圆与二次函数-浙教版数学九（上）知识点训练（含答案）

圆与二次函数一浙教版数学九（上）知识点训练

一、选择题

1.如图，动点P在线段AB上（不与点A,B重合），AB=分别以AB,AP,BP为直径作半

圆，记图中所示的阴影部分面积为y,线段AP的长为%.当点P从点A移动到点B时，y随x

的变化而变化，则阴影面积的最大值是（)

A兀7T

B卫CXD.

A.2兄4J816

2.如图，函数y=-/+12的图象与x轴交于A,B两点，点C是以M（0,2）为圆心，2为半径的圆上

的动点，P是4c的中点，连结0P,则线段0P的最小值是（)

A.1B.V3C.2D.V7

3.用一个圆心角为九。5为常数，0V〃<180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R,所作的圆锥的底

面圆的周长为1,侧面积为S,当R在一定范围内变化时，与S都随R的变化而变化，则1与R,S与R满足的函

数关系分别是（）

A.一次函数关系，一次函数关系B.二次函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系

4.如图，抛物线y=/-2%-3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D,点C为48的中点，以C为圆

心，4c长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE,取。E的中点F,当点E沿着半

圆从点A运动至点B的过程中，线段4F的最小值为（）

第1页

A.V5-1B.2V5-1C.2V2-1D.2V2-2

5.如图，抛物线y=[x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q

是线段PA的中点，连接OQ,则线段OQ的最大值是（）

6.图，抛物线y=义/一义工一3的图像与乂轴交于点人，B,交y轴于点C,动点P在射线AB运动，作

△RCP的外接圆。M.当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（）

7.如图，抛物线y=gX?-1与x轴交于A,B两点，D是以点C（0,4）为圆心，1为半径的圆上的动

点，E是线段AD的中点，连接OE,BD,则线段OE的最小值是（）

8.如图，抛物线y=2/一》一会与%轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为。，以A8为直径在无轴上方画半

圆交y轴于点/?,圆心为1,P是半圆上一动点，连接。P,点Q为PO的中点.下列四种说法：

①点C在上;

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②/Q_LPD；

③当点尸沿半圆从点3运动至点4时，点Q运动的路径长为TT；

④线段BQ的长可以是3.2.

其中正确说法的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

9.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆已知点A,B,3D分别是“果圆”

与坐标轴的交点，抛物线的表达式为48为半圆的直径，则这个“果圆”被），轴截得的弦CD

的长为.

10.如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线

对称轴的对称点为点D,动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值

H.已知：如图，二次函数丫=一号一+4的图像与丫轴交于点4,与％轴正半轴交于点8,点P在以4点为圆

心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ,则OQ的最小值为

第3页

12.如图，抛物线y=擀/-8与x轴交于A、B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动

点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是一

13.如图，在直角坐标系中，抛物线y=。/-4©+2(。＞0)交、轴于点4点B是点A关于对称轴的对

称点，点C是抛物线的顶点，若△/8C的外接圆经过原点。，则点C的坐标为.

三、解答题

14.如图，已知锐角三角形所。，点A在三角形内，NA8O=45。，NE4O=90。，AE=AO.作AADE的外

接圆。O,交BD于点、F,连接ERAF.

(1)求证：△ABD"

第4页

（2）若AB=4&，8y[2<BE<4后,

①求的取值范围.

②求。。的面积S的取值范围.

15.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆

与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-l)2-4,AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长.

16.阅读素材，完成任务

如何确定灌溉方案

图1是一种360°自动旋

转农业灌溉摇臂喷枪，

点P为喷水口，喷水的

区域覆盖了整个圆面。

图2喷出的水柱形成的

图象是以水平方向为工

素

、轴，喷枪底座中心为原

材

点建立直角坐标系，水

柱喷出的外围路径可以

近似抛物线y=—*/+

/+c和y=-TX2-

&+c的一部分，量得

OB=10m.

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现有一块四边形CDEF©

农田，它的四个顶点

C、D、E、F恰好都在

素。。上，如图3,DF=

材12V3,zf=60%如果

喷水口上升时，水柱喷

出的形状与原来相同，

现要求喷水的区域覆盖

整块四边形CDEF农田.图3

问题解决（利用素材1完成任务1和任务2,结合素材2完成任务3）

任

务确定喷枪的高度求0P的长

1

任

一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，

务拟定方案1

求该农作物种植的最大半径.

2

任

要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少

务拟定方案2

上升多少米

3

17.如图，已知AC=6cm,ZGAC=90°,AD是NGAC的平分线。动点N从点C出发，以Icm/s的速度沿

CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以lcm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动。

连结MN,交AD于点E.经过A,M,N三点作圆，交AD于点F,连结FM,FN.设运动时间为t（s）,其中

0<t<6.

备用图

（I）用含I的代数式表示线段MN的长，并求MN的最小值。

（2）是否存在实数t,使得线段AE的长度有最大值？若存在，求出I的值；若不存在，请说明理由。

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18.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C,(DM是

(2)求。M的半径和圆心M的坐标；

(3)如图2,在x轴上有点P(7,0),试在直线BC上找点Q,使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC

相似.若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图1,己知抛物线y=x?+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点Q,点P为OQ的中点，经过点

(3)将抛物线丫=-ix2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D,若BC经过点D时，求线段AC,

PC的长；

(4)若BC的中点为EAE交翻折后的抛物线于点F,直接写出AE的最大值和此时点F的坐标。

20.如图1,我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A,B,C,D分别为“蛋

圆''与坐标釉的交点，'=3%-3与''蛋圆''中的抛物线、=*%2+匕工+。交于8,C两点.

第7页

图1图2备用图

(1)求“蛋圆”中的抛物线的解析式,并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长.

(2)“蛋圆''上是否存在点P使△4PC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,

请说明理由.

(3)如图2,E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE,AB,BE,设AE与BC交于F,△BEF的面积

记为邑，“BF的面积记为S2,求部勺最小值.

第8页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：,・・AB=LAP=x,

ABP=l-x.

阴影=上》出-ixnxQj-|xnx(i2^)

1/-x2+X

=7XKX-L

・•・有最大值,

故阴影面积的最大值为喘.

故答案为：D.

【分析】根据阴影部分的面积二大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式

化成顶点式，即可求得函数的最大值.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：连接MC,BC,BM,

・・・力(-275,0),8(2次,0)

.\OA=OB=2A/3;

•・•点P为AC的中点，

・・・€^为4ABC的中位线，

1

：.OP=/(：,

第9页

要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，

・•・DCiMC>DM,艮|JBM-CM<DC,

・•.当点C,B,M在同一条直线上时，BC的值最小，

在RtABOM中，

22

MB=J2+（2V3）=4，

VMC=2,

ABC的最小值为BM-CM=4-2=2,

・・・OP的最小值为1.

故答案为：A.

【分析】连接MC,BC,BM,由尸0可求出对应的x的值，可得到OA=0B=2百；利用三角形的中位线定

理可证得0P=28C，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CMSBC,当点

C,B,M在同一条直线上时，BCE勺值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM,

代入计算可求解.

3.【答案】C

2

【解析】【解答】由题意得：|=箜=与R5=皿=里R2

1180180"Q360360K/

：.R,S与R满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，

【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出1、S与R的关系即可求解•.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，连接CD,交OC于G,连接GF,CE,

Vy=r2-2%-3=(x-I)2-4,

，抛物线的顶点坐标坐标为：0(1,-4),即CO=4,

,:当%2—2x-3=0时,

解得：X1=-1,X2=3,

0),8(3,0),

第10页

•\CG=AC=BC=^AB=2,

，G为CO的中点，而F为OE的中点，

；.GF=〃E=1,

，F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，

当A,F,G三点共线时，A尸最短，

此时AG=V22+22=2/，

・"产的最小值为:2或一1，

故答案为：C.

【分析】连接CD,交。C于G,连接GF、CE,根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D(1,-4),则

CD=4,令y=(),求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2,推出GF为ACDE的中位线，则

GF=1CE=1,故当A,F,G三点共线时，AF最短，据此求解.

5.【答案】C

•・・Q是线段PA的中点，

・・・0(^为4ABP的中位线，

AOQ=iBP,

当BP最大时，0Q最大，

而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P位置时，BP最大,

VBC=V32+42=5,

・・・BP'=5+2=7,

，线段0Q的最大值是:

故答案为：C.

第11页

【分析】连接BP,利用y=[x24求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理用得OQ=4BP,当BP最大

时，0Q最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P，位置时，BP最大，由勾股定理求出BC

的长，利用BP=BC+CP即可求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：令y=0,ix2-1x-3=0,解得％=3或%=—2,

故4(2,0)，8(3,0)，

令x=0,则y=-3,C(0,-3),

.••线段BC的垂直平分线为y=-X,

V4P8C的外接圆的圆心在线段8c的乖直平分线y=r上,

叫y=#—卜.3,解得/I%二(舍弃),

二点M坐标为(2,-2)，

如图1中，作MN148于N,

•••MP=MB,NM1PB,

:.PN=NB=1,

:.OP=1,AP=3.

故答案为：A.

【分析】^PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即

得点M,再确定点P并求出AP的长即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：令y=gx2-l=0,贝i」x=±3,

故点B(3,0),

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设圆的半径为r,则r=l,

当B、D、C二点共线，且点D在DC之间时，BD最小，

而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是4ABD的中位线，

则0E=1BD=1(BC-r)=i(+42-1)=2，

故答案为：D.

【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而0E是△ABD的中位线,即可求解.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•抛物线y=/2—与坐标轴交于点儿B,c,

-M(-1,O),8(3,0),C(0,-芬

.••点/(1,0),。/的半径为2,

1O1

y=如2_%=(%_1)2_2,

••・顶点。的坐标为:(1,-2),

ID=2,

•••点。在O/上.

®IC=>JOI2+OC2=/2+6)2=孚=2,故点C不在。/上，故①不正确；

②・.•四心为/,P是半圆上一动点，点。在。/上，点Q为PO的中点.

/Q1P。，故②正确；

③图中实点G、Q、/、「是点N运动中所处的位置，

ID

则G尸是等腰直角三角形的中位线，GF=//B=2,交G尸于点R,则四边形GOF/为正方形,

当点P在半圆任意位置时，中点为Q,连接/Q,则/Q1PD,连接QR,

则QR=1/D=IR=RD=RG=RF=^GF=1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，

则Q运动的路径长=ix2nr=兀，故③正确；

④山③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，

最大值为它”=y/!Q<3.2,

••・线段BQ的长不可以是3.2,故④不正确.

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故正确说法有：②③.

故答案为：B.

【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到4(-1,0),8(3,0),以0,-克，

/(1,0),顶点0(1,-2),①根据勾股定理求出/C,进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点

P的运动轨迹为以/为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运

用勾股定理即可求解。

9.【答案】2V5+6

【解析】【解答】解：因为AB为“果园”中的抛物线、=2/-2%-6与*轴的交点，则令丫=0,得：?2一

2x-6=0,即(％-6)(%+2)=0,解得：打=6,%2=-2,则A8=8,圆心M的坐标为(2,0),圆的半

径r=4,即MC=4,由勾股定理可得：。。2=时。2一。时2=42-22,

即。。=2后点D为抛物线与y轴的交点，令x=0得尸6,即点D(0,-6),所以。。=。。+。。=

26+6.

故答案为：2V5+6.

【分析】本题主要考查一次函数图象和性质、抛物线的图像和性质，为AB为“果园”中的抛物线y=?2—

2%—6与x轴的交点，贝I」令y=0,解得修=6,久2=—2,则力8=8,圆心M的坐标为(2,0),圆的半径丁=

4,即MC=4,由勾股定理可得：即。C=2V5,令x=0得y=-6,即点D(0,-6),所以。0=。。+。。=

2\/3+6.

10.【答案】V58-1

【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H,连接BH交y轴于点E,交圆于点F,则DE+EF最小，如

令抛物线的y=0,则解得x=3或1；令x=O,则y=3；

・••抛物线与x轴的交点为A(1,0),B(3,0),与y轴的交点C为(0,3)

y=x2-4x+3=(x-2)2-1

・••抛物线的对称轴为直线x=2,点D的坐标为(4,3)

•・•点H与点D关于y轴对称

・•.点H的坐标为(-4,3),EH=ED

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・♦・当DE+EFM^hffi=EH+EF=HF=HB-FB=7(-4-3)2+(3-0)2-1=屈—L

故答案为：V58—1.

【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次区数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x

轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反

数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.

11.【答案】1.5

【解析】【解答】解：连接力8,取力3的中点C,连接CQ,AP,

4

2

y-X+4

9

4

-

9+4=0，解得％i=3,x2=-3,

AB—>/32+42—5，

OC=BC=AC=2.5,

vQ点是BP的中点，

CQ为三角形84Q的中位线，即有CQ=^AP=1,

OQ>OC-CQ,当。、C、Q三点共线等号成立，即OQN1.5,

故OQ的最小值为1.5,

故答案为：1.5.

【分析】求出A、8两点的坐标，连接A8,取48的中点C,连接CQ,AP,利用勾股定理得到48=5,可得

OC长，利用中位线定理得出CQ的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到。Q的最小值即可.

12.【答案】|

【解析】【解答】解：令y=O,可得x=4或-4,则OA=OB=4,

VO.Q分别为AB、PA中点，

.*.OQ=1PB,

当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值,

BP=BC+POJM+0B，+PC=7,

AOQ=3.5

故答案为：3.5.

【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ弓PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、

B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得0B长；在直角三角形BOC中根据勾

股定理可求出BC长为5,进一步求出BP长7,即可得出0Q最大值35

13.【答案】(2,1-V5)

【解析】【解答】解：连接0B,与抛物线的对称轴交于点0、

抛物线的对称轴为直线x=-乎=2,

La

当x=0时y=2,

・••点A(0,2),

•・♦点A,B关于对称轴对称，

・••点B(4,2),AB〃x轴，

r.ZOAB=90°,

•[••△/IBC的外接圆经过原点0,

・・・OB圆O的直径,点CT的坐标为(2,1)；

，OB=7A0?+OB2=V224-42=2病，

O，B=OC=V5：

・••点C(2,,1-V5).

故答案为：(2,,1-6)

【分析】连接OB,与抛物线的对称轴交于点O1利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由x=()求出对应

得y的值，可得到点A的坐标，利用二次函数的对称性可求出点B的坐标，利用圆周角定理可证得0B网

0'的直径，同时可求出点0'的坐标；利用勾股定理求出0B的长，即可得到0C的长，据此可求出点C的坐

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标.

14.【答案】(1)解：•・・△ADE是等腰直角二角形，AE=AD,

.\ZEAD=90°,NAED=NADE=45°,

'：AE=AE,

.,.ZADE=ZAFE=45°,

VZABD=45°,

.\ZABD=ZAFE,

，.•AE=AE,

・・・/ADB=NAEF,

VAE=AD,

・•・△ABD^AAFE(AAS)；

.\ZBAF=ZEAD=9()°,

VAB=4V2,

.•・BF=—竺—=4&=8,

cosZ.ABFcos45°

VBE2=EF2+BF2,8V2<BE<4^»

.\128<EF2+82<208,

Z.64<EF2<I44,

A8<EF<12,即8VBM12.

②设BD=x,则EF=x,DF=x-8,贝[

22

2

S=(竿)7r=牛7r=余2+(x-8)]=(x-4)+8=^(%-4)2+8%

・•・抛物线的开口向上，

又•••对称轴为直线x=4,

・•・当8V烂」2时,S随x的增大而增大,

167r<S<40n.

第17页

【解析】【分析】

(1)证明NABD=NAFE,ZADB=ZAEF,结合AD=AE,运用AAS可证明△尸E.

⑵①山△A8Z厘A4FE可寿所以求出EF的范围可得BD的范围。先计算出BF,再根据皿=

EF2+BF2和8或<BE<4后，可求出BE的范围。

②设BD=x,得出S与x的关系式，根据关系式确定S的范围即可。

15.【答案】解：・・•抛物线的解析式为y=(x")2-4,

・••点D的坐标为(0,-3),

・・・OD的长为3,

设y=0,则0=(x・l)2・4,解得：x=-l或3,

r.A(-l,0),B(3,0)

r.AO=l,BO=3

VAB为半圆的直径，

・•・ZACB=90°,

VCO1AB,

.\CO2=AO-BO=3,ACO=V3

r.CD=CO+OD=3+V3

【解析】【分析】利用函数解析式可得到抛物线的顶点D的坐标，由此可求出OD的长；由y二0建立关于x

的方程解方程求出x的值，可得到点A,B的坐标，就可求出AO,BO的长，利用圆周角定理可证得

ZACB=90°,利用相似三角形的判定和性质可求出OC的长，然后根据CD=CO+OD,求出CD的长。

16.【答案】解：任务1：•/OB=10,

r.B(io,0),

将B(l(),0)代入y=一射2+枭+c得：o=一!xio。+争xio+c,

oooO

解得：c=学,

・・・OP的长为学；

任务2：当y=狒,_|x2+|x+W=3

解得：刈=4+3百,外=4一3百V0(舍去)，

，最大半径为：4+36；

任务3：连接DO延长交。。于点G,连接FG,

1

E

I)

第18页

•••乙E=60°,

•••ziG—Z.Z?—60°,

•・,DG是。O的直径,

乙DFG=90°,

在RtADFG中，DF=12V3,

“DF12百»

•DG=­~~=-

1,sinzG73=24,

~2

・♦•覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12,

把(12,0)代入y=-TX2++c得：0=-Tx12z+2x12+c,

o3oa

解得：c=8,

10_14

,'-8Q-T=T,

・•・喷水DP应至少上升竽米.

【解析】【分析】任务1：把点B坐标代入y=—/+&+c求出c值可得点P坐标，即可得答案；

03

任务2：把y=会代入y=-TX2+%4-苧求出X的值即可得答案；

任务3：连接DO延长交。O于点G,连接FG,根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得4OFG=

14

2求

-X+-X+C

90。,乙。=60。,，利用三角函数求出DG的长，确定出。。半径为12,把(12,0)代入y=63

出c值，进而可得答案.

17.【答案】(1)解：:动点N从点C出发，以lcm/s的速度沿CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点

M从点A出发，也以lcm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动，设运动时间为t(s),

ACN=AM=t,AN=6-t,

•・,ZGAC=90°,

・•・MN=>JAM2+AN2=yjt2+(6-t)2=j2(t—3)2+18

当t=3时，MN的最小值为=3V2.

(2)解：存在，t=3

理由：过点E作EH_LAC于点H,

第19页

VAD是/GAC的平分线,

・•・ZPAC=45°,

•••△AEH是等腰直角三角形，

・・.EH=AH,

­­AE=y/2EH

VZEHN=ZMAC=90°,

・・・MA〃EH,

/.△NEH^ANMA,

・EH_NH

•而一而

设EH=AH=x,NH=6-t-x,

•x6-t—x

=~6-

解之：x=一a产

6

,—t2+6t)2(+3/2

•・4AEr=V2----q——=--g-(t-3)z+

Va<0,

・・・当t=3时AE的长度的最大值为华.

【解析】【分析】(1)利用两个点的运动方向和速度，可表示出AM,AN的长，再利用勾股定理可得到MN

关于t的关系式，再利用二次函数的性质可求解.

(2)过点E作EHJLAC于点H,利用角平分线的定义去证明4AEH是等腰直角三角形，可证得EH=AH,

AE=V2EH;再证明MA〃EH,可推出△NEHs^NMA,利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，设

EH=AH=x,NH=6-t-x,可得到关于x,I的方程，解方程求出x的值，将其代入，可得到AE关于t的函数解

析式，利用二次函数的性质可求解.

18.【答案】(1)解：•・•抛物线y=*2+bx+c的顶点D的坐标为(1,4),

b

=1

2，解得fb=2

4x(-l)xc-ftc=3

4x(-1)-=4

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,

令y=O则“2+2X+3=(),解得x=-l或3,

令x=0,y=3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,3)；

(2)解：如图I.连接MR.MC,

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•・•三角形外心为三边中垂线交点，

・••设M(1,m),

VMB=MC,

・•・J(1-+(m-0)2=j(l-0)2+(m-3)2

解得m=I,

AM(1,1),

22

3)+(1-o)=V5

・・・OM的半径为J5,圆心M的坐标为(1,1)；

(3)解：由(1)知，4(-1,0),B(3,0),C(0,3),

AB=4,BC=3y/2,BP=4,

设直线BC的函数解析式为y=kx+a,

将点B(3,0),C(0,3)代入得：解得｛仁二1，

则直线8C的函数解析式为y=-无+3,

设点Q的坐标为Q(3-t+3)，

则BQ=J(t-3)2+(—t+3-0)2=V2|t-3|,

要使B,Q,P三点构成的三角形与AA8C相似，则△AC8〜△PQB或△人口?〜△、「&此时£>3,

图2

①当"CBYPQB时,

第21页

MBBC43g

则而=而，即l1n4=薪对

解得亡=6,

经检验，£=6是原方程的解，

则此时点Q的坐标为Q(6,-3);

②当△AC8〜4QPB时，

喘8c4_3V2

铲131rl72(^3)~

解得”争

经检验，t=孝是原方程的解，

则此时点Q的坐标为Q(手-|)；

综上，点Q的坐标为Q(6,-3)或(2(基，

【解析】【分析】(1)由顶点坐标公式直接求出b=2,c=3,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,再令y=0、

x=0即可求得点4B,C的坐标；

(2)根据三角形外心为三边中垂线交点，设M(1,m),根据两点间的距离公式，即可求得OM的半径和

圆心M的坐标；

(3)先算出48=4,BC=3五,8P=4,再求出直线BC的函数解析式y=-％+3,设Q(£,-£+3),表

示出BQ=&(t—3),分两种情况讨论：①a/lCB〜APQB和②△4C8〜AQAB,然后根据相似三角形的性

质求解即可.

19•【答案】(1)(0,2)；(-4,0)；(4,0)

(2)解：连结MA,MB

设。M半径为r,则MP=MA=MB=r

;在RaOMB中，MB=r,OB=4,OM=r-2,

由勾股定理可得，r2=42+(r-2)2,解得r=5

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VMA=MB,MOIAB

AZAMO=ZBMO=1ZAMB

•・,在。M中，ZACB=1ZAMB

.,.ZACB=ZOMB

tanZOMB=瑞

tanZACB=i

(3)解：连结AD

AD=BD=42

CD=AD.tanZACB=3y/2

AC=5V2

过点C作y轴垂线CH

可证△BODsMHD,可求罂=罂.

ACH=3,DH=3

PH=9

；・PC=y/cH2+PH2=3V10

(4)解：如图，

由题意可知点M(0,-3),

当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点,

・・・BE的长始终为BC的一半，

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・••点E的运动路径也是圆弧OMB,这条弧的半径为J42+32=5,

，NE=2.5

当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，

弧OMB的圆心N(2,-1),

过点N作NHJLAB于点N,AE交y轴于点G,

T7

.-.AG=A/4T1=VT7，

VNH//OG,

・•・△AOG^AAHN,

.AO_AGBU4E

-AH--NA^6=AN

解之：AN

・•・AE的最大值为AN+NE曰旧+1=3"+5；

乙L乙

设直线AC的函数解析式为y=kx+b

.(b=-1

,•l-4k+b=0

(,1

解之：尸一4

b=-1

.11

・・v=—TX-1

解之：xi=3,X2=-4(舍去)

当x=3时y=|x9-4=一1

•••点F(3»—3).

【解析】【解答】解：(1)当产。时，一/x2+4=0

x2=16

解之：x=±4

・,•点A(-4,()),点B(4,0)

当x=0时，y=4,

.\OQ=4,

•・♦点P为OQ的中点，

第24页

.\0P=i0Q=2.

・♦•点P(0,2)

故答案为：(0,2)：(-4,0)：(4,0).

【分析】(1)由x=0可求出y的值，即可得到OQ的长，再根据点P为OQ的中点求出PO的长，即可得到

点P的坐标；由y=0,建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A,B的坐标。

(2)连结MA,MB,设圆的半径为r,可得到MP=MA=MB=r,用含r的代数式表示出OM的长，再在

RSOMB中，利用勾股定理求出r的长，利用垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，可证得ZBMO=1

NAMB,再利用圆周角定理证明NACB二义ZAMB,从而可以推出NACB=NOMB,然后利用锐角三角函

数的定义即可求解。

(3)连接AD,易证CD=BD二AD,利用解直角三角形求出AC的长，再证明△BODs/iCHD,利用相似三

角形的对应边成比例，求出CH,PH的长，然后利用勾股定理求出PC的长。

(4)由题意可知点M(0,-3),当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，BE的长始终为BC的一

半，点E的运动路径也是圆弧OMB,利用勾股定理求出这条弧的半径，由此可得到当线段AE经过弧OMB

的网心时，AE有最大值，可得到圆心N的坐标，利用勾股定理求出AG的长，再利用相似三角形的判定和

性质求出AN的长，即可求出AE的最大值；利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，再将AC和抛物

线的解析式联立方程组求出符合题意的x的值。将x的值代入直线AC的函数解析式求出对应的y的值，即

可得到点F的坐标。

3

-X

20•【答案】(1)解：•・•直线y43交坐标轴B,C两点,

-3),C(4,0),

:抛物线y=4%2+b%+。过B,C两点,

c=-3

yi6+4b+c=(T

11

解得：卜=一4,

c=—3

329

-X--X-3

44

(2)解：存在,点P坐标为匕(3,-3),P(0,~

2一3)，P3(2»04(2，16)

(3)解：如图3,

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