2026年高考数学一轮复习：导数的概念及其意义、导数的运算（附答案）

第三章一元函数的导数

及其应用

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

【课标要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数2通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用

导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

落实主干知识•

1.导数的概念

（1）函数,，=於）在x=xo处的导数记作或v.L=v-

人一入0

八即尸烟点=配。/3。+/霜-〃々)

△x

（2）函数），=/（步的导函数（简称导数）

2.导数的几何意义

函数,，=段）在.1=,10处的导数的几何意义就是曲线产7W在点P（xo，./Uo））处的切线的斜里,相应的切

线方程为y—/（xo）=AM））（X—xo）.

3基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

儿x）=c（c为常数）rw=o

/U)=d(a£R,且QWO)/（制=欧二

Xx)=sinxf(x)=cosx

J(x)=cosxsinx

yu)="3>o,且4W1)Hx)="lna

Ax)=efM=e

火x)=Iog«x3>0,且aWl)於），

/x)=lnx

4.导数的运算法则

若外外,g。）存在，则有

i/u）土g（x）r=m皿豆）；

IAx）。％）I'=女Cr）+/U）R'（X）;

疆'=出播吟g（MO）；

5.复合函数的定义及其导数

复合函数y=/（g（x））的导数与函数y=A〃）,〃=g（x）的导数间的关系为,即y对x的导数等于y

对u的导数与〃对x的导数的乘积.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打或"X”）

（1才。0）是函数尸危）在尸松附近的平均变化率.（X）

⑵与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（X）

（3力（项）=巩⑹]'.（X）

（4）（e-x）r=-e-＜（7）

2.若函数人幻=1114-2不+1,则/（；）等于（）

A.0B.|C.|D.|

答案A

解析f（x）=^—2,

所以需）=2—2=0.

3.(2024・开封模拟)已知函数«Y)=2：,则函数/U)的图象在点(0,4)))处的切线方程为()

A.jc-y—1=0B.K—y+l=0

Cjt-ln2—y—1=0Djtln2—j'+1=0

答案D

解析函数府)=2、,求导得八幻=2加2,则八0)=ln2,而加)=1,所以所求切线方程为厂1=ln2・。一

0),即上ln2-y+l=0.

4.设曲线)〜©加仕点(0,I)处的切线与直线2x—)，+1=0垂直，则。的值为.

答案一；

4

解析Vy=e2av,,

・•・在点(0,1)处的切线斜率=2讹°=2。，

又•••切线与直线2L)，+1=0垂直，

/.2«X2=-1,：,a=~-.

4

国微点提醒

1.巧记两个常用结论

(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.

(2)函数y=/U)的导数八幻反映了函数./U)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|/V)|反映

了变化的快慢，|八功越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.

2.明确两点不同

区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，

该点不一定是切点，切线至少有一条.

3.谨防两个易误点

(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.

(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.

・探究核心题型•

题型一导数的运算

例1（1）（多选）下列求导运算正确的是（）

A.(ln7)r=1

B.[(x2+2)sinx]'=2xsinx+Cd+2)cosx

22

R(X\,2X-X

D.[E(3x+2)]'=康

答案BC

解析（In7），=0,故A错误；

[（x2+2）sinx]'=2xsinx+（x2+2）cosx,故B正确；

管）'=空出=誓，故c正谪；

[ln（3.v+2）],=-^-,故D错误.

（2）已知函数危）的导函数为人幻，且於）=2^0+sinx,则广。等于（）

A.3一？B.3+乌

2323

C.3D.—立

22

答案A

解析因为J（x）=2vfQ）+sinx,

所以/（工）=21得）+8“，

令,

则词=2第）+c喏，词=-3

则贸x）=-x+sinx,

所以fU）=T+sin;今T.

）\3/3323

思维升华（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

跟踪训练1（多选）下列命题正确的有（）

A.已知函数人1）在R上可导，若八1）=2,则lim—『Nd」?

C.已知函数./(x)=ln(2x+l),若八加=1,则x()W

D.设函数人幻的导函数为八x),且凡工)=^+3八口2)+11］工，则八2)=-］

答案CD

解析对于A,lim/1+2父)-/⑴=2Iim/(i+2Ax)-/(i)=，故A错误；

△XTOAXAX-02AxJ

对干B,(等)，=上詈吧，故B错误：

对于C,若八刈)=1,则丁三二1,即的=9，故C正确；

LX\1LXI1十1乙

对于D，八x)=2x+3八2)+1,故八2)=4+3八2)+：,故八2)=一：，故D正确.

题型二导数的几何意义

命题点1求切线方程

例2(2023•全国甲卷)曲线y=持在点(1,乡处的切线方程为()

A.y=%B.y=全

__e.e、_e.3e

C.y—D.y-x+一

z44724

答案C

解析因为y=早，

x+l

所以学*=占

•(x+l)2(x+1)2

所以-vli=i=t,

所以曲线＞=呆在点(1,］处的切线方程为

厂］="L1)，即尸％+：・

命题点2求参数的值(范围)

例3若函数府)=1g+*一办的图象上存在与直线级一)，=0平行的切线，则实数a的取值范围

是.

答案［2,4-oo)

解析函数/Wnnx+Zr2—ar存在与直线2x—y=0平行的切线，

即八K)=2在(0,+8)上有解，

而/'(K)=1+4.r—a,

即，4x—a=2在(0,+8)上有解，

得〃=1+4]-2在(0,+8)上有解，

•T+4x22"=4,当且仅当工=:时等号成立，

X2

•••。24—2=2,

・・・。的取值范围是[2,+8).

命题点3切线的应用

例4(2025・广州模拟)设点?在曲线y=e'上，点。在直线尸卜上，则|PQ的最小值为()

A.-^=B-r=

上2+ib2+i

C0D§

产产

答案B

解析令y'=e，=：,得工=一1,代入曲线)，=炉中，得用一1,j,所以|PQ|的最小值即为点(一1,J到

直线p=4的距离公

.eF

思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点

处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

(2)注意区分”在点P处的切线”与“过点P的切线”.

跟踪训练2⑴牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程火幻=0的根就是函数/U)的零点r,

取初始值xo"(x)的图象在横坐标为沏的点处的切线与x轴的交点的横坐标为为，*r)的图象在横坐标

为由的点处的切线与x轴的交点的横坐标为数，一直继续下去，得到为，制「••，/,它们越来越接近

厂若/I»=X2-2(A>0),向=2,则用牛顿迭代法得到的厂的近似值检约为()

X”X

A.1.438B.1.417C.1.416D.1.375

答案B

解析由7U)=f-2(x>0),

求导得f(x)=2x,而x°=2,

则八加)=4,又叙)=2,

于是函数/U)的图象在横坐标为xo=2的点处的切线方程为厂2=4。-2),

令y=0,得为=|,

2

则八为)=3,人即)=(|)-2=[,

因此函数/U)的图象在横坐标为即的点处的切线方程为)，一：=3(x-|),

令尸0,得X2=*=L417,

所以息约为1.417.

(2)若点A(a,a),B(b,e〃)(a,b^R)，则A,8两点间距离|A8|的最小值为.

答案v

解析点4(。，4)在直线y=x上，点I3(b,e")在曲线y=e，上，

即求H8|的最小值等价于求直线)，=文上的点到曲线y=e'上的点的距离的最小值，

过)=金上的点。〃，J")作)=—的切线，可得丁一—=。"1一〃。，

令ew=1,可得〃尸0,故该切线为)=l+1,

则直线y=x+l与)，=x的距离即为|A阴的最小值，此时|AB|=1一五即|A阴min=¥.

题型三两曲线的公切线

例5(2025・广州模拟)若直线/既和曲线G相切，又和曲线C2相切，则称/为曲线G和C2的公切线.

已知曲线G:以尸e'—l和曲线Ci:g(x)=\+\nx，请写出由线G和。2的一条公切线方

程：.

答案y=x(答案不唯一，或填y=ex—1)

解析设公切线与G：八幻=廿一1相切的切点为但，吩】-1),与C2：g(x)=l+lnx相切的切点为(念，1+

Inxi).

由八》=e1则/(»)=e*i,则公切线方程为y=e*i(x—xi)+e*i—l,

即)=e"ix+(l—X[)e'i—1;

由g'(x)=2,则g'S)=工，则公切线方程为〉，=工。一也)+111上+1,

x*2x2

即y=--x-\-\nX2,

x2

eX1=—,

所以必

(1-;q)e'】-l=lnx2»

解得『了或『二：

(%2_1(X2~~-

故曲线G和。2的公切线方程为)=无或y=ex-1.

思维升华公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关

切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.

跟踪训练3(2024・福州模拟)已知直线既是曲线)，=lnx的切线，也是曲线)，=一皿一用的切

线，则()

A..k=-,/?=()B.k=1,b=0

e

C.k=-,b=-lD.k=l,b=~l

e

答案A

解析设直线与曲线y=lnx的切点为(M,Inxi)且即＞0,

与曲线y=—ln(—x)的切点为。2,一ln(一也))且也＜0,

又yilnx)=：，)/=[-ln(一力尸一;

则直线与曲线y=lnx的切线方程为厂lnxi=Nx—川，即y=-x+lnxi—1,

直线¥=AA+〃与曲线y=in(八)的切线方程为y+ln(入2)=十。M),即y=+1ln(M),

r1-1

则3一一三，解得fM=e，

(in-1=1-ln(-x2)»U2=-e,

故上=工=工,/?=lnxi-1=0.

Xie

课时精练

［分值：10()分］

IY知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.若加=皿一劝,则八一2026)等于()

C.—i―D.2026

2026

答案A

解析人力=：,则八一2026)=

2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间/(s)的关系式为^lOOr-5/2,则该质点的瞬时速度为0m/s时，

/等于()

A.5OsB.20sC.lOsD.5s

答案C

解析由题意知5=100/-5»,则丁二100—101,令＜=0,则『10,即当该质点的瞬时速度为0m/s时，

时间；=1()s.

3.设函数,")=的、的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点尸处的切线方程为()

A.y=cxD.y=x

C.y=ex+1D.y=x+1

答案B

解析函数/(x)=xe',

由式力=0,得x=0,则点P(0,0),

由7U)=xe',求导得/'(x)=(x+l)e:

则八0)=1,

所以该曲线在点P处的切线方程为)，=x.

4.已知函数段)的图象如图所示J⑶是府)的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.0<f(2)</'(3)</(3)-/2)

B.0<A3)<A3)-/(2)<f(2)

C.0<f(3)<f(2)<7(3)-/(2)

D.043)-/(2)q(3)q(2)

答案B

解析由函数J(x)的图象可知八3)乂),/(2)>0,

设A(2,12)),B(3,13)),则直线AB的斜率为反呼=/(3)一42),

3-Z

由于曲线是上升的,故了3)次2),・・瓜3)一42)>0,

作出曲线在x=2,x=3处的切线，设为/1,；3,直线四为h,/1/2,&的斜率分别为k\,h,k3,

即0勺X3）勺（3）一｛2）＜/（2）.

5.（2025・汉口模拟）已知函数./U）为偶函数，其图象在点（1,.穴1））处的切线方程为工-2），+1=0,记./U）的导函

数为f（x）,则八一1）等于（）

A.--B.-C.-2D.2

22

答案A

解析因为;U）为偶函数，

所以£t）=八-x）,

两边求导，可得［/U）］'=［A—X）］W/U）=n—X＞（—X）'"（X）=-A—X）.

又以）在点（1,川））处的切线方程为x—2y+l=o,所以八1），

所以/（一1）=一八1）=一/

6.直线，与曲线），=F+1和），=一1均相切，则/的斜率为（）

A.-B.lC.2D.e

2

答案B

解析由y=ev+l,可得;

由y=ev+,,可得y'=e'+i,

设两个切点的坐标分别为⑶，眇-1）和（如四+i）,直线/的斜率2=眇1=62+1,

故汨=刈+1,即A|WX2,

所以女=匕士之二=二

=1,

物T]

即直线/的斜率为1.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.下列求导运算正确的是（）

A.若)，=(x+l)lnx,则y'=lnx+Z+l

B.(cos§'=_sing

v

C.京-町：-^―-2ln2

。+1)2

D.(ln2x)与

答案AC

解析对于A,若y=(x+l)lnx,则)/=ln工+^^=111x+1+1,故A正确；

对于B,cos—0,故B错误；

对于C,（喜一2”=（充），

-2',n2=^w2rln2,故C正确；

对于D,(In2x)—=[,故D错误.

8.已知定义在R上的函数兀0,g（x）,其导函数分别为f（x）,g。），川_%）=6_gQ_x）,y（l—x）—gQ+x）

=6,且g(x)+g(-x)=4,则(

A.g。）的图象关于点（（），1）中心对称

B.g'(x+4)=g'a)

C./(6)=/(2)

DJU)+/(3)=12

答案BCD

f(1-x)=6-g，(l-%),

解析由题意可得

/(I-x)=6+g'(l+x),

两式相减可得g'(1+x)=-g'(1—x),①

所以g。)的图象关于点(1,0)中心对称，A错误；

由g(»+g(-x)=4,

②式两边对x求导可得g'(x)=g'(—x),可知g。)是偶函数，

以1+x替换①中的人•可得g<2+x)=-g<-y)=—g"),

可得g'(4+x)=-g'(2+x)=g。)，所以g。)是周期为4的周期函数，B正确；

因为凡r)=6—,可知./U)也是周期为4的周期函数，即./U+4)=/H),

两边求导可得八x+4)=八幻，所以八6)=八2),C正确；

因为，(l+x)=-g<l-x),令x=0，则夕(1)=一短⑴,即g'(l)=0,

又因为g。)是偶函数,所以g<—l)=g<l)=o,

又因为g")是周期为4的周期函数，则g'(3)=g{-1)=0,

/(l)=6_g'(l)=6,

由/(x)=6—g。)可得

/(3)=6-。'(3)=6,

所以川)+人3)=12,D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数/U)在闭区间，回上的图象连续

不间断，在开区间3,份内的导数为八x),那么在区间，力内至少存在一点c,使得.敏)一Aa)=f(c)S—a)

成立，其中c叫做/U)在他，句上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数,/U)=/—2x在[-2,2]

上的“拉格朗日中值点”的个数为.

答案2

解析••・端等=乎=2J(x)=3f—2,

/一1一/J4

令3«—2=2,解得工=一等£[-2,2]或工=竽£[-2,2],

.\/U)在［—2,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

10.(2024・新课标全国I)若曲线)=e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+。的切线，则。

答案In2

解析由y=e*+x得)/=e'+1,

当x=0时，)/=e°+1=2,

故曲线y=c'+x在点(0,1)处的切线方程为

y=2x+1.

由y=ln(x+l)+。得)/=去，

设切线与曲线y=ln(x+l)+a相切的切点为(即，然)，

由两曲线有公切线得)/=」一=2,

Xo+l

解得.S=一，代入切线方程y=2r+l得yo=2X(-J+l=0,

则y=ln(.%+l)+a=0,

即ln(—［+l)+a=0,解得a=hi2.

四、解答题(共27分)

11.(13分汜知函数於,bWR)的图象过点(2,4),且刀(1)=1.

(1)求。，〃的值；(5分)

(2)求曲线y=/G)过点(0,-1)的切线方程.(8分)

解(1)因为函数人冷二/一⑷^+人的图象过点小，4),所以力=4«—4.①

又八月=3/一2",八1)=1,

所以/(l)=3X12-2a=3—2a=l,②

由①©解得。=1,b=0.

(2)由(1)知/U)=V—x2,

设所求切线在曲线)，=/&)上的切点坐标为(〃7,m3—m2),则八加=3"*—2〃?，

所以切线方程为y—nr1+nr=(3/?i2—2ni)(x—m),

又切线过点(0,-1),所以2〃?3—/"2-1=0,

可得2m3-2—/+1=0,

即2(川3—1)一(〃?2一])=0,

即(加一1)(2切2+"[+1)=0,解得〃2=1,

所以切点坐标为(1,0),切线方程为X-y-1=0.

故曲线)=/(幻过点(0,-1)的切线方程为不一)，-1=0.

12.(14分)已知函数兀r)=—4+x+l,g(x)=^'2x+l.

⑴求曲线y=/U)过点(1,1)的切线方程;(7分)

(2)若曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线与曲线)，=g(x)在x=«/£R)处的切线平行，求/的值.(8分)

解(1)由导数公式得人1)=一3『+1,

设切点坐标为(x(),yo),切线方程为,V-1=k(x—1).

yo-l=k(x0-1)，

y0=-Xg+x04-l,

(k=-3XQ+1,

「o=l,卜。=-]

解得，y0=l,或,yo=Q

(k=-2k=-,

4

从而切线方程为2丫+厂3=0或x—4y+3=0.

(2)由(1)可得曲线y=/*)在点(1,1)处的切线方程为)，=一2»+3,

由gQ)=-2e±+i,可得曲线＞=虱丫)在x=/(WR)处的切线斜率为g'⑺=-2/2",

由题意可得一2b2小=-2,从而,

此时切点坐标为1),曲线kg(.r)在l=别的切线方程为)，-1二一2(.丫一目，

即y=-2A-+2,符合题意，所以t=\.

IE?能力拓展

13,14,16题每小题5分，15题6分，共21分

13.已知函数於)=("+：?；",其导函数记为八X),则八2026)—八一2026)等于()

A.-lB.OC.lD.2

答案B

22+i+2x+sin%

解析函数yu）==14其导竺的定义域为R,

x2+l

2x+sinx

令g（K）=

X2+l

则g。）的定义域为R，/U）=g。）,

又以―x）=与岑P=—竺粤=一g（#,故g（x）是奇函数，

所以g(x)+g(—x)=0,

故g'(x)—g'(—x)=0,

所以f(2026)-/(-2026)=g'(2026)—g'(—2026)=0.

14.(2025・西安模拟)已知二次函数产f+S-砂叶帅的图象与x轴交于A,8两点，图象在4,8两点处的切

线相交丁点P.若此0,且=1,则AAbP的面积的最小值为()

A.lB.V2C.2D.4

答案C

解析设4al,0),8a2,0),

贝|JX\与X?是方程-/+(〃-4)工+4/?=0的两根,贝Ij1|+工2=力-“，X\X2=-ab,

2

\AB|=|xi-x2|=V+x2)-4x1x2=a+/?,

又y^-lx+b-a,

则函数.'u-f+S-aM+a匕在点A(xi,0)处的切线方程为.尸(-2丫1+儿7)。-为)，

同理函数产-f+(〃-a)x+ab在点B(xz,0)处的切线方程为y=(-2xi^b-d)(x-X2),

njHfy=(-2占+b—a)(x-xj,

JJ

ly=(-2%