八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题复习

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题复习同学们，第十三章《轴对称》的学习告一段落。这一章的知识不仅是平面几何的基础，也在我们的日常生活中有着广泛的应用，从精美的建筑设计到艺术图案，都蕴含着轴对称的智慧。掌握好轴对称的概念、性质及其应用，对我们后续学习更复杂的几何知识至关重要。下面，我们就对这一章的主要知识点进行梳理，并结合典型例题进行解析，希望能帮助大家巩固所学，查漏补缺。一、轴对称的核心概念1.轴对称图形与两个图形成轴对称首先，我们要清晰区分“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”这两个易混淆的概念。*轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。我们可以说，这个图形本身具有轴对称的特性。例如：等腰三角形、矩形、圆等都是轴对称图形，其中圆有无数条对称轴。*两个图形成轴对称：如果把一个平面图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个平面图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线同样叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。关键点辨析：轴对称图形是对一个图形而言；两个图形成轴对称是对两个图形而言。但它们的本质是相同的，都体现了“沿对称轴折叠后重合”这一特性。2.对称轴无论是轴对称图形还是两个图形成轴对称，其对称轴都是一条直线，而不是射线或线段。一个轴对称图形可能有多条对称轴，例如正方形有4条，等边三角形有3条。3.轴对称的性质轴对称的性质是解决相关问题的基础，需要深刻理解：*对称轴是对应点连线的垂直平分线。即如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的连线；反之，如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。*对应线段相等，对应角相等。*对应图形的形状和大小完全相同（即全等）。*对应线段或其延长线如果相交，那么交点一定在对称轴上。二、轴对称的重要应用1.线段的垂直平分线*定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。*性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。*判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合。2.角的平分线*定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。*性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。*集合定义：角的平分线可以看作是在这个角的内部，到角的两边距离相等的所有点的集合。线段垂直平分线与角平分线的联系：它们都是轴对称图形，并且都具有“到某两个固定对象（线段端点、角的两边）距离相等”的性质。3.用坐标表示轴对称在平面直角坐标系中，点的坐标关于坐标轴对称时，其坐标变化有规律可循：*点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)（即横坐标不变，纵坐标互为相反数）。*点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)（即纵坐标不变，横坐标互为相反数）。*（拓展）点P(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为(b,a)；关于直线y=-x对称的点的坐标为(-b,-a)；关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)。（原点对称不属于轴对称，属于中心对称，但常作为对比出现）掌握这些规律，能快速解决与坐标相关的轴对称问题。三、典型例题解析例题1：识别轴对称图形与对称轴题目：下列图形中，是轴对称图形的有哪些？并指出它们各自的对称轴条数。(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)等腰梯形(6)正五边形思路点拨：根据轴对称图形的定义，逐一判断每个图形是否能沿某条直线折叠后完全重合。解答：(1)平行四边形（非特殊）：不是轴对称图形。(2)矩形：是轴对称图形，有2条对称轴（对边中点连线所在直线）。(3)菱形：是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在直线）。(4)正方形：是轴对称图形，有4条对称轴（两条对边中点连线所在直线和两条对角线所在直线）。(5)等腰梯形：是轴对称图形，有1条对称轴（两底中点连线所在直线）。(6)正五边形：是轴对称图形，有5条对称轴（过一个顶点和对边中点的直线）。方法总结：熟悉常见基本图形的对称性是快速判断的基础。对于不规则图形，则严格按照定义进行折叠想象或实际操作。例题2：利用轴对称性质求角度题目：如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，若∠A=50°，∠C'=30°，求∠B的度数。（此处假设有图，显示△ABC和△A'B'C'关于直线l对称）思路点拨：根据轴对称的性质，对应角相等。先求出∠C的度数，再利用三角形内角和定理求∠B。解答：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∴∠C=∠C'（轴对称的性质：对应角相等）。∵∠C'=30°，∴∠C=30°。在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=50°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-30°=100°。答：∠B的度数为100°。方法总结：轴对称性质中的“对应角相等”、“对应边相等”是实现已知量与未知量转化的桥梁。例题3：线段垂直平分线的性质应用题目：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E。若AC=8cm，BC=5cm，求△DBC的周长。（此处假设有图，显示△ABC，DE是AB的垂直平分线，D在AC上）思路点拨：利用线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到AD=BD，从而将△DBC的周长转化为AC+BC。解答：∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∵△DBC的周长=BD+DC+BC，又∵AD=BD，∴△DBC的周长=AD+DC+BC=AC+BC。∵AC=8cm，BC=5cm，∴△DBC的周长=8cm+5cm=13cm。答：△DBC的周长为13cm。方法总结：遇到垂直平分线，要联想到“距离相等”，这是实现线段等量代换的关键，常能起到“化曲为直”或“转移线段”的作用。例题4：角平分线的性质应用题目：如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且AB=10，AC=8，△ABC的面积为27，求DE的长。（此处假设有图，显示△ABC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC）思路点拨：角平分线上的点到角两边的距离相等，故DE=DF。利用△ABD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积来列方程求解。解答：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。设DE=DF=x。∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，而S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×10×x=5x，S△ACD=1/2×AC×DF=1/2×8×x=4x，∴5x+4x=27，即9x=27，解得x=3。∴DE的长为3。方法总结：角平分线性质常用于证明两条垂线段相等，进而结合面积法解决问题，是一种重要的解题技巧。例题5：坐标与轴对称题目：已知点A(a,2)与点B(-3,b)关于x轴对称，求a+b的值。思路点拨：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。解答：∵点A(a,2)与点B(-3,b)关于x轴对称，∴它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数。即a=-3，b=-2。∴a+b=-3+(-2)=-5。答：a+b的值为-5。方法总结：牢记不同对称方式下点的坐标变化规律，直接应用即可。四、复习建议轴对称这一章的概念和性质较多，应用也比较灵活。在复习时：1.回归定义：深刻理解轴对称图形、两个图形成轴对称、对称轴等基本概念。2.掌握性质：轴对称的性质，特别是“对称轴是对应点连线的垂直平分线”以及线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，要能熟练应用。3.勤于动手：对于一些图形，可以动手画一画、折一折，帮助理解和记忆。4.总结题型：熟悉