2026年高考数学总复习高频考点培优训练：三角函数公式及其运用

三角函数公式及其运用

一、单选题

1.已知cos。=5则tan(a+"=()

cosa-sinaI47

A.26+1B.2x/3-lC.3D.1-73

2

【答案】B

CCACl

【解析】先将一巴二一弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

因为—cosJ=6,

cosa-sina

所以-------=G,=>tana=1--,

1-tana3

山八।♦(兀、tana+1_rz.

所以lana+:=----------=2j3-l,

\471-tana

故选：B.

,乃)2

2.若tana+£=—,则sin2a=()

4J3

5「5-12n12

A.----B.——C.------D.—

13131313

【答案】A

【解析1由已知利用两角和的正切公式求得tana,再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

7T

tana+tan—,..

•・/兀'n

.tan(a--)=---------------4-=-ta-n--a---+--1-=2-,解得tanct=--1

41-tanatan^[~Vdna35

4

2sinacosa2tana

sin2a=2sinacosa=

siirof+cos2atan2«+I

故选:A.

3.在平面直角坐标系xQv中，角。以。r为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（）

A.sin(兀+。)B.cos(jr-a)C.sin2aD.cos2tz

【答案】C

【解析】先得到sina>0,cosa>0,利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误.

由题意得sina>0cosa>0,

A选项，sin(n+a)=-sina<0,A错误;

B选项，cos(兀-a)=-cosavO,B错误;

C选项，sin2a=2sinacosa>0,C正确;

D选项，cos2a=cos%sin2a»若a=2,止匕时cos2a-0,D错误.

4

故选：C

4.tan—sin—+sin—=()

5510

A.—B.1C.-D.一

453

【答案】B

【解析】利用二倍角公式以及切化弦化简tanging,再变形百啥=sin停-玛，利用诱导公式和二倍角公式化简

即可.

H.271_7T71.7T—.2兀

tan—sin—=2tan—cos—sin—=2sin'—,

555555

.7C.，花27cl2兀，c.2兀

sin——=sin-----=cos—=I-2sin—,

10(25J55

十日it.2兀.Tl

于是tan-sin—+sin—=1.

5510

故选：B.

5.若sinje+]]=；,则cos["；]=()

k4；3I4J

A1R1「2&D2及

3333

【答案】A

【解析】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可.

3

故选：A

6.设函数/(X)=Q(X+I『一1,g(x)=ccsx+2ax,当xe(—l,l)时,曲线丁二/。)与y=g(x)恰有一■个交点，则。=()

A.-1C.ID.2

【答案】D

【解析】解法一：令”(xba?+aTGGbcosx,分析可知曲线5与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对

称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2,并代入检验即可；解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),x«Tl),可知〃(同为

偶函数，根据偶函数的对称性可知力(x)的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

解法一：令/(x)=g(x)，即a(x+l)2-l=cosx+2aj可得ov?+〃_]=cosx,

令F(x)=ax2+〃-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-l,l)|bj,曲线y=F(.r)与，=C(x)恰有一个交点，

注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即加1=1,解得。=2,

若。=2,令尸(x)=G(x),可得21+l—cosx=0

因为则2/20,l-cosx20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+l-cosxN0,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2/+l-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线v=尸仕)与尸G⑺恰有一个交点,

所以。=2符合题意；

综上所述：。=2.

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x)=dx2+4-l-cosx,xe(-l,l),

原题意等价于〃(X)自且仅右一个零点，

因为。(一")=〃(一/)2+〃-1-COS(一力=奴2+4-1-cosx=〃(x),

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知人(力的零点只能为0,

即妆0)=〃-2=0,解得a=2,

若a=2,则力(x)=2f+1—cosx,xe(—1,1),

又因为2/之01-8$］之0当且仅当工=0时，等号成立，

可得MX)N0,当且仅当x=0时，等号成立，

即有且仅有一个零点。，所以。=2符合题意；

故选：D.

7.已知函数f(x)=cos(2x+s),若〃%)=/(七)=；,则国一到的最小值为()

71c乃一兀c兀

A.-B.-C.—D.一

6432

【答案】C

【解析】由/(x)=〈，可得x=E±g-B，A£Z,结合周期分析可求得禺一引最小值.

由/(x)=cos(2x+^?)=-,可得2x+°=2kn±^,k€Z,

解得x=E土巴-OcZ,

62

乂函数小)=cos(2x+/)的最小正周期为年=冗,

故取的最小值时，内，士在同一个周期内,

当X1=V，x2=~,keZ,此时|X|72|二E，

663

7t57trLII27t

当.*=7'%=7时,|%-闾=号'

所以禺-即的最小值为争

故选：C.

8.设函数/(x)=sing-®>0).已知/(内)=一1,/(%)=1,且|百一的最小值为则。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

由题意可知：4为/(x)的最小值点，%为/(x)的最大值点，

则WfL=d，即7=兀，

且3>0,所以6。=斑=2.

故选：B.

二、多选题

9.已知复数口=cosl20o+isinl20。(i是虚数单位),则()

A.kd=1B.co2=coC.<y2+<y+1=0D.—r+—=1

(0~co

【答案】ABC

【解析】先化简求出。=-'+空i,再利用复数的模、共辗复数以及四则运算对各个选项验证即可得出结论.

22

因为cos120=--,sinl20=—»所以/=851200+1$出120°=-』+也"

2222

故选项A正确:

疗=(4+争|=-”字，而了=-1当，与疗相等，故选项B正确;

疗+①+1=一；一*i+-g+当i+1=。，故选项C正确;

1122(-l+x/3i)1出.

―1--------------------------------1--]

"-1->/5i-1-V3i(-1-->/3ij(-l+V3ij22，

F

1二]=122)=」_叵

丁」+乌1」+g『_L_g「一寸方"

222222

d1后),

所以----1-------1+---------------1=-1,故选项D错误.

2222

故选：ABC

10.已知tan今=3，贝lj()

anB.tana=3

A.tan―+―=3

244

C.sin2«=—D.l+cosa=2sina

25

【答案】ACD

【解析】根据两角和的正切公式即可判断选项A；根据二倍角的正切公式即可判断选项B；根据二倍角的正弦公式,

进行弦化切，结合选项B即可判断选取C；根据二倍角的正弦公式、余弦公式及商数关系即可判断选项D.

.a

1+tan—

ait

/tan—+—---------2=?,二选项A正确;

241-tan—

2

2tan—4

・・・tana=---------t=-,/.选项B不正确;

，

10—tan~一a3

2

...cc.2sinacosa2tana243k—

・sinla=2sinacosa=——；----------=----------=一,二选项C正确；

sin~a+cos“al+tan*a25

.aa

2sin—cos—.

sina99al3V_

----------=---------------=tan—=-,.,•选项D正确.

"cos。28s2q22

2

故选：ACD.

II.已知sinacos/?=-,则以下等式可能成立的有（）

A.cosasin/?=—

2

B.cosasinP=--

C.cos2a=-

3

2

D.cos2a=—

3

【答案】AC

【解析】根据特殊值判断A,根据两角差的正弦公式判断B,利用二倍角的余弦公式判断CD.

当=g时，满足sinacos/?=5,此时cosasin/?：］,故A正确；

7177

若cosasin^=——,p|ijsin(«-/?)=sin(zcos/y-cos«sin/?=—+—=—>1,故B错误;

3236

所以而止为心！，

因为sinacos/?=—

所以cos2a=l-2sin%e-l,g,故C正确，D错误.

故选：AC

三、填空题

12.若，w（0,5）,tane=；,则sin6-cose=.

【答案】一且

5

【解析】根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

/\

因为。e0,；,则sin0>0,cos6^>0,

<2）

又因为iane=^^=:，则cosO=2sin0,

cos，2

且cos?0+sin?0=4sin20+sin?0=5sin20=1,解得sinO=@或sin0=-立（舍去）,

55

所以5巾6—（：05。=5巾。-25巾夕=-5皿。=---

5

故答案为：-正.

5

13.已知tan。+—!—=3,则sin26=__.

tan6?

2

【答案】y

【解析】先根据切化弦将已知条件进行转化，再利用三角函数的平方关系求出sinOcos。的值，最后通过二倍角公式计

算.

以八sin0-1cos°

根据题屈，tan”高，可得以=初

心开，1、\八1.Rk.iSin。cosO一

将其代入tan夕+---^=3o中，得到----+--=3.

tan0cos0sin0

进行通分，即近但运g=3.则一^—=3,所以cosesine=2.

cosOsin。cosdsin，3

?

则sin2®=2sinecose=1.

2

故答案为：f.

J

14.若cos(a+6)=；,tantztan/?=2,贝Ijcos(2a-20=.

【答案】1/0.125

o

【解析】利用两角和的余弦公式和正切定义解得cosacos4=-；,sinasin〃=-g,再利用两角差的余弦公式和二倍

角的余弦公式即可得到答案.

根据题意，因为cos(a+.)=；,tanf7tan=2,

,八|„sinasinB

所以cosacos/?-sinasin〃=-,(anatanp=-------------=2,

4cosacosp

计算可得cosacos/?=-;，sinasin/?=--i,

3

所以cos(a-£)=cosacos£+sinasinp=—,

cos(2a-2/?)=2cos2(«-/?)-!=2x

故答案为：:

o

7

15.已知80(0一夕)=石，sinasin^=