沪科八年级数学下册-第18章 勾股定理 综合检测

第18章勾股定理综合检测

（满分100分,限时60分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（2022安徽合肥四十八中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的

是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

2.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A.8,15,17B.6,8,10C.5,12,13D.3,5,7

3.（2022北京首师大附中期中汝I图，某公园的一块草坪旁边有两条成直角的小路，公园管理

处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB=40米，BC=30米，则走这条近路AC可以

少走（）

A.20米B.30米C.40米D.50米

4.（2022北京海淀实验中学期中）两只小露鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm,

另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm,1（）分钟后两只小殿鼠相距（）

A.50cmB.120cmC.140cmD.100cm

5.（2022安徽安庆期中）直角三角形中一直角边的长为9,另两边的长为连续自然数，则直角三

角形的周长为（）

A.121B.120C.90D.不能确定

6.若△ABC的三边长a、b、c满足5-»十斤+1）2-（?|=0,贝必ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.（2022安徽合肥五十中月考）下列说法中，错误的是（）

A.在△ABC中，若/C」NB=1NA,则△ABC是直角三角形

23

8.在4ABC中，若NA:ZB:ZC=3：4：5,则4ABC是直角三角形

C.在△ABC中，若NA二NB-NC,则△ABC是直角三角形

口.在4ABC中，若三边长a,b,c满足a：b：c=l：2：V3,则^ABC是直角三角形

8.（2022安徽蚌埠蚌山期中）用三片正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案如图，其中三个正方形

围成的三角形是直角三角形.现有若干片正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中

三片（可重复选取）按如图所示的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大

的是（）

9.如图，小巷左、右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为

0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时•，顶端距离

地面2米，则小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米D.2.4米

10.（2022安徽合肥瑶海期中）如图，在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,

将4DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A，处，则AE的长为（）

io

A—B.3

3

二、填空题（每小题3分，共12分）

11.直角三角形ABC中，ZB=90°,AB=5cm,BC=3cm,则第三条边的长为cm.

12.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E,F均在格点（每个小正方

形的顶点都是格点）上，连接AE,AF,则NEAF的度数是.

A

E

II

13.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线

盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4m,如果把树干看成圆柱体，其底面周长是

0.5m,葛藤盘旋1圈的示意图如图，则这段葛藤的长是m.

14.（2022安徽安庆期中）在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则△ABC的周

长是.

三、解答题（共58分）

15.（6分）如图，在RSABC中,NC=90。，点D是AC上一点，ZBDC=45°,AB=13,BC=5,

求AD的长.

16.（6分）一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图，根据图中标出的尺寸（单位：mm）,

请计算两圆孔中心A和B之间的距离.

17.（6分）4x4的正方形网格如图，每个小正方形的边长是1.如果△ABC的顶点A，B，C三点

都在格点（小正方形的顶点）上，BDJ_AC于点D,求BD的长.

18.（6分）如图，有一块四边形空地ABCD,现计划在该空地上种草皮，经测量NA=90。，AB=3

m,BC=I2m,CD=13m,AD=4m.若每平方米草皮需100元，则需投入多少兀？

I)

B

19.（2022北京燕山期中）（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,

NB=90。，求该四边形ABCD的面积.

20.（2020北京交大附中期末）（8分）利用勾股定理可以在数轴上画出表示例的点，请依据以下

思路完成画图，并保留画图痕迹.

第一步：（计算）尝试满足亚=唾排+"（aAb）,使其中a,b都为正整数，选取的正整数

a=,b=.

第二步：（画长为例的线段）以第一步中选取的正整数a,b为两条直角边长画RtAOEF,使

O为原点，点E落在数轴的正半轴上，ZOEF=90°,斜边OF的长为例.

请在下图的数轴上画图：（尺规作图，不要求写画法）

6173456,

第三步：（画表示圆的点）在上面的数轴上画出表示画的点M,并描述第三步的画图步

骤：.

21.（2022安徽定远期中）（8分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,

B,其中AB二BC,由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在

河边新建一个取水点D（A、D、B三点在同一条直线上），并新修一条路CD,测得AO6.5千

米，CD=6千米，AD=2.5千米.

(DCD是从村庄C到河边最近的路吗?请通过计算加以说明;

⑵求原来的路线BC的长.

北

________________+

22.(10分)如图，在RtZkABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=10cm,点P从点A开始沿AB

边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s,点P、

Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.

⑴几秒后，PQ的长度为3必cm?

(2)几秒后，△PBQ的面积为8cm2?

(32PBQ的面积能不能是14cm2?请说明理由.

第18章勾股定理综合检测

答案全解全析

一、选择题

1.C・・・1+2=3,，不能组成三角形，选项A错误；

・・・22+32阴，・••不能组成直角三角形,选项B错误;

•••32+42=52,・••能组成直角三角形,选项C正确;

・・・42+52彳6、・••不能组成直角三角形，选项D错误.

2.D82+152=172,且都是正整数，是勾股数，选项A不符合题意;

62+82=102,且都是正整数，是勾股数，选项B不符合题意；

52+122=132,且都是正整数，是勾股数，选项C不符合题意；

32+52,72,不是勾股数，选项D符合题意.

3.A在RsABC中，AB=40米，BC=3()米，

AAC=V3024-402=50(*),30+40-50=20(米)，

・・・走近路AC可以少走2()米.

4.D两只小噩鼠10分钟所挖的距离分别为80cm,60cm,

•・•正北方向和正东方向构成直角，

・・・由勾股定理得床6。2+8()2=i()o(cm),

・••其距离为100cm.

5.C设另一直角边的长为a,则斜边的长为a+1.

根据勾股定理得(a+lRa2=92,

解得a=40,则a+1=41,

所以直角三角形的周长为9+40+41=90.

6.CV(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,

/.a-b=0»a2+b2-c2=0,

a=b,a2+b2=c2,

•••△ABC为等腰直角三角形.故选C.

7.B在△ABC中，若NC=；N[]=；NA,

则ZA+NB+NC=3ZC+2NC+NC=6NC=180°,

AZA=3ZC=90°,是直角三角形，选项A不符合题意；

在aABC中，若NA：ZB：ZC=3：4：5,

则最大角NC=18（rx'=75。，不是直角三角形，选项B符合题意；

3+4+5

在△ABC中，若NA=NB-NC,则NB=/A+NC=90。，是直角三角形，选项C不符合题意;

•・・12+（6）2=22,.・・△ABC是直角三角形，选项D不符合题意.

8.B・・•五种正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,・••五种正方形纸片的边长分别是1,V2,

邪,V4,V5,由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积,

当选取的三片正方形纸片的面积分别是1,4,5时，1+4=5,围成的三角形是直角三角形，面

积是江=1;

2

当选取的三片正方形纸片的面积分别是2,3,5时，2+3=5,围成的三角形是直角三角形，面

积足—;

22

当选取的三片止方形纸片的面枳分别是3,4,5时，3+4*,围成的三角形不是直角三角形;

当选取的三片正方形纸片的面积分别是2,2,4时,2+2=4,围成的三角形是直角三角形，面

积是史

2

・・・日＞1,・.•若所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三片正方形纸片的面积分

别是2,3,5.

9.C在RtAACB中，*.*ZACB=90°,BC=0.7米，AC=2.4米,

.\AB2=0.72+2.42=6.25.

在RSA'BD中，・・・/A'DB=90。，A'D=2米,

・・・BD2+A'D2=A'B2.

XVAB=A'B,

/.BD2+22=6.25,

VBD>0米，

/.BD=1.5米，

・・・CD=BC+BD=0.7+1.5=22（米）.

故选C.

10.A在RSBCD中，AB=CD=12,BC=5,

由勾股定理得BD=vna2+nn2=i3,

由折叠可知AE=AE,AD=BC=DA』5,ZA=ZDA'E=90°,

AA'B=BD-DA'=8,ZBA'E=90°,

设AE=A'E=x,则BE=12-x,

在RSABE中，由勾股定理得AE2+AB?=BE?,

/.X2+82=(12-X)2,解得X3，

故AE的长为:

二、填空题

n.Voa

解析在RSABC中，ZB=90°,AB=5cm,BC=3cm,

/.AC=VDD24-DD2=V52+32=V34(cm),

，第三条边的长为5/可cm.

12.45°

解析连接EF,如图所示，

R--------------------C

每个小正方形的边长为I,

贝I」AE=V12+22=V5,EF=\/12+22=小,AF=V12+32=VT6,

AE2+EF2=(V5)2+(A/5)2=5+5=1O=(>AO)2=AF2,

•••△AEF是直角三角形，ZAEF=90°.

XVAE=EF,

.*.ZEAF=ZEFA=45O.

故NEAF的度数是45。.

13.2.6

解析,.・葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4m,

・••葛藤绕树干盘旋1圈升高1.2m,如图所示，

则AC=VOD2+DD2=V0.52+1.22=1.3(m).

・••这段葛藤的长=2x1.3=2.6(m).

14.42或32

解析此题应分两种情况：

⑴当△ABC为锐角三角形时，如图1,

在RIAABD中，BD=VnD2-OD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=VnD2-DD2=V132-122=5,

/.BC=5+9=14,

/.△ABC的周长为15+13+14=42；

(2)当△ABC为钝角三角形时,如图2,

在RtAABD中，BD=VOO2-DD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=VnD2-no2=V132-122=5,

ABC=9-5=4,

AAABC的周长为15+13+4=32.

综上所述，△ABC的周长是42或32.

三、解答题

15.解析在RQABC^,AC=Vnn2-DO2=V132-52=12.

VZC=90°,ZBDC=45°,BC=5,

ACD=BC=5,

AAD=AC-CD=12-5=7.

故AD的长为7.

16.解析ftRtAABCAC=150-60=90(inm),

BC=180-60=120(mm),

/.AB=Von24-DD2=V902+1202=150(mm).

答:两圆孔中心A和B之间的距离为150mm.

17.解析如图，过点A作AE_LBC于E,贝UAE=4,

所以“BC的面积=；BC・AE=；x4x4=8.

在RIAACE中，由勾股定理得AC=V32+42=5.

/.△ABC的面积/AC-BD=8,

2

ABD=-.

5

18.解析连接BD,如图.

VZA=90°,AB=3m,AD=4m,

.*.DB=VaD2+DD2=y/32+42=5(m).

VBC=12m,CD=13m,

/.BD2+BC2=DC2,

•••△DBC是直角三角形，ZDBC=90°,

ASADBC-SAABD=;X5x12-^x3x4=24(nr).

・••需投入总资金为100x24=2400(元).

干'

R

19.解析VAB=6,BC=8,ZB=90°,

.*.AC=VQD2+an2=V62+82=IO.

VCD=24,AD=26,

・・・AC2+CD2=102+242=676,AD2=262=676,

.-.AC2+CD2=AD2.

•••△ACD是直角三角形，且/ACD=90。,

故四边形ABCD的面积=△ABC的面积+