高一数学期中专项训练《基本不等式》含答案解析

题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数A.1B.2C.D.4.(24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中)若0<x<2，则3x(2-x(的A.有最小值5B.有最大值5C.有最小值4D.有最大值4A.-2B.0C.2D.8119.(24-25高一上·陕西汉中·期中)函数f(x(=x+在(0,+∞(上的最小值是.A.2B.3C.4D.5()A.4B.2、、22D.1-2A.9B.8C.6D.5 x2x-2+ x2x-2+22(x<0(的最大值.(x>1(的最小值.7x2-y2的最小值为.33 . 33.(24-25高一上·山东威海·期中)已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+的最小值为 .A.2B.6-2C.26-3D.6-1A.1B.3C.5D.736.(24-25高一上·安徽合肥·期中)(多选)若实()40.(23-24高一上·陕西西安·期末)已知x>0，y>0，m>0，且(mx-y(-=4，则m的最小值为44 . ()B.abC.D.A.>B.<C.ab>D.ab<43.(24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习)均值不等式可以推广成均值不等式链，55实数m的取值范围为()A.{m|-1<m<9}B.{m|-9<m<1}C.{m|-1≤m≤9{D.{m|m<-1或m>9}数m的取值范围是()A.(-B.C.D.(-∞,4[值为()48.(24-25高一上·山东临沂·期中)已知关于x的不等式ax2-366(2)证明：∀x、y、z∈(0,+∞(，(x+4y((y+z((4z+x(≥32xyz.77平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于10，则这个直角三角形周长的最大值为()多少吨？(利润=销售额-成本)88时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x(=(0<x<的最小值为()权方和不等式，函数f(x(=+-0<x<的最小值为.函数f(x(=(0<x<的最小值为.i>0,bi>0(i=1,2(，证明二维形式的权方和不i>0(i=1,2,⋯,5(，x1+2x2+3x3+4x4+5x5=30，求x+2x+3x+4x+5x的最小值.99题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数A.1B.2C.D.A.B.C.1D.2>0，11【详解】因为0<x<2，所以2-x>0，所以3x(2-x(≤3×2=3，所以3x(2-x(的最大值为3.所以根据基本不等式得1=4x+≥24x⋅=4，当且仅当4x==，即y=2,x=时等号成立，所以≤,即≤,当且仅当4x==，即y=2,x=时等号成立，A.有最小值5B.有最大值5C.有最小值4A.-2B.0C.2D.822果.4x+-=4x-4+-+4=-(4-4x+-+4≤-2(4-4x(×-+4=0，A.22-8B.22+8所以2x+=2(x+4(+-8≥2、2-8，【详解】因为x>0，由基本不等式可得f(x(=x+≥2x⋅=2，A.2B.3【分析】根据a+b=(a+b+1(+33C.4D.5【详解】由题意，a+b=(a+b+1(-1=(a+b+1(+-1() /2/2A.4B.2C.1+D./2/2所以，x+2y=(x+2y(+=2++≥2+2⋅=2，(x=2y|(x(x=2y|(x>0,2y>013.(24-25高一上·云南昆明·期末)已知m>0，n>0，且m+nA.9B.8C.6D.5【详解】因为m>0，n>0，且m+n=mn，所以+=1，所以4m+n=(4m+n(+=++5≥2⋅+5=9，【详解】+=(2x+y(+=6++≥6+2⋅=6+4·2，44(2x+y=1(y=2-2(2x+y=1(y=2-21-3x=+1-3x=+1-3x1-3x1-3x=1-3x1-3x=+([3x+(1-3x([+=++b(=1+1++≥2+2⋅=4，故+的最小值为4.【详解】a>0，b>0，a+2b=[(a+b(+b[+=3++≥3+2⋅=3+22，551y+11x+1+.1y+11x+1+.【分析】表示x+2y=(x+1(+2(y+1(-3，再利用1的代换解出最小值即可.【详解】由题意可得x+2y=[(x+1(+2(y+1(-3[(x1+y1(=[(x+1(+2(y+1([(x1+y1(-32(y+1(x+1x+1y+1+2-3≥22(y+1(x+1x+1y+1+2-3≥2=1++(x+1=2(y+1(Lx+1+y+1=1Lx+1+y+1=1由x2-3x+y=0，x>1，y>0，则x-1=-+2=>0，=2+2x-y+2y+1≥22x-y⋅2y+5=92y2x-y22y2x-y22，由x2-3x+y=0，x>1，y>0，则y=3x-x2，x-1>0，3-x>0，66所以+的最小值为.【分析】将目标式化为+=，结合<<及二次函数性质求最大值即可.y=2≤2=2，即0<y≤2.x-1+4-133若x<0时，x+=-|(-x(+(-≤-2(-x(⋅(-=-4，当且仅当-x=-，即x=-2时等号成立，此时y=2≥2=-2，即-2≤y<0.x-1+-4-155773k3+3k3k3+3k14k2+(【详解】3k3+3k=3k3+3k=3(k+(14k2+4+k2+196k2+2121k2++196+3≤===33≤==2-42++19621(k+(+4((1)求y=x2++4(x<0(的最大值.(3)已知x>0，y>0且4x+y=xy，若x+y>m2+8m恒成立，求实数m的取值范围.(3){m|-9<m<1{(2)将函数解析式变形为y=(x-1(+x-91+2，利用基本不等式可求得该函数的最小值；4y(3)由已知条件可得出+=1，将代数式x4y-(-(+(-(【详解】(1)当x<0时，y=x2++4=+-(-(+(-(当且仅当-=-(x<0(时，即当x=-2时，等号成立，所以，函数y=x2++4(x<0(的最大值为-.则y=2-+=x2x--19=x+1+x-91=(x-1(+x-91+2≥2(x-1(⋅x-91+2=8，故函数y=2-+(x>1(的最小值为8.88(3)因为x>0，y>0且4x+y=xy，则=+=1，所以，x+y=(x+y(+=5++≥5+2⋅=9，因为x+y>m2+8m恒成立，则m2+8m<9，即m2+8m-9<0，解得-9<m<1.因此，实数m的取值范围是{m|-9<m<1{.f(x)=-==x-2+-+2≥2(x-2)⋅-【分析】依题意可得(x+2y)(x-y)=2，令x+2y=m，x-y=n，则mn=2，即可用含m、n的式子表化为(x+2y)(x-y)=2，令x+2y=m，x-y=n，则mn=2.联立可得x=，y=，则7x2-y2=7×-= 9 2=32n2=22xy(x-2)(y-1)+4.xy(x-2)(y-1)+4.xyxyxy==xy-(x+2y)+2+4xy+=xy-(x+2y)+2+4xy+4，令t=xy又∵2=x又∵2=x+2y≥2、∴0<t=xy、∴0<t=xy≤∴∴xy=t=xy+4t2+4t+,4t4t∵y=t+L 、/xy、/xy/29/2928.(24-25高一上·重庆·期中)若正实数x，y满足(3x-2(3有m+n=0，结合x=,y=+1且-2<m<2，将目标式化为-+，最后应用基本不等式求最小值.【详解】设m=3x-2,n=2(y-1)，则m3+n3=-(m+n)，即(m+n)(m2-mn+n2+1)=0，若m+n≠0，则m2+n2=mn-1≥0，而m2+n2≥2mn，仅当m=n时等号成立，所以mn-1≥2mn⇒mn≤-1，显然与mn≥1矛盾，所以m+n=0，由上x=,y=+1，由x,y>0，即m+2>0,n+2=2-m>0，则-2<m<2，所以2x++=++=++-n2+1将目标式整理只为含m的表达式为关键.n2+1将目标式整理只为含m的表达式为关键.,y=+2+1.5+2+1.5+24看成一个整体解一元二次不等式即可.看成一个整体解一元二次不等式即可.=2x2+10+2+5)2-(4x)22=2x2+10+2+5)2-(4x)22+1本不等式求解即可.等号成立当且仅当a=b=2，=a2+b2+2 18-2ab=a2+b2+2 18-2ab2-2ab+17=a2+1+b2+1+=a2+12+12+aa2+12+1 18-2tt2-2t+17=令 18-2tt2-2t+17=显然y>0，则yt2+2(1-y)t+17y-18=0，整理得-64y2+64y+4≥0，即16y2-16y-12+5≤y≤442+5≤y≤444注意到y>0，从而0<y≤2+、54等号成立当且仅当Δ=0，44-2)2<22=4，=1-+2+24++24+2+1.则+=+=+=- .【分析】首先变形为=+=+a，再根据b+c=6，变形为+=+ +2a+4最小值【详解】由题，+=++=+a+，其中+=+=+=++≥2、⋅+=2，故++=+a+≥2a+ =2(a+1(+-2≥22(a+1(⋅-2=42-2，【详解】因为+=+=+=+=a++2(+≥a(2×+2(+=6a+=6(a+1(+-611+c2+a的最小值为11+c2+a的最小值为a+1a+11+c2+2c++所以+1c=+22c=(+22c((2b++2c(=+1+c2+2c++1+c=b4b2+2c1+c=b4b2+2c44,c44,c=当且仅当a=2-1第二个不等号可取33.(24-25高一上·山东威海·期中)已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+n(m2-2n(的最小值为.由m=(m-2n(+2n，得m2+即为[(m-2n(+2n[2+n(m2n(，变形后两次运用【详解】因为m>2n>0，所以m-2n>0，n(m-2n(>02+n(m2-2n(=[(m-2n(+2n[2+n(m2-2n(n(m-2n(=(m-2n(2+4n2+4n(m-2n(m-2n(≥4n(m-2n(+4n(m-2n(+n(m2-2n(=8n(m-2n(+n(m2-2n(≥28n(m-2n(⋅n(m2-2n(=8所以m2+的最小值为8.A.2B.6-2C.26-3D.6-1则a+b=a+-2=a+1+-3≥2(a+1(⋅-3=26-3，【分析】分析可得出t+13=x++y+，利用基本不等式可得-出的最小值.【详解】设-=t，则t+13=x+()2-ab=9,a2+b2=9+ab≤9+，解得a2+b2≤18，2=9+3ab≤9+(a+b)2，，即-6≤a+b≤6，当且仅当a=b=3时a+b=6,a=b=-3时a+b=-6,a+b有最小值，最2-3ab=9，设ab=k(k>0)，则a2+b2-3ab=9化为a2+-3k=9，4-(9+3k(a2+k2=0，因为关于a2的方程a4-(9+3k(a2+k2=0有解，所以Δ=(9+3k)2-4k2=81+54k+5k9-aa+1199-aa+119-aa+1++所以2a+b=2a+1a=2(a+1(+a1-4≥22(a+1(⋅a1-4=8，ab+2a+b=16⇒ab+2a+b+2=18,、、+≥2⋅=2=2=a+1b+2a+1b+2+≥2⋅=2=2==+-+-2=+--【答案】2-2+4y2≥2x⋅2y=4xy，由x2+4y2-2xy=1，可得x2+4y2-1=2xy≤x24y2，即得x2+4y2≤2，当且仅当x=2y，即x=1,y=或x=-1,y=-时取等号，即当x=1,y=或x=-1,y=-时，x2+4y2的最大值是2；2+4y2=1+2xy≥-4xy，即得xy≥-，、、当且仅当x=-2y，即x=33,y=-6或x=-3,y=、、、即当x=或x=-,y=-,y、即当x=或x=-,y=-,y= -2 -2【详解】由基本不等式可得6=x+3xy+2y≥3xy+22xy，所以3(xy(2+22xy-6≤0，解二次不等式得xy≤25-当且仅当x=2y时取等号.x-yx-y.-=4，得m-x-+1=4，即x+=m-3.因为x>0,y>0,m>0，所以m-3=mx+y≥2mx⋅y=令t=m>0，则t2-2t-3≥0，解得t≥3或t≤-1(舍去)，故m的最小值是9.()A.B.abC.D.确定出正确选项.则≤ab≤≤.A.> a2+b2\2B.< a2+b2\2C.ab>D.ab<a+b2a2+b22<a2+b2-(aa+b2a2+b22< a2+b2\2≥(a>0,b>0)指的是两个正数的平方【答案】(1)≥(a>0,b>0,c>0(三元形式：≥(a>0,b>0,c>0(.=，==≥02+b2=c2=16，又a+b>c=4，a+b+c>8，实数m的取值范围为()A.{m|-1<m<9}B.{m|-9<m<1}C.{m|-1≤m≤9{D.{m|m<-1或m>9}求解.则2x+y=(2x+y(+=++5≥2⋅+5=9，当且仅当=，即x=y=3时等号成要使2x+y>m2-8m恒成立，则9>m2-8m，解得-1<m<9，即实数m的取值范围为{m|-1<m<9}.数m的取值范围是()A.-B.(-C.(-D.(-∞,4[【分析】由已知条件得出(x+1(+(y+2(=8，将代数式+与[(x+1(+(y+2([相乘，展开则>0,>0，所以+=+[(x+1(+(y+2([=5++≥5+2⋅=，(4(y+2((4(y+2(=x+1Lx>0,y>0当且仅当(x+1(+(yLx>0,y>0因为+≥2m+1恒成立，所以2m+1≤,解得m≤,所以实数m的取值范围是.值为()【分析】将不等式变形为m≤(a+b(，利用基本不等式即可得出答案.不等式≤恒成立，即m≤(a+b(恒成立，(a+b(=+(a+b(=13++≥13+2⋅=25，所以m≤25，即实数m的最大值为25.【答案】-2<m<4由于题设不等式恒成立，则m2-2m<8，即m2-2m-8=(m+2)(m-4)<0，所以-2<m<4.故答案为：-2<m<4(2)当x>0，y>0且满足+=1时，有2x+y≥k2-k+2恒成立，求实数k的取值范围.【分析】(1)先由不等式解的结构特征可得a>0且x=1和x=b是方程ax2-3x+2=0的两个根即可该不等式即可得解.所以2x+y=(2x+y(+=4++≥4+2×=8，当且仅当=即2x=y=4时等号成立，所以2x+y有最小值为8.因为2x+y≥k2-k+2恒成立，所以k2-k+2≤8即k2-k-6≤0，解方程k2-k-6=0得k=3或k=-2，所以不等式k2-k-6≤0的解集为[-2,3[.所以满足题意的实数k的取值范围为[-1>0，-2a<0，故-2a则+=+(x+3y)=4++≥4+2⋅=(4+23)=2+·3，当且仅当=时等号成立.3y=xx=3-1x3y=xx=3-1x+3y=2(y=1-33+4y((y+z((4z+x(≥32xyz.==由基本不等式可得x+4y=43≥2x⋅4y=4xy，可得xy≤3，x=4yx=23x=4y