2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷与答案

2025・2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。

1.（3分）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶

段.在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（）

2.（3分）用三角板作△/BC的边8c上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）

3.（3分）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了

以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（）

A.画出三角形薄板的三条中线，取其交点

B.画出三角形薄板的三条高线，取其交点

C.画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点

D.画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点

4.（3分）2025年9月3日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵

式，多种自主研发新型装备首次亮相.如图，以重型歼-20战斗机。，E所在的直线为1轴、过点力

且垂直于。£的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.若中型歼-354战斗机所在位置为点4（〃?，〃）,

歼-16。电子战飞机所在位置。与点8到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼-16。电子战

斗机所在位置C的坐标为（）

y

A

B*•C

~D~O-W

A.（m,〃）B.（-，〃,-〃）C.（w,-〃）D.（-m,〃）

5.（3分）下列条件不能确定△48C是直角三角形的是（）

A.ZJ=90°-ZCB.ZJ+Z5=ZC

C.N力=2N8=3NCD.ZJ：/B：ZC=1：2：3

6.（3分）如图，在中，点Q,E,产分别是/IC,BD,4七的中点，若阴影部分的面积为4,则4

48。的面积是（）

A.32B.36C.28D.30

7.（3分）如图，为了估计池塘两岸48间的距离，在池塘的一侧选取点P,测得笈=19米，PB=10

米，那么48间的距离不可能是（）

A.11米B.15.8米C.26米D.30.5米

8.（3分）如图是某海域内三处观测站力，C,E的分布图，经测量可得C处在4处的南偏西40°方向，

在4处向南偏东25°方向可观测到E处，而E处在。处的北偏东80°方向，则在£处观测4处和C

处的视线夹角/力£。为（）

2

A.60°B.70°C.75°D.80°

9.（3分）如图，△48C中，外角NM4C,NZCN的角平分线力。，CD交于点、D,点P在BN匕ZBAD+

ZDPZ?=180°,过点。作。£_L/14,垂足为£,连接4。，则下列结论中不一定正确的是（）

C.BP-2AE=ABD.S^DAB-S^DBC=AB：BC

10.（3分）如图，在中，ZABC=45°,过点。作于点。，过点〃作4M_L/1C于点

连接MZ）,过点。作。交于点N.CO与8M相交于点E,若点E是。的中点，则下列

结论中正确的有（）

①AD=DE；

②DM=DN；

③/4"。=45°；

@EMtMC：NE=\：2：3.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）如图所示，AB=AD,Z1=Z2,在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，便△/BCgA

12.（3分）如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为夕轴建立平面直角

坐标系，若火焰顶部尸点的坐标是（3,1.5）,则对应虚像火焰顶部。点的坐标是.

3

13.(3分)在△力8C中，4B=3,8C边上的中线4)=4,则边力C的取值范围是.

14.(3分)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线

OP为N4O8的平分线的有___________.

15.(3分)如图，在N/O8的边ON,OB上取点M,N,连接MMMP平分//MN,NP平分NMNB,

若MN=2,/XPA/N的面积是4,△OMN的面积是6,则OM+ON的长是.

三、解答题(共8小题，共75分)

16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△49C的顶点坐标分别为4(・3,1),8(・5,-2),C(-2,

-4).

(1)画出△48。关于y轴对称的△小8C1，写出点81的坐标:

(2)求出△48。的面积；

(3)在歹轴上找一点P,使以+PC最小，并写出点P的坐标.

4

17.（8分）风筝又称纸莺，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构

成.如图所示，风筝的两侧骨架力。=力。，底部骨架点E在48的延长线上.求证：ACBE

=NDBE.

图1图2

18.（8分）如图所示，△48C是等边三角形，。点是力。的中点，延长8c到E,使CE=CD

（1）求NE的度数.

（2）用尺规作图的方法，过D点作DM工BE,垂足为（不写作法，保留作图痕迹）

（3）求证：BM=EM.

19.（8分）如图，在△/AC中，Z5JC=130°,的垂直平分线分别交力员BC于点E,F，力。的垂直

平分线分别交4C，8c于点N,直线E凡"N交于点P.

（1）求/用N的度数：

（2）求证：点P在线段8C的垂直平分线上.

20.（10分）如图，在△48C中，。为△48C外一点，/C平分/胡。，CELAB于点、E,^B+ZADC=180°.

图1图2

(1)求证：BC=CD；

(2)若/AC8=g(T,连接8,AB=8,BE=2,/ABD=30’,求力。的长.

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21.（10分）【材料阅读】

已知直线/同侧有两个点4B,要在/上确定一个点C,使得力C+C8最短.小明的做法如下：作彳关

于直线/的对称点根据轴对称的性质，对于/上任意一点C,都有/C=4C,因此连接，B与直

线/的交点即为所求点C,AfB=AC+BC,此时力C+8c最短.

M

N

B

图2图3

（I）上述材料中小明判断力C+8C最短的依据是,

【知识应用】

（2）如图2,有两条河40和80在村庄O处交汇，它们的夹角N408=30°,距离村庄500米处有一

个种植园P,现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，P-M-N-P,则水渠总长度最短为

米;

【拓展应用】

(3)如图4,在△力8c中，/C=6,BC=8,48=10,N/C3=90°,月。平分NA4C,M,N分别是

AD,4C边上的动点，求CA/+A/N的最小值.

22.（11分）【问题背景】

半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过翻折、旋转或

截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构是模型，解决

问题.

如图1,在四边形/4CO中，AB=AD,NB力D=l20°,NB=N4DC=90°，点七，尸分别是8C,CD

上的点，且N£4产=60°,连接后尸，探究线段EF,OF之间的数量关系.

G

图1图2

（1）探究发现：小雨同学的方法是延长广。到点G.使。G=8E.连结力G,先证明丝△4DG,

再证明从而得出结论:

6

(2)拓展延伸：如图2,在四边形48co中，AB=AD,N£+NO=180°,E,产分别是边8C,CD1.

的点，且=请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，

请说明理由.

23.(12分)【数学建模】

某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知：在△4?。中，ABAC

=9()。，AB=AC，直线/经过点6。_1_直线/、CEJ_直线/,垂足分别为点。，E.

(1)请直接写出DE,BD和CE之间的关系.

【变式探究】

(2)小丽认为当△/8C不是直角三角形时，上述结论仍然成立.如图2,在中，AB=AC,D,

A,E三点都在直线/上，并且有NBD4=N4EC=NB4C,可得DE=BD+CE.你同意小丽的说法吗？

请说明理由.

【拓展应用】

(3)小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题.如图3,厂和△力b均为等边三角形,

点。，力，E是同一直线/上不重合的三点，ZBDA=ZAEC=ZBAC,请说明△。融•为等腰三角形.

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2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678910

答案AAADCADCBD

11JC=4E或N8=NO或12.(-3,1,5)13.5<JC<11

14.①②③④15.110。16.②③

选择题、填空题解法提示

10.解：①・・・CO_L48于点Z),

:・/CD4=NBDE=90°,

•♦•△CDA和都是直角三角形，

在△3CO中，NBDE=9Q°,ZABC=45°,

・•・△3CO是等腰直角三角形，

:,CD=BD,

•・•£W_L4C于点A/,

AZAMB=90°,

是直角三角形，

AZA+ZDBE=90°,

在RtZ\CD4中，ZJ+ZDCJ=90°,

；・NDCA=NDBE,

在△QC4和△OBE中，

Z.CDA=乙BDE

CD=BD,

Z-DCA=乙DBE

:.△DCA9XDBE(ASA),

:.AD=DE,

故结论①正确；

：,ZNDM=ZBDC=90°,

•.*/NDM-ZNDE=4BDC-ZNDE,

：,/MDC=/NDB.

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•:/DCA=/DBE,

/.ZMCD=ZNBD,

在△MQC和△NOB中，

Z-MDC=乙NDB

CD=BD,

/MCD=乙NBD

:,△MDC/ANDB(ASA),

:・DM=DN,

故结论②正确；

③在△QMN中，/NDM=90°,DM=DN,

・•・△OMN是等腰直角三角形，

:,NDMN=NDNM=45°,

NAMD=Z.AMB-NQMN=90°-45°=45

故结论③正确；

④过点D作DHIMN于点H,如图所示：

•.•4W_L/1C于点

：・/DHE=NCME=90°,

•・•点E是CO的中点，

：.DE=CE,

在△£>〃£和△CA/E中，

乙DHE=乙CME=90°

乙DEH=Z.CEM,

DE=CE

：・4DHE^ACME(AAS),

:.设,EH=EM,DH=CM,

设EH=EM=a,

:・HM=EH+EM=2a,

:△DWN是等腰直角三角形,

9

:・DH=HN=HM=2a,

:,NE=HN+EH=2a+a=3a,DH=CM=2a,

',EMzMC：NE=a：2a：3a=1：2：3,

故结论④正确，

综上所述：结论正确是：①②③④，

故选：

15.解：过户作PH工MN于",PCLOAC,PDLOB于D,连接P。,

，：MP平分/AMN,NP平分4MNB,

:.PC=PH,PD=PH,

：,PC=PD,

的面积=肪＞'・刊/=4,MV=2,

:・PH=A,

：.PC=PD=4,

•••△PMN的面积是4,△OMN的面积是6,

・•・APOM+APON=4+6=10,

；OA/・PC+：ON・PD=\(),

/.(OM+ON)X4=10X2,

，OM+ON=5.

故答案为：5.

解答题参考答案

16.解：⑴如图，即为所求,点口的坐标(5,-2)：

1111Q

(2)的面积=3X5-5x2X3-axlX5一aX2X3=^；

10

(3)如图，点尸即为所求.P(0,-2).

17.证明：在△/〃。和中,

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

:•△ABCW^ABD(SSS),

，ZABC=ZABD,

•・•点七在/也的延长线上,

/.180°,ZABD+ZDBE=\^°，

:・NCBE=NDBE.

18.(1)解：•・•△力8c是等边三角形,

AZACB=ZABC=60°,

又CD=CE,N4C8为△QCE的外角,

.*.Z£=ZCDE=30°；

<2)如图所示;

(3)证明：•••△48。是等边三角形，。是4C中点,

；・/DBC=/ABD=30、,又/E=3(T,

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・•・ZDBC=NE,

:.BD=ED,

又DMIBE,

:.BM=EM.

・・・N4+NC=180°-130°=50°,

・・・E/是48的垂直平分线，MN是/1C的垂直平分线,

：.FA=FB,NA=NC,

:・NFAB=ZB,NNAC=NC,

：・4FAB+/NAC=NB+/C=50°,

；・/E4N=130°-50°=80°：

(2)证明：如图，连接RLP8、PC,

•・・EP是48的垂直平分线，加尸是4c的垂直平分线,

：.PB=PA,PC=PA,

:・PB=PC,

・•・点〃在线段4C的垂直平分线上.

20.(I)证明：如图，过点。作CRL/O于点八

图1

12

VZ5+ZJDC=180°,ZCZ)F4-ZJDC=180°,

：・NB=/CDF,

•・・/C平分NA/iQ,CELAB,CF.LAD,

:.CF=CE,/CFD=NCEB=90°,

在.△CFD和ACEB中，

Z.CDF=乙B

Z.CFD=乙CEB,

CF=CE

:.4CFDmXCEB(AAS),

:・BC=CD；

(2)解：由(1)可知，/\CFD@/\CEB,

:,DF=BE,

在RtAJCF和Rt^ACE中，

(AC=AC

kF=CE'

・・・Rt△4CbgRl△力CK(HL),

:・AF=AE,

，：AB=AE+BE,

：・AB=AF+BE=AD+DF+BE,

：.AB=AD+2BE,

艮［J8=40+2X2,

，力。=4,

答：力。的长为4.

21.解：(1)小明判断4C+8C最短的依据是两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短；

(2)如图2中，作点P关于直线。力的对称点F,作点〃关于直线08的对称点G,连接尸G,

分别交。力、OB于M、N,

图2

13

:・MP=MF,NP=NG,

•••△PMN的周长的最小值为FG,

由轴对称的性质得：ZFOA=ZAOP,/POB=/GOB,

OP=OF,OP=OG,

•；N/1OP+NPOB=N4OB=3D°,OP=500米，

:,NFOG=NFOA+ZAOP+/POB+/GOB=60°,。产=OG=500米，

•••△FOG为边长为500米的等边三角形，

，FG=500米，

••.△PMN的周长的最小值为500米，

故答案为:500：

(3)如图，在力4上截取力2=4V,连接M尸，过点C作CEUB,垂足为E,

PE

图3

,:AD是NBAC的平分线，

:・/MAN=NMAP.

在AAMN与AAMP中,

AN=AP

AN=/-MAP,

AM=AM

:AAMNgAAMP(SAS),

:.MN=MP,

:,CM+MN=CM+PM,

当C,M,P三点共线且。尸_1_48时，CM+PM最短,

・•・这时CM+MN有最小值，即CE的长度，

VJC=6,力8=10,ZJC5=90a,8c=8,

•'•5△人8c=-yAB・CE=AC,BC,

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：,CE=丁'

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/.CM+MN的最小值为三.

22.解：（1）EF=BE+FD.

延长尸Z）到点G.使。G=8£连接4G,如图1,

图1

VAABE=ZADG=Z.ADC=W,AB=AD,

：,^ABE^^ADG(SAS).

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

：,/B4E+NDAF=NDAG+NDAF=NEAF=60°.

：,AGAF=ZEAF=^°.

又•：AF=AF,

:•△AGF^AAEF(SAS).

：.FG=EF.

•:FG=DF+DG.

:・