2026初中数学58种模型：18、全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角

之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计

算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等

三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或

40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二

条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二

个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

-1-

换中的“对折”法构造全等三角形．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的

性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相

交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置

上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，

适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连

接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

A

BDC

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的

大小.A

E

F

B

DC

-2-

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

A

BDEC

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰

RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE

的位置关系及数量关系．

（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

-3-

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

A

C

B

D

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。

AD

E

B

C

0

3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，

A

BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

B

Q

P

C

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

求证：AC1800

A

D

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意BC

-4-

一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

12

P

BC

D

应用：

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，

PA

△EBC周长记为.求证＞.

PBPBPA

-5-

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

A

BDEC

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

A

E

O

BC

D

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

A

E

G

BC

F

D

-6-

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等

三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

MB

EED

FDF

OP

AC

NAC

图①图②图③

(第23题图)

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

AD

F

BEC

例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。B

A

E

MC

FA

N

-7-

例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，

以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN

的周长为；

A

M

N

BC

D

应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成

立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出

你的猜想，不需证明．

AAA

EM

BBEMB

FC

CDCDD

FF

NN

NE

M

（图1）（图2）（图3）

-8-

2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在

直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且

MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、

NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1图2图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系

Q

是；此时；

L

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成

立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=x，则Q=（用x、L表示）．

-9-

参考答案与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

A

AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范围是1<AD<4

BDC

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的

大小.A

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

E

显然BG＝FC，

F

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

B

DC

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG<BG+BE

故：EF<BE+FC

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

A

BDEC

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

-10-

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABCRtABD和等腰

RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE

的位置关系及数量关系．

（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

解：（1）ED2AM，AMED；

证明：延长AM到G，使MGAM，连BG，则ABGC是平行四边形

∴ACBG，ABGBAC180

D

又∵

DAEBAC180N

H

∴ABGDAE

E

再证：DAEABG

A

∴DE2AM，BAGEDA

延长MN交DE于H

BC

∵BAGDAH90M

∴HDADAH90

G

∴AMED

（2）结论仍然成立．

证明：如图，延长CA至F，使ACFA，FA交DE于点P，并连接BF

∵DABA，EAAF

-11-

∴BAF90DAFEAD

∵在FAB和EAD中

F

FAAED

BAFEADN

P

BADAE

A

∴FABEAD（SAS）

∴BFDE，FAEN

∴

FPDFAPEAEN90BMC

∴FBDE

又∵CAAF，CMMB

1

∴AM//FB，且AMFB

2

1

∴AMDE，AMDE

2

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC

-12-

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FEAD

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

E

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

B

故∠ECB＝∠EFBC

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;AB＝AD+BC

0

3、如图，已知在△ABC内，BAC60，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，

A

BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

解：（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°B

从而∠BDP＝40°＝∠ACPQ

△ADP≌△ACP（ASA）P

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QC

BD＝BPC

从而BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

求证：AC1800

解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FDA

△BDF≌△BDC（SAS）D

-13-

BC

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

12

P

BC

D

解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC

应用：

分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等

边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：有BCADAE

连接AC，过E作EF//BC并AC于F点

AD

则可证AEF为等边三角形

即AEEF，AEFAFE60

∴CFE120

EF

-14-

BC

又∵AD//BC，B60

∴BAD120

又∵DEC60

AD

∴AEDFEC

在ADE与FCE中

EADCFE，AEEF，AEDFEC

E

∴ADEFCE

∴ADFC

BC

∴BCADAE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角

形的性质解决。

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，

PA

△EBC周长记为.求证＞.

PBPBPA

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ABC的角平分线,MN⊥AD

知∠FAE＝∠CAE

故有

△FAE≌△CAE（SAS）

故EF＝CE

在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

-15-

证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.

∵BD=CE,

∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA(SAS),

∴DN=AE,

同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,

各减去DP,得BN+AB>DN+AD,

∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，

A

DC+AE=AC

证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,

则∠BAC+∠BCA=120度;E

O

AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

BC

∠AOC=120度.D

在AC上截取线段AF=AE,连接OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),

OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

-16-

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC

A

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

E

G

ED＝DFBC

F

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

D

故有BE＝CF。

AB+AC＝2AE

AE＝（a+b）/2

BE=(a-b)/2

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等

三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

MB

E

ED

FDF

OP

AC

NAC

图①图②图③

(第23题图)

解：（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD

（2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。

证法一：如图1，在AC上截取AGAE，连结FG

∵12，AF为公共边，

∴AEFAGF

∴AFEAFG，FEFG

-17-

B

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线

∴2360

∴AFECFDAFG60

E

D

∴CFG60F

∵34及FC为公共边

14

∴

CFGCFD23

∴FGFDAGC

图1

∴FEFD

证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线B

∴可得2360，F是ABC的内心

GD

∴GEF601，FHFGE

FH

又∵HDFB1

14

∴GEFHDF23

A

∴可证EGFDHFC

图2

∴FEFD

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形AD

ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EFF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAFBEC

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。

(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

-18-

解：(计算数值法)（1）连接DC，

D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°

由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA）

故有DE=DF

（2）S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1

例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，

以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN

的周长为；

解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于

点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

-19-

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，

DM=DE

∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM)

∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN(AAS)，

∴MA=FE

AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成

立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出

你的猜想，不需证明．

AAA

EM

BBEMB

FC

CDCDD

FF

NN

NE

M

（图1）（图2）（图3）

解：（1）∵ABAD，BCCD，ABBC，AECF

-20-

∴ABECBF（SAS）；

∴ABECBF，BEBF

∵ABC120，MBN60

∴ABECBF30，BEF为等边三角形

1

∴BEEFBF，CFAEBE

2

∴AECFBEEF

（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC至点K，使CKAE，连接BK

则

BAEBCKA

∴BEBK，ABEKBC

BEM

∵FBE60，ABC120

∴FBCABE60

CD

∴FBCKBC60KF

N

∴KBFFBE60

图2

∴KBFEBF

∴KFEF

∴KCCFEF

即AECFEF

图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECFEF

2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在

直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

分析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE

中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求

出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理

可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD

绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD

长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将

PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG

中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，

根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，

故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPPPB可求PB的最大值，此

时APB180APP135．

解：（1）①如图，作AEPB于点E

D

∵RtPAE中，APB45，PA2