹角为钝角，所以cos9］）=，<0且cos（瓦［w-1.

所以XV6且312+2心+1=（岳+1），0,

所以实数x的取值范围为x<G且X—且，所以D错误.

3

故选：ABD.

散型（04投影向量

15.已知向量G满足同=#且单位向量©在G方向上的投影向量为;G,则向量d与G的夹角为（）

【答案】A

【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得.

【详解】因为。在6方向上的投影向量为夕，所以同cos伍%=；万，

可，声得,不彳1-即。历=：3；

同22

因为同=J5,G为单位向量，所以cos,乃=\言=坐，所以=

同同26

故选：A.

16.在V/WC中，已知而•/=()，若向量丽在向量就上的投影向量为‘配，cosC=46，则实数〃?

ffi5

的值为()

A.72B.5C.2D.75

【答案】B

【分析】由题意川彳JA=90。，可"sinB=&叵，利用同角的平方关系可求得cosB=@,利用投影向量的

55

~BABC\

定义可得花「=7,计算可求得加.

【详解】由荏.*=0,可得48mC,所以VA6C是直角三角形，且4=90。，

因为cosC=2,所以sin8=毡，又0。＜3＜90。，所以cosB=JF二病万=正，

555

I_BA-BC1页万

乂因为向量的在向量此上的投影向量为,BC,所以-]寿「ICnzBC,

|明

BABC1IAA|-|BC|COSB1i

所以京二二7,所以』一[*—=-,所以"＜。$8=一，

\BC\,nBC,nBC加

故选：B.

17.已知忖二W，2与万的夹角为。，则2-另在£上的投影向量为()

G_1-1-1

A.——aB.—aC.—ciD.—(i

222

【答案】C

【分析】由投影向量的定义、数量积的运算律即可求解.

【详解】同=|可，£与B的夹角为则£-5在.上的投影向量为

a-bcos(a—仇

故选：C.

18.已知不=(2,4),^=(-1,3),则5在1方向上的投影向量的坐标为.

【答案】(1,2)

【分析】利用投影向量的意义求解.

【详解】由2=(2,4),5=(-1,3),得小石=2x(T)+4x3=10,m|=JF==2石，

所以B在〃方向上的投影向量为普左=：%=(1,2).

故答案为：。，2)

散型IL05向量在几何中的应用

19.已知V4BC的外接圆圆心为0,且2荷=而+尼，闰=|码=2,点。是线段8c上一动点，则两.海

的最小值是()

1993

A.—B.C.—D.—

41644

【答案】C

【分析】先根据条件，确定VABC的形状，再以。为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的

坐标表示方鼠加，再结合二次函数求最小值.

【详解】因为2而=而+正，所以。为8c中点，

又。为VA8C的外接圆圆心，所以VA4C为直角三角形，N3AC=90。，

又画=|西=2,所以为等边三角形,

如图，以。为原点，建立平面直角坐标系:

贝1」91,右)，8(—2,0),设力(x,o),x«-2,2],

则而=(l-x,G),DS=(-2-x,0),

所以IMDQ=(l-x,V3)-(-2-x,0)=(1-X)(-2-X)

(1A2Q91

2x+-(当x=-7时取"=.

=A+X-2=I2；442

故选：C

20.如图，己知。是VA3c的垂心，且04+20豆+40。=。，贝【Jcos4=()

A.克B.-C.-D.正

3333

【答案】A

【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和

的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值.

【详解】是VAB。的垂心,延长CO交。与点P,

设\BOC=S\，'AOC=S2，SJOB=%，

A

^OCBP\\Y()CAP：=BP:AP=(OPtanZPOB):(OPtanZAOP)

=lan/BOC:lan^AOC=lan(7t-A):tan(n-B)=Ua4:tanB,

同理可得S[:S3=tanA:tanC,S,:S2:S3=tanA:tanB:tanC,

又'京+S?•砺+S3衣=0,.•3”员+tan8•砺+tanC灰=0,

又。乂+2・OB+4-OC=0»..tanA:tanB:tanC=1:2:4,

不妨设tanA=ktan6=2A,lanC=4h其中攵HO,

.r(门/c八\tanfi+tanC

•.•tanA=tann-(B+C)=-tan(B+C)=------------------

1-tanfilanC

,k=一告％解得k==

当时，此时ianA<0,ianB<0,tanC<0,则A、B、。都是钝角,

则A+4+C>7t,矛盾.

段购tanB=2&=g=曰>0,

二.8是锐角，sinB>0,cosB>0,

sing714

于是cosB2,解得cos5=，i.

3

sin8+cos?4=1

故选：A.

21.如图，〜是以"为直径的半圆和VAAC围成的区域内一动点（含边界），若A8=4,AC=3,且AB/AC,

则P/CP3的最大值为（）

A.8B.12C.18D.24

【答案】C

【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助

图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.

【详解】

取AC中点为M,由西.定=（两+际乂而+就）=（闲+雨）■（两一两）=而，一耘片.

因为AC=3,所以0,6=|户力『

若P在VA3C围成的区域内一动点（含边界），当。与8重合时PM取到最大值,

李’

若P在以A8为直径的半圆区域内一动点（含边界），

jlLlbj||<OM+2=^+4+2=1+2=1,当尸为直线与半圆的交点时等号成立,

因为2>乂亘，

22

所以方.尸3=愀例］2_\乂?_\=18,

故而•前的最大值为18.

故选:C.

22.图中所示一个正六边形.已知该正六边A6cOE”的边长为1,点〃在其边上运动，点?是其内部一点（包

UlllUlltl

含边界），则4PMC的取值范围是.

ED

【答案】[0,3]

【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达；l|AP4C=：(3%+〃)，结合图形特征以及数

量积的运算即可求解.

【详解】过点C作皿±AB于M，

所以前=丽+就，且|初卜之,|祝卜立，丽=而+济=2丽+〃MC，其中-gv/lKl,0</z<2,

4户Ad争++AAM'+(2+//)AMMC+i.iMC=(2+/z),

当P点与C点重合时，不在前方向上的投影最大，此时4=1,〃=1,Q.而取得最大值为3；

当P点与尸点重合时，此时a=-;,〃=1,即衣_|_/，故AAAC=0,取得的最小值为0；

二乔而的取值范围是。3].

故答案为：[0,3].

23.如图，在梯形ABC。中，48||CD,ABJ.AD,AB=2C£>=4,E,尸分别为OC,。的中点，月.E尸=2，

产是线段A3上的一个动点.

⑴求一E4A

⑵求(乐+所)•丽的取值范围.

【答案】⑴7

⑵1-216]

【分析】⑴建立坐标系，设。（0,），。）（%>0）,表达出元=（2,%）,加=（2,哼）由浅卷=2得到

方程，求出%=2,利用平面向量夹角余弦公式求出答案；

⑵设P（M，0）（0WZ）W4）,表达出（屋+而）.雨=2（%-1>-2,结合04/44,求出

（PE+PF）PAe[-2,\6].

【详解】（I）以A为原点，A8为x轴正半轴，AO为V轴正半轴，建立平面直角坐标系,

/\

.•.40,0）,8（4,0）,设。（0,%）（%>0）,则E（L%）,C（2,）b）,F3噂,

I乙）

又%>°,•.•%=2,：.AD=2.

K(l,2),F(3,l),AE=(1,2),"=(3,1),

AEAF=5=\

cosZ.EAF=附网=瓦标=函。

又“叩为锐角'.•.㈤产力

MA

（2）设P（，0）（0W0g4）,.•.星=（1一%2）,瓶=（1一天,2）,

.•.在+所=(4一2%),3),雨=(一如0),

.•.(P£+尸尸)•雨=(4-2刖3)(-%0)=(4-2%)(-/)=2片-4豌

22

=2[(X0-1)-1]=2(X0-1)-2,

V()<x0<4,(PE+PF)PAG[-2,I6].

散型L06向量在物理中的应用

24.已知三个力耳=(3,4),月=(2,-5),耳=(3,1)同时作用于某质点上,若对该质点再施加一个力耳，该

质点恰好达到平衡状态(合力为零)，则耳=()

A.(8,0)B.(8,-8)C.(-8,0)D.(-8,8)

【答案】C

【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出耳即可.

【详解】由题意，作用在该质点上的三个力耳二(3,4),E=(2,-5),耳二(3,1),

则耳+耳+弓=(3+2+3,4—5+1)=(8,0).

想要该质点恰好达到平衡状态，只需厉=-(8,0)=(-8,0).

故选:C.

25.已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度片=(九3机)(〃7>0),

水流速度%=(-3,0),且船实际航行的速度的大小为9,则〃?=()

512

A.3B.-C.—D.12

35

【答案】A

【分析】由平面向量加法的平行内边形法则可知，户=4+%,求得力的坐标，然后利用坐标求模长建立关

于加的方程，解方程即可得解.

【详解】

设船实际航行的速度为E则。=环+%=(〃?-3,3〃。，

乂M=9,所以J(〃L3)2+9〃P=9，解得“7=3(负值舍去).

故选：A

26.（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为E，

作用在行李包上的两个拉力分别为瓦E，且|耳卜国，耳与耳的夹角为6,则下列结论中正确的是（）

LII5

A.|同=----0B.0越小越费力，。越大越省力

2cos—

2

C.当0=,时，帕卜恂D.8的范围为［0,兀］

【答案】AC

【分析】根据向量的平行四边形法则，由|同=|同可知平行四边形法则为菱形，再逐•可验证求解.

【详解】

因为园=园，所以平行四边形法则为菱形，故园8s?=#卜即同=一',故A正确；

C°S2

根据向量加法的平行四边形法则。越小越省力，8越大越费力，故B错误；

当8=当时，=乂=所以为等边三角形，即同=恂，故C正确；

JJ

若。=兀，则4+耳=0，与M+R=G矛盾，所以。H7T，故D错误；

故选：AC.

27.如图，无弹性细绳。4,04一端分别固定在A,8处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状

态，对细绳的耐力性要求最高的是（三条绳本身质量忽略不计，横线上填0A或03或OC）.

【答案】0A

【分析】设Q4O&OC三条绳受的力分别为工，则2+刃+2=0,根据向量加法法则和直角三角形三边关

系得至4砺卜|丽丽卜|元］,得到答案.

【详解】设。A。仇。。三条绳受的力分别为1瓦入则用+2=6,

4,方合力为</=4+〃，/卜。［,

如图，在.平行四边形A（加C中，

•.•丽_1南，叫=1网，

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