2025-2026学年山东高密市第一中学卓越部高二下学期5月检测数学试卷-含解析

/数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.73.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（）A. B. C. D.4.《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.6.将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（）A. B. C. D.7.已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（）A. B. C. D.8.若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.10.已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（）A.B.过原点且与相切的直线方程为C.不等式的解集是D.若恰有两个整数解，则k的取值范围是11.在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小．某质检部门拟对件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记n件产品中检测达标的件数为X，其相应的“尾概率”，则下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.对于任意，三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________．13.已知关于的方程组y=exx−m2+y214.甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，函数．（1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围；（2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围．16.某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列；（2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？17.已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前2n项和．18.已知函数．（1）设函数，求的最小值；（2）对任意，都有，求k的取值范围；（3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围．19.近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计（1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？性别男生女生合计报名参加答题活动未报名参加答题活动合计100（2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值．参考公式与数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解.解答过程：当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立，当是递增数列，则，若，则单调递减，显然不恒成立，所以，所以必要性成立，所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件.故选：B2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案：B解析：解答过程：因为随机变量X服从正态分布，所以，由正态分布的对称性得P(−1<3.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．解答过程：解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则，，则．故选：A．4.《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据总和及题目条件列方程组求解即可.解答过程：设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差.因为份总和为，由等差数列前项和公式，​化简得

①，较大的三份为后三项​，较小的两份为前两项​，由题意，代入通项公式展开得，化简得②，把②代入①得，即，解得.因此最小的一份为​.5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果.解答过程：依题意，，，，令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，即，即.6.将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案.解答过程：数列是以1为首项的奇数列，即，数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即，故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即，.故选：A.7.已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分段函数的值域可得log2a≥a−1，令g解答过程：因为在内单调递增，则fx≥f可知函数在内的值域为；又因为在内单调递增，则fx<log可知函数在内的值域为；由题意可知：log2a≥令ga=a−log因为g′令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，又因为，且，则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为.8.若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2答案：B解析：思路：利用导数求出函数的极大值和极小值，再由函数有极大值为0或极小值为0求出的函数关系，换元并利用导数求出最小值即可.解答过程：函数的定义域为R，求导得，当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得或，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，而当时，，当时，，由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即，则，令，则，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以的最小值为.二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，由题意得：，，正确；对于B，，，错误;对于C，，正确；对于D，，错误.10.已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（）A.B.过原点且与相切的直线方程为C.不等式的解集是D.若恰有两个整数解，则k的取值范围是答案：ABD解析：思路：对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C；根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D.解答过程：A选项，由，，可得，即，故，为常数，由，可得，故，，故A正确：B选项，设切点为，，设切线斜率为，则，所以切线方程为，即，因为切线过原点，所以，解得，，所以，切线方程为.故B正确；C选项，，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，又，时，，时，，且时，，时，；当时，，当时，，的解集是，故C错误；D选项，因为，所以要使恰有2个整数解，则整数解为2和3，所以，即，化简得；故实数k的取值范围是，故D正确.11.在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小．某质检部门拟对件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记n件产品中检测达标的件数为X，其相应的“尾概率”，则下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.对于任意，答案：ACD解析：思路：明确，，，尾概率，再逐一分析各选项．解答过程：选项A，若，则，，，，：，，等号成立；：，，等号成立；：，而，故恒成立，A正确.选项B，若，取反例：，则，取.，，此时，原不等式并非恒成立，B错误；选项C，若，则：，故事件包含于，因此，故事件包含于，因此，相加得：，C正确.选项D，利用切比雪夫不等式：对任意，有，对于二项分布，，，因此：对任意，，D正确．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________．答案：解析：思路：首先确定的所有可能取值，分别计算取每个值的概率，再将的取值与对应概率代入公式计算即可.解答过程：为被参观的场馆个数，可能取值为，甲乙各选个场馆，总的选法为种，（两人选的场馆完全相同）：共种，故，（两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故，（两人选的场馆完全不同）：共种，故，.13.已知关于的方程组y=exx−m2+y2答案：2解析：思路：由题意得与圆相切于点，根据导数的几何意义，可得曲线在点处切线的斜率，根据斜率公式，求出切点与圆心连线的斜率，由题意，整理计算，代入求解，可得的值，即可得答案．解答过程：由题意得与圆相切于点，，则曲线在点处切线的斜率，切点与圆心连线的斜率，由题意得，即，又，所以，又，则，令，所以，解得或（舍），所以，解得，则，所以．14.甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________.答案：①.②.解析：思路：①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果.解答过程：①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合，因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种，甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是，由题意可知，的可能取值是，当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种；因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为.②设单局游戏中甲乙得分之和为，则如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为；如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为；则单局得分之和的期望为，由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，函数．（1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围；（2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先求导函数的零点，再根据极值点为正数，解不等式求解；（2）首先求函数的导数，求函数为单调函数时得到取值范围，再求其补集.（1），当时，恒成立，函数单调递增，不存在极值点，当时，，为一次增函数，也不存在极值点，若函数有大于零的极值点，则，令，得，则，得，解得；（2），，，若函数是单调函数，则或恒成立，即或，则或，所以在其定义域上不是单调函数，则.16.某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列；（2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？答案：（1）分布列见解析；（2）当时累计得分的期望最大.解析：思路：（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解；（2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值.（1）由题可得，且，，，，所以的分布列为X0103060P（2）设累计得分为Y，则,且，，，，所以累计得分的期望为，因为，，所以当时，累计得分的期望最大为.17.已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前2n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解；（2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解.（1）由是公差为的等差数列，且，所以，所以，当时，，解得，当时，由得，所以，即，所以，所以数列为常数列，所以，即，当时，，所以；（2）由（1）得，所以，令①，所以②，由①②有：，所以，所以.18.已知函数．（1）设函数，求的最小值；（2）对任意，都有，求k的取值范围；（3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值；（2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果；（3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解.（1）由题意可知：，，则，可知在内单调递增，且，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以在内的最小值为.（2）若，，可得，原题意等价于在内恒成立，令，，则，令，，则，由（1）可知：在内单调递增，则，可得，可知在内单调递增，则，可得，可知在内单调递增，则，可得，所以实数k的取值范围为.（3）令，，则，原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点，则在内的值域为，且为单调函数，且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；可知在内单调递增，则在内恒成立，可得，即在内恒成立，因为，由（1）可知：当时，，即；当时，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，则，可得，即，所以实数m的取值范围为.19.近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计（1）根据已知