高中数学 第八章 第1节 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

【学习目标】I.通过感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.（重点）2.在理解

掌握简单几何体的结构特征的基础上，认见简单组合体的形成及其结构特征.（难点）

【导语】

几何之美，源于生活，同学们，当我们仰望高耸的烟囱、观察冰淇淋甜筒或是把玩一颗光滑的玻璃弹珠

时，是否想过这些物体背后的几何奥秘？圆柱、圆锥、圆台和球——这些看似简单的几何体，通过巧妙的

组合，构成了我们生活中无数实用而优美的形态.从宏伟的建筑穹顶到精密的机械零件，从艺术雕塑到日常

用品，它们的组合无处不在.

今天，我们将开启一段几何探索之旅：

•如何计算一个“火箭模型"（圆柱+圆锥）的体积？

・若将圆台与球嵌套组合，它们的表面积会发生怎样的变化？

•当几何体被切割、拼接或挖空时，如何灵活运用公式解决问题？

通过分析这些组合体，我们不仅能掌握数学公式的应用，更能培养空间想象力和实际问题的解决能力.让我

们一起揭开几何组合体的神秘面纱，感受数学与生活的完美交融！

一、旋转体的概念与结构特征

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

类别定义图形及记法轴截面

Wi

“底面

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其人

1

余三边旋转一周形成的面所围成的旋•,侧面

圆柱,不矩形

转体叫做圆柱件一母线

底面

棱柱与圆柱统称为柱体

图中圆柱记«F圆柱0'。

（轴

以直角三角形的一条直角边所在直线侧%/

为旋转轴，其余两边旋转一周形成的母线7等腰

圆锥

面所围成的旋转体叫做圆锥底面“三角形

棱锥与圆锥统称为锥体

图中圆锥记彳乍圆锥so

f岸\

•1

»1

/\

上底面《\

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,侧面两

等腰

圆台底面与截面之间的部分叫做圆台

梯形

棱台与圆台统称为台体

下底面

图中圆台记作圆台O'O

半圆以它的宜径所在宜线为旋转轴,

球旋转二a形成的曲面叫做球面，球面圆

所围成的旋转体叫做球体，简称球

图中球记作球0

（1）圆柱的侧面展开是矩形；圆锥的侧面展开是扇形；圆台的侧面展开是扇环.

（2）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.如果截面经过球心，则称截面为球的大圆面，且大圆面的半

径等于球的半径；如果截面不经过球心，则称截面为球的小圆面，且小圆面的半径小于球的半径.

（3）若半径为R的球的一个截面圆半径为八球心与截面圆的圆心的距离为4,则启4/?2一厂2

例1（多选）下列说法正确的是（）

A.以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

B.以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转180。形成的曲面围成的几何体是圆锥

C.半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球

D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径

答案BD

解析以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周得到的旋转体不是圆锥，故A错误；

以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转180。形成的曲面围成的几何体是圆锥，B正确;

半圆弧以其直径所在的直线为抽旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，C错误；

如图所示，当圆锥的母线与圆锥的高的夹角小于30。时，印/>2小

所以圆锥侧面的母线长/有可能大于圆锥底面圆半径「的2倍（即直径），D正确.

反思感悟（1）同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的，所以确定旋转体结构特征的

关键要素：

①注意旋转体由哪个平面图形旋转而成.

②注意旋转过程t的旋转轴是哪条直线.

⑵处理旋转体识图问题时，要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点：①矩形或直角三角形绕轴旋转形成，其特

征是轴所在直线必须与底面垂直；②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.

跟踪训练1（多选）给出下列说法，其中正确的是（）

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

答案AC

解析根据圆锥的母线的定义，可知A正确；

把各梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到的几何体就式是棱台，故B错误；

根据国台的定义，可知C正确；

当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误.

二、简单组合体的结构特征

I.概念：由简单几何体组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥

体、台体、球等结构特征的物体组合而成.

2.构成的两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

例2（课本例2）如图所示，以直角梯形A4C。的下底A8所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围

成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.

B

解几何体如图所示，其中垂足为E.

这个几何体是由圆柱8E和圆锥AE组合而成的.其中圆柱8E的底面分别是08和OE,侧面是由梯形的上底

CO绕轴A8旋转形成的；圆锥AE的底面是OE,侧面是由梯形的边A。绕轴48旋转加成的.

例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.

③

解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;

②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体;

③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

(2)如组①所示的几何体是由图②中的哪个平面图形旋转后得到的()

ABCD

①②

答案A

解析因为简单组合体是由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角

梯形构成，可排除B,D,再由圆台上、下底面的大小比例关系可排除C.

反思感悟组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的，在判定组合体是由哪些简单几何体构成的问

题时，首先要熟缚掌握简羊几何体的结构特征；其次要善于结合柱体、锥体、台体、球的纪构特征，将复

杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，最后再脸证所得到的结论.

跟踪训练2(1)菱形A8C。绕对角线AC所在直线旋转一周步得到的几何体为()

A.由两个圆台组成

B.由一个圆锥和一个圆台组成

C.由两个圆锥组成

D.由两个棱台组成

答案C

解析将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，得到的组合体是两个同底的圆锥.

(2)(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形可能是()

◎㊁◎◎

ABCD

答案ABC

解析当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角度时得B,当截面不平行于任何

侧面也不过体对角线时得A,但无论如何都不能截出D.

三、旋转体的有关计算

例3一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cnf和25兀cnf.求：

(1)圆台的局；

⑵截得此圆台的圆锥的母线长.

解(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形A8CO,由已知可得圆台的上底面半径QA=2cm,下底面半径

OB=5cm,

又母线长AB=\2cm,

所以国台的高为

AM=yl122-(5-2)2=3V15(cm).

(2)设载得此圆台的圆锥的母线长为/,

则由ASAO'S加。可得巴卢二|，

所以.-20cm.

故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

反思感悟与旋转体有关的计算问题中经常遇到的几种类型：

(1)简单旋转体的轴极面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

(2)用平行于底面的平面去极柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时

结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)6勺性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方

程(组)而得解.

(3)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到我面的距离为

d,则/?2=法+/

(4)求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间的最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表而

上两点间最短距离的好方法.

跟踪训练3(1)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的高为.

答案V3

解析设圆锥的母线长为/,则由题意得2乂2兀=",所以/=2,故半圆的弧长为冗/=2兀，设底面圆的半径为

r,则圆锥的底面圆的周长为27n=2兀，所以尸1,,所以该圆锥的高为h=7R—丫-12二6.

⑵已知球的两个平行截面的面积分别为5兀和8兀，它们位于球心的同侧，且距离等于1,求这个球的半

径.

解如图，设这两个截面圆的半径分别为门，-2,

球心到截面的距离分别为4,4,

球的半径为R,

则花疗=5兀，兀域=8兀，

Ar=5,r>8,

又R2=rj+d：=r2+或,

.♦.d］埠=8-5=3,

即314)31+4)=3,

又d\d*l,

・眄1+=3,

**Wi-d2=l,

d1=2,

解得

d2=1,

.・・+域=后匚5=3,

即球的半径为3.

■课堂小结口

1.知识清单：

(1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.

(2)简单组合体的结构特征.

(3)旋转体的有关计算.

2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.

3.常见误区：同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体可能是不同的.

随堂演练

1.下列几何体是台体的是()

ABCD

答案D

解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不

平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.

2.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（）

A.一个球

B.•个球挖去•个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球挖去一个长方体

答案B

3.下列说法正确的是（）

A.过圆锥侧面上•点有无数条母线

B.圆锥的母线互相平行

C.圆锥的轴栈面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

D.圆锥的所有平行于底面的截面（不过顶点）都是圆面

答案D

解析过圆锥侧面上一点只有一条母线，即为圆锥的顶点与该点连线并延长至底面的线段，A不正确；圆

锥的母线交于一点，B不正确；当圆锥的轴截面的顶角大于90。时，其面积不是所有过顶点的截面中面积

最大的，C不正确；D显然正确.

4.某地球仪上北纬30。纬线圈的长度为12兀cm,如图所示，则该地球仪的半径是cm.

北纬3。。

答案4\/3

解析如图所示，由题意知,

北纬30。纬线所在小圆的周长为12兀cm,

则该小圆的半径i-6cm,

其中乙48。=30°,

所以该地球仪的半径R=——=4V3（cm）.

cos300

课时对点练

［分值：80分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下列几何体中不是旋转体的是（）

ABCD

答案D

解析由旋转体的概念知A,B,C是旋转体，D不是旋转体.

2.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360。形成的曲面所围成的几何体是（）

A.球体

B.圆柱

C.圆台

D.两个共底面的圆锥的组合体

答案D

解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一

条直角边所在直线为轴旋转一周得到的几何体是圆锥.

3.图①②中的图形折叠后的图形分别是（）

①②

A.圆锥、棱柱B.圆锥、棱锥

C.球、棱锥D.圆锥、圆柱

答案B

解析易知①为圆锥，②为三棱锥.

4.过球面上任意两点A,8作大圆（经过球心的截面圆），可能的个数是（）

A.有且只有一个B.一个或无数个

C.无数个D.以上均不正确

答案B

解析当过A,8的直线经过球心时，经过A,8的截面圆都是球的大圆，这时过A,8作球的大圆有无数

个；当直线48不经过球心。时，经过A,&。的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.

5.下列说法中正确的是（）

A.将正方形旋转不可能形成圆柱

氏夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C.圆钱截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案C

解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；当这两个平行截面与底面不平行时，

两个平行截面间的几何体不是旋转体，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.

6.美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分

别为25cm与5cm,汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之

间，无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺的长度最短为（）

A.103cmB.10V30cm

CIO闻cmD.10V37cm

答案C

解析将4投影至底面为4',/VB是底面大圆的一条弦且A5与小圆相切（切点为M）时最长，所以

A,I3=2RM=2>J252-52=20>/6,

所以AB=J（20巫7+302=10夜，即汤勺的长度最短为10V33cm.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）

A.圆锥B.圆柱

C.球体D.圆台

答案BD

解析用一个平面去截一个圆锥，得到的截面不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆

柱，得到的截面有可能是四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的截面只能是圆，故C

不满足要求；用一个平面去截一个圆台，得到的截面有可能是四边形，故D满足要求.

8.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36兀cnR64hcm2,则这两个平行平

面的距离为（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.14cm

答案AD

解析设两个截面圆的半径分别为〃，r2,球心。到两个截面的距离分别为4,ch,球的半径为R.

由*=36兀，得，1=6cm,小7R2一*=8（cm）,

由泥=64兀，得/*2=8cm,d2=V^^rJ=6(cm),

如图所不，当两个平行平面在球心的同侧时，

这两个平面间的距离为di/2=2(cm).

如图所示，当两个平行平面在球心的两侧时，

这两个平面间的距离为i/iW2=14(cm).

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知圆柱的侧面展开图是正方形，其面积为Q,则该圆柱个底面的面积为.

答案9

4n

解析圆柱的侧面展