九年级数学寒假班讲义：方程与不等式组（教师版）

（^TZ）方程与不等式（组）

知识结构

模块一：整式方程

知识精讲

一、等式及其性质

1、如果a=Z>,那么a±c=〃土c.

2、如果a=/?,那么农=加:；如果a=力（cw0）,那么凹=2.

CC

二、方程及相关概念

1、未知数：用字母X、〉，…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数.

2、方程：含有未知数的等式叫做方程.

3、元：在方程中，所含的未知数又称为元.

4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程.

5、项：在方程中，被“+号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+号在内）称为一项；

如在方程x+2.5=0和2一上=0中，了、2.5、2、一上都是方程中的一项.

5252

6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1,-』的系数为

2

2°

7、次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数：如工、-2的次数都是1.

2

8、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5,

5

9、方程的解：如果未知数所I仅的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解.

三、一元一次方程

1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.

2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程.

3、解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；

（2）去括号;

（3）移项；

（4）化成av=/?（力0）的形式：

（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=3.

4、含有字母系数的一元一次方程的解法：

（1）含有字母系数的一元一次方程：在方程奴+。=0（〃工0）中，x是未知数，〃、b是用字母表示的已知数，

对x来说，字母〃是x的系数，叫做字母系数，字母〃是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.

（2）解法：ax=b（〃、/?）.

当叱0方程的解是x=，；

当4=0,〃=0方程的解为任意数：

当4=0,。=0时，无解.

四、二元一次方程

1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.

2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.

五、二元一次方程组

1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做

二元一次方程组.

2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解.

3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元

法，简称代入法.

4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解

法叫做加减消元法.

六、三元一次方程组

1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组

叫做三元一次方程组.

2、解三元一次方程组的思想：

-------------------消元----------------------消元------------------

三元一次方程组------>二元一次方程组------->一元一次方程

七、一元二次方程

1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程.

2、二次方程的一般形式是々/+阮+，=0（4/0）.其中ad叫做二次项，法叫做一次项，C叫做常数项;

。叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.

3、二次方程的常用解法

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.

4、一元二次方程根的判别式:关于x的一元二次方程加+/状+°=0（"0）的根的判别式为△=〃-4ac.

（1）〃一4收>00一元二次方程法+c=0（〃/0）有两个不相等实数根，即用,二也但三2.

,2a

（2）4农=0=一元二次方程以2+汝+。=0（々/0）有两个相等实数根，即内=々=一2.

2a

（3）b2-4ac<0<->一元二次方程ar'+Zzx十c=0（〃=0）无实数根.

八、二元二次方程（组）

1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的

整式方程，叫做二元二次方程.

2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二

次方程组.

3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加减消元法.

③）例题解析

【例1】（奉贤区二模•第2题）二元一次方程x+2），=3的解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【难度】★

【答案】D

【解析】整式方程中，方程个数小于未知数个数都有无数个解.

【总结】考察方程的解的定义.

3x+2y=7

【例2】（闸北区二模•第4题）方程组L।J勺解是（）

4x-y=13

x=-lx=3

A.B.

），=3[y=-]

【难度】★

【答案】B

【解析】将B答案中的未知数的值代入方程组中方程成立，则为方程组的解.

【总结】考察方程组的解的定义.

x=-\

【例3】（虹口区二模•第10题）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是0,你写的这个方程是

［），=2

（写出一个符合条件的即可）.

【难度】★

【答案】x2-^y=0.

【解析】二元二次方程的定义为：含有两个未知数，最高次数为2的整式方程.

【总结】考察二元二次方程的定义.

【例4】（黄浦区二模•第12题）如果关于x的方程V+4x+攵=0有一个解是x=-1,那么人

【难度】★

【答案】3

【解析】将x=—l代入方程中可得：k=3.

【总结】考察方程的解的定义.

【例5】（普陀区二模♦第1。题）一元二次方程F+9=0根的判别式的值是.

【难度】★

【答案】-36.

2

【解析】*.*a=\fb=（）,c=9,A=/?-4ac=-36.

【总结】考察一元二次方程根的判别式的定义

【例6】（金山区二模•第3题）如果关于x的方程〃疗+〃氏+1=0有两个相等的实数根，那么，〃等于（）

A.4或。B.-C.4D.±4

4

【难度】★

【答案】C

【解析】*.*a=m,b=in,c=l»A=nr-4〃?=0»:.m—0或4,

丁方程为一元二次方程，・•・"2工0，・•.利=4

【总结】考察一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0.

【例7】（松江区二模•第10题）关于x的一元二次方程V-2、+〃?=0有两个实数根，则用的取值范围是

【难度】★

【答案】m<\.

【解析】*.*a=1,b=-2,c=m,A=（-2）--4m>0,/.m<\.

【总结】考察一元二次方程根的判别式的应用.

【例8】（闸北区二模•第3题）下列方程中，没有实数根的方程是］）

A.x2+2.r-1=0B.x2+2.r+l=0C.x1-x+2=0D.x1-x-2=0

【难度】★

【答案】C

【解析】A答案中△=8>0,有两个不相等的实数根；B答案中△=（）,有两个相等的实数根；C答案中△=-7<0,

没有实数根；D答案中△=9>0,有两个不相等的实数根.

【总结】考察•元二次方程根的判别式的应用.

【例9】（闸北区二模•第14题）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增

K率相同，据统计2015年的年利润为125万元.若设这个相同的增K率为A,那么可列出的方程是

【难度】★★

【答案】100（l+x）2=125.

【解析】2014年的年利润为100（1+X）,2015年的年利润为100（1+£/.

【总结】考察一元二次方程的应用一一增长率问题.

x-y=]①

【例10】（徐汇区二模•第20题）解方程组：

4x2-4xy^+y2=4②.

【难度】★★

%=1=-3

【答案】x2

y=0M=-4

【解析】由方程②得2x-），=±2；与方程①组合得方程组;

x-y=\一x-y=l

（I）2公），=2或川）

解方程组（I）.（II）得产"或小一.

y=0[y=-4

・•・原方程组的解是卜，（"7.

j=0=-4

[y2

【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组.

【例⑴（松江区二模•第2°题）解方程组：仁簟2八。

【难度】★★

【答案】仁:吃=4

%=4

【解析】由②得工一2）,=0和《一），=0,

x+2y=!2x+2y=12

则原方程组化为

x-2y=0'x-j=0

X1=6芍=4

解得:

y=3），2=4

【总结】考察二元二次方程组的解法，将可以因式分解的方程先进行因式分解，然后重组方

程进行求解.

x2+y2=5

【例12】（普陀区二模•第20题）解方程组:

x1-3xy+2y~=0

【难度】★★

内=-Vio,

2£=2,

【答案】

一川口；

>1=—Vio；

2

【解析】方程②可变形为（x-y）（x-2y）=0,得：了一），=0或x—2），=0,

x2+y2=5,x2+y1=5,

原方程组可化为

x-y=0；x-2y=0.

x=-Vio,

2

解得：

);=；而:=」加&=1；

必=

x=—Vio,x,=—>/To,

22

••・原方程组的解是

乂二T

必

【总结】考察二元二次方程组的解法.

【例13】（静安区二模•第22题）某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中甲种树木

数量比乙种树木数量的2倍少600棵.

（I）问：甲、乙两种树木各有几棵？

（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别

安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？

【难度】★★

【答案】（1）甲种4200棵，乙种2400棵：（2）14人种植甲，12人种植乙.

【解析】（1）设甲种树木的数量为。棵，乙种树木的数量为〃棵，

a+h=6600a=4200

由题意有：＜，解得：

a=2b-600b=2400

••・甲种树木的数量为4200棵，乙种梃木的数量为2400棵.

（2）设甲种树木的人数为x人，乙种树木的人数为（26-x）人，

4（X）

由题意有：—=；.＞解得：*=14,经检验，x=14是原方程的解.

6O.r40（26-x）

•••安排种植甲种树木的14人，乙种枕木的12人，才能确保同时完成各自的任务.

【总结】考察分式方程的应用，注意解完之后要检验.

【例14】（松江区二模•第21题）某品牌电动车经销商一月份俏售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份

增加10%,二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售

总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？

【难度】★★

【答案】21007E.

【解析】（1）设一月份每辆电动车的售价是x元.

根据题意得：100（1+10%）（x-80）-100x=12200

解得：x=2100.

答：一月份每辆电动车的售价是2100元.

【总结】考察一元一次方程的应用.

模块二：分式方程与无理方程

知识精讲

一、分式方程

I、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程.

2、分式方程的解法：通过去分与把分式方程转化为整式方程，再求解.

3、增根；分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0,那么这个解就是

方程的增根.

4、解分式方程的一般步骤：

（I）方程两边都乘以最简公分用，去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；

（3）检验.有两种方法：

①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于（），则这个根为增根，方程无解；如果最简公

分母不等于0,则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；

②直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，

则这个根为增根，方程无解.

6、易错知识辨析：

（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项；

（2）解分式方程的重要步骤是殓验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程

的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根.

（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.

7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组.

二、无理方程

1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做

无理方程.

2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解.

3、解无理方程的一般步骤：

（1）方程两边平方，化成整式方程；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；

（3）检验：直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成

立，则这个根为增根，方程尢解.

例题解析

x—13vx—I

【例⑸（松江区二模•第14题）用换元法解分式方程」-3+1=0时，如果设」二y,将原方程化为关于

xx-\X

y的整式方程，那么这个整式方程是.

【难度】★

【答案】y2+y-3=（）.

【解析】换元后可得：y——•+1=0»左右乘以y可得：y2+y—3=0.

y

【总结】考察分式方程的换元法，注意最终结果要化成整式方程.

【例16】（闵行区二模•第3题）下列方程中，有实数根的方程是（）

A./+3=0B.Vx-2="l

C.—^―=—^―D.V7+T=-x

x2IX2\

【难度】★

【答案】D

【解析】A答案中/=_4,偶数次方的结果都为非负数，所以方程无解；

B答案中二次根式结果均为非负数，所以方程无解；

C答案中分式方程化为整式方程解得：x=l,代入分式方程中为增根，所以方程无解

D答案中化为整式方程为：/一、_|=0.解得：丫=1125,经检验丫=匕亘为原方

22

程的增根，所以原方程的解为工=上正.

2

【总结】考察高次方程、分式方程、无理方程的解法.

I2t

【例17】（金山区二模•第12题）方程U-f-j的解是_______.

A-l1-X

【难度】★

【答案】x=-2.

【解析】左右两边同时乘以（工-1）得：l+2x=x-l,则x=-2

经检验，x=-2是原方程的解.

・•・原方程的解为x=-2.

【总结】考察分式方程的解法，注意要验根.

【例18］（1）（徐汇区二模•第9题）方程7^7二1-3=0的解是.

（2）（金山区二模•第9题）方程万金=>的根是.

【难度】★

t答案】（1）A=5;（2）A=1.

【解析】（1）移项平方得：2.r-l=9,解得：x=5,经检验，x=5是原方程的解.

，原方程的解为x=5；

（2）两边平方可得：X2+X-2=0,解得：x,=-2,电=1,

经检验，x=-2是原方程的增根.

，原方程的解为x=l.

【总结】考察无理方程的解法，注意验根.

【例19】（徐汇区二模•第12题）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2

天完成了任务，如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是

【难度】★★

【答案】此一幽=2.

x-10x

【解析】利用每天修多少米乘以天数等于所修道路的长度来表示量和列等式.

【总结】考察分式方程的应用.

【例20】（闵行区二模•第16题）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200

元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元.试求共有几位同学准备去周庄旅

游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为

【难度】★★

［答案］12001200=30

xx+2

【解析】利用每位同学分担多少钱乘以学生人数等于总共需要多少钱来表示量和列等式.

【总结】考察分式方程的应用.

【例21】（奉贤区二模•第2。题）解方程：

【难度】★★

【答案】x=-5.

【解析】方程两边同时乘以（x+2心-2）,得:（X+2）2-（X-2）=16.

2

整理得：x+3x—10=0»解得：Aj=-5,x2=2.

经检验，x=2是原方程的增根，所以原方程的解为x=-5.

【总结】考察分式方程的解法，注意验根.

【例22】（杨浦区二模•第20题）解方程；5-V4T^5=X.

【难度】★★

【答案】x=4.

2

【解析】移项平方可得：x-14x4-40=0,解得：%=4,x2=10,

经检验，工=10为原方程的增根，

「•原方程的解为x=4

【总结】考察无理方程的解法，注意要验根.

【例23】（虹口区二模•第22题）社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成.但

在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作.这样，该班实际参加制作的同学人均

制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？

【难度】★★

【答案】40名.

【解析】设这个班级共有x名同学，

由题意有：3__型2=5,解得：芭=40,%=—30

x-10x

经检验：均为原方程的解，但是工=-30不符合生活实际.

答：这个班级共有40名同学.

【总结】考察分式方程的应用，根据每个同学制作的个数乘以学生人数等F总环保包装盒来

表示量和列等式.

【例24］（普陀区二模•第22题）自2004年5月1口起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规

定：超速行驶属违法行为.为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意

一时刻的车速都不能超过120千米/时）.以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路时的对话片断.王:

“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程.”李：“虽然我的车速

快，但是最快速度比我的平均速度只快15%,并没有超速违法啊.”李师傅超速违法吗？为什么？

【难度】★★

【答案】没有超速，具体见解析.

【解析】设李师傅的平均速度为％千米/时，则王师傅的平均速度为卜-20）千米/时

根据题意可得：二剪=（）.5,解得：玉=100,x,=-80

x-20x

经检验，都有方程的解，但是x=-80不符合生活实际，所以舍去.

李师傅的最大时速是：100x（1+15%）=115千米/时＜120千米/时.

答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法.

【总结】考察分式方程的应用，根据速度乘以时间等于总路程来表示量和列等式.

模块三：一元一次不等式（组）

知识精讲

一、不等式

1、不等式的概念:

用不等号“>”、"V”、“4”或“2”表示的关系式，叫做不等式.

2、不等式的性质1：

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变.即：如果公功，那么

a-+m>b+如果a<b,那么a-m<b+m.

3、不等式的性质2：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即：已知机>0,如果那么卬心切〃

（或乌>2）；如果那么（或.

mmmm

4、不等式的性质3：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即：已知in<0»如果a>b,那么am<bm

（或巴<2）；如果那么（或.

inmmm

二、一元一次不等式

只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式.解一元一次不等式

的一般步骤：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项;

（4）化成（或arv〃等）的形式（其中a/0）：

（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集.

三、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一

元一次不等式组.

2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组.

4、解一元一次不等式组的一般步骤：

（1）求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）在数轴上表示各个不等式的解集；

（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集.

例题解析

X-1>1

【例25]⑴（徐汇区二模•第I题）不等式组4的解集是（）

A.x<2B.2Vx<3C.x>3D.空集

x-1>2

⑵（奉贤区二模•第”题）不等式组_2i的解集是-

【难度】★

【答案】（1）B：（2）x>3.

【解析】（1）由第一个不等式可得x>2,由第二个不等式可得：x<3,则2<xK3：

（2）由第一个不等式可得x>3,由第二个不等式可得：则x>3.

【总结】考察不等式组的解法.

【例26】（虹口区二模♦第3题）不等式2x+4《0的解集在数轴上表示正确的是（）

A.B.

,______1»(二1»

2020

1

C.__________,।»D._________(\A

【难度】★一2020

【答案】C

【解析】不等式的解集为xK—L在数轴上表示为C.

【总结】考察不等式的解法和娄攵轴的麦示，注意有等号需要用实心点.

【例27】（静安区二模•第2题）如果。>人，那么下列不等式中一定成立的是（）

A.a2>b2B.\-a>\-bC.1+«>\-bD.1+«>/?-1

【难度】★

【答案】D

【解析】A答案中如果〃力均为负数，则不等式不成立；

B答案中错误，应为l—avl—b

C答案中错误，如果〃、人均为负数，则不等式不成立.

【总结】考察不等式的性质.

【例28】（崇明县二模•第2题）下列说法不一定成立的是（）

A.若a>b,则a+c>Z?+cB.a+c>b+c>则

C.若a>b,则D.若〃<?>反2,贝

【难度】★

【答案】C

【解析】C答案中c=0时，不等式不成立.

【总结】考察不等式的性质.

【例29】（崇明县二模•第3题）从下列不等式中选择一个与x+122组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为

X>1,那么可以选择的不等式可以是（）

A.x>—\B.A>2C.A<—1D.A<2

【难度】★

【答案】A

【解析】可以A、B、C、D一一排除得答案.

【总结】考察不等式的解法.

2x-\>3（x-l）①

【例30】（杨浦区二模•第20题）解不等式组;5-x_，并写出它的所有非负整数解.

—<x+5②

2

【难度】★★

【答案】0和1.

【解析】由①可得：x<2：由②可得：x>~,

3

・•・不等式组的解集为-，x<2

3

・•.它的所有非负整数为0，1.

【总结】考察不等式组的解法，注意非负整数解的确定.

随堂检测

【习题1】（杨浦区二模•第1题）如果x=2是方程+〃=T的根，那么。的值是（）

2

A.0B.2C.-2D.-6

【难度】★

【答案】C

【解析】将x=2代入方程中可得：a=-2.

【总结】考察方程的根的定义.

—t<0

【习题2】（松江区二模•第11题）不等式组2的解集为.

2^-4>0

【难度】★

【答案】x>2.

【解析】由第一个不等式可得：x>0,由第二个不等式可得：x>2,则不等式的解集为x>2.

【总结】考察不等式组的解法，“同大取大，同小取小”.

【习题3】（浦东新区二模•第2题）己知一元二次方程V+3x+2=0,下列判断正确的是（）

A.该方程无实数解B.该方程有两个相等的实数解

C.该方程有两个不相等的实数解D.该方程解的情况不确定

【难度】★

【答案】C

【解析】方程的判别式为△=1>0,所以方程有两个不相等的实数根.

【总结】考察一元二次方程的根的判定.

【习题4】（杨浦区二模•第9题）如果关于X的方程/加-〃次+1=0有两个相等的实数根，那么实数机的值是

【难度】★

【答案】4

【解析】方程的判别式△=（-m）2-4/n=0,m=0或4,;小工0,；•〃?=4.

【总结】考察一元二次方程根的判定.注意一元二次方程二次项系数不为零.

【习题5】（杨浦区二模•第2题）下列关于工的方程一定有实数解的是（）

A.lx=inB.x1-inC.—!—=mD.Jx+1=，n

x+\

【难度】★

【答案】A

【解析】除了A之外的方程都会存在无解.

【总结】考察方程的解法.

【习题6］（静安区二模•第9题）方程=的根是.

【难度】★

【答案】x=3.

【解析】方程两边平方可得：X2-3X=（）,解得：办=3,电=。，

经检验，x=0为原方程的增根，，原方程的解为：x=3.

【总结】考察无理方程的解法，注意验根.

【习题7】（浦东新区二模•第10题）己知分式方程二tl+/_=3,如果设），=」■,那么原方程可化为关于3，

XX+1X

的整式方程是.

【难度】★

【答案】/-3y+2=0.

【解析】方程换元后为y+2=3,左右乘以y可得：y2-3y+2=O.

y

【总结】考察分式方程的换元法，注意结果要化成整式方程.

【习题8】（徐汇区二模•第13题）某商店运进120台空调准备销售，由于开展

了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？

若原计划每天销售x台.则可得方程

【难度】★

【答案】超一皿=5.

xx+4

【解析】根据每天销售台数乘以人数等于空调总量表示量和列等式.

【总结】考察分式方程的应用.

5%+2>3%-6

【习题9】(浦东新区二模•第20题)解不等式组：.2x，并写出它的非负整数解.

------>-1

6---2

【难度】★★

【答案】解：由5x+2N3x—6,得xNY；由±2>土-1,得x<2.

62

，不等式组的解集是—44xv2.

・•・此不等式组的非负整数解是()、I.

【总结】考察不等式组的解法，注意审题，按要求完成题目.

【习题10】(闸北区二模•第20题)解方程：-^-+1=—•

x2-1x+1

【难度】★★

【答案】x=3.

【解析】方程两边同时乘以(x+0(xT)，得：x-5+(x-lXx+l)=31x-l),

2

整理得：x-2x-3=0,解得：内=-1,x2=3,

经检验，x=-l是原方程的增根，

所以原方程的解为x=3.

【总结】考察分式方程的解法，注意验根.

【习题11](闵行区二模•第20题)解方程；夕土十一—=

x~+2xx-4

【难度】★★

【答案】x=3.

【解析】方程两边同时乘以心+2)(%-2),得：(x-4)(x-2)+2x=x+2,

2

整理得：x-5x+6=0,解得：xt=2,x2=3,

经检验，x=2是原方程的增根，

所以原方程的解为戈=3.

【总结】考察分式方程的解法，注意验根.

【习题12】(黄浦区二模•第20题)解方程：j2f+7+x-8=().

【难度】★★

【答案】玉=3,七=一19.

【解析】方程移项平方可得：A2+16X-57=0,解得：A,=3,^=-19,

经检验，x=3与x=-19是原方程的根，

所以原方程的解为X=3,X2=-I9.

【总结】考察无理方程的解法，注意解完后要检验.

【习题13］（徐汇区二模第20题）解方程组：/「65'+9厂

x-y-Ax+4y=0

【难度】★★

3,।315

x,=4-

2

【答案】，-，V

337,

Ur伍=-5

【解析】原方程可变形沏仁

x+3y=3x+3>'=3x+3y=-3x+3y=-3

可化为：»,,

x-y=0x+y-4=0x-y=0x+y-4=0

31315

耳二7x,=4-内=一:%二T

4742

解得：・,5

3137

R一

P'=4

【总结】考察二元二次方程组的解法，先将可以因式分解的方程进行因式分解，然后重组方程，再求解.

【习题14】（浦东区二模•第22题）小张利用休息日进行登山锻炼.从山脚到山顶的路程为12千米.他上午8时

从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚.假设他上山与下山时都是

匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度.

【难度】★★

【答案】每小时3千米.

【解析】设小张上山时的速度为每小时X千米.

根据题意，得：—+—=7,化简，得：7^-17^-12=0.

xx+1

4

解得：X1=3,x2=--.

44

经检验：x=3,都是原方程的解，但一方不符合题意，舍去.

答，小张上山时的速度为每小时3千米.

【总结】考察分式方程的应用，根据题意列方程，注意分式方程的解需要检验并且要符合生

活实际.

课后作业

【作业1】（闸北区二模,第9题）不等式组的解集是____________.

2x<6

【难度】★

【答案】lvxv3.

【解析】由第一个不等式可得：X>1,由第二个不等式可得：x<3

・•・不等式组的解集为1<八<3.

【总结】考察不等式组的解法.

【作业2】（闸北区二模•第3题）下列方程中，有实数根的是（）

A.«=-2B.f+1=0C.—=1D.x2+x+l=0

1+x

【难度】★

【答案】C

【解析】A答案中二次根式应为非负数，B答案中平方数为非负数，D答案中根的判别式小于0,则方程无解.

【总结】考察方程的解法.

【作'也3】（静安区二模•第11题）如果关于x的一元二次方程x2-6工+〃?-1=0有两个不相等的实数根，那么加

的取值范围是.

【难度】★

【答案】;n<10.

【解析】△=（-6）2-4（w-1）>0,.*./«<10

【总结】考察一元二次方程根的判别式.

【作业4】（闵行区二模•第II题）己知关于x的方程V-1=0没有实数根，那么〃?的取值范围是

【难度】★

【答案】m<--.

4

【解析】△=（-1）?一4•（一加）<0,

4

【总结】考察一元二次方程根的判别式.

【作业5】（黄浦区二模•第10题）方程75==x+1的根是________.

【难度】★

【答案】x=2.

【解析】方程平方可得：X2=4,.・・8=2,/=-2,