北京市平谷区2025-2026学年高二年级上册教学质量监控数学试题（解析版）

北京市平谷区2025-2026学年高二上学期

教学质量监控数学试题

一、选择题（本大题共1（）题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，K有二个选

项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1.直线/经过点尸（2,8）和0（4,—4）,则直线的斜率％=（）

,11

A—6B.—C.-D.—2

•62

【答案】A

【解析】因为直线/经过点尸（2,8）和0（4,-4）,

所以直线PQ的斜率为土^=-6.

4-2

故选：A.

2.抛物线/=8x的焦点坐标（）

A.（0,2）B,（2,0）

C.（4,0）D.（0,4）

【答案】B

【解析】由抛物线方程/=8x知焦点在x轴正半轴，

4

且P-4,所以焦点坐标为弓,0）即（2,0）,所以选D.

3.已知数列｛氏｝满足卬=1,%+]—4=〃，那么其前4项和S4等于（）

A.7B.10C.14D.15

【答案】C

【解析】由%+i一%=〃，得。〃+1=%+〃，

而q=1,则%=4+1=2,%=%+2=4,&=4+3=7,

所以=q+生+%+%=1+2+4+7=14.

故选：C.

4.若直线3x+4y+攵=0与圆f+y2—6x+5=0相切，则〃的值等于（）

A.1或-19B.10或-10c-1或-19D.-1

【答案】A

【解析】圆/+产―61+5=0转化为（X—3）2+V=4,则圆心坐标为（3,0）,半径/・=2,

若直线3x+4y+Z=0与圆相切，则圆心（3,0）到直线的距离仆\竽1=?=『=2,

解得〃=1或4=—19.

故选：A.

5.“a=1”是“直线工+即+1=0和（a+l）x+2y-2=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由直线工+町，+1=0和（〃+1）x+2y-2=0平行,

Q（a+1）2.

所以4'）=>。=-2或1,

-2a工2

所以a=1=>直线x+@+1=0和（Q+1）X+2J，-2=0平行,

但直线x+〃y+l=0和（4+1）工+2），-2=0平行4a=l,

所以。=1是直线x+⑷，+1=0和（。+l）x+2y-2=0平行的充分不必要条件,

故选：A.

6.双曲线力>。）的一条渐近线方程为y=则双曲线的离心率e=（）

a"b'2

A.—B.-C.—D.-

2422

【答案】C

【解析】由题意可知，?二］

a2

故选：C.

7.已知直线/：丘一y-k二0与圆C：/+/-1+2»-1=（）相交于力、〃两点，则

弦长最短时直线/方程为（）

1111

A.y=—x——B.y=——x+—

2222

C.y=2x-2D,y=-2x+2

【答案】B

【解析】圆C：Y+y2—x+2歹一1=0,配方得（x—_L）+（y+i/=2.

<2y4

圆心呜,T,半径r=3.

2

直线/：kx-y-k=0,整理为左（x-l）-歹=0,故直线/恒过点尸（1,0）.

经验证，点P在圆内，当直线/1C尸时，弦长最短.

此时直线/的方程为一；彳—.”+!=0,即'=一!x+3.

2222

故选：B.

8.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为"刍（chU）凭

（m6ng）”.若底面N8CO是边长为4的正方形，EF//AB,V4OE和V4Cr是等腰三角形,

71

ZAED=ZBFC=90°,且平面必C和平面4OE与平面49CQ所成角均为一，则多面

4

体45C。所所有棱长之和为（）

EF

AB

A.18+672B.18+8x/2

C.20+8&D.20+6五

【答案】D

【解析】取42BC的中点分别为〃,N,连接EM,MN,NF,如下图所示:

因为底面4BCQ是边长为4的正方形，V力DE和VBCF是等腰三角形，

ZAED=NBFC=9。。,

则4E=DE=FB=FC=4xcos巴=26,FN工BC,且EM=FN=^BC=2；

42

易那MNIBC,且MV=4,则N£MW即为平面必。与平面所成的角，

则ZFN/二工，同理NEA/N二二，

44

作尸。_LMN于点。，EPLMN于HP,

易知QN=MP=2cos^=V2,所以EF=PQ=4-V2-6=4-20,

因此多面体44cz所有棱长之和为4x4+4x2及+4-2及=20+66".

故选：D.

9.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，前〃项积为1,若首项为一生<%<（），则（）

A.S”和7；既有最大值，又有最小值B.S”有最小值，7；无最大值

C.S”无最大值，7；无最小值D.S”无最小值，7；有最小值

【答案】A

【解析】设等比数列｛6J公比4,

一生<%<°，­,•一4q<a[q~<0,

/v0且一1<q<0,则-^―<0,

1-4

等比数列｛%｝的前〃项和工="«一"）,

"q

则S0+2一S.=an+2+=%（g+1）,其中1+1>0,

①当〃为奇数时，。〃+1=4闻”>0,

则S〃+2-S”>0,即E<S3Vssc…，故S〃的最小值为S1.

又由/<0,可得1—，’>1,所以S”</L；

i-q

②当〃为偶数时，a“+]=/g"<0,

则S"2—S〃v。，即S2>S4>S6>…,故S”的最大值为S2.

又由,’>0,可得1一夕”<1,所以s,>#一；

i-q

综合①②可得，任意〃£N*，

S”有最大值，最大值为£；S”也有最小值，最小值为S1,

故S”既有最大值，又有最小值；

等比数列｛4｝的前〃项积Z=…％，

由1=a-2…％，则（1）2=（。口〃）2，

所以0=（叽）』产'且六％”心则辟=|*，

当〃为奇数时，。例＞o,z,与刀向同号；

当〃为偶数时，。用＜o,q与（向异号；

故｛4｝各项的符号依次为：-

又lim7；=。，又由一1＜夕＜0,则lim*+J=limkJ|q『二0,

"TOOR11〃一＞R'111

又因为数列｛14+J｝单调递减，

\TI

所以必存在N,使得当心N时，恒有|%+卜1,即优二兄/＜1.

由题意见＞0，

则当0＜的＜1时，则畀=|%|引勾＜1，故数列｛圜｝单调递减；

\TI

当令二i时，则向=k+J引勾=1，故数列｛圜｝单调递减（非严格）；

当生〉1时，则因〈园，

又数列｛|%小｝单调递减，且斛=何川|一o,即数列｛园｝必先增后减；

所以不论生取何值，W都存在最大值.

由于｛。｝各项的符号的变化规律，可知最大值与最小值都存在，

且最大值即为正项中绝对值最大的项，而最小值即为负项中绝对值最大的项.

故4既有最大值，又有最小值.

故选：A.

10.某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：4|x-y|+x2+/=24（单

位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（）

A.没有对称性B.徽章轮廓是一个圆

C.最远的两点距离为4〃厘米D,平面面积是不兀平方厘米

【答案】C

【解析】对于A,若点*/)在曲线上，将x换成-X,，换成r,

方程4,一)，|+12+/=24变为4卜1_(_,)|+(_"+(-J。?=4|x-j/|+x2+y2=24,

方程不变，所以曲线关于原点对称；

若点G,y)在曲线上，将“换成J"丁换成x,

方程4卜一4+/+/=24变为4b一乂+/+/=4,一"+/+歹2=24,方程不变，

所以曲线关于直线歹=%对称；

若点ky)在曲线上，将x换成一九，换成-x,

方程4|x-R+/+/=24变为41一y-(一x)|+(-j，y+(-x)2=^\x-y\+x2+y2=24,

方程不变，所以曲线关于直线V=-x对称；因此曲线有对称性，A选项错误；

对于B,当xNy时，方程4,一沙|十八2+/2=24可化为4(x-y)十F十»，=24,

即f+J?+41一4》-24=0,配方可得(x+2)2+(y-2>=32；

当x<>时，方程4k一乂+/+/=24可化为4(歹一工)+/+»2=24,

即丁+；?一4工+4'-24=0,配方可得(x-2)2+(y+2)2=32,

所以曲线不是一个圆，B错误；

对于C,曲线上最远的两点是两段圆弧的公共端点AQMZC)和5(-273,-273),

其距离为|451=4后，故C正确；

对于D：曲线所围图形的面积为两个相同的弓形面积之和，总面积为空-16百，故D错

误；

故选：C.

二、填空题(木大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.过点(-1,2)且与直线八十2y-1=0垂直的直线/的方程是.

【答案】2x-y+4=0

【解析】易知直线x+2y-l=0的斜率为一,，

2

由两直线垂直可知直线/的斜率为2,乂直线过点(-1,2),

所以直线/的方程是歹一2=2(x+l),即2x-y+4=0.

故答案为：2x-y+4=0.

12.已知抛物线_/=4x上一点p到准线的距离为6,则|0P|二.

【答案】3石

【解析】抛物线/=4x的准线为x=-l,设点尸的坐标为（X。/。），

由抛物线V=4x上的点P到准线的距离为6,可得6=%+1,解得%=5.

由y；=4x0=4x5=20,

所以其）=±2逐，

所以|°尸|=J片+此=J25+20=3后,即|。尸|=36，

故答案为：.

13.在棱长为1的正方体，48。。一481GA中，E为BC中点,则点E到平面/月"的距

离为•

【答案】史

2

【解析】以q为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,

则E（gjO）4（l,O,O），A（l,l,l），A（O,O」），

以=（；,T0）花=（0"）丽=（TT0）；

设平面ABB的一个法向量为万=（x,乂z）,

[AB.-77=0fy+z=0/、

则＜____={"八，令x=l,可得万=（1,一1,1）,

•万=0[-x-y=0

i+1_V3

设点后到平面的距离为d,则〃二T-7T=T-

故答案为：立.

2

>

y

14.在VZ8C中，N4=45。，ZB=75°,c=2,则比三角形的最短边的长度是

【答案】巫或瓜

343

【解析】在V43C中，•・Z=45。,Z5=75°,.*.ZC=60°,故/为最短边,

2，解得"平

又c=2,由正弦定理,得

sin45°sin60°

故答案为：巫.

3

15.已知数列｛%｝的各项均为正数，其前〃项和S”满足％（S「1）=2（〃EN）给出下列

四个结论：

①生川；

②｛〃0｝为等比数列；

③数列｛〃”｝中存在大于2的项；

④数列｛%｝中无最小项.

其中所有正确结论的序号为.

【答案】①④

【解析】令〃=1可得力（卬-1）=2,解得4=2或一1（舍去），

令〃=2可得%（S2—）=2,即生（生+2-1）=2,解得q=1或-2（舍去）,故①正确;

令〃=3可得为（$3-1）=2,即%（为+2+1-1）=2,解得%=7+8或—1一石（舍

去），

，工资，所以｛%｝不是等比数列，故②错误;

22

由%(S「1)=2(〃£N*)可变形为=Sn-1n>2,〃£N"),

3

22

两式相减得=--------(//>2,/7GN*),—2^(/7>2,/?GN4

整理可得生2-不

由2>°可得0<a〃<8(〃22,〃wN*),结合4=2可知数列｛/｝中不存在大于2

幺一例

的项，故③错误；

222(a,-a).

由4=-------可得―-n>0,所以见<。小，所以数列｛(〃“｝单调递减无最

aa

nn-\a卢『1

小项.故④正确.

故答案为：①④

三、解答题(本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.已知圆C的圆心在心轴上,且经过点4(2,1),8(0,3).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C与直线y=R交于两点E，F，求产的面积.

解：(1)因为圆。的圆心在少轴.匕

所以设圆心为。(0力)，半径为，

IC/l|2=r24+(l-Z>)2=r2b=\

则二22，即，，,解得《

\CB\2=r2(3-4=,r=2

所以圆C的圆心为(0』)，半径为2,

即圆C的标准方程为父+(y-=4；

(2)设圆心C与直线V=x的距离为d,

则公上人=正，

所以忸尸|=2炉工^二2x标,

所以邑的二;闭•"=；xx/iZx孝=

17.已知数列｛%｝的前〃项和S“=2〃「l,等差数列｛"｝满足b,=a6.

(1)求数列｛%｝，｛々｝的通项公式;

(2)设数列｛2｝前〃项和为求4的最大值.

解：(1)因为S“=2%-l,所以当〃22时，S,I=2%T-1,

两式作差得,%=2(4-1)，即氏=2%,

当〃=1时，5[=4]=2。]-1,得q二100,

则由以上递推关系可知为工0,故2=2,

an-\

故数列｛?｝是以1为首项•2为公比的等比数列，故。"二2"-1

设等差数列｛4｝的公差为"，因为4=%=2‘=64,%=4=2'=32,

”一,%—h32—6432.”…«\.

所以d=----L=------=----=-4,所以=t\+5-1)4:二64-4（〃-1）=68-4〃.

888

(2)由(1)可知：4=64,"=68—4〃，

e〃(64+68-4〃)，(33?1089

贝IJ7；=-1---------^=-2/+66〃=-2n-—十

〃212J2

当〃=16或〃=17时，7；,取至1」最大值为(6=-2X162+66X16=544.

18.如图，在三棱锥P-Z8C中，平面"C_L平面力5C,AB=iBC=1，AC=VC=6,

匕1=2,£是的中点，E在上,且£///平面幺C.

B

(1)求证：ABI平面VBC;

(2)求证：尸为J力的中点；

(3)求直线P8与平面EFC所成角的正弦值.

(1)证明：因为匕4=2.AC=VC=e,

所以"2=/。2+叱2,所以PC_L4C,

又平面心C_L平面N8C,平面以CCI平面44C=/C,NCu平面I2C,

所以PCI平面48C,48u平面力8C,

所以PC_L48,

因为48=BC=1,AC=6，

所以力。2=432+方。2,所以49J_8C,

因为PdB,ABIBC,BCcVC=C,BC,PCu平面历C,

所以力8_L平面l/SC；

(2)证明：因为£///平面"C,瓦'u平面以4,平面以8n平面以C=M，

所以EF/WA,

又后是的中点，尸在上，

所以尸为脂的中点；

(3)解：取ZC的中点”，囚为Z6=6C=1,所以6A/_LNC,

由(1)PCJ_平面/8C,4C,8A/u平面48C,

所以PC_L力C,VCLBM,

uuiuuuuum

如图以点C为原点，C4A/8,CP为X，乂Z轴的正方向建立空间直角坐标系，

B,，¥，0，/(0,0,夜)，E乎,字，0

则C(0,0,0),^(72,0,0),

所以叫手，制，而=隹¥,野呵冬乎'-近

设平面石厂。的法向量为万=(x,y,z),

-诉3拒\2

n-CE=------x+——y=0

44-

所以L(-(-，取X=1，则N=-3,z=l，

万4=2+当+”=。

44'2

所以万=(1,-3,1)为平面£尸。的一个法向量，

设直线VB与平面EFC所成角为0,

巾।.夕__快向_2/_2厢

贝ijsin0=cosVB,n=.—.=-j=—尸■=一——

网.同VixViT33

所以直线VB与平面及C所成角的正弦值为拽5.

33

19.为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行

调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出15（）名学生进

行借阅类别调查，调查结果如下表:

高一局二高三

选择不选择选择不选择选择不选择

参考、V.

204025253010

具类

文学类303030202515

自然、科

402040102317

学类

假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率

（1）假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数；

（2）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择

借阅文学类书籍的概率；

（3）记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为4，X2,毛，其方差为｛；样本中高

三学生不选择三类书籍的频率依次为必，为，必，其方差为学.写出『与学的大小关系.

（结论不要求证明）

30+30+2585

解：（1）由题意可知，喜欢借阅文学类书籍的学生的频率为

150150

因此估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数为1500x，=850.

150

（2）由题意可知，高一年级选择借阅文学类书籍的概率双二,

602

高二年级选择借阅文学类书籍的概率UJ=|

5

高三年级选择借阅文学类书籍的概率”8-

40

因此估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率为

131

—X—T-1)4-—x1

2525j8I2；5825880

(3)由题意可知，=l-x1,y2=l-x2,y3=l-x3,

设X],々，/的平均值为嚏，必，y2,为的平均值为y，

则X=§(玉+X,+X3)，.，=5(1-玉+[—X，+]—工3)=1—+工2+x3)=]—X，

而占，X2,毛的方差为S；，必，必，必的方差为只，

则q二(一1)2S：=S；.

20.已知椭圆c：0+/=l(a>6>o)的短半轴长为方，离心率为]

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设斜率为k(kwO)的直线/过左焦点，且与椭圆C交于“、N两点，线段MV的垂

直平分线交N轴于点产，是否存在左，使得△M0V为等腰直角三角形，若有，求直线/方程;

若没有，说明理由.

C1

解：(1)已知短半轴长〃二J5，离心率e=—=—.

a2

由椭圆关系/二/+i，代入和。=百

得:。2=3+(],即02二4.

因此椭圆的标准方程为：—+^=1

43

(2)由⑴可知左焦点为(—1,0),设直线/：y=4(x+l),代入椭圆方程得:

(3+4公卜2+8心+4-一12二。

设“("1)，%(”2)，中点0(%,%)，

i,.,.8Kx+x4K.、3k

则〜+X2=-EpX产〒]=2一二/'为="(/叫"丁亦

垂直平分线斜率为-K1方程为尸赤2b=一不11+淅4k2

令X=0得P点坐标为P0,-：；--7T.

I3+4KJ

因为△M/W为等腰直角三角形，P在MV的垂直平分线上，所以PM=PN,且尸到直线

A/N的距离为:

所以|必V|=Jl+/，，(占+吃)2—4中2=；!；：I

4・0—1•-------—+k.Ir