自动控制原理 第3章习题参考答案

第3章习题参考答案

3.1二阶欠阻尼控制系统的动态性能指标主要包括哪些？

解动态性能指标主要包括：上升时间、峰值E寸间、最大超调量及调节时间。

3.2典型二阶系统两个特征参数是什么？对系统性能有何影响？

解典型二阶系统两个特征参数是阻尼比及无阻尼自然振荡角频率。提高阻

尼比可以减小最大超调量，改善系统响应的平稳性；增大阻尼比或无阻尼自振荡

角频率都可以减小调节时间。

3.3线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？稳定性和哪些因素有关？

解线性定常系统稳定的充要条件是：闭环特征方程所有特征根(即闭环传

递函数的极点)均位于复平面的左半平面。

线性系统的稳定性和系统本身结构、参数有关。

3.4稳态误差和哪些因素有关？

解系统稳态误差和系统本身结构、参数及输入信号有关。

3.5什么是主导极点？主导极点在系统分析中有何作用？

解主导极点指的是在高阶系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点，

其实部小于其他极点的实部的1/5,并且附近不存在零点，可以认为系统的动态

响应主要由主导极点决定。

3.6考虑图3-41所示的系统，在单位阶跃函数作用下，试求

(1)若K=0.1,求调节时间f,(A=5%)；

(2)若要求调节时间f$=O.ls(A=5%),求反馈系数K。

图3-41题3.6图

解由结构图写出闭环传递函数

1

Y(s)_100

R(s)s+lOOK二一s+1

100K

这是一阶系统，时间常数7=

100K

(1)当K=0.1,调节时间4=3T=O.3S(A=5%)

(2)若要求调节时间4=0.1S(A=5%),即/；=37=0.1S(A=5%),则

令T=^—二，得K=0.3

100K30

3.7某系统的闭环传递函数为=m'其中参数T及。均大于零。

该系统单位阶跃响应的稳态值是多少？动态过程的调节时间r,（A=5%）是多少？

解此系统在单位阶跃输入下的输出为

r（5）=G（5）/?（5）=—2―-

75+6T+1S

利用拉普拉斯变换的终值定理.，得阶跃输入下的稳态输出为

v3）=limy（0=liiri5-y（5）=lims------------=—^―

—92°ST°75+6/4-1sa+1

调节时间为

r=3T=3x—=—（A=5%）

'。+1Q+l

3.8设单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)=—!—

s(s+l)

求系统单位阶跃响应的峰值时间、最大超调量和调节时间。

解依题，系统闭环传递函数为

G(s)1

①⑸=

1+G(s)d+s+1

与标准二阶系统传递函数比较可得:

(on=\rad/s

故峰值时间0为

-------：-------a3.63s

调节时间4.为

%/_=6s（按5%误差带）或4a/-=8s（按2%误差带）

最大超调量。％为

一6

=X100%=16.3%

3.9典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-42所示，试求其传递函数。

图3-42题3.9单位阶跃响应曲线

解依题意，系统闭环传递函数形式为

①（$）=,%

+2gs+60~

由阶跃响应曲线和

y(co)=lims①(s)R(s)=lims①(s),=K=2

0$—>0s

联立求解得

所以有

①⑸=__________^LZIT__________=

»+2x0.404X1.717s+1.7172s?+1.39s+2.95

3.10单位负反馈控制系统的开环传递函数为GG）=,试求

s（s+2）（s+3）

（1）闭环稳定时参数Q的取值范围。

（2）闭环系统持续振荡时。值及振荡角频率。

（3）闭环系统特征根均位于垂线S=-1以左时参数Q取值范围。

解（1）依题意，系统的闭环特征方程为一十5/十16s+10“-0

列出劳斯表:

s"510〃

।80—1Otz„

s----------0

5

5°10〃

当a>0且80—10a>0时闭环系统稳定，即0va<8。

(2)当闭环系统持续振荡，意味着系统存在共枕纯虚根，闭环系统处于临

界稳定状态。令8()-10〃=0,求得4=8闭环系统临界稳定。再由一行的元素构

成辅助方程5s2+10。=0,得访2=±/4,则振荡频率为q=4。

(3)令5=2-1,代入系统特征方程，得：

Z3+2Z2+9Z+106/-12=0

根据劳斯稳定判据得参数Q取值范围为：1.2<av3。

3.11闭环系统特征方程如下，试用劳斯稳定判据判定系统的稳定性，并说

明特征根在复平面上的分布。

(1)53+20?+4S：+50=0

(2)354+10?+5?+5+2=0

(3)?+2/+253+452+115+10=0

(4)?+2/-5-2=0

解(1)列出劳斯表

-14

/2050

,80-503八

s---------=—0

202

S050

表中第1列元素符号都为正，由劳斯稳定判据知系统稳定，所有极点均位于

左半s平面。

(2)列劳斯表

352

3100

47

9

To0

4.7-20

<00

4.7

,02

劳斯表笫1列兀素符号改变两次，由劳斯稳定判据可知该系统不稳定，有两

个特征根位于复平面的右半平面。

(3)列劳斯表

1211

2410

()(£)60

4^-12

2<0100

£

-5^2+12^-36

>00

2”6

010

劳斯表第1列元素符号改变两次，由劳斯稳定判据可知该系统不稳定，有两

个特征根位于复平面的右半平面。

(4)

方法一：列出劳斯表

10-1

20-2―辅助多项式p(s)=2s4-2

,30(8)00<—dp/ds=

。⑸-2

]6

0

8

-2

劳斯表第1列元素符号改变一次，系统有1个正根；由辅助方程2——2=0

可解出系统关于坐标原点对称的根。

2/-2=2(5+1)(5-1)(5+7)(5-J)

D(5)=/+2--S-2=(s+2)(s+1)(5-1)(5+/)(s-j)

故该系统不稳定，有1个根位于复平面的右半平面，2个根位于复平面的左

半平面，2个根位于虚轴上。

方法二：使系统稳定的必要条件为特征方程各项系数均不为冬，且具有相同

的符号。若不满足上述条件，可以直接判定系统不稳定。

3.12已知单位负反馈系统的开环传递函数为

1()

(1)G(s)=

(0.15+1)(0.55+1)

10

(2)G(s)=

s(s+4)(5s+l)

7(5+1)

(3)G(s)=

S(S+4)(/+2S+2)

8(0.55+1)

(4)G(s)=

?(0.U+l)

试分别求出当输入=t,产时，系统的稳态误差。

解（1）根据开环传递函数可知，该系统为0型系统，开环增益为10。

当*/）=1⑺时，系统的稳态误差外（8）='；

当"/）=/时，系统的稳态误差％（8）=8;

当中）=/时，系统的稳态误差%（8）=8。

（2）根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为2.5。

当《）=1⑺时，系统的稳态误差分（8）=0;

当时，系统的稳态误差％（8）=04；

当/«）=/时，系统的稳态误差%（8）=8。

（3）根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为7/8。

当中）=1⑺时，系统的稳态误差/（8）=0；

当/⑺=/时，系统的稳态误差ess（co）=y；

当中）=/时，系统的稳态误差%（8）=8。

（4）根据开环传递函数可知，该系统为n型系统，开环增益为8。.

当0=1⑺时，系统的稳态误差为分（8）=0；

当r⑺=，时，系统的稳态误差为%3）=0;

当，・⑺3寸，系统的稳态误差为.3）=|j

3.13单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G⑸=---

5(0.15+1)

（1）求系统的静态位置误差系数速度误差系数《及加速度误差系数

勺。

（2）当输入r（f）=2+4f+5”时,求系统的稳态误差。

解（1）根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为10。

静态位置误差系数勺,=8,速度误差系数Kv=10及加速度误差系数Ka=0

（2）当输入r（f）=2+4f+5”时,系统的稳态误差为

e(co)=2x0+4x—+10xoo=co

5510

314考虑图3-43所示的控制系统,已知=d⑺=1（£）,求系统总的稳态

误差。

图3-43题3.14图

解系统的开环传递函数为

GCs)=&K?

s(仆+1)

故该系统为I型系统，开环增益为K|K?。

在单位阶跃给定输入下，给定稳态误差为."（8）=0。

在单位阶跃扰动输入下，扰动稳态误差为

1_1

e^.(oo)=limsE(s)=lims

SSASTOS->0s(小+D+KK1一K

则系统总的稳态误差为：4s3)=4"(8)+(8)=—

K\

3.15控制系统的结构图如图3-44所示，要求保证系统最大超调量

b%=16.3%及单位斜坡输入下的稳态误差.=0.2,试确定系统参数K,八

图3-44题3.15图

解由结构图可知，该系统的开环传递函数为

G(s)=——-——

s(s+l+K工)

闭环传递函数为

丫⑸二G(s)=K

~R(s)~\+G(s)~S2+(\+KT)S+K

根据开环传递函数形式，这是【型系统，开环增益为一^。

\+KT

单位斜坡输入下的稳态误差为0.2,即满足

/、1+Krc-

%(8)=^^=62

A

系统最大超调量。%=16.3%,即要求阻尼比4=().5。同时有，

①:=K,2g,=1+KT

联立求解得：K=25,V=—o

25

3.16系统结构图如图3-45所示，试求

(1)为保证系统稳定，确定参数K的取值范围。

(2)为使系统特征根全部位于复平面垂线5=1的左侧，确定K的取值范围。

(3)若输入“力=2+2［时，要求系统稳态误差%巨().25,确定K的取值范

围。

R(s)+r町K_________r(5)

>5(().15+1)(().2.V+1)-

图3-45题3.16图

解(1)系统的闭环特征方程为

1+------------------------=0

5(0.15+1)(0.25+1)

展开得：0.02?+0.3?+5+^=0

列劳斯表

530.021

52().3K

।0.3—0.02K八

s----------------0

0.3

5°K

由劳斯稳定判据可知，为保证系统稳定，确定参数K的取值范围为：

()<K<15

(2)^s=z-\,代入系统特征方程，得：

0.02z3+0.24z2+0.46z+K-0.72=0

根据劳斯稳定判据得参数K取值范围为：0.72vKv4.8。

(3)由开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为K。当输入

“。=2+2，时，系统稳态误差e、,==W0.25,则有：K28

K

而为保证闭环系统稳定，参数K的取值范围为：0<K<15。综上可得参数

K的取值范围是：

8WKV15

3.17复合控制系统结构图如图3-46所示，图中叫,马,7；,(均为大于零的常

»1*/,,、3—IX

数。试求：

(1)闭环系统稳定时，参数匕,(,7；,7；应满足的条件。

(2)当输入为阶跃函数力)=41⑺时，选择校正装置G,.(s),使得系统不

存在稳态误差C

图3-46题3.17图

解（1）由结构图可得，系统误差传递函数为

1——G,.（s）

EG）（4+1）（7；5+1）（45+1）-《。（5）（7；5+1）

丽（7js+l）（《s+1）+K]K?

（率+1）区$+1）

闭环特征方程为

O（s）=T