2025-2026学年江苏省扬州市邗江区第一中学高一下学期5月份月考数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则2.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.3.已知向量，，，则m的值为（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或24.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（）A.1 B. C. D.25.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（）A.2 B. C. D.8.在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（）A. B.6 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法不正确的是（）A.圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C.过球上任意两点有且仅有一个大圆D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个10.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底11.已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（）A. B.2 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，若，则________.13.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______．14.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，则平面截正方体所得截面的面积为_____四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面．（2）求直线与面所成的角的正弦值．16.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．17.已知，.（1）求和的值；（2）若，为锐角，求的值；（3）若，为锐角，求角.18.如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度.19.在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足．（1）求角；（2）若，且满足，求的取值范围

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.解答过程：对于A：若，，则或或，故A错误；对于B：若，，则或，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，则或与异面或与相交，故D错误.故选：C.2.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.解答过程：由正弦定理，，可得，因，则，故.故选：A.3.已知向量，，，则m的值为（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2答案：D解析：思路：直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果解答过程：向量，，故，所以，解得或2．故选：D．4.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高.解答过程：由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2，即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为.故选：C5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：B解析：思路：首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状解答过程：移项得，可化为，展开得，整理得，又，所以，即，则为直角三角形.故选：B．6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果.解答过程：因为，所以两边平方得到：，在方向上的投影向量为，故选：D7.如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可.解答过程：在长方体中，取的中点，连接,由点为的中点，得，则四边形是平行四边形，，又，则四边形是平行四边形，于是，取中点，在上取点，使得，连接，而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，于是平面，由为的中点，得，而平面，平面，则平面，又平面，因此平面平面，由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上，从而点的轨迹是线段，而，所以点的轨迹长度为.故选：C8.在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（）A. B.6 C. D.答案：D解析：思路：先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积.解答过程：因为，故由得，由正弦定理得，又，故，因为，所以，故，所以.因为，所以.在中余弦定理得，，所以.所以的面积为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法不正确的是（）A.圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C.过球上任意两点有且仅有一个大圆D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个答案：ACD解析：思路：A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小.解答过程：以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误；过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积S最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误．故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底答案：ABC解析：思路：利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C.解答过程：对于A：由，存在实数，使得，由，存在实数，使得，则，故，A正确；对于B：由，故B正确；对于C：由，，则，故C正确；对于D：由，所以，即，故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误.故选：ABC.11.已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（）A. B.2 C. D.答案：BCD解析：思路：根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案.解答过程：如图，当点在顶点处时，，故B选项正确；当点在线段的中点时，，，，故C选项正确；把三角形沿展开，使点与在同一平面，当点为与的交点时，，在中，，，所以，所以的最小值为，故D选项正确；因为，故A选项不正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，若，则________.答案：解析：思路：根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.解答过程：因为，，所以，又且与不共线，所以，则.故答案为：13.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______．答案：20解析：思路：根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.解答过程：因为斜二测直观图为矩形，,则，可得原图中，,,,四边形的周长.故答案为：20.14.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，则平面截正方体所得截面的面积为_____答案：解析：思路：找到平面截正方体的截面为正六边形，求出正六边形面积即可.解答过程：延长交于点，交于点，连接并延长交于点，过点在平面内作，连接，交于点，因为，，所以，所以，同理可证，，故为的中点，因为，，，所以，所以为中点，因为，，，所以，故为的中点，所以截面为正六边形，其边长为，所以正六边形的面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面．（2）求直线与面所成的角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面；（2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得.（1）取的中点，连接、，则，且.因为，，所以且.所以四边形为平行四边形.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面为梯形，，，，所以，，，又垂直于面，为棱的中点，所以到平面的距离为，所以，因为垂直于面，平面，所以，，所以，，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，所以，设直线与面所成的角为，则，直线与面所成的角的正弦值为.16.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.（1）由题意可得，因为，所以.（2），因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.17.已知，.（1）求和的值；（2）若，为锐角，求的值；（3）若，为锐角，求角.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求；（2）先求，再利用得解；（3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解.（1）因为，且所以，又，所以，因此，；（2）因为，，所以，又，则，则，则，所以；（3）因为，，则，且，则，又，所以.18.如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直；（2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解.（3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解.（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上，∴，∵∥，∴，又∵平面，且平面，∴，∵，且平面，∴平面.（2）连接，由（1）平面，∴就是直线与平面所成的角，即，∴且，∴，，∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴又，∴，又∵平面平面，且交线为，，∴平面∴点到平面的距离为，∵∥平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，∵，∴，∵，∴∴，∴点到平面的距离为.（3）分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥，∵且平面，，且平面，∴平面∥平面，∵平面与平面夹角正切值为，∴平面与平面夹角的正切值为，∵为的中点，，∴，，又∵且平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，连接，过点作于点，∵平面平面，且平面，∴平面，平面，,过点作于点，连接，，平面，平面，又平面，，∴为平面与平面夹角，即，设，则，∵，∴，直角三角形中，，又∵∥，∴，在中，由射影定理知，∴，在直角中，，