2026高考数学复习：变量间的相关关系及回归模型（附答案）

变量间的相关关系及回归模型

（分值:84分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.（2020•全国I，理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单

位:℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据8M）（i=l,2,…,20）得

到下面的散点图：

o<----------->----------1----------1----------»

010203040温度/OC

由此散点图，在10℃至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x

的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=q+blnx

2.（2024•上海,13）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是

（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

3.已知变量x与y的取值如下表：

X12345

y57-m89+〃711

且y对x呈现线性相关关系，则y与x的经验回归方程y=4什0必经过的定点为（）

A.（l,5）B.（2,7-⑼C.38）D.（5,ll）

1

4.对某种动物的三项指标48c进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指

标为.若（明瓦）与3,G）的散点图如图1和图2所示，那么关于（加,G）的散点图最

合理的为（）

6

5

4

3

2

1

0123456A

图1

7

6

5

4

3

2

1

0123456A

图2

77

66

55

44

33

22・.・・•.

1

A0123456BB0123456B

C

77

66

55••

44

33

22

1

Co123456BD0123456B

5.已知由样本数据（为,乂）（，=1,2,3,…,6）组成的一个样本，得到经验回归方程为y=2x+0.5,且又=6,

增加两个样本点（-1,3）和（5,10）后，得到新样本的经验回归方程为y=2.5x+b.在新的经验回归

方程下，样本（4,9）的残差为（）

A.-2B.-0.5C.0.5D.2

2

6.根据变量y和》的成对样本数据，由一元线性回归模型篇量篇二得到经验回归模

型;=£+；,对应的残差如图所示，则模型误差()

-20406080100观测时间

A.满足一元线性回归模型的所有假设

B.只满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设

C.只满足一元线性回归模型的Q(e尸标的假设

D.不满足一元线性回归模型的E(e)=0Q(e)=/的假设

7.观察变量x与j，的散点图发现可以用指数型模型/拟合其关系，为了求出经验回归方

程，设z=l”,求得z关于x的经验回归方程为;=2x-l,则片,k=.

8.(13分)某公司为提升A款产品的核心竞争力，准备加大A款产品的研发投资，为确定投入

A款产品的年研发费用，需了解年研发费用x(单位:万元)对年利润兴单位:万元)的影响.该公

司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与会利润的数据,得到如图所示的散点

888

图.经数据分析知/与x正线性相关，且相关程度较高.经计算得，E斯=80,£切=200,S。厂

t=1i=1i=l

8

3)2=250,E84)8历)=500.

i=1

y

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

02468101214161820X

AAA

(1)求y关于x的经验1Hl归方程y=bx+a;

3

（2）若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方程，预测

年利润为多少万元.

n

人£（xrx）（yry）AA

附为=--------,a=y-bx.

综合提升练

9.已知变量y与变量x的关系可以用模型y=,eC2x（C1,c2为常数）拟合，设z=lny,变换后得到

一组数据如下：

X23456

z1.021.201.421.621.84

由上表可得经验回归方程为z=0.206x+a,则5=（）

A.0.206B.c0-206

C.0.596D.c0596

10.（2025•海南海口模拟）已知变量x和变量y的一组成对样本数据（历,乂）«=1,2,3,…川,其经验

A

回归方程为y=6x+a,若X/F+4,W=M-1,新样本数据8'M（i=1,2,3,…⑼得到的经验叵归方程

A

依然为y=6x+a,则b=（）

A.-4B.4C.4D.7

44

1n

11.（多选题）（2026・广东佛山质量检测）有一组成对样本数据但加）/2必），…,设又=-S

ni=l

1n

马歹=：£%，由这组数据得到新成对样本数据g五为彳）.（必兄乃-力，…,E-京力力，下面就这两

组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平

方和，则下列选项正确的有（）

4

n

八Zx）（yry）AA

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为£=--------坦=歹-位.相关系数

2

i（xrx）

f=1

n__

£（xx）（yy）

i=I___r_____r______

尸丁^Z~n~■

）

S（XCX）2£（y广歹2

q>=ii=i

A.两组数据的相关系数相同B.两组数据的残差平方和相同

C.两条经验回归直线的斜率相同D.两条经验回归直线的截距相同

12.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重做单位:克）与脉搏率负单位:心跳次数/

分钟）的对应数据（用工）（尸1,2,…,8）,根据生物学常识和散点图得出/与〃近似满足

8

户c渺（c★为参数）.令斯=ln肌,％=ln计算得1=8,歹=5,2W=214.由最小二乘法得经验回归

i=i

方程为;=晨+7.4,则k的值为;为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值；

。=1,2,…,8）,若残差平方和V&厂匕）2n）.28,则决定系数用y.（参考公式:决定系数

i=1

£（yr匕产

R2=l-耳-----）

i（yry）2

i=1

13.（15分）2024年某养殖基地考虑增加人工投入,根据市场调研与模拟，得到人工投入增量

x（单位:人）与年收益增量兴单位:万元）的数据和散点图分别如下：

V234681013

V13223142505658

年收益增量W万元

60..

50・

40•

30•

20,

10,

51015人工投入增§tx/人

根据散点图,建立了y与x的两个回归模型：

模型①:y=4.lx+11.8;模型②:y=6代+a

⑴求出模型②中y关于x的经验回归方程（精确到0.1）;

5

(2)比较模型①、模型②的决定系数k的大小，说明哪个模型拟合效果更好,并用该模型预

测,要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人?(精确到整数)

经验回归方程；=£+；的系数：

n_n__nA

2

八Zx(yi-nxyZ(xrx)(yry)AA£(yry.)

b=丹------=J------------,Q=歹一匕五模型的决定系数:R2=|一甲------.

£蜻nx2£(x(-x)2E(yry)2

1=1I=1i=1

AAA77

参考数据:令t=^My=4+a,且上2.46萨38.86,£(北Xr用户80.97,£(3X78;模型①中

t=1i=i

yAyA

S。厂匕)2=182.42;模型②中£什厂匕)2=74.12.

1=1£=1

6

参考答案

变量间的相关关系及回归模型

1.D解析结合题中散点图，由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型，故应该选

用的函数模型为

2.C解析成对数据相关分析中，若相关系数为正数，则两个变量的值多为同时增加或同时减

少.由此可知A,B,D选项错误,C选项正确.故选C.

3.C解析由于又「+2+广4+5=3,乃5+(75)+8；(9+叫+38,

则线性回归方程必过定点(3,8).故选C.

4.A解析因为指标43满足正相关,指标力。满足负相关，可知指标员。满足负相关，故C

错误;且(曲皿£(4,6),(办回£(5,7)片N：故B,D错误.故选A.

5.C解析设新样本的均值为V又则？=生产=5,歹=6"；+1。=1],所以1]=2.5乂5+/,解

得[=-1.5,所以新样本的经验回归方程为y=2.5x-L5,预测值y=2.5x4-1.5=8.5,所以残差为9-

8.5=0.5.故选C.

6.D解析根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0,方差为〃的随

机变量的观测值，在残差图中显示应均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区

域内.而图中的残差与观测时间存在线性关系，说明均值不为0,残差的方差不是一个常数，所

以不满足一元线性回归模型的所有假设,故选D.

7.e"2解析由题意知Jny=2x-1,所以y=e2x"=e-Le*又产。*所以。=e",解得％=2.

88

8.解⑴I,Zx尸80,Z必=200,

i=1i=1

88

/.x=1=<?iy<=25.

88

88

72

.Z(^-x)=250,(xrx)(j7-y)=500,

i=ii=i

7

8

,，「歹)500f

・・力=§=250=2,

2俨⑨2

，a=y-bx=25-2xl0=5.

故y关于x的经验回归方程为y=2i+5.

A

(2)由(1)可得,y=2x+5.

・••当x=30时,>=2x30+5=65.

・••对A款产品投入30万元年研发费用，年利润约为65万元.

9.D解析由表格中数据得数=2+3+：+5+6=4,

-1.02+1.20+1.42+1.62+1.84,

z=----------------------=1.42,

AAA

代入方程，得1.42=0.206X4+Q,解得Q=0.596,因此z=0.206x+0.596.

由产**两边取对数，得Iny=c2x+lncb

又z=lny,所以,2=0.206,Inq=0.596,即ci=e°$96故选D.

.c^+匚、n一八，+X2+…+x—yiy2

10.C解析idx=-----------n,y=-----------,

则？=（不+4）+（必+：）+…+（芍+4）=又+4,同理£二。1,

所以点（蒜）丘+4,词）都在直线、心+夕上,所以g=岁衰;2n.“

iy-1-u\x十一j十a,

解得g］故选c.

H.ABC解析由于新成对样本数据但无历02-元力-歹）,…,（用广五弘广歹）,其平均数分别为％'=

（%「歹）+（%2-歹）+…+（Xn-歹）_（*1+）2+…+小nA同理不一（3厂,）土（及-历+…+（力-力_

(yi+y2+.・・+y〃)-〃丁二。

n

，〃勺・x)(yry)2四-%)(y「歹)

这样根据公式b=-----n---------------,尸=~Inn

Z(M-XI2E(xrx)2E(y,-y)2

f-17“i«■i

8

用样本数据减去平均数得片-1与新成对数据(X厂分%'=(》月)-0=M-五

用样本数据减去平均数得歹;与新成对数据(yry)-y'=(vry)-0=y；-y,

即它们每一个对应数据的差值都是一样的，

这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同，故A,C正确；

由于回归宜线经过样本数据的样本点为区歹),而新数据的样本点为(0,0),

即样本数据的回归