暑期预习：待定系数法求反比例函数解析式（导学案）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

1.2用待定系数法求反比例函数解析式导学案

【学习目标】

1、呵I顾反比例函数的定义、三种表达式，明确反比例函数的核心限制条件（k手0）。

2、掌握待定系数法求反比例函数解析式的四步流程，理解反比例函数仅需一组对应值即可

求解析式的原理。

3、能解决基础题型、点的判定、几何面积、实际应用四类题型，掌握k的几何意义关送考

点。

4、区分正比例函数与反比例函数待定系数法的差异，培养数学建模与运算推理素养。

【学习重难点】

重点：待定系数法求反比例函数解析式的步骤；利用点坐标求k值

难点：隐含条件下求解析式（含参数型反比例函数）；结合图形面积求A值（符号判定）

【课前预习・自主学习】

任务一：旧知回顾（反比例函数基础）

1、反比例函数定义：形如y=为常数，女工0）的函数，叫做反比例函数。

2、反比例函数三种等价形式：

①y=§（最常用）；②孙=〃；③y=

3、自变量取值范围：工工0；函数值取值范围：yHO

4、核心特征：反比例函数只有1个待定系数〃

任务二：预习新知

1、待定系数法定义：先设出函数解析式，再根据已知条件求出未知系数.从而确定函数解

析式的方法。

2、预习填空：求反比例函数解析式，只需知道图象上个点的坐标，代入解析式

求出—即可。

3.基础预判：若反比例函数过点（2,3）,则々=,解析式为。

预习自测（判断正误）

（1）反比例函数y=§中，k可以为0（）

（2）已知1个点坐标，可求反比例函数解析式（）

（3）点（1,一4）在y=£的图象上（）

⑷xy=6是反比例函数（）

【课堂探究•合作学习】

探究1：待定系数法四步核心流程（必考）

针对反比例函数y=：（AHO）,解题口诀：设一代一求一定

1、设：设解析式为y=（必须标注kHO,不可省略）

2、代：将已知点坐标3y）代入解析式，得到关于k的一元一次方程

3、求：解方程，计算出如勺具体数值

4、定：把k代回惊式，写由完整的函数解析式

小组思考

为什么正比例函数需要2个点，反比例函数只需要1个点？

答：正比例函数有2个参数，反比例函数仅有1个参数一组x、y即可求解。

探究2：基础题型——判断点是否在反比例函数图象上

判定原理：若点（a,b）满足秒=々（即ab=/c）,则点在图象上；否则不在。

解题步骤：①计算点横纵坐标乘积；②与解析式中k对比；③得出结论。

探究3：重难点突破一含参数型反比例函数（易错题）

已知、=（m一2以向-5是反比例函数，求解析式

双重限制条件

•自变量次数：m2-5=-1

•比例系数不为0：m-2^0

解题流程

①由次数得：m2=4,解得m=2或m=-2

②由系数限制舍去：血工2,故m=-2

③解析式：y=m

探究4：拓展探究一由几何面积求k值

反比例函数上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形面积S=\k\

关键易错：象限决定上的符号

1、一、三象限：k>0；二、四象限：k<0

2、题目给面积求解析式时，必须结合象限判断正负！

【例题精讲•分层突破】

例1基础题（单点求解析式）

已知反比例函数图象经过点（-3,2）,求函数解析式。

解：

①设：设解析式为'=；他,0）

②代：将x=—3,y=2代入，得2=占

③求：解得k=-6

④定：・•・反比例函数解析式为y=—g

例2中档题（点的判定）

判断点（6,-1）是否在y=的图象上？

解：横纵坐标乘积：6x（-1）=-6=k

•・•点在该反比例函数图象上

例3拔高题（参数定义型）

已知y=（根+1）汇*-2是反比例函数，求解析式。

解：,巾2二：二11,解得m二］

（m+1H0

解析式：y--

X

例4压轴变式（面积求解析式）

反比例函数图象在第二象限，图象上一点向坐标轴作垂线，矩形面积为8,求解析式。

解：阳=8,第二象限k<0,：.k=-8

解析式：y=-^

【当堂检测】

一、填空题

1、反比例函数y=］又有个待定系数,求解析式只需个点坐标。

2、过点(4,-2)的反比例函数解析式为o

3、若y=%m-3是反比例函数，则血=。

4、第三象限反比例函数，矩形面积为5,则解析式为。

二、选择题

1、下列点在y图象上的是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(1,4)D.(3,-2)

1

2、若、=(。-3)/2-10是反比例函数,则＜1的值为()

A.3B.-3C.±3D.任意数

三、解答题

已知反比例函数经过点(1,-5),用待定系数法完整写出求解过程并写出解析式。

【课堂小结】

1、核心方法：待定系数法四步一一设、代、求、定；

2、核心原理：反比例函数仅含参数k,一点即可求解；

3、两大易错：参数型需同时满足次数=-1、系数工0：面枳求k必须看象限定符号；

4、判定技巧：点在图象上＜=＞xy=ko

【课后分层作业】

基础题

1、教材习题；

2、已知反比例函数过点(-2,-4),求解析式，并判断点(8,1)是否在图象上。

提升题(选做，中考高频)

1、已知y=是反比例函数，求函数解析式；

2、反比例函数图象在第四象限，图象上•点与坐标轴用成三角形面积为3,求解析式。

1.2待定系数法求反比例函数解析式

一.选择题（共8小题）

且S"8O=6,则此反比例函数的解析式是（）

12n12

C.Jy=X---D.Jy=——x

2.已知反比例函数y=g：k¥：O）的图象经过点（1,-2）,那么这个反比例函数的表达式是

()

A12

A.y=-B.y=YC.y=-D.y=--

人JXJX

3.如图，直角三角形的史角顶点在坐标原点，NOA8=30°,若点A在反比例函数（x

>0）的图象上，则经过点8的反比例函数解析式为（）

.64「22

A.>>=--BD.y=--C.y=~~Dn.,y=-

人人人人

4.如图，正方形ABC。的边长为5,点4的坐标为（-4,0）,点8在y轴上，若反比例函

数）=（（&r0）的图象过点C,则该反比例函数的表达式为（）

5.如图，在菱形4B0C中，AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函数尸事（A

WO）的图象上，则反比例函数的解析式为（）

6.如图，在矩形OABC中，A8=28C,点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上,

连接08,反比例函数产§（4X（）,x>0）的图象经过08的中点。，与8c边交于点E,

7.若反比例函数y=。的图象经过点（〃?，3〃?），其中mHO,则此反比例函数图象经过（）

人

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

b

8.如图，在菱形/WOC中，N/WO=I20°,它的一个顶点。在反比例函数尸右的图象上,

若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比例函数的表达式为（）

3/3c-y=-lD.尸-越

xX

二.填空题（共6小题）

9.若一个反比例函数的图象经过点ACm,m）和8（2小，-1）,则这个反比例函数的表达

式为

10.如图，在矩形OA8C和止方形COE尸中，点A在），地止半轴上，点C,尸均在x轴止半

轴上，点。在边上，BC=2CD,AB=3.若点3,E在同一个反比例函数的图象上,

则这个反比例函数的表达式是

11.如图，已知在平面直角坐标系xO.v中，点A在x轴的负半轴上，点8在），轴的负半轴

上，lan/ABO=3,以AB为边向上作正方形ABC。.若图象经过点C的反比例函数的解

析式是>'=之则图象经过点。的反比例函数的解析式是

A

12.如图，B(3,-3),C(5,0),以OC,C8为边作平行四边形0ABC,则经过点4的

13.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CQ的顶点A、。分别在x轴、y轴上，对角线8。

〃x轴，反比例函数产2a>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E若点A(2,0)、

D(0,4),则反比例函数的解析式为.

14.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行，点

P(3小。)是反比例函数)，=[(k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分

的面积等丁9,则这个反比例函数的解析式为.

15.已知点（I,3）在反比例函数y=。的图象上.

（I）求反比例函数的表达式；

（2）点（-3,a）,（l,〃）,（3,c）都在反比例函数的图象上，比较a,Ac的大小

16.如图，/XABC是直角三角形，NABO=90°,NAO8=30°,04=4,已知点A在反比

例函数的图象上.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点。，当AC=C。时，求

17.如图，在平面直角坐标系中，菱形08C。的边。/3在文轴上，反比例函数）=。（*>0）

的图象经过菱形对角线的交点A,且与边8C交于点凡点人的坐标为（4,2）.

（I）求反比例函数的表达式；

（2）求点尸的坐标.

18.如图，A（4,3）是反比例函数在第一象限图象上一点，连接。4过A作4B〃x

轴，截取48=04（8在A右侧），连接08,交反比例函数y=［的图象于点P.

（1）求反比例函数），=［的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△04P的面积.

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.【解答】解：设反比例函数的解析式为y=［（k不0）,

•・•点4在反比例函数的图象上，且&ABO=6,

S^ABO=21^1=6，

・・・|«=12,即1=±12,

又•・•反比例函数的图象在二、四象限，

"V0,即％=-12.

・•・反比例函数的解析式是

y=-人V-

故选：C.

2.【解答］解：将人=1,），=-2代入解析式得一2二专，

解得k=-2,

・••反比例函数的表达式为y=-p

故选：D.

3.【解答】解：过点8作8C_Lx轴于点C,过点A作人D_Lx轴于点£）,

•••/BOA=90°,

••・/BOC+NAOZ）=90°,

•・・N4OD+NQ4Z）=90',

：.ZBOC=ZOAD,

又/BCO=/ADO=9G,

:.△BCOS/\ODA,

：.—=tan300=卓，

AO3

.S〉BCO，E、）1

S&AOD33

•・•点A在反比例函数尸;上，

11

\*-xADXDO=^=3,

S^BCO=7XBCXCO=isAAOD=1，

♦・•经过点B的反比例函数图象在第二象限,

故反比例函数解析式为：），=-之

故选：C.

4.【解答］解：如图，过点。作CE_Ly轴于E,在正方形A8C。中，A8=8C,NA8c=90°,

AZABO+ZCBE=9（）°,

*：ZOAB+ZABO=90°,

：・40AB=/CBE,

•・•点A的坐标为（-4,0）,

・・・OA=4,

*：AB=5,

：.OB=V52-42=3,

在△/WO和△BCE中，

Z.OAB=Z.CBE

Z-AOB=乙BEC,

AB=BC

：.^ABO^/\BCE（AAS）,

：.OA=BE=4,CE=OB=3,

・•・OE=BE-08=4-3=1,

・••点。的坐标为（3,1）,

•・•反比例函数尸与（叵0）的图象过点C,

.*.k=xy=3X.1=3»

・••反比例函数的表达式为产自

故选：A.

5.【解答】解：•・•在菱形A80c中，NA=60°,菱形边长为2,

；・0C=2,NCO3=6(T,

过C作C£_LO8于E,

则N0CE=3()°，

0E=10C=1,CE=V3,

・••点。的坐标为(-1，V3),

♦・♦顶点C在反比例函数y=，的图象上，

V3=得k=一也,

即y=一今

6.【解答】解：・.•在矩形O4AC中，AB=2BC,反比例函数,，=§JWO,x>0)的图象经

过。3的中点。，与BC边交于点£,点七的横坐标是4,

，。点横坐标为：2,AB=OC=4,BC=^AB=2,

・・・。点纵坐标为：1,

：.k=xy=1X2=2.

故选：B.

7.【解答】解：•・•反比例函数y=2的图象经过点（〃?，3〃?），〃?K0,

，将x=/〃，y=3"?代入反比例解析式得：3m=，

则反比例）=婆图象过第一、三象限.

人

故选:4.

8.【解答】解：过点。作轴于。，

设菱形的边长为小

在在△C£＞。中,8=a・cos60°=ia,CD=a・sin60°=亭,

则C（―—«）»

22

点A向下平移2个单位的点为（一"・。，gz-2）,即（一强

乙Z乙2

解得忆笺字

故反比例函数解析式为），=-亭.

故选：B.

9.【解答】解：设反比例函数的表达式为1

•・•反比例函数的图象经过点A（m,m）和B（2m,-1）,

'.k=nr=-2m,

解得〃”=-2,〃?2=0（舍去），

・"=4,

4

-

X

故答案为：y=3

人

10.【解答】解：•・•四边形。4AC是矩形,

，OC=AB=3,

•・•四边形CDE尸是正方形，

：.CD=CF=EF,

YBC=2CD,

/.设CD=m,BC=2m,

:・B(3,2m),E(3+in,w),

设反比例函数的表达式为)，=&

.*.3X2/?/=(.3+m)*ith

解得〃7=3或〃?=0(不合题意舍去),

：,B(3,6),

・••攵=3X6=18,

・••这个反比例函数的表达式是尸号,

故答案为：>=学.

11.【解答］解：如图，过点C作C兀L)，轴于点。过点。作交C7的延长线于点

H.

y

Dt

/O/

B

AO

VtanZ/l«O=^=3,

,可以假设。B=a,OA=3a,

•・•四边形A8CD是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZAOB=ZBTC=90°,

.•.NA8O+NC3r=90°,ZCBT+ZBCT=90'>,

；・NABO=NBCT,

：・AAOB%4BTC(A4S),

：,BT=OA=3a,OB=TC=a,

：.OT=BT-OB=2a,

C(a,2a),

•・•点C{ty=(的图象上，

：,2cr=\,

同法可证△CHD9AB7C,

：.DH=CT=chCH=BT=3a,

*.D(-2a,3a),

设经过点。的反比例函数的解析式为.y=则有-2aX3a=k,

:・k=-6a2=-3,

・•・经过点。的反比例函数的解析式是)=

人

故答案为：y=—

12.【解答】解：设人坐标为(x,)，)，

(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形O4BC,

/•x+5=0+3>y+0=0-3,

解得：x=-2,y=-3,即A(-2,-3),

设过点A的反比例解析式为)，=3

把4(-2,-3)代入得：k=6,

则过点A的反比例函数解析式为.y=p

故答案为：>'=

13.【解答】解：・・・BD〃K轴,D(0,4),

:.B、。两点纵坐标相同，都为4,

工可设8(x,4).

•・•矩形43C。的对角线的交点为E,

・•・£为4。中点，ND44=90°.

1

:.E(-x,4).

2

VZDA^=90",

：.AD2+AB2=BD2,

VA(2,0),D(0,4),B(x,4),

A22+42+(.r-2)2+42=X2,

解得x=10,

:.E(5,4).

•・•反比例函数y=5(心>0,x>0)的图象经过点£

・》=5X4=20,

・♦・反比例函数的解析式为尸?

故答案为)口学.

14.【解答】解：•・•反比例函数的图象关于原点对称，

11

・•・阴影部分的面积和正好为正方形面枳的;，设正方形的边长为b,则:庐=9,解得b=6,

44

•・•正方形的中心在原点O,

，直线A3的解析式为：x=3,

■:点P(3小。)在直线A8上,

/.3a=3,解得4=1,

，尸（3,1）,

•・•点P在反比例函数尸?（Q0）的图象上,

"=3,

・•・此反比例函数的解析式为：）=*

解法二、

•・•阴影部分的面积等于9,

・•・小正方形的边长为3,

:.3。=3,

:.a=I，

：,P（3,1）,

•・•点P在反比例函数尸（（^>0）的图象上,

:・k=3,

.••此反比例函数的解析式为：尸|.

故答案为：>=7.

三.解答题（共4小题）

15.【解答】解：（1）因为点（1,3）在反比例函数的图象上,

所以k=1X3=3,

所以反比例函数的表达式为产g；

A

（2）因为点（-3,a）,（1,b）,（3,c）都在反比例函数的图象上,

所以“=-1,b=3,c=l,

所以a<c<b.

故答案为：a<c<b.

16.【解答】解：(1)V7/150=90°,NAO8=30°,OA=4,

：.AB=^0A=2,OB=y/0A2-AB2=2V3,

・M(2,2场，

丁点A在反比例函数的图象上，

A/c=2