2023-2024学年北师大版数学九年级上册第2章《一元二次方程》单元测试卷

北师大新版九年级上学期《第2章一元二次方程》

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x2-------=2B.ax2-bx+c=O

x2

C.3A2-2xy+^^=（）D.（x-A）2=（）

2.（3分）已知一元二次方程-5f+i6x+3=0,若把二次项系数变为正数，且使得方程根不

变的是（）

A.5?+16x+3=0B.5X2-I6.v-3=0

C.5?+16.v-3=0D.5X2-16,v+3=0

3.(3分)方程f-2=0的根为()

A.r=2R.x=+2C.r=V2D.r=±5/2

4.（3分）用配方法解方程f+2x・5=0时，下列配方结果正确的是（）

A.(x-1)2=5B.(x-1)2=6C.(x+l)2=7D.(x+l)2=6

5.（3分）若x=2是关于x的一元二次方程〃什6=0的一个根，则〃?的值为（）

A.5B.4C.3D.2

6.（3分）用公式法解方程3f-2》-1=0时，正确代入求根公式的是（）

A丫=-(-2)±Y(-2)2-4X3xf

-2X3

B丫:-(-2)±Y(-2)2-4乂3X(-1)

・'3"

CL「2±3(-2)2-4X3X(-1)

,'2X3

D丫=-(-2)±1(-2)2-4X3X(-1)

..2X3

7.（3分）用公式法解方程4y・12y・3=0,得至l|（）

A.一名圈B.尸山鱼C.尸注近

8.（3分）若关于x的一元二次方程*+2）/・3工+1=0有实数根，则〃的取值范围是（）

攵〈工且%＜小左W工且

A.4#-2B.C.ZW-2D.

4%:44

9.(3分)“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起

的大型购物促俏狂欢E.2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元.2019年双十一淘宝

交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十•销售额年平均增长率为x,则下列

方程正确的是()

A.1682(1+x)=2684

B.1682(1+Zv)=2684

C.1682(1+^)2=2684

D.1682(1+x)+1682(\+x)2=2684

10.(3分)某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资a万元，若以后每年绿化投资金额的

年增长率均为羽则2017年绿化投资的金额为()

A.a(1+x)2B.a(1+x%)2C.(l+.v%)2D.a+a(x%)2

11.(3分)关干x的方程”(x+m)2+a=()的解是丫［=・2,X2=1(0.m,人均为常数,a

W0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是()

A.x\=-2,X2=IB.xi=l>X2=3

C.x\=-4,X2=-ID.无法求解

12.(3分)一元二次方程x(x-I)=(3-x)G-I)根的情况是()

A.只有一个实根为旦B.有两个实根，一正一负

2

C.两个正根D.无实数根

二.填空题(共6小题，满分24分，每小题4分)

13.(4分)把一元二次方程(x+l)(3%-4)=(ZvH)2化为一般式为.

它的一次项系数是.

14.(4分)方程2?-8x=0的解为.

15.(4分)m是方程2T2+3x-I=0的根，则式子2020-Inr-3w=.

16.(4分)已知长方形的周长为1(),它的相邻两边长a,方为整数，且满足

-庐+2=0,则此长方形的面积是.

17.(4分)在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加.据统计，该商城一月份销售自行车10()

辆，三月份销售121辆，该商城的自行车销量的月平均增长率为.

18.(4分)已知。、方是方程25+5%+1=()的两实数根，则式子提■+亚的值

为.

三.解答题(共7小题，满分60分)

19.(10分)解下列方程：

(1)4(x+1)2=16；

(2)x2-4.r-5=0.

2().(6分)如图，李叔叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边

长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15/的无盖长方体箱子，且此

长方体箱子的底面长比宽多2〃?.现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问李叔叔购

配方法是数学中一种重要的思想方法它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒定

变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数恒等变形中,

并结合非负数的意义来解决一些问题.

［例］已知m2+4ni+n2-6什13=0,求m,n的值.

解：由己知得(〃/+4〃汁4)+(n2-6/1+9)=0,即(w+2)2+(〃-3)2=(),

所以加+2=0,3=0,所以m=-2,”=3.

已知△48。的三边长a,b,。满足/+庐=4。+10义・29.

(1)若c为整数，求c的值；

(2)若△/8c是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.

22.(8分)若关于x的一元二次方程x2-3x+切=0有实数根.

(1)求实数〃，的取值范围；

(2)若等腰三角形的一边长为1,另两边长是方程的根，求等腰三角形的周长.

23.(9分)如图，有一块长30加、宽20加的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田

地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的空■,求道路的宽

为多少〃??

24.（9分）已知CJABCD边AB,X。的长是关于x的方程■加x+4=0的两个实数根.

（1）当机为何值时，四边形力8C。是菱形？

（2）若力4的长为那么UU4CO的周长是多少？

25.（12分）仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式«±女好/=G土y）2以及（x±y）2的值为非负数的特点在数学学习中有广

泛的应用，比如探求2?+12x-4的最大（小）值时，我们可以这样处理：

解：原式=2（?+6x-2）=2（?+6x+9-9-2）=2[（x+3）2-11]=2（x+3）2-22.

因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以G+3）2的最小值为0；此时x

=-3时，进而2（x+3）2-22的最小值是2X0-22=-22；所以当x=-3时，原多项

式的最小值是-22.

请根据上面的解题思路，探求：

（1）多项式3f-6x+9的最小值是多少，并写出对应的x的取值；

（2）多项式-/-2什6的最大值是多少，并写出对应的x的取值.

北师大新版九年级上学期《第2章一元二次方程》

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x2-------=2B.ax2-6+c=0

2

x

C.3?-2xy+）^=0D.（x-A）2=0

【考点】一元二次方程的定义.

【答案】。

【分析】只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一

元二次方程，据此判断即可.

【解答】解:A.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本诜项不符合题意：

B.当a=0时，8W0时，是关于工的一元一次方.程，故本选项不符合题意；

C.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意方程；

故选：D.

2.（3分）已知一元二次方程-5f+16x+3=0,若把二次项系数变为正数，且使得方程根不

变的是（）

A.5?+16x+3=0B.5?-16x-3=0

C.5.A16x-3=0D.5f-16x+3=0

【考点】一元二次方程的一般形式.

【答案】B

【分析】本题主要是考查的移项的问题，移项的依据是等式的基本性质一：在等式的左

右两边同时加上或减去同个数或式了，所得结果仍然是等式.因此注意移项时要变号.

【解答】解：方程-5f+16x+3=0的二次项系数化为正数，得5/-16x-3=0.

故选:B.

3.（3分）方程2=0的根为（）

A.x=2B.x=±2C.x=V2D.x=±A/2

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【答案】D

【分析】先移项，再两边都开平方即可.

【解答】解：。2-2=(),

.4=2,

则x=±&,

故选：D.

4.(3分)用配方法解方程/+2.丫・5=0时，下列配方结果正确的是()

A.(x-1)2=5B.(x-1)2=6C.(x+l)2=7D.(x+1)2=6

【考点】解一元二次方程-配方法.

【答案】D

【分析】先常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的

形式即可.

【解答】解：?+2r=5.

e+2x+l=6,

(x+l)2=6.

故选：

5.(3分)若x=2是关于x的一元二次方程工+6=0的一个根，则〃?的值为()

A.5B.4C.3D.2

【考点】一元二次方程的解.

【答案】A

【分析】把x=2代入F・加什6=0,得到关于〃?的一元一次方程，解方程即可求出〃，的

值.

【解答】解:根据题意，得22-2小+6=0,即10・2加=0,

解得，加=5；

故选：A.

6.(3分)用公式法解方程3f-2x-1=0时，正确代入求根公式的是()

A》=-(-2)±1(-2)2-4X3xi

-2X3

B.--(-2)±V(-2)2-4乂3X(-1)

3

CL「2±」(-2)2-4X3X(一1)

.'2X3

D「-(-2)±4(-2)2-4X3X(-1)

2X3

【考点】解一元二次方程-公式法.

【答案】。

【分析】利用求根公式代入即可.

【解答】解：・・・3/-2.1=(),

・"=3,b=-2,c=-1,

.、一一b土Vb2-4ac-_(-2)土V(-2)2-4X3X(-1)

••A~~,11,•

2a2X3

故诜：D.

7.(3分)用公式法解方程4炉・12y・3=0,得到()

A.尸WiB.尸山i

22

【考点】解一元二次方程-公式法.

【答案】C

【分析】先得出。、b、c的值，再计算出判别式的值，继而代入求根公式即可.

【解答】解：:。=4,b=-12,c=-3,

・•・△=(-12)2-4X4X(-3)=192>0,

.„_-b±7b2-4ac_12±8V3_3±2V3

••\7-------------------------------，

2a82

故选：C.

8.(3分)若关于x的一元二次方程(A+2)f-3x+l=0有实数根，则4的取值范围是()

A.kV2且%#-2B.C.4运上且〃#-2D.

44嗔

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出行2X0且小=(-3)2-432)

・120,求出即可.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程(叶2)*-3i+l=0有实数根，

・・・〃+2工0且八=(-3)2-4(什2)・12(),

解得：％＜［且4#-2,

故选：C.

9.(3分)“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起

的大型购物促俏狂欢F.2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元.2019年双十一淘宝

交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为X,则下列

方程正确的是()

A.1682(1+x)=2684

B.1682(1+2.V)=2684

C.1682(1+x)2=2684

D.1682(1+x)+1682(1+x)2=2684

【考点】由实际问题抽象出一兀二次方程.

【答案】C

【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果设从

2017年到2019年年平均增长率为x,根据已知可以得出方程.

【解答】解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为小

那么根据题意得今年为1682(1+x)2,

列出方程为：1682(1+x)2=2684.

故选：C.

10.(3分)某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资。万元，若以后每年绿化投资金额的

年增长率均为x,则2017年绿化投资的金额为()

A.a(1+x)2B.a(1+x%)2C.(1+x%)2D.a+a(x%)2

【考点】一元二次方程的应用.

【答案】A

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，设这两

年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资。万元”，可得出代数式.

【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x,那么2017年绿化投资的金额为。

(1+x)2,

故选:A.

11.(3分)关于x的方程a(x+〃?)2+人=0的解是内=-2,X2=l(a,ni,人均为常数,

WO),则方程a(.r+w+2)2+人=()的解是()

A.x\=-2,X2=1B.x\=l,X2=3

C.xi=-4,X2=~1D.无法求解

【考点】换元法解一元二次方程.

【答案】C

【分析】根据关于X的方程a(x+〃?)2+b=0的解是川=-2,0=1(。，〃?，6均为常数,

aWO),可知x+2=-2或x+2=1,进一步求解即可.

【解答】解：二,关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x\=-2,X2=l(a,m,b均为常

数，aNO),

在方程a(x+w+2)2+6=0中，

x+2=-2或X+2=1,

解得xi=-4,X2=-h

故选：C.

12.(3分)一元二次方程x(x-1)=(3-x)(x-1)根的情况是()

A.只有一个实根为旦B.有两个实根，一正一负

2

C.两个正根D.无实数根

【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【答案】C

【分析】根据•元二次方程的解法即可求出答案.

【解答】解:由题意可知：x(x-1)-(X-1)(3-x)=0,

:.(x-1)(x-3+x)=0，

/.x=1或x=3,

2

故选：C.

二.填空题(共6小题，满分24分，每小题4分)

13.(4分)把一元二次方程(x+1)(3x-4)=(2r+l)2化为一般式为f+5次5=0,

它的一次项系数是

【考点】-一元二次方程的一般形式.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案.

【解答】解:原方程化为：/+5犬+5=(),

，一次项的系数为：5,

故答案为：f+5x+5=0,5.

14.(4分)方程2d-8x=0的解为r=0,X2=4.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【答案】Xi=0,X2=4.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：2A-2-8x=0,

2x(x-4)=0,

•*.2x=0或x-4=0,

•(X1-0tX2—4a

故答案为：XI=O,X2=4.

15.(4分)m是方程2X2+3X-1=0的根，则式子2020-2nr-3ni=2019.

【考点】一元二次方程的解.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用一元二次方程根的定义得到2m2+3〃?=],再把2020-2m2-3m变形为2020

-(2〃?2+3〃力，然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：是方程2?+3x-1=0的根，

•*»2m2+3m-1=0>

2m2+3m=1,

:.2020-2m2-3加=2020-(2m2+3m)=2020-1=2019.

故答案为2019.

16.(4分)已知长方形的周长为10,它的相邻两边长。，。为整数，且满足。。M十2。。

-庐+2=0,则此长方形的面积是6.

【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方.

【答案】6.

【分析】先把〃-/+2“力-扇+2=0,变形得到(a-b)2-(a-b)-2=0,再把左

边分解得到(a-b-2)(a-b+l)=0,所以a-b-2=0,a-6+1=0,与。+力=工><10

2

=5组成方程组，然后解方程组可求出。=2,b=3,再计算矩形的面积.

【解答】解:Va-b-a2+2ab-川+2=(),

・•・(a-b)2-(a-b)-2=0,

:.(a-b-2)(a-6+1)=0,

.\a-b-2=0,a-b+\=0,

又・・・”+b=-lxi0=5,

2

・1a-b-2=0或［a-b+l=0

Ia+b=5Ia+b=5

解得：［a-5或卜=2,

b=l.5［b=3

•・Z,b均为整数，

，a=2,b=3,

・•・矩形的面积=2X3=6.

故答案为：6.

17.(4分)在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加.据统计，该商城一月份销售自行车100

辆，三月份销售121辆，该商城的自行车销量的月平均增长率为10%.

【考点】一元二次方程的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x,根据该商城一月份、三月份销售

自行车的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设运动商城的自行车销量的月平均增长率为X,

根据题意得：100(1+1)2=121,

解得:xi=0.1=10%,X2=-2.1(舍去).

故答案为：10%.

18.(4分)己知〃、b是方程2，+5.什1=0的两实数根，则式子提+小的值为一

21近

4.

【考点】根与系数的关系：实数的运算.

【答案】■空ZZ.

4

【分析】利用根与系数的关系可得出“+〃=-S，a-b=l,进而可得出aVO,6V0,再

22

将a+b=-代入a。+1>4=二^^^■中即可求出结论.

【解答】解：•.4方是方程2，+5/1=()的两实数根，

.\a+b=--,a*b=—,

22

•"VO,bVO,

_/_5)2+2x1

•国,b=a"a・aab4b,b=-a2-b2_-(a+b)'+2ab_22

Vb+VaVa*b/a・bVabVab

=-21我

,•

4

故答案为：-空但.

4

三.解答题(共7小题，满分60分)

19.(10分)解下列方程：

(1)4(x+1)2=]6；

(2).v2-4x-5=0.

【考点】解一元二次方程・因式分解法；解一元二次方程・直接开平方法.

【答案】(1)XI=1,X2=-3；

(2)xi=5,X2=-1.

【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)4(A+1)2=16,

(x+1)2=4,

Ax+1=±2,

=1,X2=~3；

(2)X2-4X-5=0,

(x-5)(x+1)=0,

Ax-5=0或x+1=0,

/.xi=5»X2=-1.

20.16分)如图，李叔叔从巾场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边

长为师的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15/的无盖长方体箱子，且此

长方体箱子的底面长比宽多2〃?.现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问李叔叔购

铁皮共花费多少元？

【考点】一元二次方程的应用.

【答案】李叔叔购回这张矩形铁皮的费用为350元.

【分析】设此长方体箱子的底面宽为R〃，则长为（什2）m,根据长方体箱子的容积为

15〃?3,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，可得出矩形铁皮的长和宽，进

而求出这张矩形铁皮的面积，即可求出这矩形铁皮的花费.

【解答】解：设此长方体箱子的底面宽为x米，则长为（x+2）米,

依题意得:（x+2）=15,

整理得：/+2x・15=0,

解得：xi=3,也=-5（不合题意，舍去）,

・••矩形铁皮的长为"2+2=7（〃?），宽为x+2=5（〃?）,

・•・购回这张矩形铁皮的费用为7X5X10=350（元）.

答：李叔叔购回这张矩形铁皮的费用为350元.

21.（6分）请阅读以下材料，并解决问题:

配方法是数学中•种重要的思想方法它是指将•个式子或•个式子的某•部分通过恒定

变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数恒等变形中,

并结合非负数的意义来解决一些问题.

［例］己知m2+4m+n2-6/1+13=0,求〃?，〃的值.

解：由己知得(w2+4m+4)+(tr-6M+9)=0,即(w+2)2+(〃-3)2=(),

所以加+2=0,n-3=0,所以机=-2,〃=3.

已知△ABC的三边长a,b,c满足/+62=44+10。-29.

（1）若c为整数，求c的值;

（2）若△/出C是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.

【考点】配方法的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方.

【答案】（I）c的值为4,5,6.

（2）12.

【分析】（1）将原式移项，然后拆分，组成两个完全平方式，再根据非负数的性质即可

求出。、力的值，再根据三角形三边关系，可得c的值；

（2）根据三角形三边关系和三角形周长公式，可得这个三角形的周长.

【解答】解：（1）Va2+Z>2=4«+10Z>-29,

：,a2+h2-4a-10Z>+29=0.

/.a2-4a+4+b2・106+25=0.

:.（a-2）2+（b-5）2=（）.

••a-2=0,b-5=0.

解得〃=2,b=5.

\*a=2,b=5,

根据三角形三边关系得3VcV7,

•.Z为整数，

・・・c的值为4,5,6.

（2）当△48C是等腰三角形时，Q=2,b=c=5,

此时该三角形的周长为2+5+5=12.

22.（8分）若关于x的一元二次方程/-3/”?=0有文数根.

（I）求实数〃，的取值范围；

（2）若等腰三角形的一边长为1,另两边长是方程的根，求等腰三角形的周长.

【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【答案】（1）/庆旦

4

（2）4.

【分析】（I）根据方程的系数结合根的判别式△20,即可得出关于”的一元一次不等式,

解之即可得出〃？的取值范围；

（2）分1为底边和1为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.

【解答】解：（1）•・•关于x的一元二次方程*・3"机=0有实数根，

...A=b2-4ac=（-3）2-4XlX〃？20,

，加这a.

4

（2）①当1为底边时，此时方程f-3x+〃7=（）有两个相等的实数根,

/.A=（-3）2-4w=0,

解得：〃i=a,

4

工方程变为x2-3x+9=o,

4

解得：X1=X2=3，

2

此时三角形的周长为3+当1=4；

22

②当1为腰时，则X=1是方程f・3X+m=0的解,

代入方程得：1-3+〃?=0,

解得：小=2,

・••方程变为3X+2=0,

解得：x=l或2,

71+1=2,不能组成三角形，

故等腰三角形的周长为4.

23.（9分）如图，有一块长30/〃、宽20〃?的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田

地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的尊，求道路的宽

为多少〃?？

【考点】一元二次方程的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】设道路宽为x米，则六块菜地可合成长为（30-2#m,宽为（20-x）〃［的矩

形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜面积为矩形田地面积的尊，即可得出关于x的一

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元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【解答】解：设道路宽为x米，则六块菜地可合成长为（30-2x）”，宽为（20-x）m

的矩形，

依题意，得：（30-2%）（20-x）=31x30X20,

整埋，得：f-35x+66=0,

解得：x]=33（不合题意，舍去），.口=2.

答：道路的宽为2〃?.