2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷【北师大版测试范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式】（全解全析）

高二数学下学期期末模拟卷(北师大版)

全解全析

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若集合力={小=/―6工+7},5={x|(x+4)(x-2)<0},则(C/)nB=()

A.(T-2]B.(-4,-2)C.[-2,-KO)D.(—,2)

【答案】B

【解析】因为y=V-6X+7=(X-3>-2,所以VxcR,由y2-2,

所以/={y|y=/_6x+7}={j，|y2-2},所以CRA={y\y<-2},

解不等式(x+4)(x-2)<0,可得—4vxv2,所以4={x|(x+4)(x—2)<()}={x|-4<2},

所以(CM)n8=(-4,-2).

故选：B.

2.已知等差数列{4},则"=9”是"%+%=24”成立的(：条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】当k=9时，由等差数列下标和性质得%+%=2为显然成故充分性成立，

1/15

设等差数列首项为6,公差为d,当"=o时，无论左取何值，%+卬=2%一定成立,

无法推出〃=9,可得必要性不成立，

则”=9”是"%+%=2勺”成立的充分不必要条件.

故选:A.

3.已知曲线y=/（x）在x=5处的切线方程是y=-2x+8,则/⑸+/（5）的值为（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】直线y=-2x+8的斜率为—2,由导数的几何意义可得/'（5）=-2,

因为点（5,/（5））在直线y=-2x+8上，则/（5）=-2x5+8=-2,

因此，/（5）+r（5）=-2-2=-4.

故选：A.

【解析】由题意,函数/（X）的定义域为（T,0）D（0，+8），

因为/'（x）=|x|—瞿，所以/（一）=卜*19果=卜卜坐=/（幻，所以/（x）是偶函数，排除C和D；

当x>0时，/（x）=x-答，r（x）=」+2hl,令/”（x）<0,则丁+21门-1<0,

XX

2

令g（x）=x'+21nx-l,x>0,g'（x）=3x2+->（）,所以g（x）在（0,+功单调递增，

x

因为g（l）=l+21nl-1=0,所以由F+Zlnx-lvO可得0cx<1,

所以/”（x）>0时，A>1,所以/*）在（0,1）上单调递减，在（1,十8）上单调递增，所以B错误.

2/15

故选:A.

5.在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均

为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为〃.已知储液罐外表面积为定值S,当储液罐的体积P取最

大值时()

A，品B.岛C.后D.日

【答案】C

2

【解析】设圆柱的高为力，则储液罐的表面积为5=2兀町?+4成2,所以〃=-4)TTR,

2itR

则由力=SfR-20得O〈RW惮,储液罐的体积为展成2力+±献、睫-也-,

2兀RV44323

所以片=5-2乃配>0,所以函数/(R)在定义域(o,店]上单调递增，

所以R=届时，P取最大值.

故选:C.

6.己知等比数列｛4｝的各项均为正数；/3，/4是函数/(X)=；F一/2+4.Y+1的两个极值点，则

JL

3026

E10gM=()

<=|

A.2026B.2025C.1014D.1013

【答案】D

[解析】/(X)=!?-|X2+4X4-1^f\x)=x2-5x+4,

令/”(x)>0,解得x>4或x<l,

所以函数/(x)的单调递增区间为(4,-KO)和(一双1),

令令(x)<0,解得1cx<4,所以函数/(x)的单调递减区间为。,4),

因此1,4是函数/(x)的两个极值点，因此.3~4=1x4=4,

2026

Elog，氏=log4q+log,%+…十log4生026=log*!(力生•••^2026)

X=1

10B

=log4[(a1a2O26)(a2a2025)---(aI0Ba1014)]=log4(4x4x--.x4)=log44=l013.

故选：D.

3/15

7.已知函数/(x)=ln4,当0<。<］时・，/(加sin。+1)+/("〃?)〉()恒成立，则实数机的取值范围是

2-x2

()

A.(-U)B.(-1,0)C.(0,1)D.El)

【答案】B

【解析】v/(x)=ln-^-,xe(Ci2),KJ/(2-x)=In-,

2-xx

;.f(x)+f(2-x)=In1=0,BP/(l-w)+/(I+m)=0,

由x«0,2),.•/a)=LJ->0,则〃x)在(0,2)上单调递增,

x2-J

由/(〃?sin6+l)+/(I—〃i)>0,得f(nisin+1)>-/(I-m)=/(w+1),

根据函数单调性可得2>msin6+1>1+m>0,

W7+1>0

•.•0<0<色，.,.sinee(0,l),.,.<巾5出6+1>1+〃7在(0,三)上恒成立，

wsin^+l<2

w>-1m>-1

叩<〃?（sin。-1）>0,/.<m<0,解得用e（-l,0）.

1m<\

m<----

sin〃

故选：B.

8.若实数x,J"z满足4=2-1=-logzz,则x,V,z的大小关系不可能是（）

A.z>x>yB.z>y>x

C.y>x>zD.y>z>x

【答案】c

【解析】由&=2一）'=一108/可得1=（；）=108小=£,

Z=bg」x与互为反函数，故其交点。在直线/=x上，且交点横坐标小于1,

22'

而1=五与/=X交点的横坐标等于1,

从而y4,/=/=4■在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：

22X

/=泉与f=4的图像交点为8」=l°g/与/=4的图像交点为力，

4/15

且4<%<%

当直线y=6位「点力的上方时，此时宜线），=机与三个函数的交点横坐标满足X>Z>），,

当直线歹=〃?位丁点8的上方，力的下方时，此时直线丁=〃?与三个函数的交点横坐标满足z>x>y,

当直线y=〃?位于c点的上方，8的下方时，此时直线卜=〃?与三个函数的交点横坐标满足z>y>x,

当直线y=，〃位于。点的卜.方时，此时直线、=机与三个函数的交点横坐标满足v>z>x,

故选：c.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导运算正确的有（）

A.（8。）"B.图="严

\c7c

322

C.[cos（4x-5）y=-4sin（4x-5）D.（xIog2x）=3xlog2x+xln2

【答案】BC

【解析】对于A,（9°）’=0,A选项错误；

MB,田；（/"H叽…『此二B选项正确；

exe2xe2veT

对于C,[cos(4x-5)y=-sin(4x-5)(4x-5),=-4sin(4x-5),C选项正确；

•«.1丫2

对于D,(x+og,x)=(x3)log,X4-.¥5(log,X)=3.¥2log,X+X3,----=3x2log,x+-—,D选项错误.

故选：BC.

10.已知正数"7，”满足3/〃+2〃=1,则()

A.1<4"<2B.mn<C.D.m2+n2>^~

48“乙一io13

【答案】ACD

5/15

【解析】V/M>0,W>0,3/W+2W=1,

..3ni=1-2/7>0,解得（）<〃<?，

•.指数函数歹=4、单调递增，

4°<4"<4",即Iv4"v2,故A正确;

由基本不等式得1=3/7/+2n>2、’3，〃•2n=2\j6mn>

两边平方得■24〃?〃，解得〃?〃4卷，当且仅当3/〃=2〃时等号成立，故B错误;

23(23_X,_4〃9〃？、仁I4n9m..一„.,,..口

—+—=—+—(3w+2??)=12+一+——>12+2.1---------=24,当M且仅当2〃=3〃?时取nr等A号,

mn\mnJmnymn

2^-2;=2^+;>224=(24)6=16^故C正确；

1—2〃

•「3m+2n=\,贝ijm-———,0</:<—

2

222l-4n+13n2

..nr+/r=-------+n-=----------------

I3)9

42（1、

由于函数y=l-4x+131的图象开口向上，对称轴X=丁^=GW0,-,

2x13132J

收匕担土包的最小值为1-4（司+13图],则〃故D正确.

7==13

9913

故选:ACD.

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数/（戈）=[可称为高斯函数,

其中xeR,[x]表示不超过x的最大整数.如：[1.3]=1,[-0.5]=-1,函数g（x）=x-/（江则（）

A.g（x）最大值为1

B.不等式/«）-/。）-2<0的解集为{疝）=<2}

厂廿「

c-若/2-x卜+31一10？.r-一3，则ril户正3或户历9

D.函数歹=g（x）-与x有2026个零点

2020

【答案】BC

6/15

【解析】对于A,由高斯函数的定义可知所以0。-卜]<1,即g(x)«O,l),所以g(x)无

最大值，故A错误；

对于B,令Z=/(K)=[X],原不等式化为一――2<(),解得-1々<2,

又”但为整数，故/=0或f=l,所以0"<2,即不等式的解集为｛x|()Kx<2｝,故B正确：

万/2x+3EI\rilO.r-310x-3„

对于C,令，=「一，则/(。=上=一;一，故一;—eZ,

466

设=二2=〃(AWZ),则|0X—3=6〃，即》=空口，所以一2*与」+3_3八9,

610'=-4-二丁

因为[4=3所以人与^^<4+1,解不等式组得

又kwZ,所以％=0或1,对应的x=6X]：+3=2或)=6x；;3=?,故C正确：

1IC

对于D,•.-g(X)=X-/(X)=X-[A-],则y=g(x)-玉法x=x-3—布工=菰..国，

170^S70?S

令y=g(x)-春X=O,得就x-[x]=。，即诉x=[x]，卜]为整数，

ZOZo2U262u2b

所以设黑、=NkeZ),则心喘<心1，

2U26202?

解不等式女«微黑，得％20：解不等式微祟<太+1，得A<2025,

所以不等式44弓等<&+1的解集为0<％<2025,所以1的取值为0,1,2,…,2024,共2025个,

即函数J，=g(x)-上7工有2025个零点，故D错误.

2026

故选：BC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列｛%｝,也｝均为等差数列，若.+々=1,%=4,则佝+4=.

【答案】7

【解析】因为数列｛4｝，也｝均为等差数列，由等差数列的性质得数列｛4+"｝也为等差数列,

所以氏+&为q+4，为+4的等差中项，所以(《+乙)+(。9+%)=2(%+&),

所以为+4=2x4-1=7.

7/15

故答案为：7.

13.已知定义在R上的奇函数/(X)满足/(-3)=0,当x>0时，/(力一/(力<0,则/(力>0的解集为

【答案】(一%―3)u(0,3)

【解析】设g(x)="°，*>0),则其导数g'(x)=V'")：/"),

JVX

而当x>0时〃x)<0,所以g'(x)<o,即g(x)在(0,+”)上为减函数,

又由/(一3)=0,/(X)为定义在R上的奇函数，则/(3)=-/(-3)=0,

则g(3)=牛=(),

所以g(x)=Z&D在区间(0,3)上，g(x)>0,在区间(3,+8)上，g(x)<0,

X

则在区间(0,3)上,/")>(),在区间(3,+8)上,/(x)<0,

又由/(x)是定义在R上的奇函数，则/(。)=0,

且在区间(70,-3)上,/(x)>0,在区间(—3,0)上，〃力<0,

综合可得：不等式/(力>0的解集为(-3,-3)5。,3).

改答案为：(一%一3)50,3).

14.设集合M={x|14x4100,xcN},若对于满足力=股的任意〃个元素的集合力={3,%「••,%},都存在

q,a产力。工力使得幺£；,3,则k的最小值是______.

aj；—»1

【答案】5

【解析】根据题意，"=k|lKxQ00，xeN},

设集合8={卬,生，〈/<…〈为)，。”wM，对于任意外，%旦£：,3,

a/；jJ-1

现计算此时〃的最大值，

要使〃最大，贝I」数歹IJ的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，

所以％=1,则《+1应该是满足>3q的最小整数,故《+]=M+l,iNl,

•・q+i+；=3(q+g),

8/15

则数列卜是首项为%+；=）公比为3的等比数列，

13X11

所以%+：=]x3"T,«„=!—1<100,即3”201,

又3）=81,3,=243且〃GN*>

工〃的最大值为4,例如8=｛1,4,13,40｝,

则〃的最小值是是

故答案为：5.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知数歹U｛｝满足。1=3,。“=4%+3卜?N2,〃eN）

（1）求证：｛"”+1｝是等比数列，并求。.：

（2）设以=巴上,求数列｛4｝的前〃项和小

anan+\

15.（13分）

【解析】（1）由题意，得“N2时，4+1=4（/T+1）,

又q+l=4,所以&二=4（〃之2）,

%+1

所以数列｛/+1｝是以4为首项，公比为4的等比数列，

所以4+1=4X4"T=4"，所以4=4"-1.

a+14"\（11）

⑵因为4=4一,所以“广大=（4=l）（4"-l）=「l"rEj.

所以]=3+…+“中土一土+土一土+…+土一也）

m七）.

16.（15分）

已知aeR,函数/（x+l）=b&

（1）若。=2,求函数/（X）的表达式及定义域；

9/15

(2)若关于％的方程/图-蚓(。-2卜+3"5]=0的解集中恰好只有一个元素，求实数。的取值范围.

16.(15分)

【解析】(1)/(.丫+1)=1%1+，],令X+l=/,

则/(0=晦(*)/")=晦&+")

因为4=2,所以/(x)=log2(2+：,

又2+!>0得，解得或了>0,

X2

则函数/⑺的定义域为f-8，-；]u(0，”).

(2)由(1)得/a)=iog26+。)，

方程」(9一1°当[(”2卜+%一51=0,即log'Z+Q-log2[(t7-2)x+36r-5]=0

7

可转化为(。-2)/+(2a—5)x—2=0,且*+a>0

①当。一2=0即。=2时，x=-2,符合题意;

②当。-2w()即ah2时，玉=-2,X,=------

-a-2

(i)当-2=」1=时，3符合题意；

a-22

13

(ii)当—2*--Ebj,且。工2时，要满足题意，则有

a-22

-1+«>04-\+G<0

n1<a工工或《n无解.

3a-4KoJ3«-4>0

f41f3]

综上可得，〃的取值范围(i，5卜卜鼠.

17.(15分)

已知应｝是单调递增数列，记X为数列｛/｝的前〃项和，且a：+〃=2S”.

(1)证明：｛凡｝是等差数歹U;

(2)令4=2%,求他+a也-+a3bl+…+%瓦+a1fy.

17.(15分)

【解析】(1)令〃=1,得a；+1=2S[=24,所以6=1：

10/15

4；+〃=2S

由题意得n

+n-\=2Sn_],n>2

所以当〃22时，心。3+1=2%,即(。“一1)2=。3,

所以%—1=或/-1=-^-i

所以4一《I=1或=1.

因为数列｛〃“｝是单调递增数列，所以当〃22时，%>q=l,>1

所以4+q122Hl,

所以〃N2,即｛。』是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)知％=l+(〃-l)x|=〃，所以乩二2".

令S=a｝bn+他一+a3bn_2+…+an_｝b2+岫，

则S=lx2"+2x2"T+3x2”-2+...+(〃—i)x22+〃x2i①

两边同乘以2,得2s=lx2向+2x2"+3x2"T+…+(〃-l)x23十〃x22②

n+132+2

②-①，得S=2+2"+2”T+--+2+2-2«=2(>2)_2/?=2«-2/7-4,

1-2

fl+2

所以哂+a2b“7+4也.2+…+4血+a„bx=2-2/7-4.

18.(17分)

已知〃x)=e2*-or+2,“eR,e是自然对数的底数.

⑴求函数V=/(x)的单调区间：

(2)若关于x的方程/(x)-2=。有两个不等实根，求々的取值范围；

(3)当。=2e时,若满足/(占)=/(%2)&<"),求证：演+/<1.

18.(17分)

【解析】(1)函数/(x)=e2'-ax+2的定义域为R,求导得/'(x)=2e?x-%

当a«0时，恒有/'(x)>0,则函数/(%)在R上单调递增；

11/15

当a>()时，由/'(x)<0,得由/'(x)>0,得x>?n，

2222

即函数/(X)在1上单调递减，在(gln],+8)上单调递增;

所以当a«0时，函数/(x)的单调递增区间为(一巴+8),无单调递减区间；

当。>0时，函数/(力的单调递减区间为单调递增区间为宗+J.

\L乙)122/

(2)方程/")一2=0,即《2'-改=0，当x=0时，方程不成立，则。=匚；

x

令g(x)=B,依题意，方程/。)-2=0有两个不等实根，即直线y="与y=g(x)的图象有两个交点,

X

求导得g'(x)=(2"：)L,当x<0或0<x<：时，gf(x)<0,当时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(-e,0),(0,上单调递减，在上苴调递增，

而当XV。时，g(x)<0,当x>0时，g(-r)>o.旦当丫=；时，g(x)取得极小值g(g)=2e,

作出函数，V=g(x)的大致图象，如图，

观察图象，当。>2e时，直线与函数P=g(x)的图象有两个交点,

所以〃的取值范围为(2e,+8).

(3)当〃=2e时，f(x)=c2x-2cx+2,求导得/'(x)=Ze?*-2c,

由(1)知，函数在(-8,9上单调递减，在+3)上单调递增；

由王<.%且/(再)=/(&)，得

令函数/，(x)=/(x)-/(l-x),,

求导得〃(x)=/'(x)+/'(1_x)=2e2x-2e+2e2(,-x)-2e>2(2y]e2x-e2-2x-2e)=0,

12/15

-叫；)上单调递增，有h(x)〈h

则函数a(x)在=0,于是/(x)v/(lr),

<2>

而x1<g,因此/(再)</(1一王)，即/(/)</(1-再)，

c,I1

又X2>2,

函数/(x)在(g,+8)上单调递增，所以々<1-占，

所以x+w〈I

19.(17分)

e八兀

已知函数/")=-tanx,xe0,—.

COSJI2)

⑴证明：/(x)>2tanx；

(2)已知数列"}满足：0e0,-,3'm=/(。，3〃cN”.记

n\一)

(i)证明：ltan^-tan^+l<2+l；

(ii)是否存在小于义的实数。，使得tanQva"对任意的正整数〃成立？若存在，求。的取值范围；若不

存在，请说明理由.(参考数据：eR«23.14)

19.(17分)

[解析1(1)f(x)>2taiix=----->3tanxoe'>3siavo3e'sia¥<1,

cos.r

设〃(x)=3eTsinx,xe0,扑小)=3e-'(cosx-siiu),

令/(x)>0,得0<x<：,令/⑺<(),得：

n7t

・•・”(x)在((),：)上单调递增，在上单调递减,

4'2