命题与证明（数学竞赛题汇编）七年级全国（解析版）

专题10命题与证明

全国各地竞赛真题试题汇编「

1.（2024七年级下•天津竞赛）要判断命题“若a>b,贝gz>b2”是错误的，可以举一个反例，则下列反

例中符合要求的是（）

A.a=2,b=-1B.a=-7,b=-2

C,a=2,b=7D,a=-7,b=0

【答案】B

【分析】本题考查的是命题和定理.根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题.

【详解】解：、，：2>-7,且/一1孔满足命题，不符合题意；

B,v-1>-2,且1）2=1<（-2）2=4,不满足命题，符合题意；

C、・：2>1,且2?>匕满足命题，不符合题意；

D、•••-7<0,不满足命题。>b,不符合题意；

故选：B.

2.（2023八年级下•吉林竞赛）下列说法错误的是（）

A.任何命题都有逆命题B.任何定理都有逆定理

C.命题的逆命题不一定是真命题D.定理的逆定理一定是真命题

【答案】B

【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌

握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；

B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；

C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；

D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题,

本选项不符合题意；

故选:B.

3.（2024八年级匕湖南岳阳•竞赛）下列命题中正确的是（）

A.若m#「，则|m|#|川B.若a+b=0,则ab>。

C.若abv。，且avb,则同v|b|D.互为倒数的两数之积必为正

【答案】D

【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法和乘法，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握以上概念和

运算.

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利用绝对值的意义，有理数的加法和乘法法则，以及倒数的定义逐项进行判断即可.

【详解】解：A.互为相反数的两个数的绝对值相等，该选项错误，不符合题意；

B.当两个数都为0时，两数之积为0,该选项错误，不符合题意；

C.两数之积小于0,那么两数符号相反，只根据符号相异的两个数，无法判断绝对值大小，该选项错误，不

符合题意；

D.互为倒数的两数之积为1,为正数，该选项正确，符合题意；

故选：D.

4.（2024八年级下•湖南长沙•竞赛）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅

读、绘画是三人的不同爱好.并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②

在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书.艰据以上信息，下列选项中正断的是（）

A.小龙在乙校读书，爱好阅读B.小龙在丙校读书，爱好绘画

C.小军在乙校读书，爱好绘画D.小康在甲校读书，爱好阅读

【答案】C

【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在中校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得

到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即匕.

【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，

所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，

因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，

所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，

故选C.

5.（2023•安徽竞赛）设db,c为互不相等的实数，且入=:。+—。，则下列结论正确的是（）

A.a>b>cB,c>b>aC,a-b=4（b-c）D,a-c=5（a-b）

【答案】D

【分析】举反例可判断A和B,将式子整理可判断C和D.

【详解】解：A.当a=5,c=10,b=\a+（c=6时，c>b>a,故A错误；

B.当。=70,c=5,b=、Q+（c=9时，故B错误；

C.a-b=4为一。整理可得b=[a-[c,故C错误；

D.Q-C=5佃一切整理可得b=1。故D正确；

故选:D.

6.（2022八年级下•浙江杭州•竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，

应首先假设这个直角三角形中（）

A.两个锐角都大于45°B,没有一个锐角大于45°

C.至少有一个锐角人于4于D.两个锐角都人于等于4于

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【答案】A

【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,

那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明

原命题成立.

【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大

f45°.

故选：A.

7.（2025九年级下•陕西竞赛）甲，乙，丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分

数依次为10,5,3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）

A.第二名，第三名的总分之和为29分或37分

B.第二名的总分可能超过78分

C.第三名的总分共有3种情形

D.第二名不可能获得其中任何场比赛的第名

【答案】C

【分析】本题考查了逻辑推理与论证，分类讨论是解答本题的关键.

根据甲的得分情况分类，然后列出第二名和第三名可能的得分情况，最后判断各个选项的正确性即可.

【详解】解：3人的总得分为3x00+5+5）=54（分），

依题意，甲的得分为10,70,5或10,10,3,

当甲得分为70,10,5时，第二名、第三名的总分之和为29分,

甲得分为10,10,3时，第二名、第三名的总分之和为37分，A正确；

甲得分为70,70,5时，第二名得分有3种情况：5,5,70；5,3,70；3,3,70,总分分别为20分，

78分，76分，第三名得分对应有3种情况：3,3,3；3,5,35、5,3,总分分别为9分.77分，13

分；

甲得分为10,10,3时，第二名得分有3种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,70,总分分别为20分，

78分，76分，第三名得分对应有3种情况：3,3,5；3,5,5；5,5,5,总分分别为77分，73分，15

分，

••.B,D正确，第三名的总分共有4种情形，C错误，

故选：C.

8.（2023九年级•浙江竞赛）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖.在比赛结果揭晓之前,

四个人做了如下猜测：

甲：两名获奖者在乙、丙、丁中.乙：我没有获奖，为获奖了.

丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖.丁：乙说得对.

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（）.

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A.甲丁B.乙丙C.乙丁D.以上都不正确

【答案】C

【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时

与结果不符.先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，

则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁.

【详解】解：由题意，可知：

•••乙、丁的预测是一样的.

「•乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.

①假设乙、丁的预测成立，则中、丙的预测不成立，

根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；

这与丙的预测不成立相矛盾.

故乙、丁的预测不成立，

②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，

甲、丙的预测成立，

「•丁必获奖.

•・•乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，

「•丙不获奖，乙获奖.

从而获奖的是乙和丁.

故选：C.

9.（2024七年级下•浙江杭州•竞赛）三位同学去食堂吃饭，他们每人要的不是牛排就是拉面：（1）如果/

要的是牛排，那么8要的就是拉面；（2）力或。要的是牛排，但是不会两人都要牛排；（3）8和。不会

两人都要拉面.根据以上信息，8要的是.

【答案】拉面

【分析1本题考查了逻辑推理，通过假设对不同情况即进行推理即可得出结论.

【详解】解：假设/要的是牛排，则B要的是拉面；由（3）8和。不会两人都要拉面可知C要的是牛排,

与（2）X或。要的是牛排，但是不会两人都要牛排；相矛盾，故力要的不是牛排，是拉而，

•.）要的是拉面，由（2）/或。要的是牛排，可知。要的是牛排，由（3）8和C不会两人都要拉面.可

知8要的是拉面.

故答案为：拉面

10.（2023七年级上•湖南邵阳•竞赛）在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真

话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话.今天甲说：“昨天是我说谎的日子乙说：“昨天也

是我说谎的日子.”问今天是星期.

【答案】四

【分析】本题考行了逻辑推理，根据题干条件以及甲乙说话内容进行分析，即可作答.

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【详解】解：•••甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话，目今天甲说：“昨天是我说谎的日子.

甲只有在星期一和星期四才能说:“昨天是我说谎的日子”,

・••乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话.且今天乙说：“昨天也是我说谎的日子.”

・•・乙只有在星期四和星期日才能说:“昨天是我说谎的日子”；

综合起来，今天是星期四；

故答案为：四

11.（2023七年级上•湖南长沙•竞赛）有6个队.两阚之间比赛一场.已知第一个队到第五个队依次赛了

1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了场.

【答案】3

【分析】本题考查/逻辑推理，理解题意，正确推论是解题关键.先分析第五个队，再依次分析第一个队,

第二个队、第三个队、第四个队，由此即可得.

【详解】解：第五个队赛了5场，说明第五个队和第一个队、第二个队、第三个队、第四个队、第六个队

各进行了1场，

第一个队赛了1场，说明第一个队只和第五个队赛了1场，

则第四个队是和第二个队、第三个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共4场，

则第二个队是和第四个队、第五个队各进行了1场，共2场，

则第三个队是和第四个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共3场，

综上，第六个队赛了3场，

画出表格如卜：

第一个队第二个队第三个队第四个队第五个队第六个队

第一个队—XX

第二个队X—XVV

第三个队X—VV

第四个队V—

第五个队JJJJ—J

第六个队XXJ—

故答案为：3.

12.（2023八年级上•江苏泰州・竞赛）已知A,B,C,Q,£代表1至9中不同的数字,ABC。+EEE=2023,

求ABC。xEEE的最大值.

【答案】968142

【分析】此题主要考查了数的进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越

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大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解.已知A8C小+EEE=2023,

因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小.验证E=98时均无解,

当E=7时，ABCD=1246,EEE=777,此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解.

【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以EEE越大,乘积越大，

当E=9时，ABCD=2023-999=1024,不符合题意；

当E=8时，ABCD=2023-888=1135,不符合题意；

当E=7时，ABCD=2023-777=1246,EEE=777、此时符合题意且积最大，

此时积为：1246x777=968142.

今全国联赛真题试题汇编「

1.（2024八年级•全国•竞赛）甲、乙、丙、丁、戊与小明同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到

现在为止，甲、乙、丙、丁、戊分别比赛了5、4、3、2、1场，则小明已赛（）.

A.1场B.2场C,3场D.4场

【答案】C

【分析】根据题意画图分析，两人连线表示两人赛一场，根据图形即可得到答案，此题考查了线段的数量

的应用，数形结合是解题的关键.

【详解】解：画图分析，两人连线表示两人赛一场.

故选：C

2.（2024七年级•全国・竞赛）下列说法正确的有（）个.

①两条直线所成的各角中必有一个锐角；②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；③经过一点

有且只有一-条直线与已知直线垂直；④经过一点有且只有•条直线与已知直线平行.

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A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查了命题，根据垂直的定义、平行线的性质、平行公理逐一判断即可求解，掌握垂直的定

义、平行线的性质、平行公理是解题的关键.

【详解】解：①当两条直线垂直时，所成的四个角都是直角，故①错误；

②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故②错误；

③同一平面内.经过一点有且只有一条直线与已知百线垂百.故③错误；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误；

「•正确的说法有7个，

故选:A.

3.（2024九年级•全国•竞赛）如图4、B、。是固定在桌面上的三根小棒，其中力上有5个大小不同的圆

片，从上到下，圆片的直径依次增大.现要将这5个圆片移动到8上，要求：①每次只能移动一个圆片；

②圆片只能在4、尻C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面.那么完成这件事情最少要移动圆片（）

ABC

A.31次B,33次C,17次D,25次

【答案】A

【分析】本题考杳的呈数字类的规律探究.i罗辑推理的应用.由题意,一个圆片至少要移动一次.两个圆

片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量.

【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而7=2，-7,

移动两个圆片，至少要移动3次，而3=22-7,

移动三个圆片，至少要移动7次，而7=/—7,

.•.移动五个圆片，至少要移动/-1=32-1=31（次），

故选：A.

4.（2024九年级•全国•竞赛）甲、乙、丙、丁4个人轮流下一副象棋，每两个人都要下一盘棋.如果甲胜

TT,并且甲、乙、丙三人胜的盘数相同，那么甲、乙、丙三人各胜2盘的概率为.

【答案】1

【分析】本题主要考查了概率.首先根据“每两人都要赛一场”算出比赛的总场数，再根据“甲胜了丁，并且

甲、乙、丙三人胜的场数相同”推出甲、乙、丙胜出的次数.

【详解】解：一共要比赛：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，即一共要下6盘棋，每人下3盘.

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因为甲、乙、丙3人胜的盘数相同，

所以①若甲、乙、丙三人各胜。盘，则显然不成立；

②若甲、乙、丙三人各胜1盘，则丁胜6-7x3=3（盘），丁全胜，与题意矛盾（甲胜了丁）；

③若甲、乙、丙三人各胜2盘，则丁胜6-2x3=。（盘），符合题意.

••・甲、乙、丙三人各胜2盘是必然发生的事件，

其概率为1.

故答案为：1

5.（2023七年级上•全国•竞赛）六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局.最终他们胜利

的场数分别是db,h,c,d,d,且Q>b>c>d,那么a=.

【答案】5

【分析】本题主要考杳了整数问题的综合运用、不等式的性质等知识点，灵活运用不等式的性质是解题的

关键.

根据题意求出比赛的场数，得到a+b+c=75根据a>c>d列出不等式，进而求出

a的值即可.

【详解】解：六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，

则共有：生罗=75场比赛，

:.a+b+b+c+d+d=15,

.a>b>c>d,

6d<15,

d<2.5,

•「a’为非负整数，

d<2,

当d=2时，a+b+b+c=11,

：.4c<77,

即CW2与已知矛盾，

当d=7时，a+h+c=73,

：.4c<13,即c<3,

当d=。时，Ma+2b+c=15,

结合。>b>c>0和a<5

解得。=5,b=4tc=2,

当c=3时，a+b+b=10、

J3bwJO,即与已知矛盾，

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当c=2时，a+b+b=11,

3b<77,b<3,

当b=3时，a=5.

故答案为：5.

6.（2024八年级•全国•竞赛）关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，

③必有一个角大于6g④至少有一个角不小于6CT.其中不正确的说法是（填序号）.

【答案】③

【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.根据反

证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③借误.

【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的

和就大于*与三角形三个内角的和等于7仇7°矛盾，所以①正确；

②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于780°,与三角形三个内角的和等于18CP

矛盾，所以②正确；

③因为三角形的三个内角可以都等于60P,所以③错误；

④若三角形的三个内角都小于6疗，那么三个内角的和就小于7&T,与三角形三个内角的和等于7&7°矛盾,

所以④正确.

故答案为：③.

7.（2023七年级上•全国•竞赛）王明参加了10场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场

数，则王明最多赢了场比赛.

【答案】2

【分析】本题考查「不等式，逻辑推理，熟练掌握以上知识点是解题的关键.设王明赢了。场，输了8场,

平了。场，则a+b+c=70,根据他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，可知。三3当a=3时,

可知，b>4,c之4,但b+c=70-3=乙矛盾，当。=2时，b+c=8,此时b=3,c=5或b=5,

。=3或、=。=4,均符合题意，从而推出答案.

【详解】解：设王明赢了〃场，输了。场，平了c场，

则d+b+c=10,

•••他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，

3a<10,

:.av4,

又「ab,。都是非负整数,

/.a<3,

当。=3时，b>4,c>4,且b+c=70-3=7

则b+C三8,这与b+C=7矛盾，

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当。=2时，b-FC=8,

此时b=3,c=5或b=5,。=3或入=。=4,均符合题意，

综上所述，王明最多赢了2场，

故答案为：2.

8.（2024八年级上•全国•竞赛）袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5,黑色球

上标有数字6,红色球上标的数字看不清.现从袋中拿出8个球、其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色

球的个数.已知8个球上的数字和是39,那么红色球上标的数字是___________；拿出黑色球的个数

是.

【答案】43

【分析】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色

球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字

并验证是否为整数即可.

【详解