第4章《平行四边形》单元测试-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025学年八年级数学下学期单元测试卷

第4章平行四边形单元测试基础卷

学校:姓名：班级：

一、选择题（每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求）

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

“bO。©。

2.若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

3.用反证法讦明"三角形中至少有一个内角不小于60。”，应假设这个三角形中（）

A.有一个内角小于60。B.每一个内角都小于60。

C.有一个内角大于60。D.每一个内角都大于60。

4.如图，AC.是四边形人BC。的两条对角线，顺次连接四边形人BC。各边中点得到四

边形EFGH,要使四边形回‘G"为矩形，应添加的条件是（）.

A.AB=CDB.AC±BDC.AB//CDD.AC=BD

5.如图，平行四边形ABC。的周长为48,对角线AC,相交于点0,点石是CO的中点,

80=18,则ADOE的周长是（）

6.如图1,平行四边形A3C。中，AD>AB,/A3C为锐角.要在对角线8。上找点N,

使四边形4VCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（）

取80中点O,作作力N_L8Q于M作4MCM分别平分

BN=NO,OM=MDCMLBD^MABAD,/BCD,交

BD于久N,M

图I图2

A.只有甲、乙才是B.只有甲、丙才是

C.只有乙、丙才是D.甲、乙、丙都是

7.如图，下列四组条件中，不能判定四边形A8CO是平行四边形的是（）

A.AB=CD,AD=BCB.AB//CD,AD//BC

C.AB//CD,AD=BCD.AD//BC,AD=BC

8.如图，VABC+，ZBAC=55°,将YABC绕点A逆时针旋转。（0。vav55。），得到V4DE，

OE交AC于点F.当a=40。时，点。恰好落在BC上，止匕时24所等于（）

A.75°B.78°C.80°D.85°

9.某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）.如果在从

C,D,E,F五个转角处都转了59。，那么他在4处转过多少度角才能仍面向Af8所指的

方向（）

C.63°D.65°

1（）.如图，在平行四边形ABC。中，N7）8C=45。，OEJ.5C于点E,BF上CD于点F,DE,BF

相交于点从的延长线相交于点G.下列结论：①DB=6BE；②NA=/BHE；

③AB=BH；®DE+EC=AD；⑤DG=”E,其中正确结论的是（）

C.①③④⑤D.①②③⑤

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交44,3c于点E,F,分

别以点E和点尸为圆心，大于;E尸的长为半径作弧，两瓠在NA8C内交于点。，作射线80

交A。于点G,交CQ的延长线于点“，若A6=3,BC=5,则的长为.

12.若正多边形的一个内角比它的一个外角大36。，则这个多边形的边数为

13.如图，在oABCO中，4C8O相交于点。，点£尸是和。。的中点，若

AC=8.8Q=10,CD=5,则即=.

14.如图，在梯形ABC。中，AB//CD.AD//CE,-DC8=2/A,C。=6,BC=5,则力8=

15.我们规定：在四边形A8CO中，。是边8c上一点，如果△048与△08全等（对应关

系不确定）,那么点。叫做该四边形的“等形点”.在四边形中，ZEFG=90Q,EF//GH,

EF=1,FG=3,如果该四边形的“等形点”在边/G上，那么四边形MG”的周长是

16.如图，AB//CD,AP.CP分别平分N84C和乙AC。，PEJ_AC于E,且PE=2cm,

则AB与C。之间的距离是.

三、解答题（第17,18,19,20,21,22题每题10分，第23题每题12分,

共72分）

17.如图，在四边形A4CO中，E为BC边上一点、,AE=AD,ZB=ZACDt

NEAD+/BCD=18。。,求证：AB=AC.

L

BEC

18.如下图，四边形ABCD中，?B90?,—A,NC,2O的外角分别为。，/，/.求

a+〃+y的值.

19.如图，在oABCD中，ZBC£>=120°,分别延长。C、6。到点E,尸，使得△8CE和VCO/

都是正三角形.求证：4£=丽；

20.如图，在Rt^ABC中，乙4cB=90，过点C的直线MN〃/W,D为A3边上一点,过

点。作Z)E_L8C,交直线MN于E,垂足为尸，连接CD、BE.

⑴求证：四边形是平行四边形；

(2)当。在48中点时，求证：四边形BECO是菱形.

21.如图，在平行四边形A4c。中，E、尸分别是A。、8c边上的点，且NA8E=NC0F.

⑴求证：四边形4££)尸是平行四边形；

(2)连接CE,若CE平分/DCB,DFtBC,DF=4,DE=5,求平行四边形ABC。的周

长.

22.如图，在平行四边形A8CO中，AB=6cm,BC=12cm,/8=60。.点P在边BC上由

点3向点C运动，速度为每秒2cm：点Q在边人。上由点。向点人运动，速度为每秒1cm.点

P，。同时出发，当点P运动到点C时，两点停止运动，连接尸Q,设运动时间为/s.

(1)用含f的代数式分别表示：DQ=cm,PC=cm；

⑵当/为何值时，四边形PC。。为平行四边形？

⑶当『为何值时，点P在ND的平分线上？

3

(4)当f为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的亍？

4

23.综合与实践

折纸操作简单•，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究.“乐学小组”以“平行四

边形纸片的折叠''为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片A8CQ中，E为8C边上任意一

点，将aABE沿AE折叠，点8的对应点为夕.

(I)【感知】如图①，若点"恰好落在边人。上时，求证：四边形8'ECO是平行四边形;

(2)【探究】如图②，若点旦夕。三点在同一条直线上，求证：DA=DE•,

⑶【应用】如图③，若NA4E=45。，连接用T并延长，交CD于点F.若平行四边形纸片43co

的面积为6,CD=2,求线段夕尸的长.

2025学年八年级数学下学期单元测试卷

第4章平行四边形单元测试基础卷

参考答案

题号12345678910

答案BABBBI)CI)DB

1.B

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形.

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意.

2.A

解：设这个多边形的边数为〃，

由题意得：（〃-2）x1800=5x180。.

解得：〃=7.

所以这个多边形是七边形.

3.B

解：用反证法证明"三角形中至少有一个内角不小于60。”，应假设这个三角形中每一个内角

都小于60。.

4.B

本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的

判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知

识是解决问题的关键.

先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到£//〃血＞,且£"=:皿）；

FG//BD,且尸G=；8。；GH//AC,且FE〃AC,RFE=^AC,进而判定

四边形E尸G”为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案.

解：•.•AC、〃。是四边形ABC。的两条对角线，E、F、G、〃是四边形人4C。各边的中点，

E”是△AAO的中位线，AG是△C8O的中位线，是△A6的中位线，正是ZkACA的

中位线，

则中〃AD,且FG〃BD,且FG’BD；GH//AC,RGH=-AC；FE〃AC,

222

且FE=pC,

:.EH〃FG,REH=FG,

四边形EFGH为平行四边形，

当时，EHLHG,

•・•四边形EPG”为平行四边形，

••・四边形为矩形，

综上所述，要使四边形"0〃为矩形，应添加的条件是人

故选：B.

5.B

根据平行四边形的性质得到BC+CO=24,结合题意得到。。=；8。=9,OE=；BC,由

三角形周长的计算得到ADOE的周长=；a>+；(3C+CD),由此代入计算即可.

解：•・•四边形人8c。是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,

•••平行四边形ABC。的周长为48,

・•・AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=4S,

••・BC+CD=24,

丁点O是线段BD的中点，点E是线段CD的中点，

OO=gKO=9.O口是△£?«)的中位线.

：.OE=-BC,

2

"DOE的周长=OD+OE+DE

=9+-BC+-CD

22

=9+-(^C+CD)

=9+—x24

2

=21.

6.D

根据VABC与△C/)A关于点。中心对称得到OA=OC,ZBCA=ZDAC,BC=ADf即可得

至UAAOE且△COF,即可得到答案；

解：丁VASC与△84关于点O中心对称，

：.OA=OC,ZBCA=^DAC,BC=AD,

在.AOE与△CO”中，

NEAO=NFCO

<OA=OC,

NAOE=NCOF

AAAOE^COF(ASA),

，点E和点尸是关于中心。的对称点，

・•・AAOE与ACOF成中心对称，

•:点、4和点。是关于中心。的对称点，

・•・直线必经过点O,

••・四边形DEOC与四边形8内。4也关于点。对称，

••$四边形/».&■=S收边形HF0A,

综上，正确的是①②③@.

7.C

利用平行四边形的判定逐项分析判断即可.

解：A.AB=CD,AO=6C,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形

ABC。是平行四边形，不符合题意：

B.AB//CD,AD〃3C,两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形人KCO

是平行四边形，不符合题意；

C.AB//CD,AD=BC,不能判断四边形A3C。是平行四边形，符合题意；

D.AD//BC,AD^BC,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形

A38是平行四边形，不符合题意.

8.D

根据旋转的性质得出/3AO=/G4£=40。，AB=AD,ZB=ZADE,根据等腰三角形的性

质得出Ng=ZA£>B=Z/U>E=70°,根据角的和差关系得出ND4b=15。，根据三角形外角

性质即可得答案.

解：•・•将VA3C绕点A逆时针旋转。(0°<a<55°),得到VAOE,a=40。，

AZBAD=ZCAE=40°,AB=AD,/B=ZADE,ZBAC=ZDAE=55°,

/.ZB=ZADB=ZADE=ix(180°-40°)=70°,

ZDAE=55°,

/.ZDAF=ZDAE-ZCAE=55°-40°=15°,

・••ZAFE=ZADE+ZDAF=70°+\5°=S5°.

9.B

根据于点E,〃£=4£可证得乙4%=45。，再根据ND3C=30。求出NMC=75。，

进血根据平行四边形的性质求力ZAOC'的度数.

解：•；AE1BD于点、E,

JZAEB=90°,

•：AE=BE,

180°—NA£B

ZABE=NBAE==45°,

2

ZDBC=30°,

・•・ZABC=ZABE+NDBC=75°,

•・•四边形ABC。是平行四边形，

ZADC=ZABC=15°.

10.D

本题考杳多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外用和定理是解题的关键.

根据转过的角度之和等「多边形外角和360。，解答即可.

解：根据题意得：某人在途中转过了360。，

由于在4,C,D,E,小五个转角处都转了59。，

则他在人处转过的度数为360。-59。*5=65。

故选：D.

11.2

本题考杳尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质,

综合运用各个知识是解题的关键.根据题意的作图可得4”平分-A4C,贝I」NAB"=NCB",

由四边形ABCO是平行四边形，，可得AO〃8C,AB//CD,AD=BC=5,证明

ZABG=ZAGB得AB=AG=3,再证明N"GO=NG”Q即可求解.

根据题意的作图可得BH平分ZABC.

JZABH=4CBH,

•・•四边形A4CO是平行四边形，

AAD//I3C,AB//CD,AD=BC=5,

・•・NCBH=^AGB,

：,ZABG=ZAGB,

，AB=AG=3,

ADG=5-3=2.

*/AB//CD,

JZABH=NCHB,

•：ZABG=ZAGB,ZAGR=NHGD,

・•・4HGD=4GHD,

，DH=GD=2.

故答案为2.

12.

5

根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为360。即

可求出边数.

解：设这个正多边形的一个内角为x。，则相邻外角为(工-36)。.

由多边形内角与相邻外角和为180。，得：

x+(x-36)=180

解得：x=IO8

则外角为108。-36。=72。.

•••任意多边形的外角和为360。，正多边形各外角相等，

•.•该多边形边数为360。+72。=5.

13.V2?

先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出0C=4、0D=5,结合CD=5判定△OCO

为等腰三角形，过点。作O〃_LAC,得到O”=C〃=2,再由勾股定理算出。〃的长度；

接着由七为BC的中点，根据三角形中位线定理，得E”是△O8C的中位线，从而得到E”的

长度及£〃||正。；再由尸为。。的中点，求出。尸的长度，证得E”与尸力平行且相等.据

此判定四边形EFDH为平行四边形,最后根据平行四边形对边相等的性质，得出EF=DH.

求出石尸的长.

解：,••四边形ABC。是平行四边形，AC=8,BD=1(),

.\OA=OC=-AC=4,OB=OD=-BD=5.

22

•.•CO=5,

：.OD=CD=5,

.•.△OC。是等腰三角形.

如图，过点Z)作O”_LAC十点〃，连接切.

OH=CH=-OC=2

2f

在RtaOM)中，由勾股定理得：DH=ylOD2-OH2=\/52-22=721•

•.•点E是的中点，

・•・E”是△08C的中位线，

:.EH=-OB=-EH\\FD.

22f

•・•点尸是。。的中点,

Z.DF=-OD=-

22f

/.EH=FD,

・•・四边形EFDH是平行四边形，

/.EF=DH=历•

14.11

此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知以，正确地

添加辅助线是解题的关键,因为A8〃a),所以四边形AECD是平行四边形，则AE=CD=6,

由N8EC=ZA,/BEC=/DCE,得NA=N£)CE,所以

/BCD=2/A=2/DCE=NDCE+NBCE,推导出NDCE=NACE,则ABEC=NBCE,所

以BE=BC=5,则A4=ll,于是得到问题的答案.

解："8〃。。，

二四边形AECD是平行四边形，NBEC=/DCE,

..AE=CD=6,ZA=ZDCE,

•：NBCD=2ZA,

:.ZBCD=2NDCE=ZDCE+NBCE,

..NDCE=NBCE,

：./BEC=/BCE,

:.BE=BC=5,

.•・A8=AE+8E=6+5=1I,

故答案为：11.

15.8或6+9

根据平行线的性质可得NFGb=90。，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对

应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长.

解：•.•NMG=90。，EF^GHt

ZFG//=90°,

•••四边形EFG”的“等形点”。在边尸G上，

如图1,当AOE尸四△O”G时，可得EF=HG=1,()F=OG,

FOG

图1

•:FG=OF+OG=3,EF\\GH,EF=HG,

••・四边形EFGH是平行四边形，

：.EH=FG=3,

••・四边形EFG”的周长为2X(1+3)=8：

如图2,当△。历名△“OG时，可得所=OG=1,OF=GH,OE=OH,40EF=/HOG,

H

图2

•:FG=3,

:.OF=FG-OG=3-\=2,

:.GH=2,

•/ZEFO=90°,

/.ZOEF+ZEOF=90°.

NHOG+NEOF=90°,

ZEOH=180°-(Z.HOG4-ZEOF)=90°,

在RMEFO中,由勾股定理得OE=JET”+0/^=JF+Z?=石,

OH=OE=逐,

在R4EOH中,由勾股定理得由=+=/可+(可=M，

•••四边形EbG”的周长为七尸+/G+G"+E”=1+3+2+05=6+JI6,

综上所述，四边形)6”的周长为8或6+Jid.

16.4cm

本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适

当的辅助线是解题的关犍；

过点P作A8的垂线，交AB『点、M,交CD「点N,先说明A8与。。之间的距离等于线段MN

的长，再利用角平分线的性质定理求出用N的长.

解：如图，过点夕作的垂线，交AB于点M,交CO于点N,

AM

B

E

cND

则MN工AB,NPM4=90°,

vAB\\CD,

.•.ZMM)=/m4=90°,

:.MN1CD,

.：A8与CO之间的距离等于线段MN的长，

・.・PM_LA3,PE.LAC,AP平分/ZMC,

；.PM=PE=2cm,

同理可得，PN=PE=2cm,

；.MN=PM”N=4cm,

.:A3与C。之间的距离等于4cm.

故答案为：4cm.

17.证明见解析

此题重点考杳四边形的内角和等于360。、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知

识，推导出ZAEB=NO,进而证明△ABE四△AC。是解题的关键.由ZEAD+/BCD=180。,

根据四边形的内角和等于360。求得N£>+N4KC=180。，而180。，则

ZAEB=ND,即可由NA£B=N£>,NB=ZACD,AE=AJ),证明丝△AC。，则

AB=AC.

证明：vZE4D+ZBCD=180°,

/.ZD+ZAEC=360°-(ZE4D+Z.BCD)=180°.

QZAEB+ZAEC=\S00,

:.ZAEB=/D,

在△ABE和中，

ZAEB=ND

NB=/ACD,

AE=AD

.△ABE%“CD(AAS),

AB=AC.

18.270°

本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为360。是解题的关键.

先利用四边形的外角和为360。的性质，再求出NB对应的外角，最后用外角和减去NA的外

角，得到a、〃、了的和.

解：vZ5=90°,

二N8的夕卜角为180。一90°=90°，

a+夕+7=360。-90。=270。.

19.见解析

由平行四边形的性质以及等边三角形的性质得出相等的生和相等的线段，通过等量代换得到

ZABE=/FDA,AB=DF,BE=AD,进血论i止。用哙△孙，最后根据“对应边相等“即

可得证.

证明：•.•四边形A8CO是平行四边形，

\?BAD?BCD120?,ZABC=ZADC,AB=CD,BC=AD,

3BCE和\CDF都是正三角形，

:.BE=BC,DF=CD,NEBC=NCO产=60。，

:./ABE="DA,AB=DF,BE=AD,

在△A8E和△FDA中，

AB=DF

<ZABE=ZFDA,

BE=AD

△A8Eg"D4(SAS),

..AE=AF.

20.(1)见解析

(2)见解析

本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键.

(1)线根据垂线的定义及平行线的判定即可得出AC〃。石，再根据平行四边形的判定即可

得证；

(2)先根据平行四边形的性质及判定定埋得出四边形及兀。是平行四边形，再根据直角二

角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CQ=3。，最后根据领边相等的平行四边形是菱形

即可得证.

(1)证明：•.•OEJ.BC,

.­.Z£)fB=90°,

Z4CB=90°,

:.ZACB=NDFB,

:.AC〃DE,

vMN//AB,HPCE//AD.

••・四边形AOEC是平行四边形.

(2)由(1)知，四边形AOEC是平行四边形，

:.AD=CE,

•.•。为AT?中点，

/.AD=BD，

:.CE=BD,

BD//CE,

二•四边形8£CQ是平行四力形，

/4C8=90。,。为48中点，

CD—BD,

••・四边形BEC。是菱形.

21.(1)见解析

⑵26

(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性度得出AE=b，进而利用平行四边

形的判定解答即可；

(2)由平行四边形的性质和角平分线的定义得出。石=8=5,再根据勾股定理求出2的

长，再求出8/+Cr=5+3=8,求解即可.

(1)证明：•.•四边形A3c。为平行四边形，

.'.AD//BC,AD=BC,ZA=ZDCF,AB=CD,

ZABE=NCDF,

..△A8虑△CQF(ASA),

..AE=CF,

AD-AE=BC-CF,^DE=BF,

DE\\BF,

..・四边形BEDF是平行四力形；

(2)解：•.•四边形BEDr是平行四边形，

:.BF=DE,

•••四边形A3CO是平行四边形，

.•.44=8,AD=BC,AD//BC,

:"DEC=/ECB,

•.•。石平分/。8,

:.NDCE=NECB,

:.ZDEC=ZDCEt

DE=CD=5.

:.BF=DE=5,

•/DF1BC,

CF=>jDC2-DF2=V52-42=3»

/.BC=BF+FC=5+3=8,

二平行四边形"CO的周长=2(8C+C£))=2X(8+5)=26.

22.(1)/,(12-2/)；

⑵当/=4时，四边形PC。。为平行四边形；

(3)当/=3时，点〜在N。的平分线上；

3

(4)当/=6时，四边形相PQ的面积是四边形A8CD的面积的-.

4

本题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是根

据平行四边形的性质找到边、角之间的关系.

(1)根据点P在边4C上由点可句点C运动，速度为每秒2cm,可得：CP=(12-2/)mz.根

据点。在边A。上由点。向点A运动，速度为每秒1。〃，可得：OQ=%〃?：

(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得：12-2/=/,解方程求出/=4；

(3)连接PO,根据角平分线的性质和平行四边形的性质，可得：CP=CD,所以可得：

12—21=6,解方程即可求出E=3；

I3

(4)根据平行四边形的面积公式和梯形的面积公式可得：-(2r+12-r)//=^xl2//,解方程

即可求出f=6.

(1)解：•.•点。在边8C上由点3向点C运动，速度为每秒2cm,

.­.BP=2/cm,

,/BC=12cm,

:.CP=BC-BP=(\2-2t)cm；

,点。在边人。上由点。向点A运动，速度为每秒km,

DQ=tan,

故答案为：f,(12-力)；

(2)解：•.•四边形PC。。为平行四边形，

/.PC=DQ,

:A2-2t=t,

/./=4,

・•・当Z=4时，四边形PCOQ为平行四边形；

(3)解：如下图所示，连接夕。，

在平行四边形A8CD中，AB=6cm,N8=60。，

：.CD=AB=6cm,AD\\BC,ZAOC=/8=60°,

ZADP=NDPC,