2026人教版九年级数学上册 配方法 教案（2课时）

2026新教材人教版九年级上册数学25.2.1配方法教案(2课时)

第1课时直接开平方法

课题25.2.1第1课时直接开平方法授课人

1.理解解一元二次方程“降次”——转化的数学思想.

2.会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p或(mx+n)2=p的一元二次方

教学目标程.

3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习

惯，会用数学的思维思考现实.

教学重点熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意

教学难点

义解形如(x+m)2=n(nK))的方程.

授课类型新授课课时1

教学步骤师生活动设计意图

情境导入在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，引入实际

那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？问题，帮

【分析】设这个正方形舞台的边长是X米.由题意列方程，助学生回

得x2=144.忆平方根

【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？的定义，

【解】设这个正方形舞台的边长为X米.并由此引

由题意，得(=144.出本节课

根据平方根的意义，得乂=±71在=±12,的学习探

究.

・,・原方程的解是xi=12,X2=-12.

•・,边长不能为负数，.・・x=12.

即这个正方形舞台的边长是12米.

通过上面这道题，我相信很多同学已经知道怎样解一元二次

方程了，这节课我们一起来系统探究下怎样解一元二次方程.

探究新知用直接开平方法解一元二次方程通过题目

1.一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷引发学生

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完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正思考，检

方体盒子的棱长吗？验学生列

师生活动：教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解：式与方程

分析：10个正方体盒子的表面积=1500dm2.若设其中一个正化简的能

方体盒子的棱长为xdm,则这个正方体盒子的表面积为6x2dnr,力.

可列方程10x6x2=1500,化简，得X2=25,开平方,得乂=±5,

原方程有两个解，但棱长为正数,所以x=》故正方体盒子的棱

长为5dm.

结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的

根的方法叫直接开平方法.

师生活动：教师指导，学生自主探究，然后讨论、交流，汇

总思想，解答问题.

3

请你用直接开平方法解下列方程：①X2=12；②X2-：=0；进一步加

强学生用

③2x2—8=0；④9x2—5=3.

直接开方

思考：一元二次方程2x?+1=()与1—2x2=。的解相同吗？为

法解方程

什么？你能总结出ax2+c=0型一元二次方程的求解方法吗？

的能力，

归纳：一般地，对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为

让学生直

x2=p的形式，再利用直接开平方法求解，

观感受方

其中，(1)当p>()时，方程有两个不等的实数根刈=一五，

程的解的

X2=Vp；三种情况

(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根X|=X2=O；并进行总

(3)当pVO时，因为对任意实数x,都有x2K),所以方程结.

无实数根.

2.思考：(1)类比方程x2=25的求解方法，你能解方程(X+3)2

=5吗？试一试.

由方程(x+3)2=5得，x+3=±V5.

Xi——3+々5X2=-3—y/s.

(2)对于(x+n)2=p型的方程.你能说说它的基本解法吗？

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师生活动：教师指导，学生通过独立思考，小组合作交流。

归纳：运用直接开平方法可以解形如x2=p或(x+n)2=p的一

元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，

转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想

典例精析【例】运用开平方法解下列方程：通过例

(1)4X2-3=0；(2)(X+2)2-9=0.题，加强

分析：(I)先把方程化为x2=a(aN0)的形式；(2)原方程可变形学生对直

为(X+2)2=9,则x+2是9的平方根，从而可以运用开平方法求接开平方

解.法解一元

【解】(1)移项，并将二次项系数化为1,得二次方程

乂2—3的能力，

xT

发展学生

由此可得x=4，

计算能

即X1=¥，X2=­y.

力.

(2)移项,得(X+2)2=9.

由此可得x+2=±3.

.,.x+2=3或x+2=—3.

即xi=1,X2=-5.

【方法总结】用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程

化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只

有当p为非负数时，方程才有解.当p>()时，要注意开平方的结果

取“正、负'’两种情况.

【针对训练】解方程：X2+4X+4=1

分析：很清楚，x?+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就

转化为(x+2)2=1.

【解】由已知，得：(x+2)2=1

直接开平方，得：x+2=±l

即x+2=l,x+2=-l

所以,方程的两根xi=・LX2=-3.

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师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论,教师巡堂并

及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答.

随堂检测1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其通过设置

中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()随堂检

A.x—6=-4B.x—6=4测，及时

C.x+6=4D.x+6=—4获知学生

答案：D.对所学知

2.下列解方程的过程中，正确的是()识的掌握

A.x2=-2,解方程，得*=±或情况.

B.(x—2)2=4,解方程，得x—2=2,x=4

C.4(x—1)2=9,解方程，得4(x—1)=±3,xi=i,X2=：

44

D.(2X+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,xi=l,x2=~4

答案：D.

3.填空：

(1)方程X2=0.25的根是___________________.

(2)方程2x2=18的根是________________.

(3)方程(2x—1)2=9的根是_______________.

答案:(1)xi=0.5,x2=-0.5；

(2)xi=3,X2=-3；

(3)xi=2,X2=-1.

4.解下列方程：

(1)X2-81=0；(2)2x2=50；

(3)(X+1)2=4.

答案：(1)X[=9,X2=-9.

(2)xi=5,X2=—5.

(3)xi=1,X2=-3.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点

评、讲解.

课堂小结【课堂小结】巩固所学

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引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方知识，加

法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？深对一元

1.方法层面：学习了直接开平方法，体会“降次”思想，将一二次方程

元一次方程转化为一元一次方程求解，感受化归与转化的数学方相关概念

法。的理解.

2.知识内容层面：掌握直接开平方法的适用条件与步骤，理解

形如x2=p,(x+m)2=p(p>0)的方程解法，归纳可直接开平方的

一元二次方程类型。

3.概念联系与区别：明确直接开平方法是解一元二次方程的基

础方法，适用于缺少一次项或可整理为“完全平方式等于常数”

的方程；强调“pXT是开平方有实数解的前提，与后续配方法、

公式法的逻辑关联。

【知识网络】

____

1-----翊

'11^思路一降次

教学说明：教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一

元二次方程的降次思想方法.

作业布置《课时训练》p3—p4练习题

板书设计直接开平方法

1.直接开平方法的概念

降次思想：一次方程一一次方程

2解.题步骤

形如x2=p,(x+m)2=p(p>0)的方程解法.

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教学反思

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第2课时配方法

课题25.2.1第2课时配方法授课人

1.(2022新课标)理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方程.

2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.

教学目标3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.

4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光

观察世界.

教学重点掌握配方法解一元二次方程.

教学难点把一元二次方程转化为形如(x—a)2=b的过程.

授课类型新授课课时1

教学步骤师生活动设计意图

情境导入

李老师让学生解一元二次方程X2-6X-5=0，同学们都束手学生带着

问题去学

无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把

习，引入

方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这

完全平方

个方程的解吗？从中你能得到什么启示？

公式，并

由比引出

本节课的

学习探

究.

探究新知用配方法解一元二次方程通过问题

大家都知道，任何一个能变形为x2=p或(x+n)2=p形式的一引发学生

元二次方程，都可以用直接开平方法解.思考，引

我们已经会解(x+3>=5.因为它的左边是含有x的完全平方导学生探

式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程究.

X2+6X+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？

师生活动：学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，

引出配方法解一元二次方程.

(1)探究解一元二次方程：X2+6X+4=0.

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（2）什么叫配方法？用配方法解二次项系数为1的一元二次方

程的步骤是什么？

教师指导学生观察方程X2+6X+4=0与（X+3>=5的区别和

联系，找两名学生说出自己的想法.

方程（X+3）2=5可转换为x2+6x+4=0,根据两个方程之间

的联系讨论怎样把方程X2+6X+4=0转化为方程（X+3）2=5,并

解方程.

师生活动：学生思考、讨论，发表意见，进行整理，师生合通过问题

作写出解答过程：解决，呈

解：移项，得x?+6x=-4,（移项要变号）现配方法

配方，得X?—6x+9=—4+9,（思考：为什么方程两边加9,的过程，

添加：一次项系数一半的平方）总结配方

整理，得（X+3）2=5,（方程左边写成完全平方形式）法及其解

开方，得x+3=W5,（利用直接开平方法解方程）题步骤.

所以xi=，^-3,X2=一小一3.

归纳：用配方法解方程的一般步骤：

（1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.

（2）要在方程两边各加上一次项系数一半的平方.（注：一

次项系数是带符号的）

（3）方程变形为（x+m）2=n的形式.

（4）如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二

次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解.

总结：通过配方成完全平方形式来解一元二次方程的方法，

叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一

元一次方程来解.

练习：①x?+2x+1=（x+1E

②x2—4x+4=（x-2）2；

③x?+」2x_+36=（X+6）2；

@x2+1Ox+25_=（x+_5_）2.

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观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？

要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常

数项该如何变化？

常数项是一次项系数一半的平方.

思考：观察方程2x2+1=3x,与上面我们所解的方程有什么

不同？怎样求解？你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元

二次方程的一般步骤吗？

化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数.

师生活动：先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有

什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解

的方程类型.

总结：配方法解一兀二次方程的步骤：移项，二次项系数化

为1,配方，开方，降次求解.

练习：一元二次方程2x2—4x+1=0可配方成（X—1）2=—

L后求解.

典例精析【例1】(教材p7例2)解下列方程：通过例

⑴f-8x+l=0；(2)2X2+1=3X；(3)3/-6工+4=0,题，加强

【解】(1)移项得V-8x=-l,学生对利

配方,得d-8工+16=-1+16,用配方法

即(X-4)2=15,解一元二

由此可得x=4±A，次方程的

能力，发

.•・汨=4+厉,X2=4-x/15.

展学生计

(2)移项，得2/-3x=-1,

算能力.

二次项系数亿为1,得x2-?]=一(，

配方，得f—x++即2])2=白，

216216416

由此可得x-卜3；I或厂33=1:，

4444

***X|=1或X2=g.

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(3)移项，得3f-6x=-4,

二次项系数亿为1,得f・2x=.士，

3

配方，得/办+1=・±+1,即(x-1)

33

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-l)2都

是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.

【方法总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化

为(x+n)2=p的形式，那么就有(1)p>0时，方程由两个不等

的实数根；(2)p=0时，方程由两个相等的实数根；(3)p<0

时，方程无实数根.

【针对训练】

7

1.解方程：(l)x2—x—w=0;(2)3x?+6x—4=0；

7

【解】⑴移项，得X?—X=；.

配方，得x2—x+9汨，即(X—7=2.

.*.X—^=±^2，X|=|+A/2，X2=1—V2.

(2)移项，得3x?+6x=4.

4

系数化为1，得x?+2x与

4

配方，得2x+l=g+l，

即(x+l)2=9.x+1»

JJ

【例2】用配方法求最值.

(1)2x2—4x+5的最小值；；(2)—3x?+6x—7的最大值.

【解】(1)原式=2(x—1)2+3.

当x=l时，有最小值3.

(2)原式=—3(x—1)2—4.

当x=l时，有最大值一4.

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【方法总结】ax2+bx+c（a,b,c均为常数）型代数式求最值

或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母

部分配成a（x+m）2+n的形式来解决.

师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并

及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答.

随堂检测1.方程X2—4=0的解是()通过设置

A.x=2B.x=-2C.x=±2D.x=±4随堂检

答案：C.测，及时

2.方程2x2—3m—x+m2+2=0有一根为x=0,则m的值获知学生

为()对所学知

A.1B.1C.1或2D.1或一2识的掌握

答案：C.情况.

3.解方程：(x+l)(x-l)+2(x+3)=8.

解：方程化简，得X2+2X+5=8.

移项，得X?-2x=3.

配方，得X?—2x+1=3+1,

即(x+1>=4.

开平方，得x+l=±2.

解得X|=1,X2=-3.

4.用配方法解X2-4X=1.

解：配方，得x2—4x+(—2)2=1+(—2)2,

即(X—2)2=5.

开平方，得x—2=土匾.

解得xi=2+b，X2=2—A/5.

5.解方程：3X2+8X-3=0.

解：两边同除以3,移项得x2+1=l.