2026届高三数学二轮复习讲义：专项突破（二）第2节 数列求和（含解析）

第2讲数列求和

一探究真题明确方向「

1.(2022・新高考全国【卷，T17)记邑为数列｛a｝的前〃项和，已知。尸1,｛段｝是公差为3的等差数列.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)证明：-+—+-+^-<2.

a2an

2.(2024•全国甲卷，T18)记S”为数列｛〃“｝的前〃项和，已知4s产3。“+4.

⑴求3｝的通项公式；

⑵设儿=(“严〃期,求数列｛仇｝的前〃项和Tn.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8〜17分.

考查方向：

考查重点一是考查三种常见的求和方法：分组求和、裂项相消求和、错位相减求和；二是考查奇偶项；三

是数列中的子数列问题(公共项、增减项等).

1.(1)解方法一因为。尸1,所以&=1,

ai

又隐｝是公差为涉等差数列，

所以&=1+(〃-i)x：=4.

Q”33

因为当〃22时，

所以不常二等(〃22),

所以浮二二2(〃？2),

Snn+2

整理得多=当〃22),

Sn-in-l

所以包.包....£-l.Jn_=ix-X…・山.竺二n(n+l)(n+2)2)

SiS2Sn_2Sn-112n-2n-l6

所以与kn(n+?(n+2)(〃22),

XS1=1也满足上式，

所以skn(n+l)(n+2)(〃£N),

6

则s〃产空当空2〃衿，

6

所以=n(n+DS+2)(n-l)n(n+l)

66

二嘤心2),

又0=1也满足上式，

所以斯二吗%7£N").

方法二因为41=1,所以1=1,

又榭是公差为我等差数列,

所以1二1+(/?-1)X^=—,

«n33

所以SH=-j-an.

因为当〃22时，

__n+2n+1

fl=dcn-dc.l=-,

nM•5

所以筲1二比廿。〃(〃三2),

所以工=*(〃22),

«n-ln-1

所以々・包•….但」.工=?x±x£x----匕.”工二过空?：(心2),

ala2an-2an-i123n-2n-12

所以处尸誓“1力2)

又0=1也满足上式，

所以许二的罗(〃£N)

(2)证明因为“尸田罗

所以六小2十】)*_圭)，

所以能£+…甘：2](1-3+泻)+…+(=一)+(:总]

二2(1-马<2.

2.解⑴当〃=1时，

4$=4<7尸30+4,解得0=4.

当〃22时，45.尸3斯/+4,

所以4sf4S”.i=4a“=3a”-3a”」,

即On=-3an.\,

而u।=47^0>故a〃WO,

故工二3(心2),

^n—1

所以数列｛小｝是以4为首项,

-3为公比的等比数列，

所以%=4.(-3)〃”.

(2)仇=(-1)””•〃.4・(-3)””=4〃­3〃/,

所以T„=b।+岳+历+…+1

二4・30-8-31+12・32+・・.+4〃・3"」,

,23n

故37：t=4-3+8-3+12-3+-+4n-3,

所以一27；=4・3°+43+4・32+…+4・3"-4〃・3〃

i-3n

二4・3--4小3”

1-3

=2(3"-l)-4〃・3"

=(2-4n)3w-2,

所以7>(2〃・1>3”+1.

考点一分组求和法

例1(2025•苏州模拟)在数列｛«J中，已知6=2,且当〃为奇数时，。〃+2=。〃+4,当〃为偶数时，。〃二|瓯

⑴求他〃｝的通项公式；

⑵求&｝的前2〃项和S2”.

解⑴依题意，。2亭1+^=2,所以0=1,

当〃为奇数时，勾+2=。”+4,

即an+2-an=4,

则数列｛小｝的奇数项是首项为。尸1,公差为4的等差数列，于是斯=1+(等-1)X4=2〃・1；

当〃为偶数时,。”=沁।+|=1[2(/i-1)-1]+|=3/i-4.

e1、j(2n-1,九为奇数,

所以斯={

(3n-4,n为偶数.

(2)方法一§2,尸(0+的+。5+**•+。2小|)+(。2+。4+。6+,,•+〃2〃)

=(1+5+9+-••+4〃-3)+(2+8+14+•••+6〃-4)

_n(l+4n-3)n(2+6n-4)

—I

22

=5n2-2n.

方法二〃2〃-i+a2〃=2(2〃-1)-1+3・2〃-4=10/2-7,

所以侬｝是以m+s=3为首项，10为公差的等差数列.

所以S2n=(。|+42)+(。3+〃4)+…+(〃2〃-1+。2”)

二似3+1。吁7)=5/2〃.

2

[规律方法](1)分组求和法常见题型

①若数列｛C〃｝的通项公式为G尸为土耳，且｛斯｝,｛儿｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛C”｝的前

n项和.

②若数列｛c〃｝的通项公式为c〃华‘九为奇数‘

力九，九为彳禺数，

其中数列｛%｝,｛九｝是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列｛C”｝的前〃项和.

(2)并项求和法常见题型

①数列｛4〃｝的通项公式为4=(-1)7(,叫，求数列｛4〃｝的前〃项和.

②数列｛m｝是周期数列或队+纵+1伏£N)为等差或等比数列，求数列｛3｝的前n项和.

跟踪演练1(2025•广州模拟)已知公差不为0的等差数列｛%)和等比数列｛6｝满足所。尸1,且0，2a2,

4内成等比数列，4/92,23,3成等差数列.

(1)求数列｛为｝和｛瓦｝的通项公式；

(2)令金=3即,去掉数列｛c“｝中的第3火项优WN)余下的项顺序不变，构成新数列｛%｝,写出数列｛%｝

的前4项并求｛%｝的前2〃项和S»).

解(1)设等差数列的公差为d(dW0),等比数列的公比为小由题意得，

(46^=4%%，=((%+4)2=%(%+3d),

14b3=4b2+力4HbjQ2=4瓦q+^q3,

(d=1,

又3=61=1,dWO,解得

4=2，

所以%=1+〃-1=〃，仇=1X2””=2叫

(2)由⑴得C=3%=3〃,

去掉第弘项后，前4项依次为3,9,81,243,

%=介+北+，3+f・+3

CiIQIC4IIICin.zICjn-i

=(C|+C4+,••+C3〃-2)+(C2+C5+°••+C3„-1)

=(3,+34+—+33n-2)+(32+35+-+33M-1)

_3(133))।32(1-33n)_2X33n+I—6

1-331-33-13

2x33n+l_6

综上，S2〃二

13

考点二裂项相消法

例2(2025・南通模拟)已知数列｛%｝满足勾=1,03=9,且对任意的〃22,“WN*,都有如“+。小尸2(小+1).

(1)设b,t=an+i-an,求数列｛/?”｝的通项公式；

(2)设数列｛舟J的前〃项和为％求证:S©.

(1)解依题意，对任意的〃22,〃£N",都有加1+册1=2(〃“+1),

故对任意的〃22,an+\-an=an-an.\^29

所以对任意的〃22,〃£N*,b,尸%+2,即以也一尸2为定值,

所以数列｛儿｝是公差为2的等差数列，

由0=1,«3=9,得〃尸。2/，82二9-。2,

所以(9-02)-(。2・1)=2,解得6/2=4,故"=。2-1=3,

所以b„=3+(n-1)X2=2〃+1.

(2)证明由⑴可知，。〃+\-an=2n+\,

所以当〃22,〃£N•时，

(ln=Ch+(42-S)+(〃3-〃2)+…+3"-a"1)

n(l+2n-l)

=1+3-5+—+(2/?-1)=

2

又0=1符合上式，所以4尸〃2,

所以^仁-专)

故MC1-D4Q-D4G一>小白-aH(卜W)

S。+»熹一马

号岛+京)，

因为"WN”，^力。，

所以S„<r-.

4

［规律方法］(1)裂项是通分的逆变膨，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项

后，要注意从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理.

(2)常见的几种裂项结构:

①等差型：」一W(±-」一)3〃W0,dW0).

aa

nn+id\anQn+i，

(a-l)an_11

②指数型:

(an+b)(an^l+b)~an+b'an+1+b'

n±i

③对数型:loga^=log<J«,I+UogM"S〃>0,。>()且aW1).

an

④无理型：■■云二工(6-逐)m>o,b>o).

va+\ba-D

跟踪演练2(2025・安康模拟)数列｛斯｝满足公=5,%,户2即-1.

(1)证明：数列｛。〃一1｝是等比数列；

(2)若乩=自口-,证明：数列｛乩｝的前〃项和S〃v"

flnan+l3

证明(I)由s=5,an+i=2an-\,

可得5=2a「l,解得。尸3,则0-1=2.

且°川-1=2(斯-1),故｛a九一1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

⑵由⑴知的1=2”,故%=2”+1,

所以“尸以旦2n

anan+l(2n+l)(2n+1+l)

1_1

-2n+r2n+i+i,

故S,尸，，—，+…—

21+12Z+122+123+12n4-l2n+1+l32n+1+l3

考点三错位相减法

例3(2025•哈尔滨模拟)已知数列｛知｝是正项等比数列，满足侬“64,0+6=34,且夕>1.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵在小与加之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为乩的等差数列，记数列｛J的前〃项和

为乙，求证：T„<3.

(1)解•；。2。4=。1〃5=64,且41+的=34,

和的是方程X2-34A+64=0的两个根，

即f-34x+64=(x-2)(x-32)=0,

又q>l,则.•・0=2,。5=32,

则“哈=6

・・©=2(负值舍去),故。产2”.

(2)证明„

・"尸笔产二则十二黑，

n

n+ln+1dn2

7；=2+^~+…」

dtd2dn

=2X1+3X^+-+(H+1)X^,

孤=2X小3X导…+(〃+I)X肃，

•・吴I玲+#•♦•+泉-(〃+1)X募

_i,丞(1一27一1)71+1

-尹

=一3■—1一n+l二一3一n+3

22n2n+】22n+】

,F4限3.

［规律方法］(1)如果数列｛%｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，求数列｛%•>｝的前〃项和时，常采用错位相减

法.

(2)用错位相减法求和时应注意：在写出“工”与“qSj的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步

准确地写出“S『qSj的表达式.

⑶［万能公式］形如金=(〃〃+与，」(qWI)的数列的前〃项和为SKA〃+84+C(qW1),其中A=—,B=—,

q-lq-l

C=-B.

跟踪演练3(2025・沈阳模拟)已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且满足3s〃+4〃=l(〃£N*),数列｛儿｝满足

bn=\og2an+10.

⑴求出a”，bn；

(2)求出数列｛斯•Q｝的前n项和Tn.

解⑴因为350+为=1,

当〃=1时，3ai+ui=1,所以m二；,

当〃22时，可得3s〃产1,

两式相减，得3an+aft-atl.］=0,

所以4a尸即1，所以上-二；,〃22,〃£N*,

an-l4

所以｛m｝是首项为:，公比为;的等比数列，

44

即〃尸G)n

因为，尸lOg2〃”+l(),

所以b"=log2(：)+10=log22'2n+10=-2〃+10.

⑵由(1)得〃也=(10-2〃)O”,

123n

所以「=8X(3+6X。+4X(5+…+(-2〃+10)XG),

则(7；=8XQ)2+6XQ)3+4XQ)4+-+(-2Z?+10)X

两式相减得孤=8x(：)+(-2)X[G)+(;)+”,+(：)-(-2n+IO)X(i)

=2+(0X理g(2”-⑼G)""=*(2n-日Q)n+1,

4

所以常+(上凯广

专题强化练

［分值：60分］

1.（13分）（2025・许昌模拟）已知各项均为正数的数列｛〃”｝的前〃项和为5'〃，且25'后（。“+2）3”-1）.

（1）求3｝的通项公式:（6分）

⑵若％爵，求数列｛/%｝的前〃项和TW分）

解⑴当〃=1时，2s尸2。尸（0+2）（两-1）,

解得＜7］=2或m=-l（舍去）;

当〃22时，由2s产(如+2)3”-1),

得2S„.1=(an.।+2)(an.।-1),

两式相减得2an=2Sn-2Sn.i=(an+2)(an-1)-(an.\+2)(an.\-1),

整理得(an+a„.i)(an-an-1-1)=0,

又｛〃〃｝的各项均为正数，所以

所以数列｛小｝是首项为2,公差为I的等差数列,

所以u„=2+（n-1）X1=n+1.

⑵由⑴知〃〃:念昔白

所I以、］〃T二京2三3号4士“十尹n+1，

.3,4,J+］

/产号1'+环，

两式相减得，，号玲+导…+就-费白9牛W-霜*-黑篇，

3

所以T券

2.（15分）已知S是数列｛%｝的前〃项和,数列｛詈｝是首项为3,公比为3的等比数列.

（1）求数列的通项公式；（6分）

（2）已知如=-3"小，求数列｛^；｝的前〃项和刀；。分）

解（1）由题可得宇=3"，

Sn

所以S尸甯.

当n=l时，ai=Si=1.

当〃？2时，an=S„-Sn.i

_3n-13(n-1)-1_11-6n

""3n~3n-1―3n°

因为小q不满足上式,

r九=L

所以On=

学，n>2.

.,(—2,n=1,

(2)由(1)知，c=-y'a=

nn6n-11,n>2.

当n-\时，---

CnJ+iC1C22

当〃22时，」一二；---三——-

cncn+i(6n-ll)(6n-5)

-6(6n-ll-6n-s)，

所以T„=1-<■14-^—4-•••HH---

C1C2C2c3C3c4cn-lcntncn+l

fl__L)+…JP-----p-----------

26\7/6\71376\6n-176n-ll/6\6n-ll6n-5/

U4(i-/)

士知心2).

又丁咛满足上式，

所以。尸看三.

26n—5

3.(15分)(2025•黔东南模拟)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”等比数列｛儿｝的首项为2,且。2+%=10,

55=3出，h4-as=3Sy.

⑴求|小｝,｛3｝的通项公式；（6分）

⑵设求数列｛金｝的前〃项和TJ9分）

解（1）设等差数列伍“｝的公差为，

%+d+的+5d=10,

根据题意得

5al+10d=3al+9d,

%二-1

解得

d=2,

所以an=-1+(//-1)X2=2n-3,

可知。5=7,53=3,

设等比数列(九｝的公比为q,代入得2^-7=9,解得4二2,可知%二22"=2”.

(2)由⑴可知an=2n-3,bn=2",

则金=(")"(2〃-3)+点.

当〃为偶数时，7；=ci+C2+C3+,•,+c”

=[-(-1)+1-3+54—•-(2n-5)+(2/i-3)]+(^+<+专+…+/)

=2X>喈"奈

当〃为奇数时，

Tn=Tn.]+cn=(n-\)+1-泰-(2〃-3)+券力+3条

一九+3一亲n为奇数,

综上，T„=

几十1—亲几为偶数.

ID思维创新口

（共17分）

4.（17分）（2025•滨州模拟）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把

这样的操作称为该数列的一次“积扩充”.如：数列2,3经过第一次“积扩充”后得到数列2,