2026年高考数学复习 难题练习-函数应用（含答案）

2026年高考数学复习难题速递之函数应用

一.选择题(共8小题)

1.已知函数/(4)的定义域为R，满足/(x+l)=2fCv),且当房(0,1]时,，/(x)=x(x-1).若关于

.1的方程[/(切2+人一叨(；。一聂=0在区间[-],3]上共有6个实根，则。的取值范围是()

A.(-1,-1)B.[-1,-1)C.D.[-1，

2.已知定义在R上的函数/(%)满足/(3+x)=2-/(1-x),函数y=，。92(3+2)与/CO图象的交

点为P-匕，…，乙】(血€").设。为坐标原点，OPl+OP2+-+OPm=(x0,%)，则()

A.xo+2yo=OB.xo-2yo=QC.xo+3jo=0D.xo・3yo=O

(-x2+2x+3,x<3

3.已知函数/(%)=3%_6，若存在三个不相等的实数xi，X2,冷，使得/(xi)=f(x)=

，2

v—x+r1rx>3

/(为)，则/(XI+X2+X3)的取值范围是()

oo4A

A.(5，3)B.(5，+8)C.(q，3)D.(-pf+co)

乙乙oo

4.已知函数/(%)=(x方程/(X)=a的两个不相等的根为xi，X2(xi<X2).若?<x1+x2

“Z3

则。的取值范围是()

A.[|/n2,|/n3]B.[|zn3,竽/2]

C.(0,|zn2]D.(0,1/n3]

5.已知函数/(x)=x+《+2,且函数g(x)=a-[/.(x)]2恰有两个零点，则整数〃的取值的种数为()

A.9B.12C.13D.15

_工214x—qxV3

,'-'若函数g(x)=P(x)-5af(x)+6次存在3个不同的零点,

233,x>3.

则实数a的取值范围是()

111111

A.(0»)B・(W，2)C・(2，+8)D.[可,,2)

7.已知函数f(x)=H"一D'"W0'若仆)2o|x|,则实数。的取值范围为()

.ex,x>0.

A.(-e]B・(・8,4]C.[-4,1]D.[-4,e]

第1页

8.已知函数/'(%)=1"(Ql)x+2a2,x>0若关于X的方程/(x)・(a.])x=0至少有两个不

(-1-|1+引+2。，x<0

同的实数解，则实数。的取值范围为()

22

A.6，3)U(3,+oo)B.怎，2)U(2,+oo)

22

C.[,2，+8)D.[/1]U(32+8)

二.多选题(共4小题)

cos—，—2eWx£0,

(多选)9.己知函数/■(%)=0关于x的方程/(x)=%有且仅有4个不同的实数解

\lnjc-1|»x>0.

.VI，X2»X3，X4(XIVx2Vx3Vx4)，则()

A.0<k<\

B.x\+x2=-2e

2

C.0〈Xi+x2+x3+x4<(e-l)

D.0<无I%2%3%4V%/

(a-2)x4-3a,x<0,aeR

(多选)10.已知函数/•(%)=i,则下列说法正确的有()

(>，x>0

A.存在m使得/(x)为偶或数

B.若J(x)是/<上的减函数，则。的取值范围是E，2)

«3

C.若/(x)存在最大值，则a的取值范围是[2,+8)

D.若/(x)存在最小值，则。的取值范围是(-8,0)

(多选)11.已知函数/•(乃=1"+"+1'，则()

[ln(x—1)+%,%>1

A./(/(0»=2

B.f(x)有两个不同的零点

C.函数/(4)为增函数

D.若“>〃，且有/(〃?)=y(n)成立，则〃?=e"+l

(多选)12.已知函数/(X)=sinr-/〃x和g(x)=加(2-x)+sin(x-2)的零点分别为讣t2，则下列

结论正确的有()

A.X]<X2

第2页

B.X\+X2=2

C.当(0,2)时，/(x)>g(x)

D.函数y=/(x)+g(x)的图象关于点(1,0)对称

三.填空题(共4小题)

(|%+3|,#160;x<0

13.已知函数/(x)=卜§2#160>0,设8(')=2"+匕且函数y=/(x)-g(x)的图象经过

四个象限，则实数k的取值范围是.

14.若函数/(%)=2Vx-2a+1+|x-4a+2|-1恰有一个零点，则实数a的取值范围为.

15.已知函数/'(%)=仅+"'x<0若方程/a)=〃有4个不同的根XI，X2,X3,X4，且xiVx2Vx3Vx4,

J/ogR，x>0

4

则2-x4(xl+42)的取值范围是♦

X3X4

16.已知函数/•(%)=1*92加'OCV'若方程/(X)=。有四个不等实数解，则〃的取值范围

U2-8%+13,x>2,

是.

四.解答题(共4小题)

17.研究发现，注射某药物后，该药物在血液内的浓度/(f)(亳克/升)与时间/(小时)满足关系式

640<t<1

罚一’~".现对小白鼠注射该种药物，假设多次注射该种药物后，小白鼠血液中药物

{64-2f3<t<7

的浓度等于每次注射后的浓度之和.

(1)注射•次后，求第6个小时药物在血液中的浓度：

(2)若第一次注射后，3小时后再注射一次，设第二次注射x小时后药物在血液内的浓度为g(x).

①求g(x)的表达式；

②当药物在血液内的浓度不低于56亳克/升时，则治疗效果显著，求第二次注射后药物治疗效果显著持

续的时间.

pXA.p-XpX—p-X

18.已知/'(%)=——'9(%)=—2•

(I)证明：/(x)-g2(x)为定值；

(2)函数G(x)=mf(2x)-g(x)+机在(/〃2,+~)上只有一个零点，求加的取值范羽：

<3)证明：F(x)—f(x)+g(x)+ln[f(x)+g(x)]-2有唯一的正零点xo,并比较xo和m后^的大小，

说明埋由.

第3页

19.定义：给定函数y=/(x),若存在实数加、〃，且/(1-x)、f(x+1)>f(x)有意义时，/(I-x)+mf

(x+1)=nfM在定义域内恒成立，则称函数/(x)具有'“产〃”性质.

(1)证明：函数)，=2斤不具有“〃产〃”性质.

(2)判断函数j，=-3x+5是否具有“〃产〃”性质.若是，写出〃?、〃的值；若不是，请说明理由.

(4x2—4x,xe(0,i)

(3)设定义域为R的奇函数/G)具有“1*0”性质，且当在(()，1］时，/■(%)={12,

\2x—2,xE［区，1］

若函数gCv)=/(x)-tx(/>0),试讨论g(x)在xq-4,4］上的零点个数.

20.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点力、8是固

定的，点C在右边河岸上把右边河岸近似地看成直线/,如图2所示，经测量直线48与直线/平行，/、

B两点距离及点4、8到直线/的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方

案，M4、MB、MC三条线在点M处相交."C_L/,设乙014=6.

<1)若。=专时，求MC的长；

(2)①若6变化时，求桥面长(AM+V4+MC的值)的最小值；

②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能.给出你的设计方案，并说明理由.

图I

第4页

2026年高考数学复习难题速递之函数应用

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

题号12345678

答案ABAADDAD

二.多选题(共4小题)

题号9101112

答案BCDBCABDBCD

选择题(共8小题)

1.已知函数/(%)的定义域为R,满足/Cr+1)=2/'(.r),「I当xE(0,1］时，/(x)=x(x-1).若关于

x的方程［f(x)］2+(1-a)/(x)-1n=0在区间［-1,3］I;共仃6个实根，则a的取值范惘是()

A.(-1/-B.［-1/-j)C.(一4，一今)D.［一去,一%

【号点】函数的零点与方程根的关系.

【C题】函数思想；方程思想：转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运豫求解.

【答案】4

【分析】求出函数阳-1,3］上的解析式，并作出图象，由［/(切2+(»。)/(幻一$=0,可得/(x)

=。或/(x)=-|,结介图象求解即可.

【解答】解：当在(-1,0］Hf,x+ie(o,1］,

所以/(x)=S(x+l)=上CxH-1)；

当在(1,2］时，x-1G(0,1］,

Ill/(.r+l)=y(x),

可得/(x)=2/(x-1),

所以/(x)=2(x-1)(,r-2)；

当xE(2,3］时，x-16(1,2］,

所以/(x)=4(x-2)(x-3)；

第5页

作出函数歹=/(x)在［-1,3］上的图象，如图所示:

可得/(《〉=4或/(X)=一/

由题意可得/«)=。和/(x)=-/共有6个解，

由图象可得/(X)=-4有4个解，

所以/(X)=。有2个解，

由图象可得(-1>—；).

故选：A.

【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题.

2.已知定义在R上的函数/«)满足/(3+x)=2-/(1-x),函数y=Zog2(3+2)与/G)图象的交

点为P「「2,…，Pm(m€N").设0为坐标原点，OPl+OP2+-+OPm=(x0,%),则()

A.xo+2yo=0B.XQ-2yo=0C.xo+3yo=0D.xo_3yo=0

【考点】函数与方程的综合运用；奇偶函数图象的对称性.

【专题】函数思想；定义法：函数的性质及应用：逻辑思维.

【答案】B

-Z-T1+

【分析】由函数/(X)与歹=/。。2(丫1,+2)的对称性，根据对称性得到交点的坐标关系，进而求出。P

办2+~+/m的坐标，即可求解.

【解答】解：己知/(3+x)=2-/(1-X),那么/(3+x)4/(17)=2,

第6页

设点（x,y）是y=/（x）图象上的任意一点，那么y=/（x）,

点（x,y）关于点（2,1）的对称点为（4・x,2・y）,由于/（3+x）+f（\-x）=2,

令工=1-x,那么/（4・x）4/（x）=2,即/（4・x）=2-f（x）=2-y,

因此点（4-x,2-y）也在y=/（x）的图象上，

因此y=/（x）的图象也关于点（2,1）对称，

令9（X）=Zo0z（与+2）,那么0（%）—2。。2（^^+2）-log式替系），那么0（4—-/。。式笠*），

那么g（x）+9（4-x）=，。。2（生系）+，。02（美*）=•等%）=log24=2,

因此y=Zog2（3+2）也关于点（2,1）对称，

人O

若两函数图象的交点为尸1（XI,J1）,…，Pm若〃”加）,

4

由于y=[0。2（=^+2）的定义域为（-8,1）U（3,+8）,

因此两函数的交点个数为偶数，且两两关十点（2,1）对称，

因为OP】+0P2+…+0Pm=（沏,y（））,设Pi5,yt）与Pm^\.i（xm+iu，ym+i-t）关于点（2,1）对称,

那么组包±1二

=1»--------------=2,即yr^ym+1-z=2»i.4,

2

所以&=yx4=2m,y0=yx2=m.

故选:B.

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题.

（-炉+2%+3,x<3

3.已知函数/•（%）=3%.6，若存在三个不相等的实数xi，X2,心，使得/'（.□）=/（X2）=

胃，X>3

f（X3）»则/'（X1+X2+X3）的取值范围是（）

A.3）B.+oo）C.（1,3）D.4-co）

乙乙口D

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】A

【分析】先画出分段函数的图像，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出

X|+X2=2,结合图像可得到X3的范围进而得解.

一%?+2X+3,x<3

【解答】解:fW=3x-6的图像如下图所示.

，

x+1x>3

第7页

-3X-1

当xW3时，/（x）=-，十2%十3=-（x-1）2+4的对称轴是直线x=1,且最大值为/（I）=4,

Qy-A99Q

当x>3时，/（乃二箱=3为增函数，且此时/（为二3-总E弓，3）,

根据题意知存在三个不相等的实数XI，X2,X3,使得/（XI）=/（X2）=/«3），

设XlVx2Vx3，那么X3W（3,4-°°）,X1+X2=2X1=2,那么（X1+X2+X3）G（5,+°°）»

又因为"5）=3-击=*因此/（X1+X2+X3）的取值范围是房,3）.

故诜：A.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.

510

4.已知函数/'（%）=（x-i）Znx,方程/（x）=a的两个不相等的根为xi，xi（xi<X2）.若:<xx+x2<—,

xL3

则。的取值范围是（）

A.以仇2,|/H3]B.[|zn3,学历2]

C.（0,1/n2]D.（0,1/n3]

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用：导数的综合应用；逻辑思维；运

算求解.

【答案】A

【分析】利用函数f（）=（一1）6的对称性f。=〃1）知，方程/（x）=。的两个不等根1Lt

151011

=1,从而得到勺+%2=/+=，结合条件7；工无1+%2WT,可解得XI的取值范围为K，n],由于/

（X）在区间（0,1）上单调递减，将.□的端点值代入函数即可得到。的取值范围.

【解答】解：函数/'（>）=0-!）伍X的定义域为（。，+8），

人

且满足/■（9）=（：一%）①9=一（％一<）（一m%）=（x-i）lnx=f（x）,

人人人人人

故XI是方程/（X）=。的根，

第8页

则「也是根，故

11

由

得

全»+;-

勺4

,

5

因为<<3

-。+

2--

设g(£)=£+：(ovt<i)，

由对勾函数的性质可知g(/)在(0,1)上单调递减，

解方程t+J=£得t

解t+"多得"热

E111

因此三<%!<-♦

J乙

又/G)=欣(1++)+~r~f

所以，(1)=0,

当OVxVl时，/(x)<0,

故在区间(0,1)上，/(》)单调递减，

呜)=(1-2)碍=(一1)(_伍2)=>2nZ,

f(j)=(1-3)仇：=(一当)(一"3)=jZn3,

又/(x)在％€由刍上单调递减，

所以a=f(%i)W[。62,5Zn3].

故选：A.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想，考查了对句函数的性质及导数的综合运用，属于中档

题.

5.已知函数/(x)=x+q+2,且函数g(x)=a-[/.(x)F恰有两个零点，贝IJ整数。的取值的种数为()

A.9B.12C.13D.15

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想：转化思想：综合法：函数的性质及应用：逻辑思维：运算求解.

第9页

【答案】D

【分析】由基本不等式确定函数/(、)的值域，再利用换元法及二次函数的性质求解即可.

【解答】解：因为/(x)=x+<+2,其定义域为{x|x#O},

当x>0时，根据均值不等式％+!工2，不=2(当且仅当x=1,即工=1时取等号)，

所以/'(%)=%+3+222+2=4；

当xVO时，-x>0,

则(-x)+(-i)>2/-").(一6=2,

即％+—>2»

X

所以/"(%)=x+i+2<-2+2=0,

因为g(x)=〃・|/(x)心恰有两个零点.

即方程〃=[/«)?恰有两个不同的解，

令/=/(x),则方程变为a=P,

又因为忘0或分4,

当fWO时，a=»20,当,24时，〃=3216,

要使。=及恰有两个不同的解，

则0VY16,

又因为。为整数，

所以a共有15种取值(即。=1,2,3,…，15).

故选：D.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想，考查了二次函数的性质，属于中档题.

丫2IAYQYV2

-若函数g(x)=/(x)-5af(x)+6次存在3个不同的零点,

2X~6,x>3.

则实数。的取值范闱是()

A.(0,B.(④，4)C.(4,+8)D.g,/)

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】D

第10页

【分析】先在平面直角坐标系中画出函数/(x)的大致图象，再令/=/(》)，由--5<〃+6/=()解得/=

2a或z=3”,即«x)=2a与Jlx)=3a.要使g(x)存在3个不同的零点，结合图象可知须满足也：]：〈L

即可得解.

【解答】解：当xW3时，/(x)=-f+4x-3在区间[2,3]上单调递减，在区间(-8,2)上单调递增,

且/(3)=0,/(2)=1,当*>3时，

/(%)=2'-3在区间(3,+oo)上单调递增，其图象如图所示.

/I

令f=/(x),那么户-5。什6。2=0,解得h=2a,12=3。.

根据g(x)=/(x)-Sqf(x)+6〃2存在3个不同的零点,

那么可得&2a<1»解得aE[^,

(3a>14).

故选：D.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.

7已知函数若/⑺泊-则实数。的取值范围为<>

A.(-8,e]B.(-8,4]C.[-4,1]D.[-4,e]

【考点】分段函数的应用.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意可得N=4|x|在/(X)的下方或相切，从而求出切线的斜率，进而可求解.

【解答】解：因为/。)=[("一1)2'X-0,又/(x)2a|x|,

\ex,x>0.

所以7=仇丫|在/(X)的下方或相切，

又当x>0时，/(x)=",设过原点的切线与曲线切于点(八/),

则切线方程为]，-4=/(X-。，又其过原点，

第11页

所以--=/(-/),所以，=1,

所以过原点的切线斜率为e,切线为y=ex；

当x〈0时，/(x)=(x-1)<设过原点的切线为y=h,

联立?一了1、2，可得X2-(叶2)x+l=0,

(y=(x-iy

所以A—(叶2)2-4=0,解得k=-4,

又|-4|>e,

所以aWe.

故选：A.

【点评】本题考查分段函数的综合应用，曲线的切线问题，属中档题.

8.已知函数/(%)=1"(Q1)T+2a2,若关于X的方程/(x)-(a-I)x=0至少有两个不

(-1-|1+H+2Q,x<0

同的实数解，则实数。的取值范围为()

22

A.守3)U(3,+oo)B.摩，2)U(2,+oo)

22

C.［可，+8)D.［可，1］U(3,+8)

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法：函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】D

工2—mxtx

,将问题转化为g(x)(x-2)至少有两个不

(l-|l+x|,x<0

同的实数解，结合图象求出〃?的范围即可得4的取值范围.

【解答】解：令泄=。・I，

，-Tnx+2m,x>0

则/(乃=

.1—|1+x|+2m,x<0

x2-mx,x>0

令9(%)=

,1—11+x\rx<0

关于x的方程/(x)-(a-I)x=0,即为/(x)-〃?x=0至少有两个不同的实数解,

等价于g(x)=m(x-2)至少有两个不同的实数解，

即函数g(x)的图象与直线)，=加(x・2)至少有两个交点，

第12页

作出函数g(x)的图象，如图所示:

直线(X-2)过定点力(2,0),

故可以寻找出临界状态下虚线所示，

联立厂呼工-2),

iy=—mx

ittx2-mx=m(x-2),

即x2-2mx+2m=O,

令△=4m2-8w=0,解得m=2,

因为8(-1,1),

故以B=~1»

结合图象知，

实数〃?的取值范围为[一/0]U(2,+8),

2

所以a=/〃+lW[1，1]U(3,+g).

故选：D.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题.

二.多选题(共4小题)

cos—,—2e<x<0,一

(多选)9.已知函数/(%)=e关于x的方程/a)=k有且仅有4个不同的实数解

\lnx-1|,x>0.

XI，X2»X3,X4(X1<X2<X3<X4)»则()

A.0<k<\

B.x\+x2=-2e

2

C.0<xr+x2+x34-x4<(e-l)

3

D.0W/冷与4V4e’

【考点】函数的零点与方程根H勺关系.

【专题】函数思想：定义法；函数的性质及应用：逻辑思维.

第13页

【答案】BCD

【分析一】作出函数/(x)的图象，根据图象及题意可判断4；利用函数/(工)在［-2e,0］上的对称性，

可判断8;根据|/〃X3-1I=|/〃X4-11可求得X3X4=/,则+%4=X3+，根据X3的范围及函数y=%3+j

x3x3

22

的单调性可求出刈+戈4的范围，可判断G根据xi+x2=-2e,X1x2=-(X1+e)+e,根据xi的范围即

可求出XIX2的范围，可判断。.

G

【解答】解：当-2cWxW0时，YI-2/r，0］，

令/(%)=COS等=0,解得x=-竽或为=-

令巴二一兀，解得x=-e,即x=-e是/(x)在［-2e,0］上图象的对称轴，

e

当x>0时,令f(x)=\lnx-1|=0,解得x=e,

令f(x)=|M.r-1|=1,解得x=1或x=e2,

作出/(x)的图象，如图所不：

由于方程/«)=上有且仅有4个不同的实数解，

即7=太与/(,丫)图象有且仅有4个交点，

根据图可知，0VZW1,因此选项4错误；

当-2eWxW0时，/(x)=cos上图象的对称轴为x=-e,

因此打；"2=-e,即x］+x2=-2e,因此选项B正确；

根据题意可知，|加3-l|=|/〃.w-l|=h

根据图可知X3E［1，e),打口⑶e2］,

因此lnx3,-1<0,lnx4~1>0,

因此|/〃X3・1|=|/〃X4・1|可化为1-阮丫3=加'4・1，BPlnX3+lnX4=2,

即/〃(XJX4)=2,因此％3%4=e2,即％4=幺，

x3

因此与+X4=X3+

x3

第14页

乂因为X3€[1，e),、=X3+丁在[1,e)上单调递减，因此％3+r€(2。，e2+1]>

x3x3

2

即为+x4£(2e,e4-1],

根据8可知，x\+x2=-2e,因此0<Xi+Q+%3+%4We?+1—2e=(e—1)2,因此选项。正确：

根据8可知，X|+工2=-2e,即K2=-2e-xi，

因此与％2=-2e-%!)=-Xj-2eX]=—(/+e)2+e2,

由图可知-与)，函数y=-(/+。/+。2在[一2e,—当)上单调递增，

所以=-Qi+e)2+e?E0>—^―)»

又％3%4=。2,所以0工工1%2%3*4因此选项。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.

(Q—2)x+3a,x<0/aER

(多选)10.已知函数f(x)=1,则下列说法正确的有()

|(力，x>0

A.存在小使得/(x)为偶戌数

B.若/(x)是R上的减函数，则。的取值范围是目，2)

C.若/(x)存在最大值，则，的取值范围是[2,+8)

D.若/(工)存在最小值，则〃的取值范围是(・8,0)

【考点】分段函数的应用.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】分析函数图像即可判断选项力；由函数单调性列关于。的不等式组即可求解判断选项&由/(x)

的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D.

(a-2)x+3a,x<0,aeR

【解答】解:因为/(%)=1

(.)3x>0

所以逐一分析各个选项如下：

对选项4当x>0时/(%)=(；尸，图象为指数函数部分图象，

当xWO时/(X)=(a-2)x+3a,xWO,aER,图象为一条射线，

所以/(x)图象不关于)，轴对称，故不存在。使得/(x)为偶函数，故力错误；

对选项8：因为/5)是A上的减函数，

第15页

a-2<01

所以in=>o<a<2,故6正确；

对选项C：当xAO时，/(x)=(1)xG(0,1).

若a-2>0即a>2时，/(x)在［0,+8)上单调递增，此时/(x)w(-8,3a］,

所以若/(.r)在R上存在最大值，则{:21=Q>2；

若a-2=0即fl=2,f(x)在［0,+8)上恒有f(x)=6,

则函数/(x)在R上有最大值为6,故。=2；

若a-2V0,/(x)在［0,+8；上单调递减，此时/(x)G［3a,+8),

则函数/(x)在R上无最大值，不符合.

所以/(x)存在最大值的条件是。22,即［2,+8),故C正确；

选项。：由C可知。>2时，/'(X)无最小值；

。=2时，f(A-)在R上值域为(0,1)U{6},无最小值；

a<2,要使/(x)在R上有最小值，则3aW0,即aWO；

所以/(x)存在最小值时，。的取值范围是(・8,0］,故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考杳分段函数的综合应用，属中档题.

(多选)11.已知函数，则()

l/n(x-1)+x,x>l

A./(/(0))=2

B.f(x)有两个不同的零点

C.函数/(x)为增函数

D.若加>〃，且有/(〃?)=/1〃)成立，则机=成+1

【考点】分段函数的应用；求函数的零点.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】求出函数值判断力：利用零点存在性定理确定零点个数判断从利用增函数的意义举例说明判

新G利用单调性推理判断Q.

e”+x+l,x<1

{ln(x-1)+%,%>1

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对于4/(0)=2,则/(/(0))=/(2)=2,4正确;

对于4,函数尸尸叶1在(-8,1］上单调递增，则/(X)在(-8,1］上单调递增，

而/'(-2)=也一1<0,/(-I)=1>0,则函数/(x)在(-8,］］上有唯一零点，

函数y=/〃(x-1),y=x在(1,+°°)上单调递增，则/(%)在(1,+8)上单调递增，

而/(3+1)=也一1<0,/(2)=2>0,则函数/(%)在(1,+8)上有唯一零点，

因此函数/«)有两个不同的零点，8正确；

对于C,由/(0)=2,/(2)=2,得函数/(x)不是单调函数，C错误；

对于。，由选项4知，/(x)在(-8,”，(］,+OO)上都单调递增，由m>n,且/(〃?)=/(〃)，

得〃WlVm,则/(/+1)=ln(e^+l-1)+e"+l=^+〃+1=/(〃)=/(w),

因此/〃=厘+1,。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考直分段函数的性质、零点存在性定理，属于中档题.

(多选)12.已知函数/(x)=sinx-//优和g(x)=ln(2-.r)+sin(x-2)的零点分别为川，处则下列

结论正确的有()

A.X\<X2

B.X\+X2=2

C.当尤(0,2)时，/(x)>g(x)

D.函数y=/(x)+g(x)的图象关于点(1,0)对称

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻

辑思维；运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用零点存在性定理，求得X16(1,7T)和X2C(2-1T.1),可判定小

由sinxi=/〃xi且加(2-X2)=sin(2-X2)»得到XI=2・X2,可判定8；

令/?(x)=/(x)-g(x),结合三角函数与对数函数的性质，求得力(X)>0,可判定G

令/(x)=f(x)+g(x),化简得到/(x)=-F(2-x),可判定Q.

【解答】解：由函数/(x)=sinv-Inx,

令/(x)=0,

即sin-v-bix=O,

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即s\nx=lnx,

因为sinxW[-l,1],

函数)，=/△为单调递增函数，

且/“1=0,bm>lne=\,

所以函数丁=52和的图象只有一个公共点,

对于从因为函数/G)=siar-Inx,可得其定义域为(0,

由/(占)=sin(-，吗=1-Z吟>0,f(IT)=sinn-bm=-//m<0,

可得fG),/m)v。，

所以/(X)在(3,7T)内存在零点Xl,

即％1G(j,7T),

函数g(x)=ln(2-x)+sin(x-2),可得其定义域为(-林2),

令f=2-x,可得力(/)=加什sin(-/)=lnt-sin/,t>0,

一，r7rnnTi

可得〃(一)=br--sin—=ln-----1<0,h(TT)=〃m-5亩71=加口>0,

2222

所以h(?)•九(江)<0,

所以/?(f)在G，7T)内存在零点/，

即「0E(今.7T).

即2-&e(£，w)»

可得％2£(2-兀，2—

所以X|>X2,所以彳错误；

对于6,因为x是/(x)=siiu・/“X的零点，

所以sinxi-/nxi=0,

第18页

即sinvi=lnx],

X2是g(x)=ln(2-x)+sin(x-2)的零点，

可得(2-X2)+sin(A-2-2)=0,

即/〃(2-X2)--sin(X2_2)=sin(2-X2)，

因为方程sinx=/〃x有且只有一个根，

所以XI=2・X2，即XI+X2=2,所以8正确：

对于C,令/?(x)=/(x)-g(x)=sinr-Inx-In(2-x)-sin(x-2)

=sinx+sin(2-x)-ln[x(2-x)],xE(0»2)>

因为(0,2),可得x-IE1・1,1),

所以sinx+sin(2-x)=sin[(x-1)+1]-sin[(x-1)-l]=2sin/cos(x-1)>0,

又由x(2-x)=-X2+2X=-(x-1)2+lG(0,1],

所以/心(2-x)]W0,

所以sinx+sin(2-x)-ln[x(2-x)]>0,

即/(x)-g(x)>0,

所以/(x)>g(x),所以C正确；

对于D,令F(x)=/'(x)+g(x)=sinv-Inx+ln(2-x)+sin(x-2),xG(0,2),

则F(2-x)=sin(2-x)-Az(2-x)・sirir,

则F(x)+尸(2-x)=0,

即尸(x)=-F(2-x),

即F(1+x)=-F(1-x),

所以产(x)关于点(1,0)对称，

即/(x)+g(x)关于点(1,0)对称，所以。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了三角函数、对数函数的性质，属丁

中档题.

三.填空题(共4小题)

(\x+3],#160;x<0

13.已知函数5#2#160lx/设g(“)=h+1，且函数》=/«)-g(x)的图象经过

四个象限，则实数4的取值范围是一(-竽，|)_.

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【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】(-至，J).

【分析】分心>0,xWO两种情况，结合函数性质分类讨论求解即可.

【解答】解：令h(x)=/(x)-g(x),

当x>0时，/i(x)='一Sx—2—kx—1=1—(5+k)x—3>

当5+左>0,即％>・5时,

因为歹=J,y=-(5+左)x-3均为单调递减函数，

所以函数/?(x)在区间(0,+8)上单调递减，

此时/?(x)GR,满足题意；

当5+A=0,即4=・5时，曲刈=］一3,

因为h(1)=l>0,力(1)=-2<0,结合反比例函数性质可知，

此时函数力G)图象经过第一、第四象限，满足题意；

当5+AV0,即々V-5时，

h(x)=(k+5)x-3=1二、(k+5)x-3,

x)x

由对勾函数性质可知，

函数A(x)在区间(0,11)上单调递减,在区间(11.+8)上单调递增，

卜(5+k)卜(5+k)

所以九(x)mE=h(11)=2J-(5+k)-3,

「(5+k)

要使函数力0)图象经过第•、第四象限，

则27-(5+/c)-3<0,

即.(5+〃)

解得上>一竽，

所以此时一至9V—5：

综上，当Q0时，k>~-

..(1—k)x+2，—3<x<0

当xW0时，h(x)=\x+3\-kx-1=,

l(-l-/c)x-4,x<-3

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当左>1时，因为函数