人教版高中数学必修2考点训练：平面与平面垂直（原卷版）

8.6.3平面与平面垂直

【考点梳理】

＞考点一、面面垂直的判定

＞考点二、证明面面垂直

＞考点三：面面垂直性质的应用

＞考点四、二面角的求法

＞考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度

＞考点六、已知二面角的大小求异面直线所成的角

＞考点七：面面垂直的综合问题

【知识梳理】

知识点01、二面角的概念

L定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的按；(2)两个半平面叫做二面角的瓦

3.画法：

4.记法：二面角「一/一6或二面角或二面角PT—O或二面角P-AB-Q.

5.二面角的平面角：(1)若有①。豆/；②O/jz,③O力JJOBJJ,则二面角小一/一£的平面角是口力。心

(2)二面角的平面角a的取值范围是()。忘。或180。.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

知识点02、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面用,就说这两个平面互相垂直.

⑵画法：

(3)记作：a_L6.

知识点03、平面与平面垂直的判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

符号语言/J_a,/u6=»aJ_6

I

图形语言

知识点04、平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言aA.p,aC\fl=l,aUa,

图形语言

【题型归纳】

题型一、面面垂直的判定

1.（2425高一下•全国）对于直线〃?，〃和平面a,B，能得出a，夕的一个条件是（）

A.m±n,tn/la»〃〃夕B.m1n,mu。，nu。

C.ni//n,nLp,〃?uaD.m//n,〃?_La,

2.（24-25高一下•全国）已知直线m力与平面a,夕，y,下面能使夕成立的条件是（）

A.，0工yB.ac\p=a,hLa,be.p

C.aH,aliaD.alia,a1。

3.（23-24高一下•安徽蚌埠期末）已知小，〃是两条不同的直线，4人7是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若mua,nu0,机〃〃，则a〃尸B.若〃?_La,ni1,则aJ■/

若〃则上若夕〃则

C.iua,nu。，m1n,24D.a_Ly,7,

题型二、证明面面垂直

4.（24.25高一下•全国）如图，四面体力BC。中，△/fBC是正三角形，A/CO是直角三角形，NABD=NCBD,

AB=BD.证明：平面4C0_L平面力SC.

5.（2025高三•全国・专题练习）如图，在四棱锥P-/出C。中，底面川5CQ为正方形，"L平面"BCD,"=4。=2,£

为线段PO的中点，F为线段PC（不含端点）上的动点.证明：平面力£/_1平面尸。；

6.（24-25高一下•全国）如图，在三棱锥P-/18c中，/48_LPC,C4=CB,何是的中点.点N在棱尸。上，点。

是AN的中点.

求证：

（l）MZ）//平面4C；

（2）平面处?N'平面PMC.

题型三：面面垂直性质的应用

7.（2025高三•全国•专题练习）如图所示，在三棱锥P-月8C中，平面P/C1平面力8。，PA±AB,/尸力C为锐

角.证明：ABJ.AC；

R

8.（24-25高一下•全国）如图所示，四棱锥尸中，底面/出8是/。"=60。且边长为。的菱形，侧面

为正三角形，其所在平面垂直于底面/13C'。，G为4。边的中点.求证：

(1)8G_L平面左。；

(2)ADLPB.

9.（23・24高一下•内蒙古期末）如图，在直角梯形为8c。中，已知4D〃BC,AD=AB,NB/D=903NBCD=45。，

£为对用线的中点，现将△相。沿8。折起到△P8Q的位置，使平面尸801平面〃CO.求证:

⑴直线PE1平面4CO；

（2）平面尸BCJ_平面PCO.

题型四、二面角的求法

10.（24-25高一下•全国）如图，已知四边形力8c。是正方形，241平面48CO.求:

p

B乜

(1)二面角B-PA-D平面角的度数:

(2)二面角-。平面角的度数.

11.(23-24高一下•河南溪河•期中)如图,在四棱锥尸-488中,底面4BCO为直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,

工平面4BCQ.P4;4B=BC=4,CD=3,A4为侧棱PC的中点.

⑴证明：平面P8C_L平面尸/8；

(2)求二面角M-AD-B的正切值.

12.(23-24高一下•云南昭通•阶段练习)己知如图甲，在梯形48C。中，AD//BC,4ABC=4BAD吟,

4B=BC=24D=4,E,尸分别是力&CO上的点，EF//BC,4E=x,沿E/将梯形48co翻折，使平面4EFD_L

平面EBCF(如图乙).

(1)证明：加•，平面48E；

(2)当x=2时,求二面角。-8尸-E的余弦值.

题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度

13.(23・24高一下•广东洪江•阶段练习)如图,在百四棱柱48CQ-48cA中.底面是边长为2的菱形.

ZJDC=120°.CC,=4,M,N分别是线段。"，8。上的动点，且DV=W8(0</i<1).

⑴若二面角M-4C-G的大小为45。，求的长；

（2）当三棱锥M-ADC的体积为且时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围.

3

14.（23-24高一下•广东茂名）如图1,在RlZ\/18。中，AB1BC,48=2百，BC=2,D、E分别为48、4C的

中点，将△力。£沿。£折起来，使得二面角4-。E-C为120：（如图2）,则48=,三棱锥4-双丫的外接

图I

15.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）如图，在四棱锥尸-力用。。中，已知底面力8c。为矩形，恻面尸力。是正三

角形，侧面产力。，底面力8c。，M是棱尸。的中点，4）=2.

（1）证明：力M_L平面PC。：

（2）若二面角初-8。-。的余弦值为理，求异面直线48与PC所成角的正切值.

3

题型六、已知二面角的大小求异面直线所成的角

16.（23-24高一下,四川南充•期末）已知菱形”CO的边长为2,且48C=120。，将菱形沿对角线4c翻折成直二

面角则异面直线力“与OD所成角的余弦值是；二面角力-8。-。的余弦值是.

17.（22-23高一下•辽宁•期末）如图，已知在矩形力4CQ和矩形/出EF中，48=2,AD=AF=\,且二面角C-48-/

为6。“，则异面直线与8厂所成角的余弦值为.

18.（22-23高一下•广西南宁•期末）如图所示，正四棱锥P-48c。中，。为底面正方形的中心，已知侧面产力力与

底面ABCD所成的二面角的大小为60°,E是/V?的中点.

（1）请在棱与BC上各找一点"和M使平面石〃平面P4C,作出图形并说明理由;

（2）求异面直线尸。与4E所成角的正切值.

题型七：面面垂直的综合问题

19.（23-24高一下•青海•期末）如图，在四棱锥P-4BCO中，底面四边形力8C。是直角梯形,

AD=2AB=2BC=4,AB上/。,力A18C,七是力。的中点，PC1BE.

p

(1)证明：8E_L平面21C.

(2)若PA=PC=26,求二面角8—P/—O的正弦值.

20.(23-24高一下•江苏常州•期末)如图，三棱柱力次？-44G所有棱长都为2,N8£C=60。，()为BC中点、,D

为4c与交点.

(1)求证：CQ〃平面/。片；

(2)若直线DB,与平面AOH.所成角的正弦值为噜，求二面角A-BC-B1的大小.

21.(23-24高一下•福建福州•阶段练习)如图，在四棱锥/>-力8CO中，底面月BCO为正方形，侧面是正三角

形，月6=2,侧面产力。1底面48。。，M是尸。的中点.

⑴求证:4W_L平面PCQ：

⑵求。点到平面P48的距离：

(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面面角的余弦值.

【双基达标】

一、单选题

1.(22-23高一下•天津和平•期末)设/,〃?,〃表示不同的直线，久民7表示不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若。_1夕,7_1/，则。///

B.若///〃？，且m_La,则/J_a

C.希a，则〃?

D.若m工",m工a、n//B，则aJ■万

2.（23-24高一下•安徽马鞍山•期末）已知a,Q是两个不同的平面，，〃，/?是两条不同的直线，下列命题为真命题

的是（）.

A.若a_L夕，a[\p-n,m1n,贝lj加_L£

B.若aJ■月,mLanA,0,则〃?_L〃

C.若a_L力，mLay〃〃/，则〃?!n

D.若〃?_La,nlip,m_L〃，则a_L夕

3.（23-24高一下•重庆）如图所示，四棱锥P-48CQ中，尸41平面力〃。。，且四边形44CQ为矩形,

PA=AD=2AB=2,M为尸。的中点，则CO与平面4cM所成角的余弦值为（）

rx/6

X-/•----D,7

3

4.（23-24高一下•黑龙江•期末）如图所示，三棱锥夕-力4c中，平面力8C_L平面PX8,P%=尸8,力。=。8,则（）

A.POu平面48C

B.「。〃平面力6c

C.P。与平面川文;相交但不垂直

D.平面CPQ_L平面/18C

5.（23-24高一下•安徽黄山・期末）A/IBC中，AB=BC=4,乙48。=120。.。为力。中点，用为线段4。上靠近点。

的四等分点，将△力80沿4。翻折，使A到P的位置，且平面P8Q_L平面5CO,则异面直线与44所成角的余

弦值为（）

6.（23・24高一下,安徽合肥・期末）如图，在矩形48。。中，力4:2,力。=1,河为力〃的中点，将44）“沿。必翻折.在

翻折过程中，当二面角力-8。-。的平面角最大时，其正弦值为（）

二、多选题

7.（2425高一上•湖南邵阳•期末）已知两条不同的直线a,b,三个不同的平面a,/,则下列结论正确的是

（）

A.若a//,a//a,则。/力B.若a10,bly,仪/y,则q/g

C.若a工0,pr\y=ci.则“_10D.若a_La,bu0,alb,则

8.（24-25高一下•全国）如图，在四棱锥P-48c。中，平面尸/。1平面力8C。，PA=PD,E为力。的中点，则

下列结论成立的是（）

A.PELACB.PE1BC

C.平面P8E_L平面力BCOD.平面PHE1平面尸4力

9.（24-25高下•全国•单元测试）如图,在正方体乂夕8-44GA中，。为底面46CN）的中心，河为棱夕4的中

点，则下列结论中正确的是（）

9

A.。。//平面45cB.MO_L平面48G

C.二面角M-4C—8等于90。D.异面直线4G与4c所成的角等于60°

10.（24-25高一下•全国）如图所示，四边形48co中，AD//BC,AD=L48=1,ZBCD=45°t/8力。=90°,将

△48。沿4力折起，点A到达H的位置，此时4。=道，构成三棱维力。-BCD,则（）

J,_______八D

/\

A.平面H8Q_L平面8OCB.平面©8。_1,平面,8C

C.平面HQC_L平面8QCD.平面HDC_L平面48C

11.（24・25高一下•全国•单元测试）如图，在正方体力4。。-44GA中，点p在线段4G上运动，则下列判断正确

的是（）

DC

O4Bi

A.平面GqOl平面力C0B.%P*DBi

C.PpTCD[=yA-.4CDiD.异面直线42与4?所成角的取值范围是

12.（23-24高一下•江苏宿迁•阶段练习）如图：在三棱锥P-ABC中，PA_L面相。YABC是直角三角形，NB=90，

AB=BC=2,/48=45°，点。、£、产分别为力。、川叭8。的中点，则下列说法正确的是（）

A.EF〃平面P4C

B.EfPQ所成的角为45。

C.直线尸尸与平面尸8。所成的隹的正弦值为典

1（）

D.二面角尸—即一。的余弦值为一；

三、填空题

13.（24-25高一下•全国・单元测试）已知腰长为2加的等腰直角△力8C,现沿斜边4。上的高4。翻折，使得二面角

4-力。-。的大小为60。，则点B到力。的距离为.

14.（23-24高一下•天津西青•期木）如图，在正方体力8c力-44GA中，异面直线与4c所成角的大小为

平面BCD.与平面ABCD所成的二面角的大小为

15.（23-24高一下•四川成都•期末）已知菱形的边长为2,乙4叱=].将4。力。沿着对角线力（7折起至4。'力。,

连结8).设二面角。'-力。-8的大小为夕，当。二卷时，则四面体。49C的外接球的表面积为.

16.(23-24高一下•山东济南•阶段练习)已知四棱锥尸-"C。的底面"CO是矩形，侧面210为等边三角形，平

面平面/ACQ,其中40=2,4=3,则四棱锥P-HBCQ的体积为,其外接球表面枳为.

四、解答题

17.(23-24高一下•安徽马鞍山•期末)如图，圆柱。«中，。力是一条母线，48是底面一条直径，C是港的中点.

C

(1)证明：平面R1CJ■平面P8C；

(2)若P4=4B,求二面角4—尸8-。的余弦值.

18.(23-24高一下•福建宁德•阶段练习)如图，在四棱锥中，AD//BC,AD1DC,BC=CD=^AD=1,

E为棱力。的中点，平面/8co.

(1)求证：44〃平面PCE；

(2)求证：平面P/8_L平面；

(3)若直线产力与平面PBD所成角的正弦值为§,求二面角P-CQ-X的平面角的正切值.

19.(23-24高一下•宁夏固原•期末)如图所示，已知力4JL平面力8C,//AA.,4B=AC=2,BC=26，

AA{=^BB}=2,E为5c的中点.

(1)求证：平面力