人教八年级数学下册专项复习 第十八章 平行四边形（10类题型突破）

第十八章平行四边形（10类题型突破）

题型一利用平行四边形的性质求解

例题：在平行四边形A8CQ中，乙4=130。，则NC=（）

A.130°B.50°C.30°D.120°

变式训练

1.如图，在平行四边形A8C。中，4）=8,皿=5,。尸平分/ADC交边8c于点尸，则8F=（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

2.如图，在四边形A8CD中，AC1BC,E为A8的中点,，若CE=2,则8的长为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023秋・山东泰安•八年级校考期末）如图，过平行四边形A8CD对角线的交点。，交AD

Q）OE=OF；

②图中共有6对全等三角形；

③若A8=5,AC=6,贝Ij2v6£>vl4；

④S四边形A5FE=S^ABC；

其中正确的结论有（）

A.①④B.①②④C.①③④D.①②③

4.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，在平行四功形八BCD中,BC=LCD=4,跖平分

NA3c交4?于点£,则力？的长为

题型二判断能否构成平行四边形

例题：能判定四边形A8CO是平行四边形的是（）

B.ZA=N8,ZC=ZD

C.AB=CD,AD=BCD.AB=ADfCB=CD

变式训练

1.如图，四边形A8C。的对角线交于点O,卜列哪组条件能判断四边形"CD是平行四边形

（）

A.OA=OCfAC=BDB.OB=OA,OD=OC

C.AB//CD,AD=BCD.ZA^C+Zfi/4D=i80°,NBCD=NRAD

2.如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCQ是平行四边形的是（）

A.AB=CD,AD=BCB.AB//CDtAD〃BC

C.ABHCD,AD=BCD.AD〃BC,AD=BC

3.在下列给出的条件中，能判定四边形A8CQ为平行四边形的是（）

A.AB〃CD、AD=BCB.ZA=/&NC=NO

C.AB=AD,CB=CDD.AB=CD,AD=BC

题型三添一个条件成为平行四边形

例题：已知：如图，AB//CD,线段AC和8。交于点。，要使四边形ABCD是平行四边形,

还需要增加的一个条件是：（填一个即可）.

AD

变式训练

1.如图，平行四边形A3C£＞中，点石、尸分别在8C、4。上，要使四边形。七。”是平行四边

形，还需要增加的一个条件是.

2.如图，在平行四边形ABCD中，5。是对角线，E,R是对角线上的两点，要使四边形4人主

是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是.

题型四利用平行四边形的性质与判定综合

例题：如图，四边形A8C。中，B。垂直平分AC,垂足为点月E为四边形ABC。外一点，且

ZADE二/BAD,AE±AC.

⑴求证：四边形A瓦汨是平行四边形；

⑵如果DA平分N3DE,A3=3,4）=4,求AC的长.

变式训练

1.如图，在YA8C。中，ZC=60°,M、N分别是AD、BC的中点.

BNC

⑴求证；四边形"VCD是平行四边形;

⑵若8C=2C£),MN=1,求以)的长.

2.如图，点8、E分别在AC、。尸上，A尸分别交8。、CE于点M、N,NA=NRZ1=Z2.

⑴求证：四边形BCEO是平行四边形；

(2］已知。E=2,连接BN,若BN平■分NDBC,求CN的长.

3.如图，在Y48C。中，点七是。。边的中点，连接AE并延长交8c的延长线于点F,连接跖,

BEJ.AF.

⑴求证：△KDE9XFCE•、

⑵求证：AE平分一£146；

(3)若ND48=60。，A4=4,求YA8CZ)的面积.

题型五利用矩形的性质求角度或线段长

例题：如图，矩形A48的对角线AC,/m相交于点O,过点。作交AD于点E,

若ZAC8=20。，则/AO石的大小为.

变式训练

1.在矩形A8C。中，作N8的平分线交直线人力于点£则4?切＞是___________度.

2.如图，四边形A8C。是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接秋交8于点F,N8EC=2ZAEB,

点G是肺的中点，若DE=1,BF=10,则AB的长为.

3.如图，在平行四边形A8C。中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交。。的延长线于点

F.连接AC、BF.

⑴求证：AABE^AFCE；

(2〕当四边形A8R7是矩形时，若ZA£C=110。，求/。的度数.

4.如图，在矩形A8C。中，8。是对角线，BE、。尸分别平分/八小)、NCDB,交边人。、BC

于点E、F.

⑴若BE=2,NABE=30",求的长.

⑵求证：AE=CF.

题型六矩形的性质与判定综合问题

例题：如图，在A/WC中，AB=ACfAO平分N8AC交3c于点。，分别过点4、力作人石〃岚?、

DE〃AB,与/g相交于点E,连接CE.

⑴求证：AE=BD；

⑵求证：四边形人位是矩形.

变式训练

1.如图，将YA8CD的边相延长到点E,使BE=AB,连接OE交边8C于点F.

-----------------D

B

E

⑴求证；ARF睁ACFE；

(2］若44=3/律C,判断四边形BECQ的形状，并证明你的结论.

2.如图，在平行四边形"CD中，点E,尸分别在边4C,AD上，BE=DF,ZAEC=90°.

⑴求证：四边形AECr是矩形；

⑵连接防，若AB=6,ZABC=60°,M平分NMC,则平行四边形A8CQ的面积为

题型七利用菱形的性质求角度或线段长

例题：如图，菱形A8C。中，已知Z/WO=2()。，则NC的大小是

变式训练

1.如图，在菱形"C力中，交对角线AC于点E,若/。=120。，8E=1,则AC=

AB

2.如图，在菱形A68中，AC与/m相交于点0,A〃的垂直平分线夕'交AC于点〃，连接/",

若44)=80°,则ZDFO的度数为.

3.如图，在菱形A8CO中，他=12,NBCD=60。,E是4)中点，M交AC于点F,连接。尸,

则。尸的长为.

D

4.如图，菱形A8C。的边长为2,Z/WC=60。，对角线AC与8。交于点O,石为OB中点，F

为A。中点，连接，则E尸的长为.

5.如图，已知四边形A5CQ是菱形，且A£_L3C于点七，4尸_LC力于点厂.

⑴求证：AE=AF-

⑵若A8=10,CE=4,求菱形ABC。的面积.

题型八菱形的性质与判定综合问题

例题：如图，在四边形A8C。中，AD//BCtA8=BC,对角线AC、8。交于点。，B。平分NA8C,

过点。作。E_L8C,交BC的延长线于点E,连接0E.

⑴求证：四边形A8c。是菱形;

(2)若。C=26,AC=4,求。七的长;

变式训练

1.如图，平行四边形A8CD的对角线AC,80相交于点0,且BE//ACfOE=AB.

⑴求证：四边形A8C7)是菱形.

⑵若ZAZ)C=60。，BE=2,求40的长.

2.如图，平行四边形A8CD中，AB=6cmf4c=10cm,N8=60。，点G是。。的中点，点E是

边AD上的动点，EG的延长线与4c的延长线交于点/，连接CE,DF.

AED

⑴求证；四边形car是平行四边形;

⑵①直接写出：当AE=cm时，四边形。瓦加是菱形（不需要说明理由）;

②当AE=cm时，四边形C&W是矩形，请说明理由.

题型九利用正方形的性质求角度或线段长

例题：如图，在正方形A8CO中，点尸为边C。上一点，BF与AC交于点E.若NCBF=20。,则

NAED的大小为度.

变式训练

1.如图，正方形ABCO中，ZOAC=ZODAt则ZAOD=

2.如图，四边形ABC。是正方形，以8C为边在正方形内部作等边MBC,连接孙，则/产/山=

3.如图，在正方形A8C力中，尸为对角线8。上一点，过。作庄_L8C于E,PF上CD于F,若PE=3,

P尸=4,则AP二.

4.已知在矩形A8C。中，3c=12,AB=\Of四边形石/G”的三个顶点E、F、G、”分别在

矩形48co的边A3、BC、QA上，AE=2.

(1)如图1,当四边形E/G”为正方形时，求△GFC的面积：

⑵如图2,当四边形EFG”为菱形，且M=a时，求4尸。的面积(用含。的代数式表述);

⑶在(2)的条件下，当△GFC的面积等于6时，求AH的长.

题型十正方形的性质与判定综合问题

例题：如图所示，在正方形A8C。的边。的延长线上取点八连接质，在瓶上取点G,使得

AG=ADt连接。G,过点A作AE_LAE,交DG于点E.

⑴若正方形A8C。的边长为4,且AB=2FB,求尸G的长;

(2)求证：AE+BF=AF.

变式训练

1.如图，点P是正方形488内部的一点，ZA™=90O,将Rl"P3绕点A按逆时针方向旋转90。

得到小。。，QD,8P的延长线相交于点E.若正方形A6C。的边长为10,DE=2.

⑴求证：四边形APEQ是正方形;

(2)求5E的长.

2.如图，点E是正方形ABCZ)的边8上不同于C,力的任意一点，延长8c至点儿使CF=CE.分

⑴如图1,连接踮，DF、死与。「有何关系？请说明理由.

(2)如图2,连接砒＞,8G,DG.若/3=".

①当点E是C。的中点时，SM=：

②当点E不是C。的中点时，可皿的值与①相比，有变化吗？请说明理由.

第十八章平行四边形(10类题型突破)

答案全解全析

题型一利用平行四边形的性质求解

例题：在平行四边形A8CO中，Z4=130°,则NC=()

A.130°B.50°C.30°D.120°

【答案】4

【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答.

【详解】解：如图：

,・•四边形A8CQ是平行四边形，

AZA=ZC=130°,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关犍是掌握平行四边形对角相等.

变式训练

1.如图，在四边形/WCO中，">=8,AB=5fDF平分NADC交边BC于点、F,贝1」放=()

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质，可得3=8=4?=5,即可求解.

【详解】解：在YA38中，CD=AB=5,AD=I3C=8fAD//I3C

:.ZADF=/CFD,

又丁D产平分NADC

:.ZADF=/CDF,

：./CDF=/DFC,

:・CF=CD=5,

：.BF=BC-CF=3,

故选；c

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三

角形的判定定理.

2.如图，在平行四边形A8CD中，AC1BC,E为A8的中点，若C£=2,则CQ的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CO,再由直角三角形的性质可得AB=2CE=4,即

可求解.

【详解】解：・・•四边形A8CQ是平行四边形，

:.AB=CD,

VAClBCfE为AB的中点,C£=2,

:.AB=2CE=4,

：.CD=4.

故选；C

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边

中线等于斜边的一半是解题的关键.

3.（2023秋,山东泰安•八年级校考期末）如图，律过平行四边形ABCD对角线的交点。，交AD

于点E,交8c于点八则：

Q）OE=OF；

②图中共有6对全等三角形；

③若A3=5,AC=6,贝1J2<5£）V14；

④S四也形ABFE=;

其中正确的结论有（）

人①④B.①②④C.①③④D.①②③

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质得出==AD//I3C,证明△A£。且△CF。，得出

OE=OFt判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根

据三角形三边关系得出8。的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④.

【详解】解：:四边形A8CQ是平行四边形，

:.AO=CO=-ACAD//BC,

2f

ZDAO=ZI3CAfZAEO=ZCFOf

在△AfO和△CFO中，

ZDAO=ZBCA

-NAEO=zero

AO=CO

.,.△AEO^Cro（AAS）,

：.OE=OFf故①正确，

由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：AAOB沿4COD,△AODWACOB,△AOEWACOF,

△DOE%ABOF,AABD@ACDB,△ABC四△（?以共6对，故②正确；

V/\C=6,

40=3,

:.5-3<OB<5+3,

A4<BD<16,故③错误；

,/4AEO乌2JFO,

**•S四边形WE=SjBC»故④正确；

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和三边关系的应用，灵活

运用所学知识求解是解决本题的关键.

4.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，在平行四边形48co中，BC=7,8=4,跖平分

/A8C交人。于点E,则。石的长为.

D

B匕-------------fC

【答案】3

【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到a=进一步得到=从

而可得DE.

【详解】解：，•四边形A8CO为平行四边形，

BC,

ZAEB=NEBC,

•.•跖平分/ABC,

:.ZABE=/EBC,

:./ABE=ZAEBt

：.AB=AE,

-BC=7,CD=AB=4,

:.DE=AD-AE=l-4=3.

故答窠为：3.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的

性质得出ZABE=ZAEB.

题型二判断能否构成平行四边形

例题：能判定四边形A8CO是平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB.=ZC=ZZ）

C.AB=CD,AD=BCD.AB=ADfCB=CD

【答案】C

【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）

进行判断即可.

【详解】解：A、AB//CDtAD=BC,不能判定四边形A8CO为平行四边形；

B、幺二NB，4C=4D，不能判定四边形ANCD为平行四边形；

C、AB=CD,AD=BCt能判定四边形48co为平行四边形；

。、AB=ADfCB=CD,不能判定四边形A8C。为平行四边形；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键.

变式训练

1.如图，四边形/WCD的对角线交于点O,下列哪组条件能判断四边形A8CD是平行四边形

()

A.0A=0CfAC=BDB.OB=OAfOD=OC

C.AR//CD,AD=RCD./AKC+/而/)=1X0。，ZBCD=ZBAD

【答案】D

【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

【详解】解：A、由。4=OC,AC=BDf不能判定四边形ABC。是平行四边形，故该选项不符

合题意；

B、由O3=OA,OD=ocf不能判定四边形ABC。是平行四边形，故该选项不符合题意；

C、由河〃8,AD=BC,不能判定四边形人皮力是平行四边形，故该选项不符合题意；

。、VZABC+ZBA£)=180°,

:.AD//BC,

■:/BCD=ABAD,:.ZABC+ZBCD=180°,

AB//CD,

・・・四边形ABCQ是平行四边形，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

2.如图，下列四组条件中，不能判定四边形A8CD是平行四边形的是()

A.AB=CD,AD=BCB.ABHCD,AD〃BC

C.AB//CD,AD=BCD.AD//BC,AD=RC

【答案】c

【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可.

【详解】解：4.vAB=CD,AD=BCt

・・・四边形48CD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合

题意；

B.,:DC,AD//BC,

・•・四边形A8CD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合

题意；

C.由43〃次，4）=8。不能判定四边形A8CD是平行四边形，故该选项符合题意；

D.VAB//DC,AB=DC,

・・・四边形48C。是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符

合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

3.在下列给出的条件中，能判定四边形A8C。为平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB.4"NB,/C=ND

C.AB=AD,CB=CDD.AB=CD,AD=BC

【答案】。

【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.②两组对边

分别相等的四边形是平行四边形.③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.④对角线

互相平分的四边形是平行四边形.直接利用平行四边形的判定定理即可得出答案.

【详解】解：A当月圻|8,AD=I3Ct四边形ABC。是平行四边形或等腰梯形，此选项不合题

•

B.当幺=N8,ZC=ZD,不能得到四边形A8CD是平行四边形，此选项不合题意.

C.当AB=AD,CB=CDt不能得到四边形48CD是平行四边形，d此选项不合题意.

D当AD=BCf两组对边分别相等的四边形是平行四边形.此选项正确.

故选：Q.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关

键.

题型三添一个条件成为平行四边形

例题：己知；如图，AB//CD,线段AC和〃。交于点。，要使四边形AgCD是平行四边形,

还需要增加的一个条件是：（填一个即可）.

BC

【答案】AD//CB（答案不惟一）.

【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案.

【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是:

故答案为：AD//CB（答案不惟一）.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定.

变式训练

1.如图，平行四边形中，点七、尸分别在8C、4。上，要使四边形8石。”是平行四边

形，还需要增加的一个条件是.

【答案】ED=BF

【分析】由平行四边形的性质可得到四〃//,要证明四边形2E力户是平行四边形，只需要

m=4尸即可.

【详解】添加ED二BF,

・・•四边形是平行四边形，

：.ED//BF,

,:ED=BF,

・・・四边形尸是平行四边形，

故答案为：ED=BF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

2.如图，在平行四边形A8CD中，8。是对角线，E,尸是对角线上的两点，要使四边形AR花

是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________.

E

F'

B

【答案】BF=DE（答案不唯一）

【分析】连接对角线AC,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即叽

【详解】解：添加的条件为理由如下：

证明：连接AC交80于点。，如图所示：

•・•四边形A8CQ为平行四边形，

：.AO=CO,BO=DO,

•:BF=DE,

:・BO-BF=DO-DE,

即OF=OE,

四边形AR7E为平行四边形，

故答案为：（答案不唯一）.

【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关

键.

题型四利用平行四边形的性质与判定综合

例题：如图，四边形A8CO中，8。垂直平分4C,垂足为点F,E为四边形A8C。外一点，且

ZADE二/BAD,AE±AC.

⑴求证：四边形A3£>£是平行四边形；

⑵如果DA平分4E>E,AB=3,AD=4,求AC的长.

【答案】（1）见解析

（2i—

''3

【分析】（1）分别证明AE〃9），得出结论；

（2）利用勾股定理求出3〃=石，再利用等积法求出“，即可得出结论.

【详解】（1）•:ZADE=/BAD,

：.AB//ED,

•:AEA.ACt

ZE4C=90°,

丁班）垂直平分AC,

:.NBFA=900,

:.ZEAC=ZBFAr

:.AE//BD,

・•・四边形ABZ花是平行四边形，

（2）,.•714平分/3。石，

:・ZADE:ZADB,

*：ZADE=ZBADf

ZADB=ZBAD,

:.BA=BD,

AB=3,

BD=3

过3作8”_ZAO,

:.AH=HD=-AD=2

2f

,,BH=>/32—22=5/5，

：B。垂直平分AC,则AF=FC,

【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解

决问题的关键.

变式训练

1.如图，在YA8co中，ZC=60°,M、N分别是A。、的中点.

AMD

VA

BNC

⑴求证：四边形MNCD是平行四边形；

⑵若8c=2C£),MN=\,求8。的长.

⑵【答G案】⑴见解析；

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得/V)=AC、AD//BC,根据M、N分别是40、的

中点可得用。=的，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论：

(2)如图：连接NQ,先说明JVC。是等边三角形的判定与性质，可得ND=NC、NDVC=60。，

再根据三角形外角的性质，可得尸，最后根据勾股定理即可解答.

【详解】(1)证明：・・・ABCQ是平行四边形，

AD=BCfAD//BC,

,••历、N分别是A。、BC的中点，

：.MD=NC,

MD//NC,

・•・四边形MNCD是平行四边形.

(2)解：如图：连接N。，

•・・MNCO是平行四边形,

：.DC=MN=\.

•・・N是的中点，

:.BN=CN=-BC.

2

BC=2CD,

：.CD=CN.

,/ZC=60°,

•••△NCO是等边三角形，

:・ND=NC,NDVC=60。，

*/NDNC是△BND的外角,

：.ANBD+/NDB=ZDNC,

"：DN=NC=NB,

：.NDBN=NBDN=-NDNC=30°,

2

:.4力C=90°,

:.BC=2DC=2,

BD=yjBC2-DC2=\/22-l2=x/3.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等

知识点，证得AN。）是等边三角形是解题的关键.

2.如图，点8、E分别在AC、。尸上，人尸分别交80、CE1于点M、N,NA=NRZ1=Z2.

⑴求证；四边形8CE。是平行四边形；

（2）已知。七=2,连接BN,若BN平分/DBC,求CN的长.

【答案】（1）见解析

⑵CN=2

【分析】（1）证明。E〃8C,再证NQM产二N2,得DB〃EC,则四边形8CEO是平行四边形,

即可得出结论；

（2）由（1）得：BC=DE=2,EC//DB,再由平行线的性质得NCM?=NO6N,然后证

/CNB=/CBN,则可由CN二BC求解.

（1）

证明：VZA=ZF,

：.DE//BC,

VZ1=Z2,ZI=ZDMF,

:,乙DMF=42,

DB〃EC,

・♦・四边形BCED是平行四边形，

(2)

解：,:BN平分/DBC,

：・/DBN=/CBN,

由(1)得：BC=DE=2,EC//DBt

，乙CNB=Z1DBN,

:・/CNB=/CBN,

：.CN=BC=2.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等

知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形3CED为平行四边形是解题的关键.

3.如图，在YABCO中，点七是CD边的中点，连接AE并延长交8c的延长线于点R连接废，

BEJ.AF.

⑴求证：△QE9XFCE•、

⑵求证：AE平分/ZM8；

(3)若NZM3=60°,八4=4,求YA8CZ)的面积.

【答案】(1)见解析；

⑵见解析；

(3)473

【分析】(1)根据平行四边形的性质，可得NO=/比不，根据对顶角相等，NDEA=NCEF，

再根据点£是C。边的中点，即可求证；

(2)通过证明AAB尸为等腰三角形，即可求证；

(3)由题意可得，YA8CD的面积等于Z\4防的面积，利用含30。角直角三角形的性质，即可

求解.

【详解】(1)证明：在YA8CO中，AD//BC,

：.ND=NECF,

•・•点E是边的中点，

:・DE=CE,

又丁/DEA=4CEF,

:.△ADE^AFCE(ASA)；

(2)证明：由(1)可得AADEgAFCE,

7

：.AE=EFf即BE为△AW的中线，/F=NDAE,

又「BEJ.AFt

・・・AAB/为等腰三角形，

:・AB=BF,ZF=ZBAE

:・ZDAE=NBAE,即AE平分/£)A8；

(3)解：由(2)可得AE平分NDW；

XVZZMB=60°

ZE4B=30°,

,:BEJ.AF,

：.ZAEB=90°,

在RtAABE中，ZE4B=30°,A8=4,

BE=-AB=2

2f

:.AEHAB2-BE?=26，

AF=2AE=4>/3,

由(1)可得AAOE四△FCE,贝lJS“m.=Sg,

:・S13ABeD=S.ABF=；AFxBE=4g・

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性

质，含30。角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.

题型五利用矩形的性质求角度或线段长

例题：如图，矩形ABCO的对角线AC,8。相交于点O,过点。作OE_L8D,交4。于点E,

若48=20。，则/AOE的大小为.

【答案】50。或50度

【分析】根据矩形的性质，得至IJN08C=N(K8,利用二角形外角求出NA(小，利用垂直可求

出结果.

【详解】•・•四边形A8C。是矩形,

.•.OA=OB=OC=OD,

vZAC/?=20°,

.♦.NO8C=NOC8=20。，

二.ZAOI3=NOBC+NOCR=40°,

•;OE工BD,

\?BOE90?,

ZAOE=/BOE-ZAOB=90°-40°=50°,

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键.

变式训练

1.在矩形4次口中，作N3的平分线交直线AO于点E,则N3££＞是___________度.

【答案】45或135

【分析】根据题意分当的平分线交线段AD于点E和当的平分线交线段AQ外于点E,

然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解.

【详解】解：・・•四边形48CQ是矩形，

:.AD〃BC,NABC=900,

「防平分NA8C,

:.ZABE=ZCBE=45°f

由题意可分：

①当的平分线交线段A。于点E,如图所示：

②当24的平分线交线段AD外于点E,如图所示:

ADE

：./BED=NCBE=45。；

综上所述：N8ED=135。或45。；

故答案为45或135.

【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

2.如图，四边形/WC。是矩形，点石在线段的延长线上,连接随交于点F,/BEC=2ZAEB,

点G是断的中点，若OE=1,BF=IO,则AB的长为.

【答案】2瓜

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得8G=8=GC=38尸=5,然后根

据等边

对等角的性质可得NG8C=NGC4,再结合两直线平行，内错角相等可得NG5C=ZA£5,再

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NCGE=24EB,从而得到

/BEC=/CGE,再利用等角对等边的性质得到CE=CG,然后利用勾股定理列式计算即可得

解.

【详解】解：•••四边形A8C。是矩形，

/.ZBCF=90°,AB=CD,

・・・点G是M的中点,

BG=FG=GC=-BF=5

21

:./GBC=NGCB,

VAD//BCf

;"GBC=ZAEB,

ZCG£=NGBC+NGCB=2NGBC=2ZAEB,

•;/BEC=2ZAEB,

:2BEC=/CGE,

CE=CG=5,

在RlZXCDE中，DE=1,

CD=y]CE2-DE2=,25-1=276•

:.AB=CD=2R.

故答案为：2瓜.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的

应用，求出CE=CG=5是解题的关键.

3.如图，在平行四边形A8CD中，点E是边3。的中点，连接AE并延长，交。C的延长线于点

F.连接AC、BF.

（1）求证：A4B比△尸CE；

⑵当四边形AMC是矩形时，若ZAEC=110°,求/。的度数.

【答案】（1）见详解

（2）55°

【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB〃"，推出/4BE=/R28,再由ASA即可得出结

论；

（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可.

【详解】（1）证明：・・•四边形A8C。是平行四边形，

AB//DC,即钻〃OF,

:.ZABE=/FCB,

•・•点E是5c的中点,

:.BE=CE.

在和△产CK中，

NABE=NFCE

BE=CE,

NAEB=NFEC

:.AA8四△HE；

（2）解：•・•四边形A8FC是矩形，

:.AF=BC,AE=-AF,

2f2

:.AE=BE,

：.ZABE=ZBAEt

'：ZAEC=110°,

，NABE=NBAE=55。,

・・•四边形48CQ为平行四边形，

:.NO=/ABE=55°.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形

的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键.

4.如图，在矩形中，BZ）是对角线，BE、力厂分别平分/AA/）、NCDB,交边40、BC

于点E、F.

⑴若8E=2,Z/W£=3（T,求8。的长.

（2）求证：AE=CF.

【答案】（1）26

Q〕见解析

【分析】（1）由己知可求得AE的长及448。=60。，由勾股定理求得A8的长，再由含30度角

直角三角形的性质即可求得结果；

（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得△A8E会△CDF,从而问题解决.

【详解】（1）解：••・四边形A8CO是矩形，

/.ZA=90°,

:.AE=-BE=\-

2

•.•BE平分N/W。，

」.ZABD=2ZABE=60°,

「./ADB=90°-ZABD=30°,

BD=2AB;

由勾股定理得=JBE'_AE?二百,

.•.BQ=26；

(2)证明：•••四边形A8CO是矩形，

/.ZA=ZC=90°,AB=CDfAB//CDy

:.ZABD=ZCDI3,

•;BE、OF分别平分NA8D、NCDB,

;"ABE=L/ABD,NCDF=L/CDB,

22

ZABE=NCDF,

.1.△ABE^ACDF(SAS),

..AE=CF.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形

的性质等知识，灵活运用这些知识是关键.

题型六矩形的性质与判定综合问题

例题：如图，在“8C中，AB=ACfA。平分/8AC交8c于点。，分别过点小。作4笈〃4C、

DE//AB,AE与OE相交于点E,连接CE.

⑴求证：AE=BD；

⑵求证：四边形3t.是矩形.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据AE〃BC、。£〃入〃证明四边形4比比为平行四边形，即可得出答案；

（2）由等腰三角形的性质得出8O=CD,AD1BC,得出AE=CZ）,ZA0C=90。，先证出四边

形ADCE是平行四边形.再证明四边形ADCE是矩形即可.

【详解】（1）证明：VAE//BC.DE//AB,

・•・四边形A8DE是平行四边形，

；・AE=BD；

（2）证明：•・・AB=AC,AO平分16AC,

:.BD=CD,ADlBCt

'：AE=BD1

：.AE=CD,

丁AE//CD,

・・・四边形4X:E是平行四边形，

,:ADJ.BC,

：.ZADC=90°

・•・四边形八DCE是矩形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练

掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BO=CO,AD1BC.是解决问题的

关键.

变式训练

1.如图，将YA8CO的边A8延长到点E,使踮=4?,连接力£交边8c于点F.

⑴求证：△AFZ泾△CFE；

⑵若NA=gNErC,判断四边形8EC。的形状，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析

⑵矩形，见解析

【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出A8=CD,A8〃C£>,再由班=心得出BE=CO,

根据平行线的性质得出/8所=/8几/EBF=NDCF,根据全等三角形的判定和性质定理进

而可得出结论；

（2）根据平行四边形的性质可得蚀=8,AB//CD,ZA=NDC8,再由跖—49,可得砧=8,

进而可判定四边形8ECO是平行四边形，然后再证明8C=。后即可得到四边形8ECD是矩形.

【详解】（1）.••四边形A8CQ是平行四边形，

VAB=CDfAB//CD.

*.*BE=AB,

：.HE=CD.

•/AB//CD,

:・/BEF=/CDF,/EBF=NDCF,

在ABEF与/中，

NBEF=NCDF

BE=CD,

ZEBF=Z.DCF

"BEFaCDF（AS4）：

:.BF=CF,EF=DFf

在ABFD与£FE中,

BF=CF

<£BFD=NCFE

DF=EF

：・4BFD94CFE（SAS）；

（2）四边形8ECD是矩形，

理由：・・,四边形A8CD是平行四边形，

AB//CDfAB=CD,ZA=/DCB,

*：AB=BE,

：.CD=EBf

・・・四边形8ECQ是平行四边形，

：・BF=CF,EF=DF,

•/NA’NEFC,

2

:./BFD=2/DCF,

:・/DCF=ZFDC,

：.DF=CF,

:・DE=BC,

・♦•四边形〃E8是矩形.

【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是

掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分.

2.如图，在平行四边形A8CD中，点E,产分别在边8C,4。上，BE=DF,ZAEC=90°.

⑴求证：四边形AECr是矩形；

⑵连接M，若48=6,ZABC=60。,平分NABC,则平行四边形"CZ）的面积为.

【答案】（1）证明见解析

（2I27X/3

【分析】（1）根据已知条件先证明四边形AECF为平行四边形，再根据4£C=90、即可得证；

（2）由防平分NA8C,可求得=在RlAABE中，ZA/?C=60°,则NE4E=3O°,根据含

30度角的直角三角形的性质，求得砥，再求出AE,由己知破=OF进而即可求得A。即可得

到答案.

【详解】（1）证明：•・•四边形A8CO是平行四边形，

BC=AD,BC//AD,

又「BE=DFf

：.BC-BE=AD-DFf§PEC=AF,

VEC//AF,EC=AFf

••・四边形AEC尸为平行四边形，

又VZ4£C=90°,

・•・平行四边形4改不是矩形.

(2)CM平分NABC,

..ZABF=NFBC,

BC//AD,

:.ZAFB=/FBC,

：.ZAFB=ZABFt

：.AF=AB=6t

在RlAABE中，ZAEB=90°,Z4BE=60°,A8=6,

N8A£=30°

BE=-AB=3

2f

,,FD=BE=3,Af=JAB?—BE?=3>/3

AD=AF+FD=9t

S四边形A8CD=ADAE=27y/3

故答案为；278.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质,

先平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键.

题型七利用菱形的性质求角度或线段长

例题：如图，菱形ABC。中，已知ZAAO=20。，则NC的大小是.

【答案】140。或14()度

【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解..

【详解】解：:菱形A8C。中，ZABD=20°,

/.ZABC=2ZABD=40°f

：.ZC=180°-ZABC=140。；

故答案为：140。.

【点睛】本题考查菱形的性质.熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键.

变式训练

1.如图，在菱形ABCD中，8E_A4交对角线AC于点E,若NO=120。，跳：=I,则AC=

D

E

AB

【答案】3

【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出AE,利用等角对等边求出“，即可解决问题.

【详解】解：•.•四边形A8C。是菱形，ZD=120°,

・•.CD//AB,ZA8C=NO=I20。，

二.ZD/4B=180°-120o=60°,

・••^BAE=-ZDAB=30°,

2

•••/ECB=NBAE=30。,

,/BE工AB,

/.ZABE=90°,

/EBC=NECB=30。,

EB=EC=1,

在RlAABE中，vZ£4B=3O°,

•，.AE=2BE=2,

AC=AE+EC=2+1=3,

故答案为；3.

【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题

的关键是综合运用上述知识解决问题.

2.如图，在菱形48C。中，AC与8。相交于点。，A8的垂直平分线E尸交AC于点F,连接。F,

若44)=80°,则/。回0的度数为.

【答案】80。

【分析1根据菱形的性质，得到ND4C=40。，尸，再根据垂直平分线性质，得至IJA尸=8斤,

从而得至"A尸尸，最后利用三角形外角性质即可求出/。回。的度数.

【详解】解；连接所，

.・泗边形A8CQ是菱形，447)=80°,

：./DAC=4(rfAC1BD>OB=OD,

:,BF=DF,

•••E/垂直平分A8,

.\AF=M,

；.AF=DF,

：.^ADF=ADAC=4O°,

：.^DFO=ZDAC+ZADF=4()0+4(F=8(F,

故答案为：80。.

【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性

质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键.

3.如图，在菱形A8C3中，谡=12,ZBCD=60°,E是工。中点，BE交AC于点、F,连接/)尸，

贝IJ。尸的长为.

【答案】4c

【分析】连接4。，则△A3。为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出跖的长，由

NED*=30。，可得出£>尸=2厮，进而可求出。尸的长.

【详解】解：连接瓦)，则△A3。为等边三角形，如图所示.

•••E是A。中点，AB=12,

:.BE.LADfAE=OE=1AB=!X12=6,

22

BE=ylA^-AE2=x/122-62=6石.

又ZEDF=-x60°=30°,

2

:.DF=2EF,

/i

:.DF2=EF2+DE\即：。尸七叫+62,解得：DF=46

故答窠为：4&.

【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出亚）

为等边三角形是解题的关键.

4.如图，菱形A8CD的边长为2,N4BC=60。，对角线AC与8。交于点O,E为0B中点,F

为中点，连接，则EF的长为.

【答案】巫

2

【分析】取0。的中点“，连接“，根据菱形的性质可得

AB=AD=2,ZABD=30。,AC1BD,BO=DO,从而得到AO=^AB=1,BO=QAO=6=。。，进而得

到OE=在,O”=正，再由勾股定理，即可求解.

22

【详解】解：如图，取0。的中点〃，连接产”，

:四边形48CD是菱形，4MC=60。，

AB=AD=2,ZABD=30°,AC1BD,BO=DOt

：.AO=-AB=\^O=43AO=yf3=DOt

2

:点"是"）的中点，点”是A。的中点，

:.FH=LA（）=L,FH〃AO,

22

：.FHlBDt

•・•点E是8。的中点，点H是OD的中点，

•GG

..OnEr=—,n（）Hu=—,

22

EH=+,

：•EF=>JEH2+FH2=—,

2

故答案为：巫.

2

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质,

勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键.

5.如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE_L8C于点七，A/_LC。于点尸.

（1）求证：AE=AF-

⑵若"=10,CE=4,求菱形ABC。的面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵8（）

【分析】（1）根据菱形的性质，得A8=A£>,ZB=ZD;根据A£_L8C于点E,4/_LCD于点尸，

则△ABE主”\。尸，即可；

（2）根据菱形的性质，得AB=BC,根据A8=10,CE=4,勾股定理，求出AE,即可求出菱

形的面积.

【详解】（1）证明，如下：

,・•四边形A8CD是菱形，

：.AB=AD,/B=/D,

,.・从£：1。。于点£,A/：_LC。于点尸，

:.ZA仍=4㈤=90。，

•\^ABE=^ADFf

：.AE=AF.

（2）•・,四边形A8C3是菱形，

:.AB=BC,

VAB=10fCE=4f

:.BE=6,

•*-AE=JAB2-BE2=V102-62=8，

・••菱形A8CD的面积为：8CxAE=10x8=80.

【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知

识.

题型八菱形的性质与判定综合问题

例题：如图，在四边形A8CQ中，AD//BC,A8=3C,对角线AC、8。交于点。，班）平分NA8C,

过点。作力E_LBC,交8c的延长线于点E,连接OE.

⑴求证：四边形A8CQ是菱形；

（2）若。C=26，AC=4,求。七的长；

【答案】（1）见解析

（