同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题4.4同角三角函数的基本关系及诱导公式.重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

I.(5分)(2021秋•包头期末)若lana=3,则sin%-sinacosa=()

36

A.~B.-CD

55-~l-

【解题思路】直接利用同角三带函数的关系式的变换的应用求出三角函数的值.

【解答过程】解：由于tana=3,

2O

sina-sinacosatana-tana

所以sin2a-sinacosa=9-33

sin2ai-cos2al+tan2a=l+9=5,

故选：A.

2.（5分）（2022春•汉中期中）已知X6R,则下列等式恒成立的是（）

A.sin(-x)=-siiixB.sin(n+x)=sin.v

C.tan(-x)=taiu-D.cos(ir+x)=cosx

【解题思路】根据诱导公式逐一判断即可.

【解答过程】解：A.sin(-x)=-sirtr,故正确;

B.sin(TT+X)=-sinx,故错误;

C.tan(-x)=-tan.r,故错误;

D.cos(ir+x)=-cosx,故错误.

故选：A.

3.（5分）（2022春・南阳期末）化简，2-2$出20。一，1+（:。520。的结果是（）

A.V2cosl0°B.-V2cosl00C.V2sinl00D.-V2sinl0°

【解题思路】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解.

［解答过程］解：V2-2sin200-yflTcos^=y/2(sin2100+cos2100-2sinl00cosl00)-

\/2cos210o=2(cosl0a-sinlO°)2-V2cos210°=V2(coslO°sinlO)-V2cos10°

-V2sinl0°.

故选：D.

（5分）（2022春•阜阳期末）已知cos"若8是第二象限角,则lan（TT+0）的值为（）

4.XD

512C.-金_12

A.—B.—D.

125

【解题思路】由题意求出sine,又tans+。）=tan®=溺,再将sinB,cos0的值代入即可得出答案.

【解答过程】解：・・・。是第二象限角，又cose=—1|,

XO

/.sinO=V1-cos23=A,

：,tan(n+0)=tan0=^=-^.

故选：C.

（5分）（2022春•榕城区校级月考）如果sina二/，那么sin（7T+a）-cosg-a）等于（）

、2、泛B.-|22^2

A.--C.一D.——

33

【解题思路】利用诱导公式即可化简求解.

【解答过程】解：因为sina=《,

•3

7T2

所以sin(7T+a)—cos(2—a)=—sina-sina=-2sina=一可.

故选：B.

2sin0-cos01cos6{l-2sin20')

6.（5分）（2022春•浙江月考）弋诉面=1则)

sinO+cosO

43

7B.——D.——

2525

【解题思路】由题意，利用同用三角函数的基本关系，求得⑶］。的值，可得要求式子的值.

4

2sin0-cosG12tanO-ln0-

【解答过程】解:=3

sinG+2cos02tand+2ta

则cos6(l-2sin2，)_1Zsin'S_'2?tan26+i_

sinO-^-cosOtan0+ltanO+1tanO+1

l-taM。__________if3

；tan0+l)-(tan20+l)(^+l)(y+l)-25’

故选：C.

(5分)(2022春•沈阳期中)已知a=t即(一誓)，b=cos,c=sin(-^^),则a,b,。的大小

7.

关系是()

A.b>c>aB.a>h>cC.b>a>cD.a>c>h

【解题思路】利用诱导公式即可求解.

【解答过程】解：a=tan(—=—tan(TT+Q=-tan—=—

,237r/o汗、71

b=cos—=cos(8n-=cos-=-

3332

71

,,33兀、.zo,7i..«

c=sin(—T—)=—sin(8n+-r)=-sin-=——，

'4'442

所以c<a<b.

故选：C.

8.（5分）（2022春•榆阳区校级期中）已知角0的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直

2sin（—+0）+5COS（57T-0）

线以+3尸0上，则叫一s皿/）)

A.3BTC.-3D.-4

A2sin（^-+0'）+5cos（57t-0'）

【解题思路】通过题目所给条件求出然后通过诱导公式对s靛.。）*5=.进行化

荷，最后弦化切得到答案.

【解答过程】解：由已知可得，1an8=-g

2sin(-+0)+5cos(5TT-9)-2cos3-5cosG-7

又因为si九号一8)-sin(7T-e)=cosO-sinG

1-tand

故选：C.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2021秋・德州期末）已知百5讥5+6）=5）（空罗一。），8€（0,271）,则8可能等于（）

【解题思路】由题意，利用诱导公式，求得tanB,可得8的值.

【解答过程】解：...gs比5+e）=s»（生尹一6）,0G（0,2n）,

/.—V3sin0—cosG»即tan0二一'^，0-或0=-

30O

故选：BD.

10.（5分）（2022春•赣州期末）己知sina+cosa=1，aE（0,TT）,则下列选项中正确的有（

4

-

A.s^-cosa=1B.tana3

3

-24

C.cosa=5D.sin2a=

25

【解题思路】由已知结合同角平方关系分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：因为sina+sosa=卷，ae(0,TT),

两边平方得l+2sinacosa=与，

所以2sinacosa=一票<0,

乙KJ

所以sina>0,cosa<0>

所以sina-cosa=yj(sina+cosa)2—4sinacosa=J*+舞=(，A正确:

34

--

所以sina=F，cosa=53sin2a=2sinacosa=-百，8错误，C1E确，。.正确.

故选：ACD.

（5分）（2。21秋•广东期末）已知鬻鬻=3,小。4则（）

sina-cosa=-f

B.

.443

C.sina-cosa=耳

l-2sinacosa1

D.

sin2a-cos2a3

【解题思路】根据已知利用三弟函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解.

■,一“—,sina+cosatana+1

【解答过程」解：因为嬴F=R=3

所以tana=2,故A正确,

因为tana=^=2>0,

所以sina>0,cosa>0,

sincx+cosa

由—：--------=3>0,可得sina-cosa>0,故B错误,

sina-cosa

-n.447-22\-22\.22sm2a—cos2atan2a—A4—13

因为sina-cosa=(sura-cosa)(sina+cosa)=snra-cosa=^-5------丁—--------=-T-T7T=

sin6a+cos^atanza+l4+15

故C正确,

l-2sinacosa(sina-cosaYsina-cosatana-12-11

因为一，故。正确.

sin2a-cos2a(sina-cosa')(sina+cosa')sina+cosatana+12+13

故选：ACD.

12.（5分）（2021秋•大同期末）下列计算或化简结果正确的是（)

2tanacosa

A.：-----=2

sina

B.若sina-cosa=Altana+=2

12sina

C.右ta71a=5,则-------：—=1

乙cosa-sina

cosasina

D.若a为第一象限角，则Vl+cos2a+>Jl-cos2a

【解题思路】A,由sina=cosa*（ana,可得解;

22

B,先利用tana=^^进行化简，再由sina+cosa=1进行求值，即可;

C,根据“同除余弦可化切”的思想，得解;

D,先利用二倍角公式对分母进行化简，再去根号后,即可得解.

2tanacosa2sina

【解答过程】解：选项人——:------=——=2即A正确:

sinasina

.cosasina,cosasinza+cos2a1

选项B,=2,即B正确;

ta"痂=界+sina-sinacosa-1

2

2sina2tana三I=2,即C错误;

选项C,

cosa-sina1-tanaT-2

cosasinacosasina1cosasina、「”—

选项\fl+cos2a+Vl-cos2a72cos2a+\/2sin2a=-7=(----+­：­)=\[2>即。正确.

v2cosasina

故选：AUD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

n73

13.（5分）（2022•丽水开学）已知siziacosa=1,—<a<7r,则cosa-sina

3

【解题思路】由已知sinacosa=J>0,—<a<n,可知‘TCVa＜皆可得cosa-sinaV0,进而利用平方

333

差公式及同角三角函数基本关系式即可求解.

n

［解答过程］解：因为sEacosa=g>0,-<a<n,

3

可知g<a<^

所以cosa-sinaV0,

所以(cosa-sina)2=1-2sinacosa=1-2x5=5*

所以cosa-sina=--

3•

故答案为:~

o_stn(7r-a)-5sin(^-a)

，4-(5分)(2022春•东阳市校级月考)已知sin(a-3n)=2sin(-a+个，求示行eK

7

4--

【解题思路】由题意，利用同用三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果.

【解答过程】解:Lsin(a-3兀)=2sin(—a+岑),即・sina=-2cosa,tana=2,

sin(7r-a)-5sin(^-a)sina+5cosatana+57

2cos(2zr-a)-sin(-a)2cosa+sina2+tana4'

7

故答案为：-

4

15.(5分)(2022春•大名县校级月考)已知sE(a-/?)cos6+cos(a-0)sE/?=Y，a为第三象限角,

sin(7t-a)+5cos(2n-a)23

则c.,3兀■~~

2sin(­--a)-sm(-a)

【解题思路】利用正弦的和角公式化简得出sina的值，由此即可得出cosa,lana的值，再根据诱导公式

以及弦化切化简所求的关系式，最后代入lana的值，即可求解.

【解答过程】解：因为sin(a-/?)cos0+cos(a-=-亮,

3

-

所以sin[(a-P)+B]=sina=s又因为a为第三象限角,

3

4所以

所以cosa=-=

taila4*

则si?i(7r-a)+5cos(27r-a)sina+Scosa

2sin(^-a)-sin(-a)-2cosa+sina

4

tQ?ia+5_、+5_23

-2+tana~-2+1~5

故答案为:

7T

si7i(7r-2a)+si?i(a+5)_i3cos2a-l

16.(5分)(2022春•昌江区校级期中)已知sina

l-cos2a-cos(20^17r+a)2'2sin2a+l

2

【解题思路】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解.

sin(n-2a)+sin(a+^)isin2a+cosa

【解答过程】解：因为sinaH-。

1-cas2a-cos(-22--17r+a)2l-cos2a-(-si.na)—

2sinacosa+cosacosa(2sina+l)1

2sin2a+sinasinafJZsina+l')tana,

所以tana=2,

,,3cos2a-l3cos2a-sin2a-cos2a2-tan2a2-222

则---------=----------------------=----------=--------=--.

2sin2a+l2sin2a+sin2a+cos2a3tan2a+l3x22+l13

故答案为：-言

JLO

四.解答题(共6小题，满分70分)

7

17.(10分)(2021秋•仁怀市校级月考)已知失(0,n),且sinO+cosg务求下列各式的值:

(I)sin0cos0；

(II)sin9-cos0；

(III)tanO.

【解题思路】利用正余弦以及切的同角关系化简即可求解.

【解答过程】解：（I）因为%（0,n）,且sin8+cosB=^

c4Q40

所以(sin9+cosG)2=即l+2sin6cos8=

则sinOcosO=%1=-

(II)由(I)可知sinOcosOVO,所以66(一,n),

2

则sin0>0.cos。V0,所以sin。-cos0>O.

则sin0-cos6=yJ(sinO-cosO)2=V1-2sin0cosO=Jl—2x(―^^)=,,

17

,sin0-cos07^17tan6-li?

()由一^------=普=—=---,解得tan。二一冷

sinO+cosO—7tanO+15

13

q7T

18.（12分）（2022春•昌平区校级期中）已知sina=B，且c£（―,n）.

(1)求tana的值;

„cos2a一

（2）求石而币的值.

【解题思路】（1）由sina的值及a的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosa的值，即可确定出

（ana的值；

（2）原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后将各

自的值代入计算即可求出值.

qTI

【解答过程】解：（1）Vsina=且aW（-,IT）,

12

/.cosa=-V1-sinza=

sizia5

则tana=

cosa-12;

12

(2)Vsina=cosa=

13,

［中t、_cos2a-sin2a_(cos』+sina)(cosa—sina)125_17

=cosa-sina==

=观岛ma+%osa)=cosa+si*13-13~13,

19.（12分）（2022春•上杭县校级月考）已知cosa=q，且-?VaV0,求下列各式的值.

sina+2cosa

(2)亡。71(一7r卜sin(27i+a)

cos(-a)tana

【解题思路】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.

（2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答过程】解:(1)因为cosa=电，且一*VaVO,

所以sina=-----则tana=-2,

D

,sina+2cosatana+2

所以「--------=--------=0；

3sina+cosa3tana+l

（2）原式=嘿器鬻=一团。=2.

Vl—2cos70°cos20°

20.(12分)(2022春•武进区校级月考)(1)化简：,“。/.2嬴:

sml600-Vl:-sm220o

-2T-»t2sinx-cosx

(2)向量a=(si〃x,亍)，b=(cosx,-1),当allb时，求一：---------的值.

/4si?ix+3cosx

【解题思路】（1）结合诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的平方关系，化简即可;

（2）由3II4同角三角函数的商数关系，推出再根据"同除余弦可化切”的思想，运算得

解.

.,—、।…Vl-2cos70°cos20°Vl-2sin200cos20°

【解口过程】解：(I)5勿160°-〃3九220。=siTi200-cos20。

2

_J(sin200-cos200)_|si?i20°-cos20°|_一(si7i2()o-cos20。)__

sin20o—cos20°sin200—cos200—sin200—cos200

(2)因为a||匕，所以-sinr—£osx=0,即tanx=^^=—,

4C(z4

3

”,2sinx-cosx2tanx-l2x(-z)-14

所以------------=---------=------1-------=-

4sinx+3cosx4tanx+34x(--)+33

21.(12分)(2021秋•青山区期末)已知a、肥(0,-)且sin0=cos(a+p)*sina.

2

⑴求证归号？

（2）求lanp的最大值.

【解题思路】（1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立.

（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简ta邪的解析式，再利用基本不等式求得ta邛的

最大值.

【解答过程】解：（1）由于a、pe（0,-）且sin0=cos（a+p）*sina,

2

sinp=cosacospsina-sinasin3sina,即(anp=sinacosa-sir~atanp,

sinacosa即找呻=建先成立•

解得tan|3=■~-

l+sina2+2