2026年高考数学一轮复习（核心题型讲义+专项突破练习）模块01 集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）学生版+解析

模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把

正确的选项填涂在答题卡相应的位置上

1.已知全集。=2,集合A={M-5<X<2,XCZ},B={0,1,2,3,4},则（，A）U8=（）

A.{.v|x<-5ngx>0,xeZ}B.{小<-5或x>0,xwZ}

C.1.t|x>0,xeZ|D.x>0.xeZ|

2.（2025.北京•模拟预测）已知集合A={H-1VXV2},B={X|（X-1）（A-3）>o},则一圈=（）

A.{x|-lvx<l}B.{x|l<x<2}C.{x|-l<x<2)D.{x|-l<x<3)

3.已知全集U=R,集合A={01,2,3},8={-2,-1,0.1},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-2,-l,0,l,2,3}B.{0.1}C.{2,3}D.{-2,-1}

4.（2025•江苏苏州•模拟预测）已知为全集U的两个不相等的非空子集，若代砌）=（“2）,则（）

A.NXGM、XGNB.BXWN,X史M

XG

C.M,xeND.VNyx^\,M

5.（2025•广东•模拟预测）已知集合从=3国4}1={也/一厂》},则Ap|3=（）

A.B.[-UJC.D.R

6.（2025•陕西西安•模拟预测）若〃:心>0,欣+/+2>0,则（）

A.。是真命题，且—1〃:Hv>0,lnx+厂+2工0

B.P是真命题，K-«p:<0,liu+x2+2<0

C.P是假命题，且「pJxAOJnx+.r+2WO

D.户是假命题，且「〃与式K0,1陵+/+2《（）

7.（2025•江西景德镇•模拟预测）已知向量力=（工1）石=（3,-），）,5=（1,1）,若在3上的投影向量用等，则/+丁的

最小值为（）

A.2B.1C.jD.-1

8.（2025•浙江宁波•模拟预测）记数列｛《｝的前〃项和为S“，若存在实数M>0,使得对任意的都有

则称数列｛%｝为“和有界数列已知｛《｝是等比数列且公比为4,则“|同<「是”｛4｝是和有界数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9.（2025•甘肃庆阳•模拟预测）已知非零实数乂），满足则下列不等式一定成立的有（）

3

A.y>xB.log3|y--«|>0

C.->->0D.20252V+,>2025?山

xy

10.（2025•福建三明•三模）以下结论正确的是（）

A.若/+/=1,则。+〃的最大值为血

B.若（〃+1）（人+1）-4,则.+匕

C.若。>0,b>（）,贝的最小值为2及

ab

D.若夕«0,兀），则上后2

sin'0cos*0+\

11.（2025•安徽合肥•模拟预测）定义集合M”（〃）={xeN“|x<m'\nuneN\/n>2},={xeMn\且

集合N.如中元素的个数为“他）.下列说法正确的是（）

A..V2（4）=｛1,5,7,11,13｝

B.，如）=4X12"T

C.存在p,如£N*,p<q<1,使得小〃）+乩2@=靖明成立

wII

D.记国表示不超过x的最大整数，且Sa=XhT7,则[S〃]=3.

1=1ni2（i）~1

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12.（2025•辽宁•二模）命题p:“3xe[-1,3],/-2x-K0”是假命题，则〃[的取值范围是.

13.（2025•河南•模拟预测）已知"2-可旦7?q®-m<（m>）,若4是P的充分不必要条件，则实数加

的取值范围是.

14.（2025・广东珠海•模拟预测）已知｛/｝是公差不为。的等差数列，且6,出，4成等比数列，若凡是数列｛q｝的前

S+18（/.

〃项和，则二n——1的最小值为.

四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（2025•辽宁沈阳•模拟预测）己知V4BC内角A,B,C的对边分别为a”,c•，点G是V/WC的重心，且而•而=0.

C

(1)若NGA8=g,求tan/GAC的值;

⑵求cosZACA的取值范围.

16.(2025・湖北•三模)在VA8C中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且满足csinB-几osC-g=0.

o/

⑴求C；

(2)若A4边上的高C。为求A8的最小值.

17.(2025・湖北•三模)已知f(x)=-^+a(6-a)x+6.

⑴解关于〃的不等式/(1)>0

⑵若不等式〃月>〃的解集为(T3).求实数a.b的值.

18.(2025•山东临沂•二模)对集合A8,定义集合4/3=卜卜£人工名3或"3」色.，记因为有限集合X的元素个

数.

⑴若A={1,2},8={2,3,4},求43；

(2)给定集合S={1,2,3,4}的子集M,求集合{x|XcS,|X^M|=l}的元素个数；

(3)设ABC为有限集合，证明：卜△。44△回+|8Zkq.

19.(2025・四川•一模)己知定义在R上的函数“X)满足/(0)=0,且Vd9eR(内＜%),有/(%)K/伍).若存在

丁〉0,使得函数g(x)=/(x+T)-/(M是常函数，则称/(力是“7-阶梯函数

⑴若是“1-阶梯函数”，且当x«05时，/(x)=Mx-l)+2,写出女,/弓)的取值范围；

⑵己知/(6满足：①/(5)=a(〃eR)；②V.teR,有[/(x+2)-〃x)]c{l,3}.

(i)证明：/(”是“2-阶梯函数”的必要条件是“aW2,3]U[69]”；

(ii)若所有满足条件①②的函数/("均为“2-阶梯函数”，猜想。的取值范围并证明.

模块01集合与常用逻辑用语与、等式(测试卷)

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把

正确的选项填涂在答题卡相应的位置上

1.己知全集。=2,集合A={x|-5<x<2,xwZ},B={0,l,2,3,4},则@A)|J8=()

A.{#4-5或xN0,xtZ}B.{兄％<-5或工>O,xwZ}

C.1,v|x^0,xeZ}D.{x|x>O.xeZ}

【答案】A

【知识点】交并补混合运算

【分析】先求出集合A的补集，再利用并集运算求解即可.

【详解】由题可得。诲={4三-5或x22,xeZ},则&/)=3=卜|]4-5或xNO,xeZ}.

故选：A

2.(2025•北京•模拟预测)已知集合4=3—l<x<2},B={K|(X-18-3)>o},则Af)〃—()

A.{x|-l<x<l}B.{x|l<x<2}C.{止l<x<2}D.{x|-l<x<3)

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据一元二次不等式化简集合8,再根据交集的运算求解即可.

【详解】因为8={x|(xT)(x-3)>0}={x|xvl或x>3},

又4={+1<%<2},

所以人口8={止1<工<1}.

故选：A

3.已知全集U=R,集合4={0J2,3},4={-2,则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-4-1,0,U2,3}B.{0,1}C.{2,3}D.{-2,-1}

【答案】D

【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合

【分析】由阴影部分可知对应的集合为8c（屯力，即可得到结论.

【详解】阴影部分对应的集合为8c（Q,A）,

•・,全集U=R,集合A={0』,2,3},8={-2-W},

••・8c（Q.A）={_2,T}.

故选：D

4.（2025♦江苏苏州•模拟预测）已知为全集U的两个不相等的非空子集，若（秒0）£（/），则（）

A.B.任M

C.任M,xeND.VxeN,K任Q,,M

【答案】D

【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假

【分析】由（削）g（”）得到NqM,再逐项判断即可.

【详解】由（枷）«/），可得NqM,

所以错误，壬M错误，

大史MueN错误，PXGN、XWM,即正确.

故选：D

5.(2025•广东•模拟预测)已知集合4={刈乂力},3={也/—工_]><)},则()

(11A

A.,1B.[—1,1]C.-h——'D.R

I2)L2)

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的•元二次不等式、公式法解绝对值不等式

【分析】化简集合A8,根据交集运算求解.

【详解】由人={/|一1式3式1|},A=,xx<_；或x>l},

所以ACB=

故选：C.

6.(2025•陕西西安•模拟预测)若〃:Wx>0[nx+/+2>0,则()

A.P是真命题，M-./?:3x>0,lux+x2+2<0

B.〃是真命题，Kip：3x<0Jnx+x2+2<0

C.〃是假命题，且h>0,山+/+240

D.。是假命题，-yp:3x<O.lru:+x2+2<0

【答案】C

【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算

【分析】先利用特殊值判断命题〃的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案.

【详解】因为当”时，山+/+2=-3+《+2=*-1<0,所以P是假命题，

因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以-ipHx>0,lnx+/+240.

故选：c.

7.（2025•江西景德镇•模拟预测）已知向量。=（乂。出=（3,-），）忑=（1,1）,若注石在1上的投影向晟用等，则丁+^的

最小值为（）

A.2B.1C.gD.-1

【答案】A

【知识点】数量积的坐标表示、条件等式求最值、求投影向量

【分析】由投影向量的定义及向量相等得73=%人再应用向量数量积的坐标表示得x+y=2,最后应用基本不等式

求目标式的最小值.

【详解】由题意竺£=2二二，可得入故.1+1=3-，即x+y=2,

|c|\c\\c\\c\

所以/+y2之任誓.=2,当且仅当x=y=l时取等号，

所以/+y2的最小值为2.

故选：A

8.（2025•浙江宁波•模拟预测）记数列"｝的前〃项和为S“，若存在实数M>0,使得对任意的都有

则称数列｛q｝为“和有界数列已知｛《｝是等比数列且公比为明贝1]“|4<1”是“｛4“｝是和有界数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、求等比数列前n项和

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前〃项和公式推理判断即得•.

【详解】因为｛4｝是等比数列,由。<冏<1可得：

故"公比I1|<「是"MJ是和有界数歹『的充分条件；

反之，若取，=-1，则|S“区同<同+1=也即此时乩｝是和有界数列，

故"公比时<1"不是“｛叫是和有界数歹『’的必要条件.

故选：A

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四分选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9.（2025•甘肃庆阳•模拟预测）已知非零实数满足£萨>“一丫，则下列不等式一定成立的有（）

A.）3B.log3|y-^>0

C.->->0D.20252V+,>20252X+,

人y

【答案】AD

【知识点】比较指数幕的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小

【分析】由题意结合函数/（X）=e、+2i单调性可得入yy.对于A,由作差法可判断选项正误；对于B,由对数函数单

调性可判断选项正误；对于C,通过举特例可判断选项正误；对于D,由指数函数单调性可判断选项正误.

【详解】由题意可得ev+2y>e、+2x,对于函数/（x）=e，+2x,f（x）=ex+2>0

则/（同在R上单调递增，结合e，+2y>e，+2%,可得“<上

对于A,丁3-丁二（广司（X2+丁+孙）=（），一力卜+1）+|/>0,故A正确；

对于R,由xvy不能判断与1的大小，故R错误：

对于C,®x=-2,y=-l,此时C不成立，故C错误；

对于D,因为由指数函数的单调性易得202函刈>202529,故D正确.

故选：AD.

10.（2025・福建三明•三模）以下结论正确的是（）

A.a2+b2=1»则的最大值为加

B.若（a+l）S+l）=4,则a+b22

C.Jf6/>0,/?>0,则4~+匕~~1—^的最小值为2及

ah

D.若ew（O,7C）,则忖2

sin'0cerL8+l

【答案】ACD

【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不

等式‘T'的妙用求最值

【分析】利用重要不等式可得到（。+〃）七2,进而可判断A；将原式展开结合基本不等式可判断B；利用基本不等式

可判断C,注意等号成立的条件：利用常值代换结合基本不等式可判断D.

【详解】对于A,（a+32=/+〃+2H=l+2a〃G+（/+〃）=2,

当且仅当。=。=4时等号成立，所以-04a+bW0,故A正确；

对于B,(4+1)。+1)="+。+6+1=4,所以"=3_(〃+与工^^-，

即（a+〃Y+4（a+〃）—12N0,解得a+〃之2（当且仅当。=8=1时等号成立）或a+8K-6（当且仅当々=〃=一3时等号

成立），故B错误；

对于C,因为。>0,/?>(),所以/+〃+-!722a〃十二22夜，

abab

a=b厂

1,即/="=J2时等号成立，故c正确;

当且仅当

2ab=—2

ab

1111Jsin?夕+cos?夕+1)

对于D,

sin20cos20+\2\sin20cos?0+1

2,cos20+\sin、。+1>1(22)=2,

1+---；——+——；----+

2sin*COS26>+1

当且仅当8s2"1=S!?,即cos&=0,sin^=l,即0=1时等号成立，故D正确.

sin”cos26^+12

故选：ACD

11.(2025•安徽合肥•模拟预测)定义集合M,tt(n)={xGN"|x<m\m,neN;/n>2),N小产{xe%|x032且

%H2Z«eN'},集合N,叫中元素的个数为"小).下列说法正确的是()

A.必⑼={1，5,7,11,13}

B.%)=4皿

C.存在p,q"wN*,p<q<f,使得耳(0)+)断)=耳不)成立

D.记国表示不超过x的最大整数，且万一二7,则⑸]=3.

*1“120厂I

【答案】ABD

【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、集合新定义

【分析】直接利用给定定义M2{4)={xeN"xK16},进而求出符合条件的数字为L5,7,11,13判断A,找到被3整除，被

2整除,被6整除的数字个数,进而得到乜2㈤判断B,先假设等式乜2(P)+"%)=H|刈成立,再找出左右两侧的矛盾

判断C,对的情况进行讨论，结合放缩法判断D即可.

【详解】对于“阳=2,〃=4,M*)={xeN"|E6},

在不大于16的所有正整数中，即不能被3整除又不能被4整除的数有1,5,7,11,13,

.•.乂⑸={1,5,7,11,13},故A正确；

因为在不大于12”的所有正整数中，

能被3整除的有12三"个，被2整除的有12二"个，被6整除的有12二”个，

326

z,ZIrt

所以〃如广⑵-彳-f19+?|7=彳I7,%.)=4、12口故B正确

32o3

若"l2(p)+"12(g)="[4),则三"+-^二3-'即12,+⑵=12''

Qp〈q<i,.•.1+12〃〃=12'〃，

等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，

故不存在p,q/wN*,〃v”f,使得“12（0+"12®="12⑴成立；故C错误;

当〃时,S=£,[Sj=3,

1111123

_n<n',7J

当〃之2时，H_]412-'-l4l2"IF

11

r.r.,,Iz1G_vHJ111)113111113

所以当〃之2时，S,,='瓦/1<§+31五+谖+…茂才卜§+百［1一声卜§+五

所以当〃之2时，3<5„<4,则［S1=3,故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12.（2025•辽宁•二模）命题G[—1,3],x2-2x-m<0”是假命题，则/〃的取值范围是

【答案】（ro,-1）

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】根据题意，力为真命题，恒成立问题分离参数求解.

【详解】由题，w：Vxe[—-2]-〃00为真命题,

所以7M<X2-2X,对XC[-1,3],

又y=f-2x在xe[T,3]上的最小值为-1,

w<-1,

所以实数”的取值范围为（田，-1）.

故答案为：（-8,-1）.

13.（2C25・河南•模拟预测）已知〃[2-驾旦7?/母―—6<W>），若"是P的充分不必要条件，则实数加

的取值范围是.

【答案】［ol

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式

【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出〃和q对应的等价条件，再结合夕是P的充分不必要条件得到

集合间的包含关系，则参数机的范围可求.

【详解】由〃：|2-34工7可得一7«2—3%«7,即《W3,

由qQx?-489?-m<（m>）可得（x-21W9m2（m>），即-3〃z+2WxW3〃z+2（>0）,

又因为9是P的充分不必要条件，所以［-3m+2,3m+2］*-|,3,（m>0）,

一3冽+2>——

3

解得加€（0±］,

所以］3加+2<3（等号不同时成立）,

m>0

故答案为：（0，?.

14.（2025♦广东珠海•模拟预测）已知｛.｝是公差不为0的等差数列，且4,%，4成等比数列，若S”是数列｛q｝的前

S+184

〃项和，则上n——1的最小值为______.

an

13

【答案】y

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值

【分析】设等差数列的公差为"（dwO），根据4,%,%成等比数列，可得4=d,利用等差数列的前〃项和公式化简

啊,然后利用基本不等式求出最值即可.

【详解】令｛q｝的公差为d（dH。），••・％，电必成等比数列，

«；=4%,(4+d)=q(4+3d),「•4=d,an=nd

n(n-1),.c,n(n-\),…，

S“+18%叫+~"2""Ind+-d+l8d

13

」〃+竺+」.3+L2X3+L

2n22n22T

|1Q

当且仅当:〃=吧，即〃=6时取等号.

2n

13

故答案为：y

四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（2025•辽宁沈阳•模拟预测）已知VMC内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,点G是VABC的重心，且而•而=0.

⑴若NGAB=g,求tanNGAC的值;

（2）求cos乙4c8的取值范围.

【答案】（1）当

4

⑵（，1）

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值

【分析】（1）延长CG交A8于点O,利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得.

（2）利用余弦定理可得〃+尸=5°2,再利用余弦定理及基本不等式求出范围.

【详解】（1）延长CG交AB于点。，由G是VA8C的重心，得。为线段A8的中点，且。G=gGC,

c

由而屈=0,得GA_LG4,则力G=O4=Jc,GC=2DG=c,

又NG4Q=g,则AGAD是正三角形，4G=；c,在^AGC中，记NC4G=a,

1

-c

AGCG

由正弦定理,即2

sinZACGsinasi*a)sina

WJ-sine?=sin(--cjf)=—coscjf--sintf,即sina=—coscr,

23222

g、isina=^~,UPtanZC4G=

所以lana=------

cosa22

3AC2+AB2-BC2b2+c2-a2

(2)由(1)知CQ=；c,在VA3c中，cosZBAC=

2-AC-AB2bc

在△入6中,2AD-AC

于是从+‘2-"2二生,整理得/+6=5。2,

2bcbe

在VA4C中，cosNACB="二十"二,二="丁/"一)，士,当且仅当。=〃时取等号，

2ab5ab5

4

又N4C8e(0,7r),所以cosZACB的取值范围为1,1).

16.(2025•湖北•三模)在V48C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足csinB-Acosje-J[=0・

I07

⑴求C;

(2)若4?边上的高CZ)为6，求人"的最小值.

【答案】(1)C=T

J

(2)2

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值

【分析】⑴由正弦定理〃sinC=〃cos(cq)化简得tanC=6由此即可得解；

(2)方法一：设/ACO=a(0<av，，则N8CO=[-a,将A8表示为。的三角函数，令f=l+^tana,可得

I”3

4

AB=t+--2结合基本不等式即可求解；方法二：由余弦定理结合基本不等式可得然后根据三角形

tf

面积公式得AB222AB，由此即可得解.

I)c

【详解】(1)在V48C中，由正弦定理一i=「7,可得bsinC=csin8,

sinlisinC

又因为csinB-方cosC--=0,所以。sinC=Z?cosjc-4],

I6Jk6；

所以sinC=^cosC+'sinC,即sinC=VJcosC,

22

因为Ce{0,7t),sinCwO,所以COSCHO,

故tanC=G，于是C=g；

(2)方法一：由(1)得。=方，

/\

设/ACO=a0<a<-,则N8CD=N-a,

[3J3

在RtAACD中,AD=CDtantz=\/5tana,

在Riz^BCD中，BD=CDtan-a=45tan，

「曰r/-/兀、3(l+tan2a)

于是A8=AD+BD=>/3tana+\J3tan——a=—~尸-------，

\3)1+V3tana

G("l)

令f=1+石tana,则tana-

-

IT

因为所以l<z<4,

4

当且仅当/=2,即/=2时，等号成立，

t

所以A8的最小值为2.

方法二：由(1)得。=^,根据余弦定理以及基本不等式，

得AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC=AC2+BC2-ACBC>ACBC>

当且仅当AC=3C时等号成立，

又因为S&ABC=QAC••sinC=—ABCD,且CD=\/5»

所以=所以48?之2AB，即A822,

故AB的最小值为2.

17.(2025•湖北•三模)已知/(x)=T?+a(6—a)x+6.

⑴解关于〃的不等式/(1)>。

(2)若不等式/(-r)>b的解集为(-U),求实数。力的值.

【答案】⑴,13-2有<〃<3+26}

(2)a=3±G,b=-3

【知识点】解不含参数的•元二次不等式、由•元二次不等式的解确定参数

【分析】(1)求出/。)，结合二次不等式的求解方法可得答案；

(2)利用不等式的解与方程的根的美系，结合韦达定理可求答案.

【详解】(1)由题意知/⑴=。(6-々)+3＞0,即/一6〃一3＜0,

解得3-26＜。＜3+26.

所以所求不等式的解集为{。［3-26＜。＜3+26}.

(2)不等式/⑺”的解集为(T3),所以方程一3/+〃(6-〃)工+6-》=0的两根为-1,3,

「)+3=中J』+后

所以解得：；，

(-1)x3=一?…

故。的值为3土百，万的值为-3.

18.(2025•山东临沂,二模)对集合AB,定义集合48={"rwAm8或tw8/纪A},记因为有限集合X的元素个

数.

(1)若A={1,2},8={2,3,4},求

⑵给定集合S={1,2,3,4}的子集M,求集合{X|XGS,|XAM|=1}的元素个数：

(3)设4代C为有限集合，证明：|4\C|4A£J?|+忸△1.

【答案】⑴"={1,3,4}

(2)4

(3)证明过程见解析

【知识点】交并补混合运算、集合新定义

【分析】(1)根据定义直接写出结果即可；

(2)利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；

(3)对任意元素xwAAC,可证工£心3或工€及*7,故可证题设中的不等式.

【详解】(1)因为48中的元素是要么只属于A,要么只属于8,

所以43={1,3,4}；

(2)设M=〃z,则切44,因为|X^M=1，

故符合条件的X的个数为C：,CL+CCL=4-m+〃?=4.

(3)对任意元素xwMC,因为x恰属于集合AC之一，不妨设xeA且

若xwB,则xeB/\C；若-x至B,贝Ux三A/\B.

故xw(AAB)U(5AC),从而A^Cc(A/XB)|J(5AC).

因此〔4△[引?!△同+忸△1,结论成立.

19.(2025•四川•一模)已知定义在R上的函数/(力满足"0)=0,且％,吃€田石<巧),有〃N)4/($).若存在

7>0,使得函数g(x)=f(x+r)-/(M是常函数，则称/(%)是“7-阶梯函数”.

⑴若/(力是“1一阶梯函数“，且当xu(0』时，仆)=81)+2,写出口呜)的取值范围；

(2)已知/(X)满足：®f(5)=a(aeR)i②DxeR,有[f(x+2)-/(x)]t{1,3}.

(i)证明：〃x)是“2-阶梯函数”的必要条件是“4«2,3]U[6,9]”；

(ii)若所有满足条件①©的函数/(x)均为“2-阶梯函数”，猜想。的取值范围并证明.

【答案】⑴丘[0,2],[纲3,4]

(2)(i)证明见解析；(ii)(7,8),证明见解析

【知识点】必要条件的判定及性质、数学归纳法、函数新定义

【分析】(1)根据函数的新定义计算求参数范围；

(2)(i)应用函数的新定义结合必要条件的定义证明即可；(ii)构造函数分别结合新定义计算判断7<a<8,最后

再应用数学归纳法证明即可.

【详解】(1)・・•当x«0,l]时,〃力=(7)+2,"(1)=2.

•・・"x)是1-阶梯函数，

・・・g(x)=/(x+l)—〃x)是常数.由于f(o)=o,所以这个常数为g(o)=/⑴一"0)=2,

・・・/(x4-l)=/(x)+2.

0,-1<X<0,

当A=0时，/(x)=2,0<x<l,

4,1<x<2,

当AHO时，VV^,x2eR(x,<x2),都有/(%)工/(9